函数极限的求法

1 引言极限思想的产生对数学的发展产生了极大的推动作用 .数学分析研究的对象是函 数,研究函数的基本方法是极限.用极限方法研究函数的连续性、可微性、可积性,因此 熟练掌握极限的求法是学好数学分析乃至高等数学的基础和关键 .本文总结了函数极 限的多种求法并举出例子进行说明.1 2  预备知识2.1 x 趋于  时函数的极限定义 2.1 设 f ( x) 为定义在 [a, ) 上的函数, A 为定数.若对任给的   0 ,存在正数M ( a) 使得当 x  M 时有记作 lim f ( x )  Ax f ( x)  A   , 则称函数 f ( x) 当 x 趋于  时以 A 为极限 ,或f ( x)  A( x  ) .2.2 x 趋于 x0 时函数的极限定义 2.2 设函数 f ( x) 为在点 x0 的某个空心领域 U o ( x0； ' ) 内有定义, A 为定数. 若 对任给的   0 , 存在正数  (  ' ) , 使得当 0  x  x0   时有f ( x) 当 x 趋于 x0 时以 A 为极限,记作x  x0f ( x)  A   , 则称函数l i mf x( ) A或x) . f ( x)  A( x 02.3 函数的单侧极限定义 2.3 设函数 f ( x) 在 U o  ( x0； ' ) (或U o  ( x0 ;  ' )) 内有定义, A 为定数 . 若对任给 的   0 ,存在正数  (  ' ) ,使得当 x0  x  x0  （或x0 -  x  x0） 有 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于 x0  (或x0 ） 时的右(左)极限,记作x  x0 f ( x)  A   ,则称l i m f x( ) A ( lim f ( x)  A)x  x0右极限与左极限统称为单侧极限.13 函数极限的求法 3.1 利用初等函数的连续性求极限“由初等函数在其定义域内都是连续的”可知:若 x0 是初等函数 f ( x) 定义域内一点, 由 x0 点的连续性 lim f ( x)  f ( x0 ) ,则 lim f ( x)  f (lim x) .x  x0 x  x0 x  x0例1 求 lim cos[ln(1 x 2x 1 )]. x2解 由 y  cos u, u  ln v 的连续性,lim cos[ln(1 x 2x 1 2x 1 )]  cos[ln lim(1  2 )]  cos(ln1)  cos 0  1. 2 x  x x但当 x  x0 时 , 函数 f ( x) 在 x0 点是间断的 , 不能直接代入数值计算 , 应根据具体函 数的特性,对它进行适当地变形,设法消去分子、分母相同的无穷小量后,成为新的连续 函数,再利用函数连续性求出函数的极限. 例 2 求极限 lim ln(sin 2 x).x6 3 ln(sin 2 x)  ln(lim sin 2 x)  ln(sin )  ln . 解 lim   3 2 x x6 63.2 利用极限的运算法则求极限运用极限的运算法则求极限,条件是每项或每个因子极限存在才能用. 例 3 求 limx 4  3x  8 . x 2 2 x3  x 2  1 x 4  3 x  8 24  3  2  8 2  . = x 2 2 x3  x 2  1 13 13解 因 2  23  22  1 =13  0 则 lim0  对于“ ”、“ ”、“  ”等情况,不能直接用运算法则,必须用因式分解、 0 有理化分子或分母、三角函数有关公式以及变量代换等方法 ,对函数进行恒等变形以及 约去零因子,使各项极限都存在再利用运算法则求极限. 例4 求 lim 4x 0x . 1  2x 121 解 令 1  2 x  t 4 ,则 x  (t 4  1) ,当 x  0 时 t  1 ,于是 21 4 (t  1) x 1 = lim 2 lim 4  lim (t  1)(t 2  1)  2. x 0 1  2 x  1 t 1 t 1 2 t 13.32利用左右极限求极限当 x  x0 时函数 f ( x) 极限存在的充分必要条件是函数 f ( x) 在 x0 处的左、右极限存 在且相等. 