1.矩阵运算------四维齐次空间
——3D 坐标(x,y,z)利用4D 向量完成伸缩&旋转&平移变换
4D 向量是由3D 坐标(x,y,z)和齐次坐标w 组成，写作(x,y,z,w)。
在3D 世界中为什么需要3D 的齐次坐标呢？简单地说明一下，在一维空间中的一条线段上取一点x ，然后我们想转移x 的位置，那我们应该是x'=x+k，但我们能使用一维的矩阵来表示这变换吗？不能，因为此时一维的矩阵只能让x 点伸缩(因为是通过乘矩阵来实现，x •k 就是伸缩变化) 。但如果变成了一维的齐次空间
[k 1]就很容易地做到(因为平移就是有相对位置变化→使原来位置坐标不变用1来稳住，再加一个平移量k 就可以实现任何位置的平移) 。同样地，在二维空间中，某一图形如果不使用二维的齐次坐标，则只能旋转和伸缩，确不能平移。 因此，我们在3D 坐标中使用齐次坐标，是为了物体在矩阵变换中，除了伸缩旋转(这两种变化都是有固定点才可以实现，而3D 坐标中默认原点为固定点，所以不必在外加“原位置”的参考点) ，还能够平移，如下运算：
既然了解了使用齐次坐标的意义，我们下一步就要了解一下齐次坐标w 是什么意义。设w=1，此时相当于我们把3D 的坐标平移搬去了上（这句话说的很好，就相当于在抽象的，即在w=1的“平面”定义3D 的坐标。暂时存放一下，仅作为变换的工具和度量标准，因此后续使用时还是截取前3个元素），4D 空间的点投影到w=1平面上，齐次坐标映射的3D 坐标是（x/w,y/w,z/w），也就是（x,y,z ）。（x,y,z ）在齐次空间中有无数多个点（4D 空间中取一个特征为w 的元素，其中w 取值可以是任意数，因此称为无数）与之对应。所有点的形式是（kx,ky,kz,k ），其轨迹是通过齐次空间原点的“直线”（其实每个点相当于3D 的坐标世界）。
当w=0时，有很大的意义，可解释为无穷远的“点”，其意义是描述方向。这也是平移变换的开关，当w=0时，
此时不能平移变换了。这个现象是非常有用的，因为有些向量代表“位置”，应当平移，而有些向量代表“方向”，如表面的法向量，不应该平移。从几何意义上说，能将第一类数据当作" 点" ，第二类数据当作" 向量" 。可以通过设置w 的值来控制向量的意义。
3D 坐标(x,y,z)利用完成伸缩&旋转&平移变换
这里的伸缩旋转先不说，只说平移，因为平移就是有相对位置变化→使原来位置坐标不变用1来稳住，再加一个平移量k 就可以实现任何位置的平移。4D 向量仅作为变换的工具和度量标准，因此后续使用时还是截取前3个元素。
2. 矩阵左乘行变换，右乘列变换. 记住左行右列就行！
1.矩阵运算------四维齐次空间
——3D 坐标(x,y,z)利用4D 向量完成伸缩&旋转&平移变换
4D 向量是由3D 坐标(x,y,z)和齐次坐标w 组成，写作(x,y,z,w)。
在3D 世界中为什么需要3D 的齐次坐标呢？简单地说明一下，在一维空间中的一条线段上取一点x ，然后我们想转移x 的位置，那我们应该是x'=x+k，但我们能使用一维的矩阵来表示这变换吗？不能，因为此时一维的矩阵只能让x 点伸缩(因为是通过乘矩阵来实现，x •k 就是伸缩变化) 。但如果变成了一维的齐次空间
[k 1]就很容易地做到(因为平移就是有相对位置变化→使原来位置坐标不变用1来稳住，再加一个平移量k 就可以实现任何位置的平移) 。同样地，在二维空间中，某一图形如果不使用二维的齐次坐标，则只能旋转和伸缩，确不能平移。 因此，我们在3D 坐标中使用齐次坐标，是为了物体在矩阵变换中，除了伸缩旋转(这两种变化都是有固定点才可以实现，而3D 坐标中默认原点为固定点，所以不必在外加“原位置”的参考点) ，还能够平移，如下运算：
既然了解了使用齐次坐标的意义，我们下一步就要了解一下齐次坐标w 是什么意义。设w=1，此时相当于我们把3D 的坐标平移搬去了上（这句话说的很好，就相当于在抽象的，即在w=1的“平面”定义3D 的坐标。暂时存放一下，仅作为变换的工具和度量标准，因此后续使用时还是截取前3个元素），4D 空间的点投影到w=1平面上，齐次坐标映射的3D 坐标是（x/w,y/w,z/w），也就是（x,y,z ）。（x,y,z ）在齐次空间中有无数多个点（4D 空间中取一个特征为w 的元素，其中w 取值可以是任意数，因此称为无数）与之对应。所有点的形式是（kx,ky,kz,k ），其轨迹是通过齐次空间原点的“直线”（其实每个点相当于3D 的坐标世界）。
当w=0时，有很大的意义，可解释为无穷远的“点”，其意义是描述方向。这也是平移变换的开关，当w=0时，
此时不能平移变换了。这个现象是非常有用的，因为有些向量代表“位置”，应当平移，而有些向量代表“方向”，如表面的法向量，不应该平移。从几何意义上说，能将第一类数据当作" 点" ，第二类数据当作" 向量" 。可以通过设置w 的值来控制向量的意义。
3D 坐标(x,y,z)利用完成伸缩&旋转&平移变换
这里的伸缩旋转先不说，只说平移，因为平移就是有相对位置变化→使原来位置坐标不变用1来稳住，再加一个平移量k 就可以实现任何位置的平移。4D 向量仅作为变换的工具和度量标准，因此后续使用时还是截取前3个元素。
2. 矩阵左乘行变换，右乘列变换. 记住左行右列就行！