教学重点：了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分． 教学过程：
一．导读
1．定积分的定义
如果函数f (x ) 在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0
n
成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，„，n ) ，当n →∞时，和式∑
i ＝1b －a n
f (ξi ) 无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x ) 在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎛b f(x)d x ，即⎠a
b －a f(x)d x ＝lim ξi ) ，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区∑⎛n→∞n ⎠i ＝1b a n
间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)d x 叫做被积式．
2．定积分的几何意义
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎛b f(x)d x 表示由直线x ＝a ，⎠a
x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分) ，这就是定积分⎛b f(x)d x ⎠a
的几何意义．
3．定积分的性质
(1)⎛b kf(x)d x ＝k b f(x)d x(k为常数) ； ⎠a
⎠a
⎠a a (2)⎛b [f1(x)±f2(x)]d x ＝⎛b f 1(x)d x±b 2(x)d x ； ⎠a a (3)⎛b f(x)d x ＝⎛c d x ＋⎛b d x(其中a ＜c ＜b) ． ⎠a ⎠c
质疑探究：你能用定积分的几何意义解释性质(3)吗？
提示：如图所示，设在区间[a，b]上恒有f(x)≥0，c 是区间(a，b) 内的一点，那么从几何图形上
看，直线x ＝c 把大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此，大曲边梯形的面积S 是两个
小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2，用定积分表示就是性质(3)．
4．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么⎛b f(x)d x ＝F(b)－F(a)． ⎠a
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式．
(2)几种典型的曲边梯形面积的计算方法：
①由三条直线x ＝a 、x ＝b(a＜b) 、y ＝0，一条曲线y ＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲
边梯形(如图) 的面积：
S ＝⎛b f (x )d x . ⎠a
②由三条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b ) 、y ＝0，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)围成的曲
边梯形(如图) 的面积：
S ＝|⎛b f (x )d x |＝－⎛b f (x )d x . ⎠a ⎠a
③由两条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b ) 、两条曲线y ＝f (x ) 、y ＝g (x )(f (x )≥g (x )) 围成的曲边梯形(如 图) 的面积：
S ＝⎛b [f (x ) －g (x )]dx . ⎠a
二. 导思、导研
【探究一】利用微积分基本定理求定积分
【例1】利用微积分基本定理求下列定积分： (1) ⎰1(x +x -2) dx (2)⎰0(sinx -cos 2x ) dx （3）⎰04-x 2dx 3412π22
【探究二】利用定积分求平面图形的面积
2【例2】 (2010年山东潍坊模拟) 由抛物线y ＝x －1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积是________．
【探究三】定积分在物理方面的应用
1【例3】 一物体做变速直线运动，其vt 曲线如图所示，则该物体在
s ～6 s 间的运动路程为________． 2
变式探究3：一物体以v ＝3t 2＋10t ＋3的速度沿直线运动，则该物体开始运动后5秒内所经过的路
程s 为________米．(速度单位：米/秒，路程单位：米)
三．提升总结
1. 利用微积分基本定理求定积分
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．
2. 利用定积分求曲边梯形面积的步骤：
(1)画出曲线的草图．
(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．
(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．
(4)计算定积分，写出答案．
3. 定积分在物理方面的应用主要包括：
①求变速直线运动的路程；
②求变力所做的功．
导练
1．下列积分的值等于1的是
⎛1⎛1A. ⎜x d x B. ⎜(x ＋1)d x ⎜⎜⎠0⎠0 ( )
11⎛1C. ⎛x ⎜1 dx D. ⎜⎜⎜2⎠⎠001x 2．(2011·福建) ⎛ ⎜(e＋2x )d x 等于 ( ) ．⎜⎠0
A ．1 B ．e －1 C．e D ．e ＋1
ππ湖南) 由直线x ＝－x y ＝0与曲线y ＝cos 3．(2011·33
x 所围成的封闭图形的面积为 ( ) ． 13A. B ．1 C. D. 3 22
4．(人教A 版教材习题改编) 汽车以v ＝(3t ＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________．
5. 给出如下命题：
①⎛a d x ＝⎛b d x ＝b －a (a ，b 为常数且a
π②⎛0－11－x 2d x ＝⎛11－x 2d x ＝ ⎠4⎠0
③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域的面积之和为2.
