[理科]立体几何

【理科】立体几何专题复习【基础训练】

1. 关于直线, m 及平面α, β, 下列命题中正确的是

A ．若l //α, α⋂β=m , 则l //m C ．若l //α, m //α, 则l //m

B ．若l ⊥α, l //β, 则α⊥β D ．若l //α, m ⊥l , 则m ⊥α

（ B ）

2. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等, 圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2, 则

S 1:S 23. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm , 如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等, 那么这个圆锥的母线

长为_____________cm .

4. 如图:已知各顶点都在半球面上的正三棱锥S —ABC, 若AB=a , 则该三棱锥的体积为__.

5. 已知A , B , C 是球面上三点, 且AB =

AC =4cm , ∠BAC =90 , 若球心O 到平面ABC

的距离为则

该球的表面积为_____64π_____cm .[来源:学§科§网]

6. 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器, 已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为45, 容器的高为

10cm, 制作该容器需要____2π___ cm的铁皮

7. 将边长为2的正方形沿对角线AC 折起, 以A , B , C , D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于

_____

________. 3

⎧⎪-x 2, x ∈[-1, 0)

8. 设函数f (x ) =⎨, 则将y =f (x ) 的曲线绕x 轴旋转一周所得

⎪⎩1-x , x ∈[0, 1]

几何体的体积为______π______.

【例题精选】

【例1】如图，已知圆锥的底面半径为r =10，点Q 为半圆弧 AB 的中

点，点P 为母线SA 的中点．若PQ 与SO 所成角为，求此圆锥的全

面积与体积．

【例2】如图, 已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上, AB 为圆O 的直径, OA =2, ∠AOP =120︒, 三棱锥

A 1-APB 的体积为

. (1)求圆柱OO 1的表面积;(2)求异面直线A 1B 与OP 所成角的大小

【例3】如图, 已知ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱, 它的底面边长和侧棱长都是2, D 为侧棱CC 1的中点.

(1)求异面直线A 1D 与BC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)求直线A 1B 1到平面DAB 的距离.

C 1

A 1

解:(1)方法一:

以A 1B 1中点O 为坐标原点, 如图建立空间直角坐标系 [来源:学。科。网

]

由题意得

A 1(

1,0,0), D (, B (

-1,2,0), C (

则 A (

1D =-, BC =(

设θ为向量 A

与BC 的夹角, 则

cos θ==

C 1

B 1E

A 1

异面直线A BC 所成角的大小为arccos 1D 与

方法二:取B 1B 中点E , 连结A 1E , DE .

DE //CB ∴∠A 1DE (或其补角) 为异面直线A 1D 与BC 所成的角

由题意得: 在Rt ∆A 1B 1E 中

, A 11D 中

, A 1E =; 在Rt ∆AC 1D =DE

= cos ∠A DE =在等腰三角形A 中

, DE 11

A 1D BC 所以异面直线A 与所成角的大小为

D arccos 1

(2)方法一:

由题意可得A 1B 1//平面ABD ,

所以, A 1B 1到平面DAB 的距离即为A 1到平面DAB 的距离, 设为h

设平面ABD 的法向量为n , n =(x , y ,1),

由A 1(1,0,0),A (

1,2,0), D , B (-1,2,0)得

AB =(

-2，0，0)，AD =(

-1，-，

A D =(-,

(

⎧⎧⎧x =0⎪AB ⋅n =0⎪-2x =0⎪

⇒⎨⇒⎨⎨

⎪AD ⋅n =0⎪⎩-x -y 0⎪⎩y =⎩

n ⋅A 1D ,

即n = 所以

h === n

()

故直线A 1B 1到平面DAB

方法二: 由题意可得A 1B 1//平面ABD ,

所以, A 1B 1到平面DAB 的距离即为A 1到平面DAB 的距离, 设为h

∆ADB 底边AB

=2, 由题意得A 1D =AD =BD =AB =2, 等腰

则且D 到平

S ∆ABD =

⋅2⋅2=2, 2

S ∆AA 1B =2,

面ABB 1A

1由V A 1-ABD =V D -A 1AB 得

⋅S ∆ABD ⋅h =

S ∆A AB ,

则h =31

所以, 直线A 1B 1到平面DAB

【例4】在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E , F 分别为A 1B 1, CD 的中点.

