2017年高考专题辅导八
弧度制及三角函数
1． 角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z}．
(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 2． 弧度制
(1)定义：1弧度的角，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零． (2)角度制和弧度制的互化：180°＝＝
180π
rad,1 rad＝⎛. ⎝π°180
11
(3)扇形的弧长公式：l ＝S ＝lr |α|·r 2.
223． 任意角的三角函数
y
任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y ) 时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝x . 三个三角函数的初步性质如下表：
题型一 角的有关问题
例1 (1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；
θ6
(2)若角θ角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角；
73
k ⎧⎫
＋45°，k ∈Z ⎬， 设集合M ＝⎨x |x ＝2×180°
⎩
⎭
k ⎧⎫
＋45°，k ∈Z ⎬，那么两集合的关系是什么？ N ＝⎨x |x ＝4×180°
⎩
⎭
题型二 三角函数的定义
例2 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0) ，且cos α＝
题型三 三角函数线、三角函数值的符号
sin (cos θ)
例3 若θ是第二象限角，试判断的符号；
cos (sin 2θ)
题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
例4 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .
(1)若α＝60°，R ＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
31
x ，求sin α＋ 6tan α
(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心
角是多少弧度？扇形的面积是多少？
(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
A 组 课堂知识过手
一、选择题
1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是 A．第一象限角 C．第三象限角
( )
B ．第二象限角 D ．第四象限角
2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π) 为 ( ) A.
π
3
π
B. 2
C. 3
D ．2
( )
3．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 A．sin α＋cos α＜0 C．cos α－tan α＜0
B ．tan α－sin α＜0 D ．tan αsin α＜0
( )
4． 已知cos θ·tan θ
A ．第一或第二象限角 C ．第三或第四象限角
B ．第二或第三象限角 D ．第一或第四象限角
( )
5． 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是
A ．1 B ．4
C ．1或4 D ．2或4 二、填空题
6．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P(4，y) 是角θ终边上一点，且sin θ＝－
25
，则y ＝______． 5
三、解答题
9．已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a，4a) ，其中a≠0，求sin α，cos α，tan α.
9．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)一个扇形OAB 的面积是1 cm2
，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
B 组 课后强化训练
一、选择题
1．sin 2cos 3tan 4的值( ) ．
A ．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 2．已知点P (sin
5π4，3π
4
在角θ的终边上，且θ∈[0,2π) ，则θ是第几象限角．( A ．一 B．二 C ．三 D．四
3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为
( ) ．
A ．40π cm2
B ．80π cm2
C ．40cm 2
D ．80cm 2
二、填空题
4．若β的终边所在直线经过点P ⎛ 3π
3π⎝cos 4sin 4⎫⎪⎭，则sin β＝________，
tan β＝________.
5．已知点P (tan α，cos α) 在第三象限，则角α的终边在第______象限． 6．设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2
，则扇形的圆心角的弧度数是________．
)
2017年高考专题辅导八
弧度制及三角函数
1． 角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z}．
(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 2． 弧度制
(1)定义：1弧度的角，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零． (2)角度制和弧度制的互化：180°＝＝
180π
rad,1 rad＝⎛. ⎝π°180
11
(3)扇形的弧长公式：l ＝S ＝lr |α|·r 2.
223． 任意角的三角函数
y
任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y ) 时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝x . 三个三角函数的初步性质如下表：
题型一 角的有关问题
例1 (1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；
θ6
(2)若角θ角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角；
73π
解 (1)终边在直线y ＝x 上的角的集合为{α|α＝k π＋，k ∈Z}．
3
θ66
(2)所有与角终边相同的角的集合是{θ|θ＝＋2k π，k ∈Z}，∴角终边相同的
773θ22
角可表示为π＋π，k ∈Z.
373
θ22034
∴在[0,2π)内终边与，π，π.
372121
k ⎧⎫
＋45°，k ∈Z ⎬， 设集合M ＝⎨x |x ＝2×180°
⎩
⎭
k ⎧⎫
＋45°，k ∈Z ⎬，那么两集合的关系是什么？ N ＝⎨x |x ＝4×180°
⎩
⎭
解 因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1) ×45°，k ∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1) ×45°，k ∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N . 题型二 三角函数的定义
例2 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0) ，且cos α＝
解 ∵P (x ，－2) (x ≠0) ， ∴点P 到原点的距离r ＝x ＋2. 又cos αx x ，∴cos α＝. 6x ＋26
31
，求sin α＋ 6tan α
∵x ≠0，∴x ＝10. ∴r ＝3.