说明：(1) 求分段函数在分段点处的极限一定要分析左、 右极限是否存在且等. (2) 当 函数 f ( x) 在 x0 处的左、右极限不相等时,函数 f ( x) 在 x0 处的极限一定不存在. x2 1 , x 1  例5 求函数 f ( x)   x  1 在分段点 x  1 处的极限. 2  x  2, x  1 f ( x )  lim 解 lim  x 1x 1x2 1  lim( x  1)  2 , x  1 x1x 1lim f ( x )  lim ( x 2  2)  3 , x 1 x 1 x 1 x 1f ( x) 故 lim f ( x) 不存在. 因为 lim f ( x)  lim  3.4  利用两个重要极限求极限31 sin x  1 和 lim(1  x) x  e 求极限时 , 往往要利用与其等价的变 x 0 x 0 x利用重要极限 lim 式, lim x  sinx 1 1  1 , lim(1  ) x  e ,有时也需要用三角公式、变量代换、倒代等方法对函 x  x x数进行变形,化成公式的标准形式 ,再利用重要极限公式来求极限 . 值得注意的是,能利 用重要极限求极限的问题,大部分也能用洛必达法则解决 ,选用什么方法视具体情况而 定. 例6 求 limtan x  sin x . x 0 sin 3 x3x x 2 sin 2 1 tan x  sin x 1  cos x 2  1. 解 lim  lim  lim 3 2 x 0 x 0 cos x sin x x 0 2 cos x x 2 sin x ( ) sin 2 x 2 2例 7 求 lim(1   x) x （  为给定实数）.x 01解 lim(1   x) x  lim[(1   x)  x ]  e .x 0 x 011例 8 求 limxcos x x22.解 令xt2,则x2时相当于 t  0, 于是cos(  t ) cos x sin t 2 lim  lim   lim  1.  t  0 t  0  t t x x  2 2对于无穷多项的和或无穷多个因子积的极限,常用恒等变形化为有限项的和或有限 个因子积的极限.1 1 1 例 9 求极限 lim[  … ]n . n  1  2 23 n(n  1)由于底是无穷多项和,因此要“裂项”将底化为有限项的形式,得不等式 小的积为无穷小这一性质求极限时,关键是合理选择谁是有界变 量,并掌握一定的缩放方法和技巧. 例 10 求 lim (sin 1  x  sin x ) .x 4解x lim (sin 1  x  sin x )  2 lim cosx 1 x  x 1 x  x ,其中 sin 2 21 x  x 1  2 2( 1  x  x )2 cos1 x  x 1 x  x   2 是有界量,而 sin 2 2这样由于 lim1 x  x 1 是无穷小.故  0 ,所以,当 x   时, sin x  2( 1  x  2 x)x lim （sin 1  x -sin x）=0.3.64利用等价无穷小代换求极限'  ' lim  lim 存在 , 则 '  '在自变量的同一变化过程中,若  ~  ' ,  ~  ' , 且 lim掌握一些常见的等价无穷小,利用等价无穷小代换,可以对函数进行化简.作无穷小 代换时,只能对无穷小是因式积的形式代换,无穷小是代数和的形式则不能轻易作代换, 必须化为因式积的形式. 一些常见的等价无穷小： 当 x  0 时, sin x ~ x, tan x ~ x, arcsin x ~ x, arctan x ~ x,1  cos x ~a x  1 ~ x ln a, e x  1 ~ x 等.x2 , ln(1  x) ~ x 2例 11 求 limtan x  sin x . x 0 x 2 ln(1  x)解limx 0tan x  sin x tan x(1  cos x) = lim 2 x  0 x ln(1  x) x 2 ln(1  x) x2 , ln(1  x) ~  x ,上式用等价无穷小代换得 2由于当 x  0 时 tan x ~ x , 1  cos x ~x2 tan x(1  cos x) tan x(1  cos x) 1 lim = lim = lim 2 2   . 2 2 x 0 x 0 x 0 x (  x ) x ln(1  x) x ln(1  x) 2 x例 12 求 limsin mx (m, n  Z ). x  sin nx5解 x  时 , sin nx  0 , sin mx  0 但 x 不是无穷小, 因此 sin mx 与 mx 不是等价无 穷小, sin nx 与 nx 也不是等价无穷小. 