(1)求直线EC 与平面B 1BCC 1所成角的大小; (2)求二面角E -AF -B 的大小

(1)(理) 解法一:建立坐标系平面B 1BCC 1的一个法向量为n 1=(0, 1, 0)

因为E (2, 1, 2) C (0, 2, 0) , ∴=(-2, 1, -2) , 可知直线EC 的一个方向向量为∴=(-2, 1, -2) . 设直线EC 与平面B 1BCC 1成角为θ, 与n 1所成角为ϕ, 则

sin θ=cos ϕ=

1⨯1

故EC 与平面B 1BCC 1成角大小为arcsin

(1)解法二:EB 1⊥平面B 1BCC 1, 即B 1C 为EC 在平面B 1BCC 1内的射影, 故∠ECB 1为直线EC 与．

平面B 1BCC 1所成角, 在

Rt ∆EB 1C

中,

EB 1=1, B 1C =22

故tan ∠ECB 1=

EB 112

B 1C 224

故EC 与平面B 1BCC 1成角大小为(2)解法一:建立坐标系. 平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0, 0, 1)

设平面AEF 的一个法向量为n 2=(x , y , z ) , 因为=(-2, 1, 0) , =(0, 1, 2) 所以⎨

⎧-2x +y =0

, 令x =1, 则y =2, z =-1⇒n

2=(1, 2, -1)

⎩y +2z =0

-1+4+1

=66

cos θ=

由图知二面角E -AF -B 为锐二面角, 故其大小为6. 6

解法二:过E 作平面ABC 的垂线, 垂足为E ', ∠EG E '即为所求

E '∈AB , 过E '作AF 的垂线设垂足为G , ∆ADF ∽∆AGE

G 'E AD G E '22

=⇒=即G E '= A E 'AF 15

在Rt ∆E E 'Q 中tan ∠EG E '=

E E '

= G E '

所以二面角E -AF -B 的大小为.

【例5】如图, 设计一个正四棱锥形冷水塔, 高是0. 85米, 底面的边长是1. 5米.

(1)求这个正四棱锥形冷水塔的容积;

(2)制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板? (精确到0. 01米)

解：

解:(1)如图正四棱锥底面的边长是1. 5米, 高是0. 85米

V =

sh =⨯1. 5⨯1. 5⨯0. 85=0. 6375m 3 所以这个四棱锥冷水塔的容积是0. 6375m 3. 33

(2)如图, 取底面边长的中点E , 连接SE , SE =

SO 2+EO 2=0. 852+0. 752

S 侧=4⨯⨯1. 5⨯SE =4⨯⨯1. 5⨯0. 852+0. 752≈3. 40m 2

答:制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板.

【课后作业】

1. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α垂直”是“直线l 与平面α内无数条直线垂直”的（ B ）

A . 充要条件 B . 充分非必要条件 C . 必要非充分条件 D . 既非充分又非必要条件 2. 下列四个命题中真命题是（ B ）（A ）同垂直于一直线的两条直线互相平行；

（B ）过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；（C ）底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱；（D ）过球面上任意两点的大圆有且只有一个。

3. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱上到异面直线AB , CC 1的距离相等的点的个数为．．4. 半径为r 的球的内接圆柱的最大侧面积为_____.2πr

5. 已知圆锥的母线长为5, 侧面积为15π, 则此圆锥的体积为______12π____(结果保留π).