当x 10时，P 点坐标为10，－2) ， 由三角函数的定义，
26110
有sin α＝＝－，5，
6tan α－23∴sin α＋
65＋616
5＝－； tan α66
65－61
＝. tan α6
当x 10时，同理可求得sin α＋
题型三 三角函数线、三角函数值的符号
sin (cos θ)
例3 若θ是第二象限角，试判断的符号；
cos (sin 2θ)
π
解 ∵2k π＋
2
∴－10. ∴
sin (cos θ)sin (cos θ)
cos (sin 2θ)cos (sin 2θ)
题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
例4 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .
(1)若α＝60°，R ＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则 ππ10πα＝60°＝R ＝10，l ＝×10＝ (cm)，
333110π1π
S 弓＝S 扇－S △＝×10－102×sin
232350503⎛π
＝π－50 (cm2) ． 32⎝32C (2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR，∴R ＝
2＋α11⎛C 2
∴S 扇＝α·R 2＝α·
22⎝2＋α⎭C 2C 2C 211
＝α＝≤24＋4α＋α2416
4＋α＋α
C 2
当且仅当α＝4
，即α＝2时，扇形面积有最大值.
16
2
(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心
角是多少弧度？扇形的面积是多少？
(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)设扇形的圆心角为θ rad，则扇形的周长是2r ＋rθ. 依题意：2r ＋rθ＝πr ，∴θ＝(π－2)rad. 11
∴扇形的面积S ＝r 2θ＝－2) r 2.
22(2)设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则l ＋2r ＝20，即l
＝20－2r (0
11
∴扇形的面积S ＝lr ＝(20－2r ) r
22＝－r 2＋10r ＝－(r －5) 2＋25. ∴当r ＝5时，S 有最大值25， l
此时l ＝10，α＝r ＝2 rad.
因此，当α＝2 rad
时，扇形的面积取最大值．
A 组 课堂知识过手
一、选择题
1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是 A．第一象限角 C．第三象限角
( )
B ．第二象限角 D ．第四象限角
解析 ∵sin α＜0，则α的终边落在第三、四象限或y 轴的负半轴；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限． 答案 C
2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π) 的弧度数为 A.
( )
π
3π
B. 2
C. 3 D ．2
解析 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r， ∴α＝3. 答案 C
3．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 A．sin α＋cos α＜0 C．cos α－tan α＜0
( )
B ．tan α－sin α＜0 D ．tan αsin α＜0
解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A ，C ，D ，故选B. 答案 B
4． 已知cos θ·tan θ
( )
A ．第一或第二象限角 C ．第三或第四象限角 答案 C
解析 若cos θ>0，tan θ0，则θ在第三象限，∴选C.
5． 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是
A ．1 B ．4
C ．1或4 D ．2或4 答案 C
解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 2r ＋l ＝6，⎧⎧⎧⎪⎪r ＝1，⎪r ＝2，
⎨则⎨1解得或⎨ ⎪⎪l ＝4l ＝2. rl ＝2，⎩⎩⎪⎩2
( )
B ．第二或第三象限角 D ．第一或第四象限角
l 4l 2
从而α＝r 4或α＝r ＝1.
12二、填空题
6．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
解析 由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°) ＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°) ，即
－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角． 答案 一
7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P(4，y) 是角θ终边上一点，且sin θ＝－
25
，则y ＝______． 5
5＝－ 54＋y y
解析 因为sin θ2
所以y ＜0，且y ＝64，所以y ＝－8. 答案 －8 三、解答题
9．已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a，4a) ，其中a≠0，求sin α，cos α，tan α. 解 r （3a ）＋（4a ）＝5|a|. 当a ＞0时，r ＝5a ，
2
2
y 4a 4x 3a 3
∴sin α＝＝，cos α＝＝
r 5a 5r 5a 5y 4a 4
tan α＝；
x 3a 3当a ＜0时，r ＝－5a ，
434
∴sin α＝－cos α＝－，tan α＝553
43443
综上可知，sin α＝cos θ＝，tan α＝或sin α＝－cos α
553554
tan α＝3
9．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)一个扇形OAB 的面积是1 cm，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB. 解 (1)设圆心角是θ，半径是r ，则
2r ＋r θ＝10，r ＝4，⎧⎧⎧⎪⎪⎪r ＝1，
解得⎨(舍去) ． ⎨11或⎨2
⎪θ＝8θ·r ＝4，θ＝⎩⎪⎪2⎩2⎩1
∴扇形的圆心角为.