令 x    t , 则 x  时, t  0 ,故 sin mt ~ mt , sin nt ~ nt 因此limsin m(  t ) m sin mx  cos m  sin mt mt = lim = lim = (1) m n lim  (1) m  n  . t 0 sin n(  t ) t 0 nt x  sin nx t 0  cos n  sin nt n3.7 利用夹逼准则求极限在自变量的某一变化过程中,若 g ( x)  f ( x)  h( x) , g ( x)  A , h( x)  A ( A为常数) 则一定有 f ( x)  A. 用夹逼准则求极限,关键在于视具体问题选择灵活的方法对变量进行合理的缩放. 例 13 求 limx  cos x . x  x 1 cosx 1    , 对于 x x x解 因为 x   , 故可以考虑 x  0 ; 而由于 1  cos x  1,可得 此式可以变换为1 1 cos x 1 1  ( )  1   1   1 . x x x x 1 1 由 lim (1  )  lim (1  )  1. 依据夹逼准则得到 x  x  x x x  cos x lim  1. x  x3.85利用拉格朗日中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理,它利用函数的局部性质来研究函数的 整体性质,其应用十分广泛.可以应用拉格朗日中值定理求极限． 例 14 求 lim n2 (arctann a a  arctan ). n n 1解 对 f ( x)  arctan x 在上用拉格朗日中值定理,得1 a a  a   n   .  2 1   n n  (n  1)  n  1 n=6因为 lim  n  0 ,所以 lim n2 (arctann n a a  arctan )= n n 13.9 利用洛必达法则求极限设(1)当 时,函数 f ( x) 及 F ( x) 趋于零;(2)在点 a 的某空心邻域内, f ' ( x) 及f ' ( x) 存在.则有 F ' ( x)limx aF ' ( x) 都存在且 F ' ( x)  0 ;(3) limx af ( x) f ' ( x)  lim ' F ( x) x a F ( x)0  对于基本不定式 n     n n n n n nnk 1k 1  . n n8令 f ( x)  x , 0  x  1 它是 n 等分区间  0,1 ,  k 取 [k 1 k , ] 的右端点构成的积分 n nn x  1 k 1 2    xdx  . 0 n n 3和.已知函数 f ( x)  x 在  0,1 可积,于是由定积分定义有 lim k 13.126利用数项级数收敛的必要性求极限数项级数  un 收敛的必要条件是 lim un  0 ,从而求某些数列的极限可以转化为判n 1n 断某些相应数项级数的收敛性. 例 18 求 lim2n n ! . n  n n解 设 un = 2n n ! 2n n ! u 2 2 , 考察正项级数 .由于 lim n 1 = lim   1,  n n n  n u n n (1  1 ) n e k 1 n n故级数 2n n ! 2n n ! lim 0. 收敛 . 因此 , n n  n n n 1 n3.13 利用单调有界性准则求极限单调有界定理：在实数系中,有界的单调数列必有极限.1 1 例 19 x1  2, xn 1  ( xn  )(n  N ) 证明数列  xn  有极限,并求 lim xn . n  2 xn证明 先证 n  N , xn  1 . （1） n  1 时, x1  2  1 ,结论成立；1 1 1 （ 2 ） 设 n  k 时 , xk  1 , 当 n  k  1 时 , xk 1  ( xk  )   2  1 , 因 此 2 xk 2n  N , xn  1 ；再证 { xn } 单调减少.由 n  N ,xn 1 1 1 1 1      1 .有 xn 1  xn ,即 { xn } 单调减少. 由以上两方面的 2 xn 2 2 xn 2 2n 证明,得数列 { xn } 是单调减少且有下界,从而是有界的, lim xn 存在.91 1 1 1 设 lim xn  a ( 1) 对 xn 1  ( xn  ) 的两边取极限, 有 a  (a  ) ,即 a 2  1, a  1 , n  2 xn 2 aa  1 不合题意,舍去.