6. 如图为一几何体的的展开图, 其中ABCD 是边长为6的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S,D,A,Q 及

P,D,C,R 共线, 沿图中虚线将它们折叠, 使P,Q ,R,S 四点重合, 则需要___24_____个这样的几何体, 就可以拼成一个棱长为12的正方体

7. 如图所示, 四棱锥P -ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的菱形, Q ∈棱PA , AC BD =O . 有下列命

题:

①若Q 是PA 的中点, 则PC //平面BDQ ;②若PB =PD , 则BD ⊥CQ ;

③若∆PAC 是正三角形, 则PO ⊥平面ABCD ;

④若PA =PC ，PB =PD =3, ∠ABC =60, 则四棱锥P -

ABCD 的体积为其中正确的命题是___ ①②④ _______.

第7题图

8. 一个圆锥的底面积为4π, 且该圆锥的母线与底面所成的角为

, 则该圆锥的侧面积为3

______8π_________.

9. 已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比

V 圆柱：V 球= (用数值作答) ．3

10. 已知正方体ABCD -A 点M 、N 分别是棱AB 、AA 1的中点，则异面直线MN 与BC 11BC 11D 1的棱长是3，

所成的角是．

11. 已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比

V 圆柱：V 球= (用数值作答) ．

12. 圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm

，则该圆锥的体积为 cm .

π 3

13. 已知直线m ⊥平面α，直线n 在平面β内，给出下列四个命题：①α//β⇒m ⊥n ；

②α⊥β⇒m //n ；③m ⊥n ⇒α//β；④m //n ⇒α⊥β，其中真命题的序号是【①，④】.

114. 如图, 正方体ABCD -A 1BC 11D 1的棱长为

A A 1

(1)求直线DB 与平面A 1BCD 1所成角的大小;(2)求四棱锥D -BCD 1A 1的体积.

解:(1)以D 为坐标原点, 分别以射线DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴, 建立空间直角坐标系, 如图所示.

则D (0, 0, 0) , B (1, 1, 0) , C (0, 1, 0) , D 1(0, 0, 1)

=(1, 1, 0) , =(-1, 0, 0) , 1=(0, -1, 1)

设=(x , y , z ) 是平面A 1BCD 1的法向量, 则

⎧⎧x =0⎪⋅=0

, 即⎨令z =1, 则=(0, 1, 1)

⎨

⎪⎩z -y =0⎩⋅CD 1=0

设直线DB 与平面A 1BCD 1所成角为θ, 则sin θ=由于0≤θ≤

, 所以θ=

即直线DB 与平面A 1BCD 1所成角的大小为

; 6

(2)由(1)得n 0=

11=(0, , )

222

1121sh =⨯⨯2= 3323

所以点D 到平面A 1BCD 1的距离d =|n 0⋅|=

因为四边形A 1BCD 1是矩形, 所以面积S =2 V D -BCD 1A 1=

15．已知正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1的底面边长为

2, AD 1

(1)求该四棱柱的侧面积与体积;

(2)若E 为线段A 1D 的中点, 求BE 与平面ABCD 所成角的大小.

D 1

C 1

A B 1 C

A B

AA 1=【解析】⑴根据题意可得:在Rt ∆AA 1D 中,

高

∴S =(2⨯2+2⨯3+2⨯3) ⨯2=32 V =2⨯2⨯3=12

⑵过E 作EF ⊥AD , 垂足为F , 连结BF , 则EF ⊥平面ABCD ,

∵BE ⊂平面ABCD , ∴EF ⊥BF

∴在Rt ∆BEF 中, ∠EBF 就是BE 与平面ABCD 所成的角

E 是A 1D 的中点, ∴EF 是∆AA 1D 的中位线, ∵EF ⊥AD , AA 1, 又1⊥AD , ∴EF ∥AA

∴EF =

AA 1= 在Rt ∆

AFB 中BF ==

∴tan ∠EBF =

∴∠EBF = =

16. 如图, PA ⊥平面ABCD , 矩形ABCD 的边长AB =1, BC =2, E 为BC 的中点.

(1)证明:PE ⊥DE ;

(2)如果PA =2, 求异面直线AE 与PD 所成的角的大小.