2
(2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm， 1⎧⎧⎪lr ＝1，⎪r ＝1，2则⎨解得⎨
⎪l ＝2. ⎩⎪⎩l ＋2r ＝4，l
∴圆心角α＝＝2.
r
如图，过O 作OH⊥AB于H ，则∠AOH＝1 rad. ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1 (cm)， ∴AB ＝2sin 1 (cm)．
2
B 组 课后强化训练
一、选择题
1．sin 2cos 3tan 4的值( ) ．
A ．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2cos 3tan 4＜0. 答案 A 2．已知点P (sin
5π3π
cos 落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π) ，则θ
是第________44
象限角．( )
A ．一 B．二
C ．三 D．四
解析 因P 点坐标为(答案 C
3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为
A ．40π cm 222，－，∴P 在第三象限． 22 2( ) ． B ．80π cm 2 C ．40cm 2D ．80cm
2π1212π22解析 72°＝，∴S 扇形＝αR ＝×20＝80π(cm) ． 5225
答案 B
二、填空题
3π⎫⎛3π4．若β的终边所在直线经过点P cos sin ⎪，则sin β＝________， 44⎭⎝
tan β＝________.
⎛解析 因为β的终边所在直线经过点P cos ⎝
y ＝－x ，则β在第二或第四象限．
所以sin β＝22或－，tan β＝－1. 223π3π⎫sin ⎪，所以β的终边所在直线为44⎭
答案 22－1 22
5．已知点P (tan α，cos α) 在第三象限，则角α的终边在第______象限． 解析 ∵点P (tan α，cos α) 在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0.
∴角α在第二象限．
答案 二
6．设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm，则扇形的圆心角的弧度数是________．
12解析 由题意得S ＝(8－2r ) r ＝4，整理得r －4r ＋4＝0，解得r ＝2. 又l ＝4，故|α|2
＝＝2(rad)．
答案 2
2l r
11
2017年高考专题辅导八
弧度制及三角函数
1． 角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z}．
(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 2． 弧度制
(1)定义：1弧度的角，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零． (2)角度制和弧度制的互化：180°＝＝
180π
rad,1 rad＝⎛. ⎝π°180
11
(3)扇形的弧长公式：l ＝S ＝lr |α|·r 2.
223． 任意角的三角函数
y
任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y ) 时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝x . 三个三角函数的初步性质如下表：
题型一 角的有关问题
例1 (1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；
θ6
(2)若角θ角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角；
73
k ⎧⎫
＋45°，k ∈Z ⎬， 设集合M ＝⎨x |x ＝2×180°
⎩
⎭
k ⎧⎫
＋45°，k ∈Z ⎬，那么两集合的关系是什么？ N ＝⎨x |x ＝4×180°
⎩
⎭
题型二 三角函数的定义
例2 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0) ，且cos α＝
题型三 三角函数线、三角函数值的符号
sin (cos θ)
例3 若θ是第二象限角，试判断的符号；
cos (sin 2θ)
题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
例4 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .
(1)若α＝60°，R ＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
31
x ，求sin α＋ 6tan α
(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心
角是多少弧度？扇形的面积是多少？
(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
A 组 课堂知识过手
一、选择题
1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是 A．第一象限角 C．第三象限角
( )
B ．第二象限角 D ．第四象限角
2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π) 为 ( ) A.
π
3
π
B. 2
C. 3
D ．2
( )
3．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 A．sin α＋cos α＜0 C．cos α－tan α＜0
B ．tan α－sin α＜0 D ．tan αsin α＜0
( )
4． 已知cos θ·tan θ
A ．第一或第二象限角 C ．第三或第四象限角
B ．第二或第三象限角 D ．第一或第四象限角
( )
5． 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是
A ．1 B ．4
C ．1或4 D ．2或4 二、填空题
6．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P(4，y) 是角θ终边上一点，且sin θ＝－
25
，则y ＝______． 5
三、解答题
9．已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a，4a) ，其中a≠0，求sin α，cos α，tan α.
