高中数学必修4平面向量复习1向量及向量的加减法

5．1 向量及向量的加减法

要点透视：  1．由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．

2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

3．数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

4．向量的几何加法有两种法则：平行四边形法则和三角形法则．当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”． ABBCCDPQ

活题解析：  例1．给出下列命题：① 若|a|＝|b|，则a=b；② 若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件：③ 若a=b，b=c，则a=c，④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；⑤ 若a//b，b//c，则a//c，其中正确的序号是 。

要点精析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．  ② 正确．∵ ABDC，∴ |AB||DC|且AB//DC，又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，AB//DC且|AB||DC|，因此，ABDC．  ③ 正确．∵ a=b，∴ a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴ b，c的长度相等且方向相同，∴ a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．  ④ 不正确．当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件．  ⑤ 不正确．考虑b=0这种特殊情况．

综上所述，正确命题的序号是②③．

思维延伸：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．

例2．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，b将向量OE，BF，BD， FD

表示出来．

要点精析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量a，b来表示其他向量，只要考虑它们是哪

些平行四边形或三角形的边即可．

解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以BABCBAAOBO，所以BO=a＋b，所以OE= BO=a+b，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以BF=BO

BD＝BCCD＋OF=BO+BA=a+b+a=2a+b，同样在平行四边形 BCDO中，

＝BCBO＝b＋(a＋b)＝a＋2b，FD＝BCBA＝b－a.

思维延伸：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 a，b表示，且可用规定其中任两个向量为a，b，另外任取两点为起点和终点，也可用a，b表示． 例3．求证：起点相同的三个非零向量a，b，3a－2b的终点在同一条直线上． 要点精析：证明：设起点为O，OA＝a，OB=bb，OC＝3a－2b， 则ACOCOA=2(a－b)，ABOBOA=b－a，AC2AB， ∵ AC,AB共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量a，b，3a－2b的终点在同一直线上．

思维延伸：利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：① 证明向量平行；② 说明两个向量有公共点，用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点．

练 习 题

一、选择题

1．在下列各命题中，为真命题的有（ ）

（1）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量

（2）温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量

（3）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量

（4）坐标平面上的x铀和y轴都是向量

A．1个 B．2个 C．3个 D．4 2．已知命题P：非零向量a，b，c，满足a+b+c=0．命题Q：表示a，b，c的有向线段可构成三角形，则P是Q的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．下列命题中，正确的是（ ）  A．|a|=|b|a=b B．|a|>|b|a>b  C．a=ba//b D．|a|=0a＝0 4在平行四边形 ABCD中，|ABAD||ABAD|，则必有（ ）  A．AD＝0 B．AB＝0或AD＝0

C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形

5．下列命题：  (1) 如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一方向相同；  (2) 三角形ABC中，必有ABBCCA＝0；  (3) 若ABBCCA=0，则A，B，C为三角形的三个顶点；  (4) 若a，b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等，

其中假命题的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．化简以下各式：  （1）ABBCCA； （2） ABACBDCD

（3）OAODAD （4）NQQPMNMP

结果为零向量的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题： 7．若a＋b＝c，|a|=|c|=2，c与a垂直，则|bb与c的夹角为 8．若点P为三角形△ABC的外心，且PAPBPC，则三角形的内角C= .

9．两个非零向量的模相等是两个向量相等的 10．已知点M是△ABC的重心，则MAMBMC.

三、解答题：

11．如图所示，三角形ABC的外接圆的圆心为O，三条高的

交点为H，连接BO并延长交外接圆于D．  求证：（1）DCOCOB；（2）OHOAOBOC.

12．如图所示，OA DB是以向量OA=a，OB=b为

11边的平行四边形，又BM=BC，CNCD，试33用a，b表示OM, ON, MN．

13．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的

延长线上，取点E，F，使BE=DF，用向量的方法证

明，四边形 AECF也是平行四边形．

14．如图，在△ABC中，D，F分别是 BC，AC的中点，2AEAD，AB＝a， AC＝b， 3 （1）用a，b表示向量AD,AE,AF,BE,BF；

（2）求证B，E，F三点共线．

15．某人在静水中游泳，速度为4km／h．

（1）如果他径直游向河对岸，水流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？

（2）他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进，实际前进的速度大小是多少？

5．1 向量及向量的加减法

要点透视：  1．由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．

2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

3．数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

4．向量的几何加法有两种法则：平行四边形法则和三角形法则．当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”． ABBCCDPQ