解:(1)连AE , 由AB =BE =1, 得AE =2, 同理

DE =2, ∴AE 2+DE 2=4=AD 2, 由勾股定理逆定理得∠AED =90︒, ∴DE ⊥AE

由PA ⊥平面A B C D , 得PA ⊥DE . 由DE ⊥AE , PA ⊥DE PA ⋂AE =A , 得DE ⊥平面PAE . ∴PE ⊥DE

(2)取PA 的中点M , AD 的中点N , 连MC 、NC 、MN 、AC . NC //AE , MN //PD ,∴∠MNC 的大小等于异面直线PD 与AE 所成的角或其补角的大小

PA =2AB =1BC =2由, , , 得

NC =MN =2, MC =6, ∴cos ∠MNC =

所成的角的大小为

2π1

. ∴异面直线PD 与AE =-, ∠MNC =322⋅2⋅2

2+2-6

=2, AB =1, E 是DD 1上的一点. ⑴求异面

注:用向量解相应给分.

17. 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 底面ABCD 是正方形, AA 1

直线AC 与B 1D 所成的角;

⑵若B 1D

⊥平面ACE , 求三棱锥A -CDE 的体积;

解：以D 为原点, DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系

⑴依题意, D (0 , 0 , 0) , A (1 , 0 , 0) , C (0 , 1 , 0) , B 1(1 , 1 , 2) , 所以AC =(-1 , 1 , 0) , DB 1=(1 , 1 , 2) 所以DB 1∙=0, 所以异面直线所成角为

⑵设E (0 , 0 , a ) , 则=(-1 , 0 , a )

因为B 1D ⊥平面ACE , AE ⊂平面ACE , 所以B 1D ⊥AE 所以DB 1∙=0, 所以-1+2a =0, a =

18. 如图:已知AB ⊥平面BCD , BC π 211111 所以V A -CDE =⨯⨯1⨯⨯1= 232212⊥CD , AD 与平面BCD 所成的角为30︒, 且AB =BC =2.(1)求

AD 与平面ABC 所成角的大小;(2)求点B 到平面ACD 的距离.

(本题满分12分, 第1小题满分6分, 第2小题满分6分)

解:(1)因为AB ⊥平面BCD , 所以AB ⊥CD , 又BC ⊥CD , 所以CD ⊥平面ABC , ∠DAC 就是AD 与平面ABC 所成的角

因为AB ⊥平面BCD , AD 与平面BCD 所成的角为30︒, 故∠ADB =30︒,

由AB =BC =2, 得AD =4, AC =22, 所以cos ∠DAC =

所以AD 与平面ABC 所成角的大小为45︒

(2)设点B 到平面ACD 的距离为d , 由(1)可得BD =2, CD =22, AC 2, =AD 2

则V A -BCD =1142, S ∆BCD ⋅AB =⋅BC ⋅CD ⋅AB =363

V B -ACD =114S ∆ACD ⋅d =⋅AC ⋅CD ⋅d =d 363

由V A -BCD =V B -ACD , 得d =

2. 所以点B 到平面ACD 的距离为2

19.. 如图, 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, ∠BAC =π, AB =AC =2, AA 1=6, 点E 、F 分别在棱2

AA 1、CC 1上, 且AE =C 1F =2.

(1)求四棱锥B -AEFC 的体积;

(2)求∆BEF 所在半平面与∆ABC 所在半平面所成二面角θ的余弦值.

C F

[来源:Z.xx.k.Com]

解:

(理) [解](1)V 1

B -AEFC ==3S =1

3⋅1

AEFC ⋅AB 2⋅(4+2) ⨯2⨯2=4

(2)建立如图所示的直角坐标系, 则

A (0, 0, 0) , B (0,2,0) , E (0,0,2), F (2,0,4),

EF =(2,0,2) , EB =(0,2, -2) 设平面BEF 的法向量为⎧⎪⎨n ⋅ EF =2x +2z =0

⎪ =2y -2z =0⇒取z =1得x =-1, y =1,

⎩n ⋅ EF

所以n =(-1,1,1)