9．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)一个扇形OAB 的面积是1 cm2
，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
B 组 课后强化训练
一、选择题
1．sin 2cos 3tan 4的值( ) ．
A ．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 2．已知点P (sin
5π4，3π
4
在角θ的终边上，且θ∈[0,2π) ，则θ是第几象限角．( A ．一 B．二 C ．三 D．四
3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为
( ) ．
A ．40π cm2
B ．80π cm2
C ．40cm 2
D ．80cm 2
二、填空题
4．若β的终边所在直线经过点P ⎛ 3π
3π⎝cos 4sin 4⎫⎪⎭，则sin β＝________，
tan β＝________.
5．已知点P (tan α，cos α) 在第三象限，则角α的终边在第______象限． 6．设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2
，则扇形的圆心角的弧度数是________．
)
2017年高考专题辅导八
弧度制及三角函数
1． 角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z}．
(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 2． 弧度制
(1)定义：1弧度的角，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零． (2)角度制和弧度制的互化：180°＝＝
180π
rad,1 rad＝⎛. ⎝π°180
11
(3)扇形的弧长公式：l ＝S ＝lr |α|·r 2.
223． 任意角的三角函数
y
任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y ) 时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝x . 三个三角函数的初步性质如下表：
题型一 角的有关问题
例1 (1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；
θ6
(2)若角θ角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角；
73π
解 (1)终边在直线y ＝x 上的角的集合为{α|α＝k π＋，k ∈Z}．
3
θ66
(2)所有与角终边相同的角的集合是{θ|θ＝＋2k π，k ∈Z}，∴角终边相同的
773θ22
角可表示为π＋π，k ∈Z.
373
θ22034
∴在[0,2π)内终边与，π，π.
372121
k ⎧⎫
＋45°，k ∈Z ⎬， 设集合M ＝⎨x |x ＝2×180°
⎩
⎭
k ⎧⎫
＋45°，k ∈Z ⎬，那么两集合的关系是什么？ N ＝⎨x |x ＝4×180°
⎩
⎭
解 因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1) ×45°，k ∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1) ×45°，k ∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N . 题型二 三角函数的定义
例2 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0) ，且cos α＝
解 ∵P (x ，－2) (x ≠0) ， ∴点P 到原点的距离r ＝x ＋2. 又cos αx x ，∴cos α＝. 6x ＋26
31
，求sin α＋ 6tan α
∵x ≠0，∴x ＝10. ∴r ＝3.
当x 10时，P 点坐标为10，－2) ， 由三角函数的定义，
26110
有sin α＝＝－，5，
6tan α－23∴sin α＋
65＋616
5＝－； tan α66
65－61
＝. tan α6
当x 10时，同理可求得sin α＋
题型三 三角函数线、三角函数值的符号
sin (cos θ)
例3 若θ是第二象限角，试判断的符号；
cos (sin 2θ)
π
解 ∵2k π＋
2
∴－10. ∴
sin (cos θ)sin (cos θ)
cos (sin 2θ)cos (sin 2θ)
题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
例4 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .
(1)若α＝60°，R ＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则 ππ10πα＝60°＝R ＝10，l ＝×10＝ (cm)，
333110π1π
S 弓＝S 扇－S △＝×10－102×sin
232350503⎛π
＝π－50 (cm2) ． 32⎝32C (2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR，∴R ＝
2＋α11⎛C 2
∴S 扇＝α·R 2＝α·
22⎝2＋α⎭C 2C 2C 211
＝α＝≤24＋4α＋α2416
4＋α＋α
C 2
当且仅当α＝4
，即α＝2时，扇形面积有最大值.
16
2
(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心
角是多少弧度？扇形的面积是多少？
(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)设扇形的圆心角为θ rad，则扇形的周长是2r ＋rθ. 依题意：2r ＋rθ＝πr ，∴θ＝(π－2)rad. 11
∴扇形的面积S ＝r 2θ＝－2) r 2.
22(2)设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则l ＋2r ＝20，即l
＝20－2r (0
11
∴扇形的面积S ＝lr ＝(20－2r ) r
22＝－r 2＋10r ＝－(r －5) 2＋25. ∴当r ＝5时，S 有最大值25， l
此时l ＝10，α＝r ＝2 rad.
因此，当α＝2 rad
时，扇形的面积取最大值．
A 组 课堂知识过手
一、选择题
1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是 A．第一象限角 C．第三象限角
( )
B ．第二象限角 D ．第四象限角
解析 ∵sin α＜0，则α的终边落在第三、四象限或y 轴的负半轴；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限． 答案 C
2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π) 的弧度数为 A.
