求几何图形的最值问题

审譬警尊警鲢。二墼鼻警、

求几何图形的最值问题

口河北平乡县第三中学豆立峰

近年来.各地中考试题中涌现了一批以几何图形为背景创设的最值问题,引人深思.在这些题目中.数形结合思想、函数思想得到有效地渗透.下面举例来探究解这类题的思路与方法.

睡囊I鏊鼍蠹?湛霉喙辩豫纛镰镶鼹

例I如图1.已知半径为2的半圆0内有一以直径为底的等腰梯形,梯形的腰长为茗.求此等腰梯形的周长Y与腰长z的

函数关系式。并求出自变量算的取值范围和周

长v的最大值.

分析:解答此题的关键在于把等腰梯形的

上底AD的长用含戈的代数式表达.

解:连接BD,作DE上BC于点层,则CD2=召昏c图1

cE・∞.(想一想,为什么?)

CE=堡CB=分.脓扣x42_2x2=4一生244.・.y=4+h+4一手一萼+氖+8一号(铲2)2“oI

由图可知,自变量戈的取值范围O<x<2、/丁,.・.当x=2时,y最大值=10.鬻;l‰藜瀵零黑熊爨溅骧

例2如图2,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点(点E与点A、D不重合).朋的垂直平分线交AB于P,交DC于Q.

(1)设AE=x,四边形ADQP的面积为S,写出

s与x的函数关系式:

(2)当AE为何值时,四边形ADQP的面积最

大.最大是多少?

2007.3

教研版万方数据

串学生数理他・教与攀

.・.s:AP+.DQ×AD:AP+DQ:AP+(AP+PF):AP+AP+AE:2AP+AE

=2(・一丢戈2卜=一÷冉m.

(2)Js=一lX2+X+2=一÷(戈一1)2+寻,.・.当髯=1,即AE=1时,四边形4。QP面积最大.为三.

豢ii蘩:l墓瀵蕊惫壤媳最灌

例3平面内有n条直线(孔≥2),这n条直线两两相交,最多可以得到n个交点,最少可以得到b个交点,则口+6的值是(

A.n(n一1)B.n2_n+1).C.—n*-—n,’D.—n2-n—+2

交,交点均不重合,可有.丛等盟个交点,即。:掣..・.。+6:掣+l:—n'-n—+2.选D.

2解:平面内n条直线两两相交,最少有1个交点.所以b:1.若每两条直线相

点拨:解几何最值问题,考虑极端情形(如量的最大、最小,图形特殊位置或临界位置等),常能找到解题突破口.从极端情形的讨论和研究可得到启发.

例4如图3,/MON=20。,A为OM上一点,0A=4、/了,D为ON上一点,OD=8、/了,C为AM上任意一点,曰为OD上任意一点:则AB+BC+CD的最小值是——.

解:以OM为轴,作D点关于OM的对称点D,。

连接OD】,则£MODl_200.,,

作A关于ON的对称点A】,连接0A,,则£砒ON=

20。.所以£AlODl=600.连接AlDl、AiB、CDl,贝0

AB,CDl=CD.

AB+BC+CD=A1B+BC+CDl≥AAl曰=lDl(连接定点A图3

1、

D。的各种线中以线段最短).

在△AtOD-ee,z_4-OD产60。,OA-=DA=4V丁=≥×8V了={oD=丢oD-,...△A。OD。为直角三角形....A。D1:V—A102+—ODI:、/i弋巧ji石弋历了:4、/西.

.・.A1B+BC+CDl≥4、/西.故AB+BC+CD的最小值是4、/西.

