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13. 双曲线的参数方程
主备： 审核：
学习目标：1. 了解双曲线的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握双曲线的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：双曲线参数方程的应用，
学习难点：双曲线参数方程中参数的意义. 学习过程：
一、课前准备：
阅读教材P 29-P 31的内容，理解双曲线的参数方程的推导过程，并注意以下问题： 1. 写出椭圆
x a
22
+
y b
22
=1的参数方程.
答： （θ为参数）. 2.将下列参数方程化为普通方程：
1⎧
x =a -⎧⎪⎪x =±a
（1）⎨（a 为参数）； （2）⎨t 为参数）.
1⎪⎪y =a +⎩y =t a ⎩
答：（1） ； （2） . 二、新课导学： （一）新知：
1. 如图，以原点O 为圆心，分别以a ，b
C 2. 设A （a >0, b >0）为半径作两个同心圆C 1、为圆C 1上的任意一点，作直线O A ，过点
A 作C 1的切线A A '与x 轴交于A '，过圆C 2与x 轴
的交点B 作圆C 2的切线B B '与直线O A 交于点
B '，过点A '、B '分别作x 轴、y 轴的垂线A 'M 、B 'M 交于点M . 设O x 轴为始边，O A 为终边的角
为θ点，点M 的坐标为（x , y ），求点M 的轨迹方
程.
【分析】点M 的横坐标与点A '的横坐标相同，点M 的纵坐标与点B '的纵坐标相同. 而A '、B '的坐标可以通过引进参数建立联系.
【解析】由已知∠xO A =θ，M (x , y ) ，则A '(x , 0) ，B '(b , y ) ， 因为A (a cos θ, a sin θ)
O A =(a cos θ, a sin θ) 所以, A A '=(x -a cos θ, -a sin θ)
'因为O A ⊥A A ，所以O A ⋅A A '=0，
即a cos θ(x -a cos θ) -a sin θ=0，x =
22
a co s θ
=a sec θ，
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y b
由三角函数的定义得， tan θ=，y =b tan θ，所以点M 的轨迹方程为
⎧x =a sec θπ3π
（θ为参数）（θ∈[0,2π) ，且θ≠, θ≠）. ⎨
y =b tan θ22⎩
化为普通方程是
x a
22
-
y b
22
=1.
2. 双曲线-
π2
3π2
x b
22
+
y a
22
⎧x =b tan θ
=1的参数方程为：⎨（θ为参数）（θ∈[0,2π) ，且
y =a sec θ⎩
θ≠, θ≠）.
x a
22
3. 双曲线
π2
3π2
-
y b
22
⎧x =a sec θ
=1的参数方程：⎨（θ为参数）（θ∈[0,2π) ，且
y =b tan θ⎩
θ≠, θ≠）中，θ称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义.
x a
22
4. 双曲线-
y b
22
=1上任意点M 的坐标可设为(a sec θ, tan θ) .
（二）典型例题
【例1】求点P (0,1)到双曲线x -y
2
2
=1最小距离.
【解析】设双曲线上的点M 的坐标为(secθ, tan θ) ，则 |P M |=
=
==
，
令
2-sin 2θ
=k ，整理得sin 2θ+k cos 2θ=2-k ，
1+co s 2θ
所以sin (2θ+ϕ) =≤1，
解得k ≥
3
，所以|P M |≥4
2
2
所以点P (0,1)到双曲线x
-y =1⎧x =2sec θ⎩y =tan θ
动动手：已知M (x , y ) 在双曲线⎨
上，求M 到点N (-3, 0) 的距离的最小值.
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【解析】
【例2】已知等轴双曲线x -y =2a 上任意一点P ，求证:点P 到两渐近线的距离之积为常数. 【证明】
三、总结提升：
教材对双曲线的参数方程要求较低，能够了解双曲线的参数方程的意义就可以了，会使用双曲线参数方程解决简单问题，知道双曲线上的点的坐标可以设为P (secθ, tan θ) ，在使用过程中，要知道恒等式sec θ-tan θ=1. 四、反馈练习： 1. 双曲线⎨ A ⎧x =2tan θ⎩y =4sec θ
2
2
2
2
2
(θ为参数)的离心率是 （ ）
B ．2 C D t
-t
⎧x =2-2
2. 方程⎨（t 为参数）表示的曲线是 （ ） t -t
⎩y =2+2
A . 双曲线 B . 双曲线的上支 C . 双曲线下支 3. 把方程xy =1化为以t 参数的参数方程是 （ ）
1
D . 圆
⎧⎧x =sin t ⎧x =co s t ⎧x =tan t 2x =t ⎪⎪⎪⎪A ．⎨ B． C． D．111 ⎨⎨⎨1
-
⎪⎪y =⎪y =⎪y =2y =t tan t sin t co s t ⎩⎩⎩⎩
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（α为参数）与曲线⎨
⎧x =a tan β⎩y =b sec β
*4. 曲线⎨
⎧x =a sec α⎩y =b tan α
（β为参数）的离心率分别为e 1
和e 2，则e 1+e 2的最小值为 ( )
A
． B ．2 C
D
5. 设P 为等轴双曲线x -y
F 1P ⋅F 2P =OP
2
22
=1上的一点，F 1、F 2为两个焦点，证明
.