从而 lim xn  1 .n 3.147利用施托斯（Stolz）定理求极限施托斯（Stolz）定理 设 （1） yn1  yn (n  1, 2,3...); （2） lim yn  ; （3） limn n xn 1  xn  l, 则 yn 1  ynx l i m n  l    l    . n  y n例 20 已知 lim an  a ,证明 limn n a1  2a2    nan a  . n2 2证明令 xn  a1  2a2    nan , yn  n2 ,则limn nan xn  xn 1 n a  lim 2  lim an = . 2 n  n  yn  yn 1 n  (n  1) 2 2n  1根据施托斯(Stolz)定理,有lim a1  2a2    nan x a  lim n  . 2 n  n  y n 2 n4 结束语以上论文论述了求函数极限的多种方法 , 对于具体问题要具体分析 .在解题中善与 归纳思路和方法,在深入分析和研究过程中不断提高自己分析问题、解决问题的能力.使 用恰当的方法,以取得事半功倍的效果.10参考文献 [1] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2001: 42-51. [2] 刘玉涟. 数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社,1992. [3] 王竹英. 极限的求法[J]. 高校讲谈.2008. 36: 232-250. [4] 米翠兰.等价无穷小量在求极限中的应用[J]. 唐山师专学报.1999. [5] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,1993. [6] 郝祥晖, 李坤花. 极限的多种求法[J]. 宿州教育学院学报.2007. 10: 185-186. [7] 李克典,马云苓. 数学分析选讲[M]. 第一版. 厦门：厦门大学出版社,2006: 1-75.11

1 引言极限思想的产生对数学的发展产生了极大的推动作用 .数学分析研究的对象是函 数,研究函数的基本方法是极限.用极限方法研究函数的连续性、可微性、可积性,因此 熟练掌握极限的求法是学好数学分析乃至高等数学的基础和关键 .本文总结了函数极 限的多种求法并举出例子进行说明.1 2  预备知识2.1 x 趋于  时函数的极限定义 2.1 设 f ( x) 为定义在 [a, ) 上的函数, A 为定数.若对任给的   0 ,存在正数M ( a) 使得当 x  M 时有记作 lim f ( x )  Ax f ( x)  A   , 则称函数 f ( x) 当 x 趋于  时以 A 为极限 ,或f ( x)  A( x  ) .2.2 x 趋于 x0 时函数的极限定义 2.2 设函数 f ( x) 为在点 x0 的某个空心领域 U o ( x0； ' ) 内有定义, A 为定数. 若 对任给的   0 , 存在正数  (  ' ) , 使得当 0  x  x0   时有f ( x) 当 x 趋于 x0 时以 A 为极限,记作x  x0f ( x)  A   , 则称函数l i mf x( ) A或x) . f ( x)  A( x 02.3 函数的单侧极限定义 2.3 设函数 f ( x) 在 U o  ( x0； ' ) (或U o  ( x0 ;  ' )) 内有定义, A 为定数 . 若对任给 的   0 ,存在正数  (  ' ) ,使得当 x0  x  x0  （或x0 -  x  x0） 有 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于 x0  (或x0 ） 时的右(左)极限,记作x  x0 f ( x)  A   ,则称l i m f x( ) A ( lim f ( x)  A)x  x0右极限与左极限统称为单侧极限.13 函数极限的求法 3.1 利用初等函数的连续性求极限“由初等函数在其定义域内都是连续的”可知:若 x0 是初等函数 f ( x) 定义域内一点, 由 x0 点的连续性 lim f ( x)  f ( x0 ) ,则 lim f ( x)  f (lim x) .x  x0 x  x0 x  x0例1 求 lim cos[ln(1 x 2x 1 )]. x2解 由 y  cos u, u  ln v 的连续性,lim cos[ln(1 x 2x 1 2x 1 )]  cos[ln lim(1  2 )]  cos(ln1)  cos 0  1. 