在半径为R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：
S＝nπR²÷360
比如：半径为1cm 的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长： C＝2R＋nπR÷180
＝2×1＋135×3.14×1÷180
＝2＋2.355
＝4.355(cm)＝43.55(mm)
扇形的面积：
S＝nπR²÷360
＝135×3.14×1×1÷360
＝1.1775(cm²)=117.75(mm²)
扇形还有另一个面积公式
S=1/2lR
其中l 为弧长，R为半径
扇环面积
圆环周长:外圆的周长＋内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径)) 圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X 大半径的平方-圆周率X 小半径的平方\圆周率X(大半径的平方-小半径的平方))
用字母表示：
S 内+S外（∏R方）
S 外—S内=∏(R方-r方）
还有第二种方法：
S=π[(R-r)×(R+r)] R=大圆半径 r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径 还有一种方法： 已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。 d=R-r， D-d=2R-（R-r）=R+r， 可由第一、二种方法推得 S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d， 圆环面积S=π(D-d)×d
这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。这两个数据在现实易于测量，适用于计算实物，例如圆钢管。
海伦公式
任意三角形的面积公式（海伦公式）：S²=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2, a.b.c为三角形三边。
证明： 证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC 上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以 ，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。 证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz 坐标面积公式
1：△ABC，三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2), S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣.
2:空间△ABC，三顶点的坐标分别为
A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为S，则
S²=
（a1b2+b2c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)²+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)²+
(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)².
圆面积公式
设圆半径为 ：r, 面积为 ：S .
则 面积 S= π·r² ; π 表示圆周率
即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方
弓形面积公式
设弓形AB 所对的弧为弧AB，那么：
当弧AB 是劣弧时，那么S 弓形＝S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O 是圆心）。
当弧AB 是半圆时，那么S 弓形＝S扇形＝1/2S圆＝1/2×πr²。 当弧AB 是优弧时，那么S 弓形＝S扇形＋S△AOB（A、B是弧的端点，O 是圆心）
计算公式分别是：
S＝nπR²÷360－ah÷2
S＝πR²/2
S＝nπR²÷360+ah÷2
椭圆面积计算公式
椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
菱形面积公式
定理简述及证明
菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
菱形的面积也可=底乘高
抛物线弓形面积公式
抛物线弦长公式及应用
本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考.
抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即：
抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S
定理 直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y²=2Px截得的弦AB 的长度为 ∣AB∣= ①
证明 由y=kx+b得x=代入y²=2Px得y2－+=0
∴ y1+y2=,y1y2=.
∣y1－y2∣==2,
∴∣AB∣=∣y1－y2|=
当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k2), 于是得出下面推论:
推论1 过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y²=2Px截得的弦
AB 的长度为
∣AB∣=P(1+k2) ②
在①中,由容易得出下面推论:
推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y²=2Px Ⅰ)当P＞2bk时,l与C 交于两点(相交);
Ⅱ)当P=2bk时,l与C 交于一点(相切);
Ⅲ)当P＜2bk时,l与C 无交点(相离).
定理应用
下面介绍定理及推论的一些应用:
例1 (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x²截得的线段的长? 分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x 看成y 用①即可.
解 曲线方程可变形为x²=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－, 即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.
例2 求直线2x+y+1=0到曲线y²－2x－2y+3=0的最短距离. 分析:可求与已知直线平行并和曲
线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.
解 曲线可变形为(y－1)²=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b=－.∴所求直线方
程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0. ∴.
故所求最短距离为.
例3 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k 的范围.
解 曲线可变形为(y+1)²=x+1
(x≥－1,y≥－1) ,则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)－
k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.
注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误. 例4 抛物线y²=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.
解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①, |OA|=,
|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y²=x. 例5设O 为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知
∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ
解 以O 为原点,OF为x 轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y²=4ax(P=2a),设PQ 的斜率为k,由②|PQ|=,
已知|PQ|=b,k²=.∵k²=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=, ∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.