【证明】
五、学后反思：
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13. 双曲线的参数方程
主备： 审核：
学习目标：1. 了解双曲线的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握双曲线的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：双曲线参数方程的应用，
学习难点：双曲线参数方程中参数的意义. 学习过程：
一、课前准备：
阅读教材P 29-P 31的内容，理解双曲线的参数方程的推导过程，并注意以下问题： 1. 写出椭圆
x a
22
+
y b
22
=1的参数方程.
答： （θ为参数）. 2.将下列参数方程化为普通方程：
1⎧
x =a -⎧⎪⎪x =±a
（1）⎨（a 为参数）； （2）⎨t 为参数）.
1⎪⎪y =a +⎩y =t a ⎩
答：（1） ； （2） . 二、新课导学： （一）新知：
1. 如图，以原点O 为圆心，分别以a ，b
C 2. 设A （a >0, b >0）为半径作两个同心圆C 1、为圆C 1上的任意一点，作直线O A ，过点
A 作C 1的切线A A '与x 轴交于A '，过圆C 2与x 轴
的交点B 作圆C 2的切线B B '与直线O A 交于点
B '，过点A '、B '分别作x 轴、y 轴的垂线A 'M 、B 'M 交于点M . 设O x 轴为始边，O A 为终边的角
为θ点，点M 的坐标为（x , y ），求点M 的轨迹方
程.
【分析】点M 的横坐标与点A '的横坐标相同，点M 的纵坐标与点B '的纵坐标相同. 而A '、B '的坐标可以通过引进参数建立联系.
【解析】由已知∠xO A =θ，M (x , y ) ，则A '(x , 0) ，B '(b , y ) ， 因为A (a cos θ, a sin θ)
O A =(a cos θ, a sin θ) 所以, A A '=(x -a cos θ, -a sin θ)
'因为O A ⊥A A ，所以O A ⋅A A '=0，
即a cos θ(x -a cos θ) -a sin θ=0，x =
22
a co s θ
=a sec θ，
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y b
由三角函数的定义得， tan θ=，y =b tan θ，所以点M 的轨迹方程为
⎧x =a sec θπ3π
（θ为参数）（θ∈[0,2π) ，且θ≠, θ≠）. ⎨
y =b tan θ22⎩
化为普通方程是
x a
22
-
y b
22
=1.
2. 双曲线-
π2
3π2
x b
22
+
y a
22
⎧x =b tan θ
=1的参数方程为：⎨（θ为参数）（θ∈[0,2π) ，且
y =a sec θ⎩
θ≠, θ≠）.
x a
22
3. 双曲线
π2
3π2
-
y b
22
⎧x =a sec θ
=1的参数方程：⎨（θ为参数）（θ∈[0,2π) ，且
y =b tan θ⎩
θ≠, θ≠）中，θ称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义.
x a
22
4. 双曲线-
y b
22
=1上任意点M 的坐标可设为(a sec θ, tan θ) .
（二）典型例题
【例1】求点P (0,1)到双曲线x -y
2
2
=1最小距离.
【解析】设双曲线上的点M 的坐标为(secθ, tan θ) ，则 |P M |=
=
==
，
令
2-sin 2θ
=k ，整理得sin 2θ+k cos 2θ=2-k ，
1+co s 2θ
所以sin (2θ+ϕ) =≤1，
解得k ≥
3
，所以|P M |≥4
2
2
所以点P (0,1)到双曲线x
-y =1⎧x =2sec θ⎩y =tan θ
动动手：已知M (x , y ) 在双曲线⎨
上，求M 到点N (-3, 0) 的距离的最小值.
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【解析】
【例2】已知等轴双曲线x -y =2a 上任意一点P ，求证:点P 到两渐近线的距离之积为常数. 【证明】
三、总结提升：
教材对双曲线的参数方程要求较低，能够了解双曲线的参数方程的意义就可以了，会使用双曲线参数方程解决简单问题，知道双曲线上的点的坐标可以设为P (secθ, tan θ) ，在使用过程中，要知道恒等式sec θ-tan θ=1. 四、反馈练习： 1. 双曲线⎨ A ⎧x =2tan θ⎩y =4sec θ
2
2
2
2
2
(θ为参数)的离心率是 （ ）
B ．2 C D t
-t
⎧x =2-2
2. 方程⎨（t 为参数）表示的曲线是 （ ） t -t
⎩y =2+2
A . 双曲线 B . 双曲线的上支 C . 双曲线下支 3. 把方程xy =1化为以t 参数的参数方程是 （ ）
1
D . 圆
⎧⎧x =sin t ⎧x =co s t ⎧x =tan t 2x =t ⎪⎪⎪⎪A ．⎨ B． C． D．111 ⎨⎨⎨1
-
⎪⎪y =⎪y =⎪y =2y =t tan t sin t co s t ⎩⎩⎩⎩
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（α为参数）与曲线⎨
⎧x =a tan β⎩y =b sec β
*4. 曲线⎨
⎧x =a sec α⎩y =b tan α
（β为参数）的离心率分别为e 1
和e 2，则e 1+e 2的最小值为 ( )
A
． B ．2 C
D
5. 设P 为等轴双曲线x -y
F 1P ⋅F 2P =OP
2
22
=1上的一点，F 1、F 2为两个焦点，证明
.
【证明】
五、学后反思：