平面ABC 的法向量为n (0,0,1),

则cos θ=n ⋅n

11=n ⋅n ==3

所以∆BEF 所在半平面与∆ABC 所在半平面所成二面角θ

n =(x , y , z ) , 则 12

【理科】立体几何专题复习【基础训练】

1. 关于直线, m 及平面α, β, 下列命题中正确的是

A ．若l //α, α⋂β=m , 则l //m C ．若l //α, m //α, 则l //m

B ．若l ⊥α, l //β, 则α⊥β D ．若l //α, m ⊥l , 则m ⊥α

（ B ）

2. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等, 圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2, 则

S 1:S 23. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm , 如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等, 那么这个圆锥的母线

长为_____________cm .

4. 如图:已知各顶点都在半球面上的正三棱锥S —ABC, 若AB=a , 则该三棱锥的体积为__.

5. 已知A , B , C 是球面上三点, 且AB =

AC =4cm , ∠BAC =90 , 若球心O 到平面ABC

的距离为则

该球的表面积为_____64π_____cm .[来源:学§科§网]

6. 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器, 已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为45, 容器的高为

10cm, 制作该容器需要____2π___ cm的铁皮

7. 将边长为2的正方形沿对角线AC 折起, 以A , B , C , D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于

_____

________. 3

⎧⎪-x 2, x ∈[-1, 0)

8. 设函数f (x ) =⎨, 则将y =f (x ) 的曲线绕x 轴旋转一周所得

⎪⎩1-x , x ∈[0, 1]

几何体的体积为______π______.

【例题精选】

【例1】如图，已知圆锥的底面半径为r =10，点Q 为半圆弧 AB 的中

点，点P 为母线SA 的中点．若PQ 与SO 所成角为，求此圆锥的全

面积与体积．

【例2】如图, 已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上, AB 为圆O 的直径, OA =2, ∠AOP =120︒, 三棱锥

A 1-APB 的体积为

. (1)求圆柱OO 1的表面积;(2)求异面直线A 1B 与OP 所成角的大小

【例3】如图, 已知ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱, 它的底面边长和侧棱长都是2, D 为侧棱CC 1的中点.

(1)求异面直线A 1D 与BC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)求直线A 1B 1到平面DAB 的距离.

C 1

A 1

解:(1)方法一:

以A 1B 1中点O 为坐标原点, 如图建立空间直角坐标系 [来源:学。科。网

]

由题意得

A 1(

1,0,0), D (, B (

-1,2,0), C (

则 A (

1D =-, BC =(

设θ为向量 A

与BC 的夹角, 则

cos θ==

C 1

B 1E

A 1

异面直线A BC 所成角的大小为arccos 1D 与

方法二:取B 1B 中点E , 连结A 1E , DE .

DE //CB ∴∠A 1DE (或其补角) 为异面直线A 1D 与BC 所成的角

由题意得: 在Rt ∆A 1B 1E 中

, A 11D 中

, A 1E =; 在Rt ∆AC 1D =DE

= cos ∠A DE =在等腰三角形A 中

, DE 11

A 1D BC 所以异面直线A 与所成角的大小为

D arccos 1

(2)方法一:

由题意可得A 1B 1//平面ABD ,

所以, A 1B 1到平面DAB 的距离即为A 1到平面DAB 的距离, 设为h

设平面ABD 的法向量为n , n =(x , y ,1),

由A 1(1,0,0),A (

1,2,0), D , B (-1,2,0)得

AB =(

-2，0，0)，AD =(

-1，-，

A D =(-,

(

⎧⎧⎧x =0⎪AB ⋅n =0⎪-2x =0⎪

⇒⎨⇒⎨⎨

⎪AD ⋅n =0⎪⎩-x -y 0⎪⎩y =⎩

n ⋅A 1D ,

即n = 所以

h === n

()

故直线A 1B 1到平面DAB

方法二: 由题意可得A 1B 1//平面ABD ,

所以, A 1B 1到平面DAB 的距离即为A 1到平面DAB 的距离, 设为h

∆ADB 底边AB

=2, 由题意得A 1D =AD =BD =AB =2, 等腰

则且D 到平

S ∆ABD =

⋅2⋅2=2, 2

S ∆AA 1B =2,

面ABB 1A

1由V A 1-ABD =V D -A 1AB 得

⋅S ∆ABD ⋅h =

S ∆A AB ,

则h =31

所以, 直线A 1B 1到平面DAB

【例4】在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E , F 分别为A 1B 1, CD 的中点.