( )
π
3π
B. 2
C. 3 D ．2
解析 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r， ∴α＝3. 答案 C
3．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 A．sin α＋cos α＜0 C．cos α－tan α＜0
( )
B ．tan α－sin α＜0 D ．tan αsin α＜0
解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A ，C ，D ，故选B. 答案 B
4． 已知cos θ·tan θ
( )
A ．第一或第二象限角 C ．第三或第四象限角 答案 C
解析 若cos θ>0，tan θ0，则θ在第三象限，∴选C.
5． 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是
A ．1 B ．4
C ．1或4 D ．2或4 答案 C
解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 2r ＋l ＝6，⎧⎧⎧⎪⎪r ＝1，⎪r ＝2，
⎨则⎨1解得或⎨ ⎪⎪l ＝4l ＝2. rl ＝2，⎩⎩⎪⎩2
( )
B ．第二或第三象限角 D ．第一或第四象限角
l 4l 2
从而α＝r 4或α＝r ＝1.
12二、填空题
6．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
解析 由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°) ＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°) ，即
－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角． 答案 一
7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P(4，y) 是角θ终边上一点，且sin θ＝－
25
，则y ＝______． 5
5＝－ 54＋y y
解析 因为sin θ2
所以y ＜0，且y ＝64，所以y ＝－8. 答案 －8 三、解答题
9．已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a，4a) ，其中a≠0，求sin α，cos α，tan α. 解 r （3a ）＋（4a ）＝5|a|. 当a ＞0时，r ＝5a ，
2
2
y 4a 4x 3a 3
∴sin α＝＝，cos α＝＝
r 5a 5r 5a 5y 4a 4
tan α＝；
x 3a 3当a ＜0时，r ＝－5a ，
434
∴sin α＝－cos α＝－，tan α＝553
43443
综上可知，sin α＝cos θ＝，tan α＝或sin α＝－cos α
553554
tan α＝3
9．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)一个扇形OAB 的面积是1 cm，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB. 解 (1)设圆心角是θ，半径是r ，则
2r ＋r θ＝10，r ＝4，⎧⎧⎧⎪⎪⎪r ＝1，
解得⎨(舍去) ． ⎨11或⎨2
⎪θ＝8θ·r ＝4，θ＝⎩⎪⎪2⎩2⎩1
∴扇形的圆心角为.
2
(2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm， 1⎧⎧⎪lr ＝1，⎪r ＝1，2则⎨解得⎨
⎪l ＝2. ⎩⎪⎩l ＋2r ＝4，l
∴圆心角α＝＝2.
r
如图，过O 作OH⊥AB于H ，则∠AOH＝1 rad. ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1 (cm)， ∴AB ＝2sin 1 (cm)．
2
B 组 课后强化训练
一、选择题
1．sin 2cos 3tan 4的值( ) ．
A ．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2cos 3tan 4＜0. 答案 A 2．已知点P (sin
5π3π
cos 落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π) ，则θ
是第________44
象限角．( )
A ．一 B．二
C ．三 D．四
解析 因P 点坐标为(答案 C
3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为
A ．40π cm 222，－，∴P 在第三象限． 22 2( ) ． B ．80π cm 2 C ．40cm 2D ．80cm
2π1212π22解析 72°＝，∴S 扇形＝αR ＝×20＝80π(cm) ． 5225
答案 B
二、填空题
3π⎫⎛3π4．若β的终边所在直线经过点P cos sin ⎪，则sin β＝________， 44⎭⎝
tan β＝________.
⎛解析 因为β的终边所在直线经过点P cos ⎝
y ＝－x ，则β在第二或第四象限．
所以sin β＝22或－，tan β＝－1. 223π3π⎫sin ⎪，所以β的终边所在直线为44⎭
答案 22－1 22
5．已知点P (tan α，cos α) 在第三象限，则角α的终边在第______象限． 解析 ∵点P (tan α，cos α) 在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0.
∴角α在第二象限．
答案 二
6．设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm，则扇形的圆心角的弧度数是________．
12解析 由题意得S ＝(8－2r ) r ＝4，整理得r －4r ＋4＝0，解得r ＝2. 又l ＝4，故|α|2
＝＝2(rad)．
答案 2
2l r
11