2007.3

教研版万方数据

求几何图形的最值问题作者:

作者单位:

刊名:

英文刊名:

年,卷(期):豆立峰河北平乡县第三中学中学生数理化(教与学教研版)ZHONGXUESHENG SHULIHUA(JIAO YU XUE JIAOYAN BAN)2007(3)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsslh-jyxjyb200703041.aspx

审譬警尊警鲢。二墼鼻警、

求几何图形的最值问题

口河北平乡县第三中学豆立峰

近年来.各地中考试题中涌现了一批以几何图形为背景创设的最值问题,引人深思.在这些题目中.数形结合思想、函数思想得到有效地渗透.下面举例来探究解这类题的思路与方法.

睡囊I鏊鼍蠹?湛霉喙辩豫纛镰镶鼹

例I如图1.已知半径为2的半圆0内有一以直径为底的等腰梯形,梯形的腰长为茗.求此等腰梯形的周长Y与腰长z的

函数关系式。并求出自变量算的取值范围和周

长v的最大值.

分析:解答此题的关键在于把等腰梯形的

上底AD的长用含戈的代数式表达.

解:连接BD,作DE上BC于点层,则CD2=召昏c图1

cE・∞.(想一想,为什么?)

CE=堡CB=分.脓扣x42_2x2=4一生244.・.y=4+h+4一手一萼+氖+8一号(铲2)2“oI

由图可知,自变量戈的取值范围O<x<2、/丁,.・.当x=2时,y最大值=10.鬻;l‰藜瀵零黑熊爨溅骧

例2如图2,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点(点E与点A、D不重合).朋的垂直平分线交AB于P,交DC于Q.

(1)设AE=x,四边形ADQP的面积为S,写出

s与x的函数关系式:

(2)当AE为何值时,四边形ADQP的面积最

大.最大是多少?

2007.3

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串学生数理他・教与攀

.・.s:AP+.DQ×AD:AP+DQ:AP+(AP+PF):AP+AP+AE:2AP+AE

=2(・一丢戈2卜=一÷冉m.

(2)Js=一lX2+X+2=一÷(戈一1)2+寻,.・.当髯=1,即AE=1时,四边形4。QP面积最大.为三.

豢ii蘩:l墓瀵蕊惫壤媳最灌

例3平面内有n条直线(孔≥2),这n条直线两两相交,最多可以得到n个交点,最少可以得到b个交点,则口+6的值是(

A.n(n一1)B.n2_n+1).C.—n*-—n,’D.—n2-n—+2

交,交点均不重合,可有.丛等盟个交点,即。:掣..・.。+6:掣+l:—n'-n—+2.选D.

2解:平面内n条直线两两相交,最少有1个交点.所以b:1.若每两条直线相

点拨:解几何最值问题,考虑极端情形(如量的最大、最小,图形特殊位置或临界位置等),常能找到解题突破口.从极端情形的讨论和研究可得到启发.

例4如图3,/MON=20。,A为OM上一点,0A=4、/了,D为ON上一点,OD=8、/了,C为AM上任意一点,曰为OD上任意一点:则AB+BC+CD的最小值是——.

解:以OM为轴,作D点关于OM的对称点D,。

连接OD】,则£MODl_200.,,

作A关于ON的对称点A】,连接0A,,则£砒ON=

20。.所以£AlODl=600.连接AlDl、AiB、CDl,贝0

AB,CDl=CD.

AB+BC+CD=A1B+BC+CDl≥AAl曰=lDl(连接定点A图3

1、

D。的各种线中以线段最短).

在△AtOD-ee,z_4-OD产60。,OA-=DA=4V丁=≥×8V了={oD=丢oD-,...△A。OD。为直角三角形....A。D1:V—A102+—ODI:、/i弋巧ji石弋历了:4、/西.

.・.A1B+BC+CDl≥4、/西.故AB+BC+CD的最小值是4、/西.

2007.3

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求几何图形的最值问题作者:

作者单位:

刊名:

英文刊名:

年,卷(期):豆立峰河北平乡县第三中学中学生数理化(教与学教研版)ZHONGXUESHENG SHULIHUA(JIAO YU XUE JIAOYAN BAN)2007(3)

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