事件的相互独立性

§2-3：2．2．2事件的相互独立性

课标要求：理解两个事件相互独立的概念并能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 教材分析：这节课是在学生学习了排列、组合、等可能性事件概率、互斥事件概率的基础上进行的.相互独立事件同时发生的概率与前面学习的等可能性事件、互斥事件有一个发生的概率是三类典型的概率模型，将复杂问题分解为这三种基本形式，是处理概率问题的基本方法。本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材。本节主要通过探索得出相互独立事件的概念及其概率乘法公式，并能应用公式解决问题，求出独立重复试验发生次的概率

学生分析：学生已经了解了概率的意义，掌握了等可能性事件以及互斥事件有一个发生的概率计算方法，这三者形成了学生思维的“最近发展区”。学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强。

目标分析：

知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。

过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。

重、难点分析： 教学建议：讲清楚等可能性事件、互斥事件、相互独立性事件的联系与区别，注意各自的判断方法，及概率的求法。

教学过程：

一、复习引入： 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

必然事件：在一定条件下必然发生的事件；

2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总是接近n某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．

3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；

4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0P(A)1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都1n7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可

能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P(A)相等，那么每个基本事件的概率都是89.事件的和的意义:对于事件A和事件B

互斥事件:不可能同时发生的两个事件．P(AB)P(A)P(B)

一般地：如果事件A1,A2,,An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1,A2,,An11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．P(AA)1P(A)1P(A)

12．互斥事件的概率的求法:如果事件A1,A2,,An彼此互斥，那么

P(A1A2An)＝P(A1)P(A2)P(An)探究:

(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？

事件A：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？

事件A：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B：从乙坛子里摸出1问题(1)、(2)中事件A、B是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）

问题(1)、(2)中事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生概率有无影响？（无影响）

思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A的发生会影响事件B 发生的概率吗?

显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P（B| A）=P(B）, P（AB）=P( A ) P ( B |A）=P（A）P(B).

二、讲解新课：

1．相互独立事件的定义：

设A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A与事件B相互独立（mutually independent ) .

事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B2．相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B)

问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A，B同时发生，记作AB．（简称积事件）

从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结1个球，共有54321个球，它们都是白球的概率P(AB)323． 5410另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率P(A)3，从乙坛子里摸出1个球，5

得到白球的概率P(B)2．显然P(AB)P(A)P(B)． 4

如果事件A1,A2,,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)．

3．对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：P(AB)P(A)P(B)P(AB三、讲解范例：

例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：

(1)都抽到某一指定号码；

(2)恰有一次抽到某一指定号码；

(3)至少有一次抽到某一指定号码．

解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率

P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.

(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（AB）U（AB）表示．由于事件AB与AB互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为

P (AB）十P（AB）=P（A）P（B）+ P（A）P（B )

= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.

( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( AB）U（AB）表示．由于事件 AB , AB和AB 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（AB）+ P（AB ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.

例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：

（1）2人都射中目标的概率；

（2）2人中恰有1人射中目标的概率；

（3）2人至少有1人射中目标的概率；

（4）2人至多有1人射中目标的概率？

解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件，

（1）2人都射中的概率为：P(AB)P(A)P(B)0.80.90.72，

∴2人都射中目标的概率是0.72．

（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件AB发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件AB事件AB与AB互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为： P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26

∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．

（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为PP(AB)[P(AB)P(AB)]0.720.260.98．

（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，

2个都未击中目标的概率是P(AB)P(A)P(B)(10.8)(10.9)0.02， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为P1P(AB)10.020.98．

（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：

PP(AB)P(AB)P(AB)

P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)

0.020.080.180.28．

（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，

故所求概率为P1P(AB)1P(A)P(B)10.72例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，

只要其中有1某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段解：分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C．

由题意，这段时间内3率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是

P(ABC)P(A)P(B)P(C)

1P(A)1P(B)1P(C) (10.7)(10.7)(10.7)0.027

∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是

1P(ABC)10.0270.973．

答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．

例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．

（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；

（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1解:（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为AK(k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A1A2A3A4A5．

∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，

∴敌机未被击中的概率为

P(A1A2A3A4A5)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

4(10.2)5()5

∴敌机未被击中的概率为()．

（2）至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：

敌机被击中的概率为1-()

∴令1()0.9，∴()45545n4

5n4

5n11，两边取常用对数，得n1013lg2

∵nN，∴n

∴至少需要布置11门高炮才能有0.9点评：上面例1和例2有词语“至多”、四、课堂练习：

五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概个事件发生的概率的积,六、课后作业：课本58页练习1、2、60页 习题 2. 2A组4. B组1