(1)求直线EC 与平面B 1BCC 1所成角的大小; (2)求二面角E -AF -B 的大小

(1)(理) 解法一:建立坐标系平面B 1BCC 1的一个法向量为n 1=(0, 1, 0)

因为E (2, 1, 2) C (0, 2, 0) , ∴=(-2, 1, -2) , 可知直线EC 的一个方向向量为∴=(-2, 1, -2) . 设直线EC 与平面B 1BCC 1成角为θ, 与n 1所成角为ϕ, 则

sin θ=cos ϕ=

1⨯1

故EC 与平面B 1BCC 1成角大小为arcsin

(1)解法二:EB 1⊥平面B 1BCC 1, 即B 1C 为EC 在平面B 1BCC 1内的射影, 故∠ECB 1为直线EC 与．

平面B 1BCC 1所成角, 在

Rt ∆EB 1C

中,

EB 1=1, B 1C =22

故tan ∠ECB 1=

EB 112

B 1C 224

故EC 与平面B 1BCC 1成角大小为(2)解法一:建立坐标系. 平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0, 0, 1)

设平面AEF 的一个法向量为n 2=(x , y , z ) , 因为=(-2, 1, 0) , =(0, 1, 2) 所以⎨

⎧-2x +y =0

, 令x =1, 则y =2, z =-1⇒n

2=(1, 2, -1)

⎩y +2z =0

-1+4+1

=66

cos θ=

由图知二面角E -AF -B 为锐二面角, 故其大小为6. 6

解法二:过E 作平面ABC 的垂线, 垂足为E ', ∠EG E '即为所求

E '∈AB , 过E '作AF 的垂线设垂足为G , ∆ADF ∽∆AGE

G 'E AD G E '22

=⇒=即G E '= A E 'AF 15

在Rt ∆E E 'Q 中tan ∠EG E '=

E E '

= G E '

所以二面角E -AF -B 的大小为.

【例5】如图, 设计一个正四棱锥形冷水塔, 高是0. 85米, 底面的边长是1. 5米.

(1)求这个正四棱锥形冷水塔的容积;

(2)制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板? (精确到0. 01米)

解：

解:(1)如图正四棱锥底面的边长是1. 5米, 高是0. 85米

V =

sh =⨯1. 5⨯1. 5⨯0. 85=0. 6375m 3 所以这个四棱锥冷水塔的容积是0. 6375m 3. 33

(2)如图, 取底面边长的中点E , 连接SE , SE =

SO 2+EO 2=0. 852+0. 752

S 侧=4⨯⨯1. 5⨯SE =4⨯⨯1. 5⨯0. 852+0. 752≈3. 40m 2

答:制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板.

【课后作业】

1. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α垂直”是“直线l 与平面α内无数条直线垂直”的（ B ）

3. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱上到异面直线AB , CC 1的距离相等的点的个数为．．4. 半径为r 的球的内接圆柱的最大侧面积为_____.2πr

5. 已知圆锥的母线长为5, 侧面积为15π, 则此圆锥的体积为______12π____(结果保留π).

6. 如图为一几何体的的展开图, 其中ABCD 是边长为6的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S,D,A,Q 及

P,D,C,R 共线, 沿图中虚线将它们折叠, 使P,Q ,R,S 四点重合, 则需要___24_____个这样的几何体, 就可以拼成一个棱长为12的正方体

7. 如图所示, 四棱锥P -ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的菱形, Q ∈棱PA , AC BD =O . 有下列命

题:

①若Q 是PA 的中点, 则PC //平面BDQ ;②若PB =PD , 则BD ⊥CQ ;

③若∆PAC 是正三角形, 则PO ⊥平面ABCD ;

④若PA =PC ，PB =PD =3, ∠ABC =60, 则四棱锥P -

ABCD 的体积为其中正确的命题是___ ①②④ _______.