2 x  x x但当 x  x0 时 , 函数 f ( x) 在 x0 点是间断的 , 不能直接代入数值计算 , 应根据具体函 数的特性,对它进行适当地变形,设法消去分子、分母相同的无穷小量后,成为新的连续 函数,再利用函数连续性求出函数的极限. 例 2 求极限 lim ln(sin 2 x).x6 3 ln(sin 2 x)  ln(lim sin 2 x)  ln(sin )  ln . 解 lim   3 2 x x6 63.2 利用极限的运算法则求极限运用极限的运算法则求极限,条件是每项或每个因子极限存在才能用. 例 3 求 limx 4  3x  8 . x 2 2 x3  x 2  1 x 4  3 x  8 24  3  2  8 2  . = x 2 2 x3  x 2  1 13 13解 因 2  23  22  1 =13  0 则 lim0  对于“ ”、“ ”、“  ”等情况,不能直接用运算法则,必须用因式分解、 0 有理化分子或分母、三角函数有关公式以及变量代换等方法 ,对函数进行恒等变形以及 约去零因子,使各项极限都存在再利用运算法则求极限. 例4 求 lim 4x 0x . 1  2x 121 解 令 1  2 x  t 4 ,则 x  (t 4  1) ,当 x  0 时 t  1 ,于是 21 4 (t  1) x 1 = lim 2 lim 4  lim (t  1)(t 2  1)  2. x 0 1  2 x  1 t 1 t 1 2 t 13.32利用左右极限求极限当 x  x0 时函数 f ( x) 极限存在的充分必要条件是函数 f ( x) 在 x0 处的左、右极限存 在且相等. 说明：(1) 求分段函数在分段点处的极限一定要分析左、 右极限是否存在且等. (2) 当 函数 f ( x) 在 x0 处的左、右极限不相等时,函数 f ( x) 在 x0 处的极限一定不存在. x2 1 , x 1  例5 求函数 f ( x)   x  1 在分段点 x  1 处的极限. 2  x  2, x  1 f ( x )  lim 解 lim  x 1x 1x2 1  lim( x  1)  2 , x  1 x1x 1lim f ( x )  lim ( x 2  2)  3 , x 1 x 1 x 1 x 1f ( x) 故 lim f ( x) 不存在. 因为 lim f ( x)  lim  3.4  利用两个重要极限求极限31 sin x  1 和 lim(1  x) x  e 求极限时 , 往往要利用与其等价的变 x 0 x 0 x利用重要极限 lim 式, lim x  sinx 1 1  1 , lim(1  ) x  e ,有时也需要用三角公式、变量代换、倒代等方法对函 x  x x数进行变形,化成公式的标准形式 ,再利用重要极限公式来求极限 . 值得注意的是,能利 用重要极限求极限的问题,大部分也能用洛必达法则解决 ,选用什么方法视具体情况而 定. 例6 求 limtan x  sin x . x 0 sin 3 x3x x 2 sin 2 1 tan x  sin x 1  cos x 2  1. 解 lim  lim  lim 3 2 x 0 x 0 cos x sin x x 0 2 cos x x 2 sin x ( ) sin 2 x 2 2例 7 求 lim(1   x) x （  为给定实数）.x 01解 lim(1   x) x  lim[(1   x)  x ]  e .x 0 x 011例 8 求 limxcos x x22.解 令xt2,则x2时相当于 t  0, 于是cos(  t ) cos x sin t 2 lim  lim   lim  1.  t  0 t  0  t t x x  2 2对于无穷多项的和或无穷多个因子积的极限,常用恒等变形化为有限项的和或有限 个因子积的极限.1 1 1 例 9 求极限 lim[  … ]n . n  1  2 23 n(n  1)由于底是无穷多项和,因此要“裂项”将底化为有限项的形式,得不等式 小的积为无穷小这一性质求极限时,关键是合理选择谁是有界变 量,并掌握一定的缩放方法和技巧. 