其中正确命题的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
答案：
例1.
思路点拨：正确求出被积函数的原函数，再用微积分基本定理求解． 22解：(1)⎛⎜(x＋2x ＋1) d x ⎠1 2222⎛⎛⎛＝x d x ＋2x d x ＋1d x ⎜⎜⎜⎠1⎠1⎠1 3x 192222 ＝1＋x |1＋x|1＝. 33
π ⎛πsin xd x －⎛πcos xd x (2)⎛(sin x－cos x)d x ＝⎜⎜⎜ ⎠0⎠0⎠0 ＝(－cos x)|0π－sin x|0π＝2.
例2.
思路点拨：画出图象，求出抛物线与x 轴的交点，然后用定积分求面积． 解析：抛物线y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0) 和(1,0)，如图， 2221⎛所求面积S ＝(x－1) d x ＋(1－x ) d x －1⎛ ⎜⎠⎠1 118 ＝(3－x)|12＋(x－3)|－11＝333
8答案： 3
例3.
变式
2325⎛解析：s ＝(3t ＋10t ＋3)d t ＝(t ＋5t ＋3t )|50＝265(米) ． ⎜⎠0 即该物体开始运动后5秒内所经过的路程是265米．
答案：265
导练
5.
1 解析：①错；对于②，两个积分都表示个单位圆的面积，即⎛1－x d x ＝⎛⎜⎠4 ⎠0 π22ππ 11－x d x ＝⎛sin x d x ＋∫π(－sin x)d x －⎜4⎠0
＝－cos x|0π＋cos x|π2π＝2＋2＝4，③错．故应选B .
教学重点：了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分． 教学过程：
一．导读
1．定积分的定义
如果函数f (x ) 在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0
n
成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，„，n ) ，当n →∞时，和式∑
i ＝1b －a n
f (ξi ) 无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x ) 在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎛b f(x)d x ，即⎠a
b －a f(x)d x ＝lim ξi ) ，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区∑⎛n→∞n ⎠i ＝1b a n
间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)d x 叫做被积式．
2．定积分的几何意义
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎛b f(x)d x 表示由直线x ＝a ，⎠a
x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分) ，这就是定积分⎛b f(x)d x ⎠a
的几何意义．
3．定积分的性质
(1)⎛b kf(x)d x ＝k b f(x)d x(k为常数) ； ⎠a
⎠a
⎠a a (2)⎛b [f1(x)±f2(x)]d x ＝⎛b f 1(x)d x±b 2(x)d x ； ⎠a a (3)⎛b f(x)d x ＝⎛c d x ＋⎛b d x(其中a ＜c ＜b) ． ⎠a ⎠c
质疑探究：你能用定积分的几何意义解释性质(3)吗？
提示：如图所示，设在区间[a，b]上恒有f(x)≥0，c 是区间(a，b) 内的一点，那么从几何图形上
看，直线x ＝c 把大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此，大曲边梯形的面积S 是两个
小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2，用定积分表示就是性质(3)．
4．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么⎛b f(x)d x ＝F(b)－F(a)． ⎠a
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式．
(2)几种典型的曲边梯形面积的计算方法：
①由三条直线x ＝a 、x ＝b(a＜b) 、y ＝0，一条曲线y ＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲
边梯形(如图) 的面积：
S ＝⎛b f (x )d x . ⎠a