常见的面积定理
1． 一个图形的面积等于它的各部分面积的和；
2． 两个全等图形的面积相等；
3． 等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；
4． 等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；
5． 相似三角形的面积比等于相似比的平方；
6． 等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；
在半径为R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：
S＝nπR²÷360
比如：半径为1cm 的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长： C＝2R＋nπR÷180
＝2×1＋135×3.14×1÷180
＝2＋2.355
＝4.355(cm)＝43.55(mm)
扇形的面积：
S＝nπR²÷360
＝135×3.14×1×1÷360
＝1.1775(cm²)=117.75(mm²)
扇形还有另一个面积公式
S=1/2lR
其中l 为弧长，R为半径
扇环面积
圆环周长:外圆的周长＋内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径)) 圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X 大半径的平方-圆周率X 小半径的平方\圆周率X(大半径的平方-小半径的平方))
用字母表示：
S 内+S外（∏R方）
S 外—S内=∏(R方-r方）
还有第二种方法：
S=π[(R-r)×(R+r)] R=大圆半径 r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径 还有一种方法： 已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。 d=R-r， D-d=2R-（R-r）=R+r， 可由第一、二种方法推得 S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d， 圆环面积S=π(D-d)×d
这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。这两个数据在现实易于测量，适用于计算实物，例如圆钢管。
海伦公式
任意三角形的面积公式（海伦公式）：S²=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2, a.b.c为三角形三边。
证明： 证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC 上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以 ，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。 证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz 坐标面积公式
1：△ABC，三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2), S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣.
2:空间△ABC，三顶点的坐标分别为
A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为S，则
S²=
（a1b2+b2c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)²+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)²+
(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)².
圆面积公式
设圆半径为 ：r, 面积为 ：S .
则 面积 S= π·r² ; π 表示圆周率
即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方
弓形面积公式
设弓形AB 所对的弧为弧AB，那么：
当弧AB 是劣弧时，那么S 弓形＝S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O 是圆心）。
当弧AB 是半圆时，那么S 弓形＝S扇形＝1/2S圆＝1/2×πr²。 当弧AB 是优弧时，那么S 弓形＝S扇形＋S△AOB（A、B是弧的端点，O 是圆心）
计算公式分别是：
S＝nπR²÷360－ah÷2
S＝πR²/2
S＝nπR²÷360+ah÷2
椭圆面积计算公式
椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
菱形面积公式
定理简述及证明
菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
菱形的面积也可=底乘高
抛物线弓形面积公式
抛物线弦长公式及应用
本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考.
抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即：
抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S
定理 直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y²=2Px截得的弦AB 的长度为 ∣AB∣= ①
证明 由y=kx+b得x=代入y²=2Px得y2－+=0
∴ y1+y2=,y1y2=.
∣y1－y2∣==2,
∴∣AB∣=∣y1－y2|=
当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k2), 于是得出下面推论:
推论1 过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y²=2Px截得的弦
AB 的长度为
∣AB∣=P(1+k2) ②
在①中,由容易得出下面推论:
推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y²=2Px Ⅰ)当P＞2bk时,l与C 交于两点(相交);
Ⅱ)当P=2bk时,l与C 交于一点(相切);
Ⅲ)当P＜2bk时,l与C 无交点(相离).
定理应用
下面介绍定理及推论的一些应用:
例1 (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x²截得的线段的长? 分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x 看成y 用①即可.
解 曲线方程可变形为x²=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－, 即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.
例2 求直线2x+y+1=0到曲线y²－2x－2y+3=0的最短距离. 分析:可求与已知直线平行并和曲
线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.
解 曲线可变形为(y－1)²=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b=－.∴所求直线方
程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0. ∴.
故所求最短距离为.
例3 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k 的范围.
解 曲线可变形为(y+1)²=x+1
(x≥－1,y≥－1) ,则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)－
k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.
注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误. 例4 抛物线y²=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.
解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①, |OA|=,
|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y²=x. 例5设O 为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知
∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ
解 以O 为原点,OF为x 轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y²=4ax(P=2a),设PQ 的斜率为k,由②|PQ|=,
已知|PQ|=b,k²=.∵k²=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=, ∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.
常见的面积定理
1． 一个图形的面积等于它的各部分面积的和；
2． 两个全等图形的面积相等；
3． 等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；
4． 等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；
5． 相似三角形的面积比等于相似比的平方；
6． 等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；