例 10 求 lim (sin 1  x  sin x ) .x 4解x lim (sin 1  x  sin x )  2 lim cosx 1 x  x 1 x  x ,其中 sin 2 21 x  x 1  2 2( 1  x  x )2 cos1 x  x 1 x  x   2 是有界量,而 sin 2 2这样由于 lim1 x  x 1 是无穷小.故  0 ,所以,当 x   时, sin x  2( 1  x  2 x)x lim （sin 1  x -sin x）=0.3.64利用等价无穷小代换求极限'  ' lim  lim 存在 , 则 '  '在自变量的同一变化过程中,若  ~  ' ,  ~  ' , 且 lim掌握一些常见的等价无穷小,利用等价无穷小代换,可以对函数进行化简.作无穷小 代换时,只能对无穷小是因式积的形式代换,无穷小是代数和的形式则不能轻易作代换, 必须化为因式积的形式. 一些常见的等价无穷小： 当 x  0 时, sin x ~ x, tan x ~ x, arcsin x ~ x, arctan x ~ x,1  cos x ~a x  1 ~ x ln a, e x  1 ~ x 等.x2 , ln(1  x) ~ x 2例 11 求 limtan x  sin x . x 0 x 2 ln(1  x)解limx 0tan x  sin x tan x(1  cos x) = lim 2 x  0 x ln(1  x) x 2 ln(1  x) x2 , ln(1  x) ~  x ,上式用等价无穷小代换得 2由于当 x  0 时 tan x ~ x , 1  cos x ~x2 tan x(1  cos x) tan x(1  cos x) 1 lim = lim = lim 2 2   . 2 2 x 0 x 0 x 0 x (  x ) x ln(1  x) x ln(1  x) 2 x例 12 求 limsin mx (m, n  Z ). x  sin nx5解 x  时 , sin nx  0 , sin mx  0 但 x 不是无穷小, 因此 sin mx 与 mx 不是等价无 穷小, sin nx 与 nx 也不是等价无穷小. 令 x    t , 则 x  时, t  0 ,故 sin mt ~ mt , sin nt ~ nt 因此limsin m(  t ) m sin mx  cos m  sin mt mt = lim = lim = (1) m n lim  (1) m  n  . t 0 sin n(  t ) t 0 nt x  sin nx t 0  cos n  sin nt n3.7 利用夹逼准则求极限在自变量的某一变化过程中,若 g ( x)  f ( x)  h( x) , g ( x)  A , h( x)  A ( A为常数) 则一定有 f ( x)  A. 用夹逼准则求极限,关键在于视具体问题选择灵活的方法对变量进行合理的缩放. 例 13 求 limx  cos x . x  x 1 cosx 1    , 对于 x x x解 因为 x   , 故可以考虑 x  0 ; 而由于 1  cos x  1,可得 此式可以变换为1 1 cos x 1 1  ( )  1   1   1 . x x x x 1 1 由 lim (1  )  lim (1  )  1. 依据夹逼准则得到 x  x  x x x  cos x lim  1. x  x3.85利用拉格朗日中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理,它利用函数的局部性质来研究函数的 整体性质,其应用十分广泛.可以应用拉格朗日中值定理求极限． 例 14 求 lim n2 (arctann a a  arctan ). n n 1解 对 f ( x)  arctan x 在上用拉格朗日中值定理,得1 a a  a   n   .  2 1   n n  (n  1)  n  1 n=6因为 lim  n  0 ,所以 lim n2 (arctann n a a  arctan )= n n 13.9 利用洛必达法则求极限设(1)当 时,函数 f ( x) 及 F ( x) 趋于零;(2)在点 a 的某空心邻域内, f ' ( x) 及f ' ( x) 存在.