八、教学反思：

§2-3：2．2．2事件的相互独立性

课标要求：理解两个事件相互独立的概念并能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 教材分析：这节课是在学生学习了排列、组合、等可能性事件概率、互斥事件概率的基础上进行的.相互独立事件同时发生的概率与前面学习的等可能性事件、互斥事件有一个发生的概率是三类典型的概率模型，将复杂问题分解为这三种基本形式，是处理概率问题的基本方法。本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材。本节主要通过探索得出相互独立事件的概念及其概率乘法公式，并能应用公式解决问题，求出独立重复试验发生次的概率

学生分析：学生已经了解了概率的意义，掌握了等可能性事件以及互斥事件有一个发生的概率计算方法，这三者形成了学生思维的“最近发展区”。学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强。

目标分析：

知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。

过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。

重、难点分析： 教学建议：讲清楚等可能性事件、互斥事件、相互独立性事件的联系与区别，注意各自的判断方法，及概率的求法。

教学过程：

一、复习引入： 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

必然事件：在一定条件下必然发生的事件；

2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总是接近n某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．

3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；

4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0P(A)1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都1n7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可

能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P(A)相等，那么每个基本事件的概率都是89.事件的和的意义:对于事件A和事件B

互斥事件:不可能同时发生的两个事件．P(AB)P(A)P(B)

一般地：如果事件A1,A2,,An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1,A2,,An11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．P(AA)1P(A)1P(A)

12．互斥事件的概率的求法:如果事件A1,A2,,An彼此互斥，那么

P(A1A2An)＝P(A1)P(A2)P(An)探究:

(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？

事件A：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？

事件A：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B：从乙坛子里摸出1问题(1)、(2)中事件A、B是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）

问题(1)、(2)中事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生概率有无影响？（无影响）

思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A的发生会影响事件B 发生的概率吗?

显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P（B| A）=P(B）, P（AB）=P( A ) P ( B |A）=P（A）P(B).

二、讲解新课：

1．相互独立事件的定义：

设A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A与事件B相互独立（mutually independent ) .

事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B2．相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B)

问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A，B同时发生，记作AB．（简称积事件）

从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结1个球，共有54321个球，它们都是白球的概率P(AB)323． 5410另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率P(A)3，从乙坛子里摸出1个球，5

得到白球的概率P(B)2．显然P(AB)P(A)P(B)． 4

如果事件A1,A2,,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)．

3．对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：P(AB)P(A)P(B)P(AB三、讲解范例：

例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：

(1)都抽到某一指定号码；

(2)恰有一次抽到某一指定号码；

(3)至少有一次抽到某一指定号码．

解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率

P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.

(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（AB）U（AB）表示．由于事件AB与AB互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为

P (AB）十P（AB）=P（A）P（B）+ P（A）P（B )

= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.

( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( AB）U（AB）表示．由于事件 AB , AB和AB 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（AB）+ P（AB ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.

例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：

（1）2人都射中目标的概率；

（2）2人中恰有1人射中目标的概率；

（3）2人至少有1人射中目标的概率；

（4）2人至多有1人射中目标的概率？

解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件，

（1）2人都射中的概率为：P(AB)P(A)P(B)0.80.90.72，

∴2人都射中目标的概率是0.72．

（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件AB发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件AB事件AB与AB互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为： P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26

∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．

（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为PP(AB)[P(AB)P(AB)]0.720.260.98．

（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，

2个都未击中目标的概率是P(AB)P(A)P(B)(10.8)(10.9)0.02， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为P1P(AB)10.020.98．

（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：

PP(AB)P(AB)P(AB)

P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)

0.020.080.180.28．

（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，

故所求概率为P1P(AB)1P(A)P(B)10.72例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，

只要其中有1某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段解：分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C．

由题意，这段时间内3率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是

P(ABC)P(A)P(B)P(C)

1P(A)1P(B)1P(C) (10.7)(10.7)(10.7)0.027

∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是

1P(ABC)10.0270.973．

答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．

例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．

（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；

（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1解:（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为AK(k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A1A2A3A4A5．

∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，

∴敌机未被击中的概率为

P(A1A2A3A4A5)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

4(10.2)5()5

∴敌机未被击中的概率为()．

（2）至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：

敌机被击中的概率为1-()

∴令1()0.9，∴()45545n4

5n4

5n11，两边取常用对数，得n1013lg2

∵nN，∴n

∴至少需要布置11门高炮才能有0.9点评：上面例1和例2有词语“至多”、四、课堂练习：

五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概个事件发生的概率的积,六、课后作业：课本58页练习1、2、60页 习题 2. 2A组4. B组1

八、教学反思：