审譬警尊警鲢。二墼鼻警、
求几何图形的最值问题
口河北平乡县第三中学豆立峰
近年来．各地中考试题中涌现了一批以几何图形为背景创设的最值问题，引人深思．在这些题目中．数形结合思想、函数思想得到有效地渗透．下面举例来探究解这类题的思路与方法．
睡囊Ｉ鏊鼍蠹？湛霉喙辩豫纛镰镶鼹
例Ｉ如图１．已知半径为２的半圆０内有一以直径为底的等腰梯形，梯形的腰长为茗．求此等腰梯形的周长Ｙ与腰长ｚ的
函数关系式。并求出自变量算的取值范围和周
长ｖ的最大值．
分析：解答此题的关键在于把等腰梯形的
上底ＡＤ的长用含戈的代数式表达．
解：连接ＢＤ，作ＤＥ上ＢＣ于点层，则ＣＤ２＝召昏ｃ图１
ｃＥ・∞．（想一想，为什么？）
ＣＥ＝堡ＣＢ＝分．脓扣ｘ４２＿２ｘ２＝４一生２４４．・．ｙ＝４＋ｈ＋４一手一萼＋氖＋８一号（铲２）２“ｏＩ
由图可知，自变量戈的取值范围Ｏ＜ｘ＜２、／丁，．・．当ｘ＝２时，ｙ最大值＝１０．鬻；ｌ‰藜瀵零黑熊爨溅骧
例２如图２，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，Ｅ是ＡＤ边上一点（点Ｅ与点Ａ、Ｄ不重合）．朋的垂直平分线交ＡＢ于Ｐ，交ＤＣ于Ｑ．
（１）设ＡＥ＝ｘ，四边形ＡＤＱＰ的面积为Ｓ，写出
ｓ与ｘ的函数关系式：
（２）当ＡＥ为何值时，四边形ＡＤＱＰ的面积最
大．最大是多少？
２００７．３
教研版万方数据
串学生数理他・教与攀
．・．ｓ：ＡＰ＋．ＤＱ×ＡＤ：ＡＰ＋ＤＱ：ＡＰ＋（ＡＰ＋ＰＦ）：ＡＰ＋ＡＰ＋ＡＥ：２ＡＰ＋ＡＥ
＝２（・一丢戈２卜＝一÷冉ｍ．
（２）Ｊｓ＝一ｌＸ２＋Ｘ＋２＝一÷（戈一１）２＋寻，．・．当髯＝１，即ＡＥ＝１时，四边形４。ＱＰ面积最大．为三．
２
豢ｉｉ蘩：ｌ墓瀵蕊惫壤媳最灌
例３平面内有ｎ条直线（孔≥２），这ｎ条直线两两相交，最多可以得到ｎ个交点，最少可以得到ｂ个交点，则口＋６的值是（
Ａ．ｎ（ｎ一１）Ｂ．ｎ２＿ｎ＋１）．Ｃ．—ｎ＊－—ｎ，’Ｄ．—ｎ２－ｎ—＋２
交，交点均不重合，可有．丛等盟个交点，即。：掣．．・．。＋６：掣＋ｌ：—ｎ＇－ｎ—＋２．选Ｄ．
２解：平面内ｎ条直线两两相交，最少有１个交点．所以ｂ：１．若每两条直线相
点拨：解几何最值问题，考虑极端情形（如量的最大、最小，图形特殊位置或临界位置等），常能找到解题突破口．从极端情形的讨论和研究可得到启发．
例４如图３，／ＭＯＮ＝２０。，Ａ为ＯＭ上一点，０Ａ＝４、／了，Ｄ为ＯＮ上一点，ＯＤ＝８、／了，Ｃ为ＡＭ上任意一点，曰为ＯＤ上任意一点：则ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ的最小值是——．
解：以ＯＭ为轴，作Ｄ点关于ＯＭ的对称点Ｄ，。
连接ＯＤ】，则￡ＭＯＤｌ＿２００．，，
作Ａ关于ＯＮ的对称点Ａ】，连接０Ａ，，则￡砒ＯＮ＝
２０。．所以￡ＡｌＯＤｌ＝６００．连接ＡｌＤｌ、ＡｉＢ、ＣＤｌ，贝０
ＡＢ，ＣＤｌ＝ＣＤ．
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＝Ａ１Ｂ＋ＢＣ＋ＣＤｌ≥ＡＡｌ曰＝ｌＤｌ（连接定点Ａ图３
１、
Ｄ。的各种线中以线段最短）．
在△ＡｔＯＤ－ｅｅ，ｚ＿４－ＯＤ产６０。，ＯＡ－＝ＤＡ＝４Ｖ丁＝≥×８Ｖ了＝｛ｏＤ＝丢ｏＤ－，．．．△Ａ。ＯＤ。为直角三角形．．．．Ａ。Ｄ１：Ｖ—Ａ１０２＋—ＯＤＩ：、／ｉ弋巧ｊｉ石弋历了：４、／西．
．・．Ａ１Ｂ＋ＢＣ＋ＣＤｌ≥４、／西．故ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ的最小值是４、／西．
２００７．３
教研版万方数据
求几何图形的最值问题作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：豆立峰河北平乡县第三中学中学生数理化（教与学教研版）ZHONGXUESHENG SHULIHUA（JIAO YU XUE JIAOYAN BAN）2007(3)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsslh-jyxjyb200703041.aspx
审譬警尊警鲢。二墼鼻警、
求几何图形的最值问题