活题解析：  例1．给出下列命题：① 若|a|＝|b|，则a=b；② 若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件：③ 若a=b，b=c，则a=c，④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；⑤ 若a//b，b//c，则a//c，其中正确的序号是 。

要点精析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．  ② 正确．∵ ABDC，∴ |AB||DC|且AB//DC，又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，AB//DC且|AB||DC|，因此，ABDC．  ③ 正确．∵ a=b，∴ a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴ b，c的长度相等且方向相同，∴ a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．  ④ 不正确．当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件．  ⑤ 不正确．考虑b=0这种特殊情况．

综上所述，正确命题的序号是②③．

思维延伸：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．

例2．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，b将向量OE，BF，BD， FD

表示出来．

要点精析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量a，b来表示其他向量，只要考虑它们是哪

些平行四边形或三角形的边即可．

解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以BABCBAAOBO，所以BO=a＋b，所以OE= BO=a+b，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以BF=BO

BD＝BCCD＋OF=BO+BA=a+b+a=2a+b，同样在平行四边形 BCDO中，

＝BCBO＝b＋(a＋b)＝a＋2b，FD＝BCBA＝b－a.

思维延伸：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 a，b表示，且可用规定其中任两个向量为a，b，另外任取两点为起点和终点，也可用a，b表示． 例3．求证：起点相同的三个非零向量a，b，3a－2b的终点在同一条直线上． 要点精析：证明：设起点为O，OA＝a，OB=bb，OC＝3a－2b， 则ACOCOA=2(a－b)，ABOBOA=b－a，AC2AB， ∵ AC,AB共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量a，b，3a－2b的终点在同一直线上．

思维延伸：利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：① 证明向量平行；② 说明两个向量有公共点，用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点．

练 习 题

一、选择题

1．在下列各命题中，为真命题的有（ ）

（1）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量

（2）温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量

（3）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量

（4）坐标平面上的x铀和y轴都是向量

A．1个 B．2个 C．3个 D．4 2．已知命题P：非零向量a，b，c，满足a+b+c=0．命题Q：表示a，b，c的有向线段可构成三角形，则P是Q的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．下列命题中，正确的是（ ）  A．|a|=|b|a=b B．|a|>|b|a>b  C．a=ba//b D．|a|=0a＝0 4在平行四边形 ABCD中，|ABAD||ABAD|，则必有（ ）  A．AD＝0 B．AB＝0或AD＝0

C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形

5．下列命题：  (1) 如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一方向相同；  (2) 三角形ABC中，必有ABBCCA＝0；  (3) 若ABBCCA=0，则A，B，C为三角形的三个顶点；  (4) 若a，b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等，

其中假命题的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．化简以下各式：  （1）ABBCCA； （2） ABACBDCD

（3）OAODAD （4）NQQPMNMP

结果为零向量的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题： 7．若a＋b＝c，|a|=|c|=2，c与a垂直，则|bb与c的夹角为 8．若点P为三角形△ABC的外心，且PAPBPC，则三角形的内角C= .

9．两个非零向量的模相等是两个向量相等的 10．已知点M是△ABC的重心，则MAMBMC.

三、解答题：

11．如图所示，三角形ABC的外接圆的圆心为O，三条高的

交点为H，连接BO并延长交外接圆于D．  求证：（1）DCOCOB；（2）OHOAOBOC.

12．如图所示，OA DB是以向量OA=a，OB=b为

11边的平行四边形，又BM=BC，CNCD，试33用a，b表示OM, ON, MN．

13．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的

延长线上，取点E，F，使BE=DF，用向量的方法证

明，四边形 AECF也是平行四边形．

14．如图，在△ABC中，D，F分别是 BC，AC的中点，2AEAD，AB＝a， AC＝b， 3 （1）用a，b表示向量AD,AE,AF,BE,BF；

（2）求证B，E，F三点共线．

15．某人在静水中游泳，速度为4km／h．

（1）如果他径直游向河对岸，水流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？

（2）他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进，实际前进的速度大小是多少？