②由三条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b ) 、y ＝0，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)围成的曲
边梯形(如图) 的面积：
S ＝|⎛b f (x )d x |＝－⎛b f (x )d x . ⎠a ⎠a
③由两条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b ) 、两条曲线y ＝f (x ) 、y ＝g (x )(f (x )≥g (x )) 围成的曲边梯形(如 图) 的面积：
S ＝⎛b [f (x ) －g (x )]dx . ⎠a
二. 导思、导研
【探究一】利用微积分基本定理求定积分
【例1】利用微积分基本定理求下列定积分： (1) ⎰1(x +x -2) dx (2)⎰0(sinx -cos 2x ) dx （3）⎰04-x 2dx 3412π22
【探究二】利用定积分求平面图形的面积
2【例2】 (2010年山东潍坊模拟) 由抛物线y ＝x －1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积是________．
【探究三】定积分在物理方面的应用
1【例3】 一物体做变速直线运动，其vt 曲线如图所示，则该物体在
s ～6 s 间的运动路程为________． 2
变式探究3：一物体以v ＝3t 2＋10t ＋3的速度沿直线运动，则该物体开始运动后5秒内所经过的路
程s 为________米．(速度单位：米/秒，路程单位：米)
三．提升总结
1. 利用微积分基本定理求定积分
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．
2. 利用定积分求曲边梯形面积的步骤：
(1)画出曲线的草图．
(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．
(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．
(4)计算定积分，写出答案．
3. 定积分在物理方面的应用主要包括：
①求变速直线运动的路程；
②求变力所做的功．
导练
1．下列积分的值等于1的是
⎛1⎛1A. ⎜x d x B. ⎜(x ＋1)d x ⎜⎜⎠0⎠0 ( )
11⎛1C. ⎛x ⎜1 dx D. ⎜⎜⎜2⎠⎠001x 2．(2011·福建) ⎛ ⎜(e＋2x )d x 等于 ( ) ．⎜⎠0
A ．1 B ．e －1 C．e D ．e ＋1
ππ湖南) 由直线x ＝－x y ＝0与曲线y ＝cos 3．(2011·33
x 所围成的封闭图形的面积为 ( ) ． 13A. B ．1 C. D. 3 22
4．(人教A 版教材习题改编) 汽车以v ＝(3t ＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________．
5. 给出如下命题：
①⎛a d x ＝⎛b d x ＝b －a (a ，b 为常数且a
π②⎛0－11－x 2d x ＝⎛11－x 2d x ＝ ⎠4⎠0
③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域的面积之和为2.
其中正确命题的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
答案：
例1.
思路点拨：正确求出被积函数的原函数，再用微积分基本定理求解． 22解：(1)⎛⎜(x＋2x ＋1) d x ⎠1 2222⎛⎛⎛＝x d x ＋2x d x ＋1d x ⎜⎜⎜⎠1⎠1⎠1 3x 192222 ＝1＋x |1＋x|1＝. 33
π ⎛πsin xd x －⎛πcos xd x (2)⎛(sin x－cos x)d x ＝⎜⎜⎜ ⎠0⎠0⎠0 ＝(－cos x)|0π－sin x|0π＝2.
例2.
思路点拨：画出图象，求出抛物线与x 轴的交点，然后用定积分求面积． 解析：抛物线y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0) 和(1,0)，如图， 2221⎛所求面积S ＝(x－1) d x ＋(1－x ) d x －1⎛ ⎜⎠⎠1 118 ＝(3－x)|12＋(x－3)|－11＝333
8答案： 3
例3.
变式
2325⎛解析：s ＝(3t ＋10t ＋3)d t ＝(t ＋5t ＋3t )|50＝265(米) ． ⎜⎠0 即该物体开始运动后5秒内所经过的路程是265米．
答案：265
导练
5.
1 解析：①错；对于②，两个积分都表示个单位圆的面积，即⎛1－x d x ＝⎛⎜⎠4 ⎠0 π22ππ 11－x d x ＝⎛sin x d x ＋∫π(－sin x)d x －⎜4⎠0
＝－cos x|0π＋cos x|π2π＝2＋2＝4，③错．故应选B .