口河北平乡县第三中学豆立峰
近年来．各地中考试题中涌现了一批以几何图形为背景创设的最值问题，引人深思．在这些题目中．数形结合思想、函数思想得到有效地渗透．下面举例来探究解这类题的思路与方法．
睡囊Ｉ鏊鼍蠹？湛霉喙辩豫纛镰镶鼹
例Ｉ如图１．已知半径为２的半圆０内有一以直径为底的等腰梯形，梯形的腰长为茗．求此等腰梯形的周长Ｙ与腰长ｚ的
函数关系式。并求出自变量算的取值范围和周
长ｖ的最大值．
分析：解答此题的关键在于把等腰梯形的
上底ＡＤ的长用含戈的代数式表达．
解：连接ＢＤ，作ＤＥ上ＢＣ于点层，则ＣＤ２＝召昏ｃ图１
ｃＥ・∞．（想一想，为什么？）
ＣＥ＝堡ＣＢ＝分．脓扣ｘ４２＿２ｘ２＝４一生２４４．・．ｙ＝４＋ｈ＋４一手一萼＋氖＋８一号（铲２）２“ｏＩ
由图可知，自变量戈的取值范围Ｏ＜ｘ＜２、／丁，．・．当ｘ＝２时，ｙ最大值＝１０．鬻；ｌ‰藜瀵零黑熊爨溅骧
例２如图２，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，Ｅ是ＡＤ边上一点（点Ｅ与点Ａ、Ｄ不重合）．朋的垂直平分线交ＡＢ于Ｐ，交ＤＣ于Ｑ．
（１）设ＡＥ＝ｘ，四边形ＡＤＱＰ的面积为Ｓ，写出
ｓ与ｘ的函数关系式：
（２）当ＡＥ为何值时，四边形ＡＤＱＰ的面积最
大．最大是多少？
２００７．３
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串学生数理他・教与攀
．・．ｓ：ＡＰ＋．ＤＱ×ＡＤ：ＡＰ＋ＤＱ：ＡＰ＋（ＡＰ＋ＰＦ）：ＡＰ＋ＡＰ＋ＡＥ：２ＡＰ＋ＡＥ
＝２（・一丢戈２卜＝一÷冉ｍ．
（２）Ｊｓ＝一ｌＸ２＋Ｘ＋２＝一÷（戈一１）２＋寻，．・．当髯＝１，即ＡＥ＝１时，四边形４。ＱＰ面积最大．为三．
２
豢ｉｉ蘩：ｌ墓瀵蕊惫壤媳最灌
例３平面内有ｎ条直线（孔≥２），这ｎ条直线两两相交，最多可以得到ｎ个交点，最少可以得到ｂ个交点，则口＋６的值是（
Ａ．ｎ（ｎ一１）Ｂ．ｎ２＿ｎ＋１）．Ｃ．—ｎ＊－—ｎ，’Ｄ．—ｎ２－ｎ—＋２
交，交点均不重合，可有．丛等盟个交点，即。：掣．．・．。＋６：掣＋ｌ：—ｎ＇－ｎ—＋２．选Ｄ．
２解：平面内ｎ条直线两两相交，最少有１个交点．所以ｂ：１．若每两条直线相
点拨：解几何最值问题，考虑极端情形（如量的最大、最小，图形特殊位置或临界位置等），常能找到解题突破口．从极端情形的讨论和研究可得到启发．
例４如图３，／ＭＯＮ＝２０。，Ａ为ＯＭ上一点，０Ａ＝４、／了，Ｄ为ＯＮ上一点，ＯＤ＝８、／了，Ｃ为ＡＭ上任意一点，曰为ＯＤ上任意一点：则ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ的最小值是——．
解：以ＯＭ为轴，作Ｄ点关于ＯＭ的对称点Ｄ，。
连接ＯＤ】，则￡ＭＯＤｌ＿２００．，，
作Ａ关于ＯＮ的对称点Ａ】，连接０Ａ，，则￡砒ＯＮ＝
２０。．所以￡ＡｌＯＤｌ＝６００．连接ＡｌＤｌ、ＡｉＢ、ＣＤｌ，贝０
ＡＢ，ＣＤｌ＝ＣＤ．
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＝Ａ１Ｂ＋ＢＣ＋ＣＤｌ≥ＡＡｌ曰＝ｌＤｌ（连接定点Ａ图３
１、
Ｄ。的各种线中以线段最短）．
在△ＡｔＯＤ－ｅｅ，ｚ＿４－ＯＤ产６０。，ＯＡ－＝ＤＡ＝４Ｖ丁＝≥×８Ｖ了＝｛ｏＤ＝丢ｏＤ－，．．．△Ａ。ＯＤ。为直角三角形．．．．Ａ。Ｄ１：Ｖ—Ａ１０２＋—ＯＤＩ：、／ｉ弋巧ｊｉ石弋历了：４、／西．
．・．Ａ１Ｂ＋ＢＣ＋ＣＤｌ≥４、／西．故ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ的最小值是４、／西．
２００７．３
教研版万方数据
求几何图形的最值问题作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：豆立峰河北平乡县第三中学中学生数理化（教与学教研版）ZHONGXUESHENG SHULIHUA（JIAO YU XUE JIAOYAN BAN）2007(3)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsslh-jyxjyb200703041.aspx