第7题图

8. 一个圆锥的底面积为4π, 且该圆锥的母线与底面所成的角为

, 则该圆锥的侧面积为3

______8π_________.

9. 已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比

V 圆柱：V 球= (用数值作答) ．3

10. 已知正方体ABCD -A 点M 、N 分别是棱AB 、AA 1的中点，则异面直线MN 与BC 11BC 11D 1的棱长是3，

所成的角是．

11. 已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比

V 圆柱：V 球= (用数值作答) ．

12. 圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm

，则该圆锥的体积为 cm .

π 3

13. 已知直线m ⊥平面α，直线n 在平面β内，给出下列四个命题：①α//β⇒m ⊥n ；

②α⊥β⇒m //n ；③m ⊥n ⇒α//β；④m //n ⇒α⊥β，其中真命题的序号是【①，④】.

114. 如图, 正方体ABCD -A 1BC 11D 1的棱长为

A A 1

(1)求直线DB 与平面A 1BCD 1所成角的大小;(2)求四棱锥D -BCD 1A 1的体积.

解:(1)以D 为坐标原点, 分别以射线DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴, 建立空间直角坐标系, 如图所示.

则D (0, 0, 0) , B (1, 1, 0) , C (0, 1, 0) , D 1(0, 0, 1)

=(1, 1, 0) , =(-1, 0, 0) , 1=(0, -1, 1)

设=(x , y , z ) 是平面A 1BCD 1的法向量, 则

⎧⎧x =0⎪⋅=0

, 即⎨令z =1, 则=(0, 1, 1)

⎨

⎪⎩z -y =0⎩⋅CD 1=0

设直线DB 与平面A 1BCD 1所成角为θ, 则sin θ=由于0≤θ≤

, 所以θ=

即直线DB 与平面A 1BCD 1所成角的大小为

; 6

(2)由(1)得n 0=

11=(0, , )

222

1121sh =⨯⨯2= 3323

所以点D 到平面A 1BCD 1的距离d =|n 0⋅|=

因为四边形A 1BCD 1是矩形, 所以面积S =2 V D -BCD 1A 1=

15．已知正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1的底面边长为

2, AD 1

(1)求该四棱柱的侧面积与体积;

(2)若E 为线段A 1D 的中点, 求BE 与平面ABCD 所成角的大小.

D 1

C 1

A B 1 C

A B

AA 1=【解析】⑴根据题意可得:在Rt ∆AA 1D 中,

高

∴S =(2⨯2+2⨯3+2⨯3) ⨯2=32 V =2⨯2⨯3=12

⑵过E 作EF ⊥AD , 垂足为F , 连结BF , 则EF ⊥平面ABCD ,

∵BE ⊂平面ABCD , ∴EF ⊥BF

∴在Rt ∆BEF 中, ∠EBF 就是BE 与平面ABCD 所成的角

E 是A 1D 的中点, ∴EF 是∆AA 1D 的中位线, ∵EF ⊥AD , AA 1, 又1⊥AD , ∴EF ∥AA

∴EF =

AA 1= 在Rt ∆

AFB 中BF ==

∴tan ∠EBF =

∴∠EBF = =

16. 如图, PA ⊥平面ABCD , 矩形ABCD 的边长AB =1, BC =2, E 为BC 的中点.

(1)证明:PE ⊥DE ;

(2)如果PA =2, 求异面直线AE 与PD 所成的角的大小.