则有 F ' ( x)limx aF ' ( x) 都存在且 F ' ( x)  0 ;(3) limx af ( x) f ' ( x)  lim ' F ( x) x a F ( x)0  对于基本不定式 n     n n n n n nnk 1k 1  . n n8令 f ( x)  x , 0  x  1 它是 n 等分区间  0,1 ,  k 取 [k 1 k , ] 的右端点构成的积分 n nn x  1 k 1 2    xdx  . 0 n n 3和.已知函数 f ( x)  x 在  0,1 可积,于是由定积分定义有 lim k 13.126利用数项级数收敛的必要性求极限数项级数  un 收敛的必要条件是 lim un  0 ,从而求某些数列的极限可以转化为判n 1n 断某些相应数项级数的收敛性. 例 18 求 lim2n n ! . n  n n解 设 un = 2n n ! 2n n ! u 2 2 , 考察正项级数 .由于 lim n 1 = lim   1,  n n n  n u n n (1  1 ) n e k 1 n n故级数 2n n ! 2n n ! lim 0. 收敛 . 因此 , n n  n n n 1 n3.13 利用单调有界性准则求极限单调有界定理：在实数系中,有界的单调数列必有极限.1 1 例 19 x1  2, xn 1  ( xn  )(n  N ) 证明数列  xn  有极限,并求 lim xn . n  2 xn证明 先证 n  N , xn  1 . （1） n  1 时, x1  2  1 ,结论成立；1 1 1 （ 2 ） 设 n  k 时 , xk  1 , 当 n  k  1 时 , xk 1  ( xk  )   2  1 , 因 此 2 xk 2n  N , xn  1 ；再证 { xn } 单调减少.由 n  N ,xn 1 1 1 1 1      1 .有 xn 1  xn ,即 { xn } 单调减少. 由以上两方面的 2 xn 2 2 xn 2 2n 证明,得数列 { xn } 是单调减少且有下界,从而是有界的, lim xn 存在.91 1 1 1 设 lim xn  a ( 1) 对 xn 1  ( xn  ) 的两边取极限, 有 a  (a  ) ,即 a 2  1, a  1 , n  2 xn 2 aa  1 不合题意,舍去.从而 lim xn  1 .n 3.147利用施托斯（Stolz）定理求极限施托斯（Stolz）定理 设 （1） yn1  yn (n  1, 2,3...); （2） lim yn  ; （3） limn n xn 1  xn  l, 则 yn 1  ynx l i m n  l    l    . n  y n例 20 已知 lim an  a ,证明 limn n a1  2a2    nan a  . n2 2证明令 xn  a1  2a2    nan , yn  n2 ,则limn nan xn  xn 1 n a  lim 2  lim an = . 2 n  n  yn  yn 1 n  (n  1) 2 2n  1根据施托斯(Stolz)定理,有lim a1  2a2    nan x a  lim n  . 2 n  n  y n 2 n4 结束语以上论文论述了求函数极限的多种方法 , 对于具体问题要具体分析 .在解题中善与 归纳思路和方法,在深入分析和研究过程中不断提高自己分析问题、解决问题的能力.使 用恰当的方法,以取得事半功倍的效果.10参考文献 [1] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2001: 42-51. [2] 刘玉涟. 数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社,1992. [3] 王竹英. 极限的求法[J]. 高校讲谈.2008. 36: 232-250. [4] 米翠兰.等价无穷小量在求极限中的应用[J]. 唐山师专学报.1999. [5] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,1993. [6] 郝祥晖, 李坤花. 极限的多种求法[J]. 宿州教育学院学报.2007. 10: 185-186. [7] 李克典,马云苓. 数学分析选讲[M]. 第一版. 厦门：厦门大学出版社,2006: 1-75.11