调和点列
研究图形在射影变换下不变性的一个几何学分支。射影几何学产生的最初动力，来自为了帮助绘画而对透视进行的研究。在17世纪，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影几何学中著名的定理。后来在19世纪，又经过J.V.彭赛列、J.施泰纳、K.G.C.von施陶特、A.F.麦比乌斯、A.凯莱等几何学家的工作，使射影几何学得到蓬勃的发展，达到鼎盛的时期。
定义：直线上依次四点A、B、C、D满足ABAD=，则称A、B、C、DBCDC
四点构成调和点列。其中A、C和B、D称为调和共轭。
性质1：如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆O与D、F，交BC与点E 则A、D、E、F四点调和。
证明:A、D、E、F四点调和⇔
又
而ADADACBDDC=*=* AFABAFBFCFADAFADDE== ⇔ ① DEFEAFFEDESVBDCBD*CD*sin∠BDCBDCD ===FESVBFCBF*FC*sin∠BFCBFFC
故①成立。得证！
推广：如图，椭圆外一点A关于椭圆的两条
切线的切点所在的直线为BC（此直线也叫
极线），过A的任意一条直线ADEF截椭圆
于D、F，交BC与E 则A、D、E、F成调和点列。
证明：暂略。
性质2：A、B、C、D调和⇔112+= ABADAC
证明：
112112bc而 +=⇔+=⇔=ABADACaa+b+ca+ba(a+b)(a+b)(a+b+c)
bcaa+b+c⇔=⇔=aa+b+cbc
即证。
推论：已知A、B、C、D四点调和，O为A、C中点，则OA2=OB⋅OD.
反过来也成立，若A、B、C、D四点共线，O为A、C中点，且OA=OB⋅OD，则A、B、
C、D四点调和。 2
性质3：若A、B、C、D成调和点列，且平面上有点M满足AM⊥MC 则必有MC平分∠BMD，MA外角平分∠BMD.
这是调和点列应用中相当重要的一个性质。
M
A
B
A
A'BM证明：反证法。
反设MC不平分∠BMD，作MC’平分角∠BMD交BD与C’，MA’外角平分角∠BMD交DB延长线与A’ ，则MC'⊥MA' BC'BM= C'DMD
BA'BM=有外角平分线定理， A'DMD
BA'BC'=所以② A'DC'D
BCBA=由A、B、C、D成调和点列知 CDAD
BC'BCBC'BC>⇔>注意到成立 C'DCDBDBDBA'BABA'BA
所以MC平分∠BMD，MA外角平分∠BMD
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定义：直线上依次四点A、B、C、D满足ABAD=，则称A、B、C、DBCDC
四点构成调和点列。其中A、C和B、D称为调和共轭。
性质1：如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆O与D、F，交BC与点E 则A、D、E、F四点调和。
证明:A、D、E、F四点调和⇔
又
而ADADACBDDC=*=* AFABAFBFCFADAFADDE== ⇔ ① DEFEAFFEDESVBDCBD*CD*sin∠BDCBDCD ===FESVBFCBF*FC*sin∠BFCBFFC
故①成立。得证！
推广：如图，椭圆外一点A关于椭圆的两条
切线的切点所在的直线为BC（此直线也叫
极线），过A的任意一条直线ADEF截椭圆
于D、F，交BC与E 则A、D、E、F成调和点列。
证明：暂略。
性质2：A、B、C、D调和⇔112+= ABADAC
证明：
112112bc而 +=⇔+=⇔=ABADACaa+b+ca+ba(a+b)(a+b)(a+b+c)
bcaa+b+c⇔=⇔=aa+b+cbc
即证。
推论：已知A、B、C、D四点调和，O为A、C中点，则OA2=OB⋅OD.
反过来也成立，若A、B、C、D四点共线，O为A、C中点，且OA=OB⋅OD，则A、B、
C、D四点调和。 2
性质3：若A、B、C、D成调和点列，且平面上有点M满足AM⊥MC 则必有MC平分∠BMD，MA外角平分∠BMD.
这是调和点列应用中相当重要的一个性质。
M
A
B
A
A'BM证明：反证法。
反设MC不平分∠BMD，作MC’平分角∠BMD交BD与C’，MA’外角平分角∠BMD交DB延长线与A’ ，则MC'⊥MA' BC'BM= C'DMD
BA'BM=有外角平分线定理， A'DMD
BA'BC'=所以② A'DC'D
BCBA=由A、B、C、D成调和点列知 CDAD
BC'BCBC'BC>⇔>注意到成立 C'DCDBDBDBA'BABA'BA
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