解:(1)连AE , 由AB =BE =1, 得AE =2, 同理

DE =2, ∴AE 2+DE 2=4=AD 2, 由勾股定理逆定理得∠AED =90︒, ∴DE ⊥AE

由PA ⊥平面A B C D , 得PA ⊥DE . 由DE ⊥AE , PA ⊥DE PA ⋂AE =A , 得DE ⊥平面PAE . ∴PE ⊥DE

(2)取PA 的中点M , AD 的中点N , 连MC 、NC 、MN 、AC . NC //AE , MN //PD ,∴∠MNC 的大小等于异面直线PD 与AE 所成的角或其补角的大小

PA =2AB =1BC =2由, , , 得

NC =MN =2, MC =6, ∴cos ∠MNC =

所成的角的大小为

2π1

. ∴异面直线PD 与AE =-, ∠MNC =322⋅2⋅2

2+2-6

=2, AB =1, E 是DD 1上的一点. ⑴求异面

注:用向量解相应给分.

17. 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 底面ABCD 是正方形, AA 1

直线AC 与B 1D 所成的角;

⑵若B 1D

⊥平面ACE , 求三棱锥A -CDE 的体积;

解：以D 为原点, DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系

⑴依题意, D (0 , 0 , 0) , A (1 , 0 , 0) , C (0 , 1 , 0) , B 1(1 , 1 , 2) , 所以AC =(-1 , 1 , 0) , DB 1=(1 , 1 , 2) 所以DB 1∙=0, 所以异面直线所成角为

⑵设E (0 , 0 , a ) , 则=(-1 , 0 , a )

因为B 1D ⊥平面ACE , AE ⊂平面ACE , 所以B 1D ⊥AE 所以DB 1∙=0, 所以-1+2a =0, a =

18. 如图:已知AB ⊥平面BCD , BC π 211111 所以V A -CDE =⨯⨯1⨯⨯1= 232212⊥CD , AD 与平面BCD 所成的角为30︒, 且AB =BC =2.(1)求

AD 与平面ABC 所成角的大小;(2)求点B 到平面ACD 的距离.

(本题满分12分, 第1小题满分6分, 第2小题满分6分)

解:(1)因为AB ⊥平面BCD , 所以AB ⊥CD , 又BC ⊥CD , 所以CD ⊥平面ABC , ∠DAC 就是AD 与平面ABC 所成的角

因为AB ⊥平面BCD , AD 与平面BCD 所成的角为30︒, 故∠ADB =30︒,

由AB =BC =2, 得AD =4, AC =22, 所以cos ∠DAC =

所以AD 与平面ABC 所成角的大小为45︒

(2)设点B 到平面ACD 的距离为d , 由(1)可得BD =2, CD =22, AC 2, =AD 2

则V A -BCD =1142, S ∆BCD ⋅AB =⋅BC ⋅CD ⋅AB =363

V B -ACD =114S ∆ACD ⋅d =⋅AC ⋅CD ⋅d =d 363

由V A -BCD =V B -ACD , 得d =

2. 所以点B 到平面ACD 的距离为2

19.. 如图, 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, ∠BAC =π, AB =AC =2, AA 1=6, 点E 、F 分别在棱2

AA 1、CC 1上, 且AE =C 1F =2.

(1)求四棱锥B -AEFC 的体积;

(2)求∆BEF 所在半平面与∆ABC 所在半平面所成二面角θ的余弦值.

C F

[来源:Z.xx.k.Com]

解:

(理) [解](1)V 1

B -AEFC ==3S =1

3⋅1

AEFC ⋅AB 2⋅(4+2) ⨯2⨯2=4

(2)建立如图所示的直角坐标系, 则

A (0, 0, 0) , B (0,2,0) , E (0,0,2), F (2,0,4),

EF =(2,0,2) , EB =(0,2, -2) 设平面BEF 的法向量为⎧⎪⎨n ⋅ EF =2x +2z =0

⎪ =2y -2z =0⇒取z =1得x =-1, y =1,

⎩n ⋅ EF

所以n =(-1,1,1)

平面ABC 的法向量为n (0,0,1),

则cos θ=n ⋅n

11=n ⋅n ==3

所以∆BEF 所在半平面与∆ABC 所在半平面所成二面角θ

n =(x , y , z ) , 则 12

相关文章