什么是蝴蝶定理？如何证明蝴蝶定理？
蝴蝶定理：在圆O中，CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦，连接CF、DE分别交AB于H、K，则有MK=MH。
已知：如图8-30乙所示。在圆O中，CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦，连接CF、DE分别交AB于H、K。
求证：MK=MH思路2：根据圆的对称性，作出弦心距；从三角形相似再推导出三角形相似，由四点共圆，推导出∠MOH=∠MOK是关键；各位读者:如果你是初中学生,又希望成为北京市著名中学-人大附中、四中、北师大实验中学、北师大二附中、八中的一员，你可以参加我开设的辅导班，你也可购买我主编的《初中几何1000问》、《初中代数1000问》、《初中物理1000问》、《初中化学1000问》教材。联系方式：手机：[1**********]，邮箱：[email protected].
证明：过O作OS⊥FC、OT⊥DE、连OH、OK、SM、MT，再连MO。
∵ AM=MB；
∴ OM⊥AB、∠AMO=∠BMO=90°；
在△FCM和△DEM中；
∠CMF=∠DME；（对顶角相等）；
∠MFC=∠MDE；（等弧对等圆周角）
∴ △FCM∽△DEM；（AA）
∴ ∠FCM=∠DEM ；
∵ FS=SC=½FC；DT=TE=½DE；
∴FS/FC =TD/ED ；
∵FC/ED = FM/MD
∴FS/FM = TD/MD
在△FSM和△DTM中；
∠MFS=∠MDT；（等弧对等圆周角）；
FS/FM = TD/MD ；
∴ △FSM∽△DTM；（SAS）
∠FSM=∠DTM；
∠MSH=∠MTK；
∵ ∠AMO=90°、∠HSO=90°；O、S、H、M四点共圆；
∴ ∠MSH=∠MOH；
∵ ∠BMO=90°、∠KTO=90°；O、T、K、M四点共圆；
∴ ∠MTK=∠MOK；
∴ ∠MOH=∠MOK；
在△MOH和△MOK中；
∠MOH=∠MOK；
MO=MO；
∠AMO=∠BMO=90°；
∴ △MOH≌△MOK；（ASA）
∴ MH=MK。
结论：作出弦心距是最有效的辅助线，本证法的出发点是证明△HOK是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性来证明最终的结论。该命题还有很多其他证法，不再赘述。
什么是蝴蝶定理？如何证明蝴蝶定理？
蝴蝶定理：在圆O中，CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦，连接CF、DE分别交AB于H、K，则有MK=MH。
已知：如图8-30乙所示。在圆O中，CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦，连接CF、DE分别交AB于H、K。
求证：MK=MH思路2：根据圆的对称性，作出弦心距；从三角形相似再推导出三角形相似，由四点共圆，推导出∠MOH=∠MOK是关键；各位读者:如果你是初中学生,又希望成为北京市著名中学-人大附中、四中、北师大实验中学、北师大二附中、八中的一员，你可以参加我开设的辅导班，你也可购买我主编的《初中几何1000问》、《初中代数1000问》、《初中物理1000问》、《初中化学1000问》教材。联系方式：手机：[1**********]，邮箱：[email protected].
证明：过O作OS⊥FC、OT⊥DE、连OH、OK、SM、MT，再连MO。
∵ AM=MB；
∴ OM⊥AB、∠AMO=∠BMO=90°；
在△FCM和△DEM中；
∠CMF=∠DME；（对顶角相等）；
∠MFC=∠MDE；（等弧对等圆周角）
∴ △FCM∽△DEM；（AA）
∴ ∠FCM=∠DEM ；
∵ FS=SC=½FC；DT=TE=½DE；
∴FS/FC =TD/ED ；
∵FC/ED = FM/MD
∴FS/FM = TD/MD
在△FSM和△DTM中；
∠MFS=∠MDT；（等弧对等圆周角）；
FS/FM = TD/MD ；
∴ △FSM∽△DTM；（SAS）
∠FSM=∠DTM；
∠MSH=∠MTK；
∵ ∠AMO=90°、∠HSO=90°；O、S、H、M四点共圆；
∴ ∠MSH=∠MOH；
∵ ∠BMO=90°、∠KTO=90°；O、T、K、M四点共圆；
∴ ∠MTK=∠MOK；
∴ ∠MOH=∠MOK；
在△MOH和△MOK中；
∠MOH=∠MOK；
MO=MO；
∠AMO=∠BMO=90°；
∴ △MOH≌△MOK；（ASA）
∴ MH=MK。
结论：作出弦心距是最有效的辅助线，本证法的出发点是证明△HOK是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性来证明最终的结论。该命题还有很多其他证法，不再赘述。