角的度量与画法
一、本讲教学内容：
角的度量，直角概念，角的分类，角的度数计算，余角、补角的概念与性质，画一个角等于已知角，角的和、差的画法。
二、本讲技能要求
1、掌握度、分、秒的计算。
2、逐步掌握学过的几何图形的表示方法，懂得学过的几何语句，能由这些语句准确，整洁地画出图形。认识学过的图形，会用语句描述这些简单的几何图形。
三、例题精讲：
例1. 将3.720用度、分、秒表示。
解：3.720=30+(0.72×60′)=30+43.2′=30+43′+(0.2′×60″)=3043′12″
例2. 用度表示52013′48″。
解：52013′48″=520+(13 ) ′=520+13.8′=520+( ) 0=52.230
例3．判断下列计算的对错，对的画“√”，错的说明错在那里，并改正。
(1)31056′÷3=10052′.
(2) 37028′+44049′=82017′
(3) 22.5×3=66.15
(4)22.360-18022′=4.140.
解：（1）错，因为用10=100′计算的。 00
应改为：31056′÷3=(300+114′+120″) ÷3=10038′40″.
（2）（√）。
（3）错，本题是十进制小数，要按一般乘法规则进位，应改为22.50×3=67.50。
（4）错，因为被减数与减数单位不同，不能相减。
应改为：22.360-18022′=220+0.36×60′-18022′
=22021′+0.6×60″-18022′
=22021′36″-18022′
=21081′36″-18022′
=3059′36″
例4. 已知∠α=32.680，∠β=28041′55″，求∠α与∠β的差（结果用度、分、秒表示） 分析：因为结果要求用度、分、秒表示，所以，先将∠α表示为度分秒的形式：
32.68°=32°+0.68°=32°+0.68×60′=32°+40.8′
=32°+40′+0.8×60″=32°+40′+48″=32°40′48″，
然后求∠α-∠β的差。
解：∠α-∠β=32°40′48″-28°41′55″
=32°39′108″-28°41′55″ (1)
=31°99′108″-28°41′55″ (2)
=3°58′53″ (3)
注意：两角度相加减时，“度”与“度”、“分”与“分”、“秒”与“秒”分别相加减，如第(3)步；当被减数中的“秒”不够减时（如第(1)步），可从40′中借来1′，化作60″，32°40′48″就变为32°39′108″；当被减数中的“分”不够减时（如第(2)步），可从32°借1°，化作60′，这时，32°39′108″就变为31°99′108″。
例5. 求14°35′42″与21°48′56″的和（结果精确到分）
解：14°35′42″+21°48′56″
=35°83′98″ (1)
=35°84′38″ (2)
=36°24′38″ (3)
≈36°25′ (4)
注意：①本题可直接求得两角之和为35°83′98″，但是98″要变成1′38″（如第(2)步），84′要变成1°24′（如第(3)步）。
②精确到分时，将不足30″的舍去，30″及超过30″的进为1′；精确到度时，则将不足30′的舍去，30′及超过30′的进为1°。
③由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化，要逐级进行，千万不要“越级”。 例6. 把1个周角7等分，求每份角的度数。（精确到分）
分析：1个周角为360°，那么把它7等分，每份角的度数可由360°÷7计算得出。
解：360°÷7=51°+3°÷7
=51°+180′÷7
≈51°+26′
=51°26′
注意：对分的十进制小数来说，仍按四舍五入方法进行近似计算。如25.7′≈26′，8.4′≈8′。 例7. 一个角比它的余角的多120，求这个角的补角。
解：设这个角的度数为x °，则它的余角为(90-x)0，补角为(180-x)0，
由题意可得，x-(90-x)=12,
解方程得x=43.2，
∴ 180-x=180-43.2=136.80.
答：这个角的补角为136.80。
例8. 一个角是另一个角的3倍，且小角的余角与大角的补角之差为200，求这两个角的度数。 解：设大角的度数为x, 则它的补角为(180-x)0，设小角为y 0, 则它的余角为(90-y)0，
由题意可得
解方程组得
答：小角为550，大角为1650。
说明：因为互余两角与互补两角之间的关系是数量关系，所以解这类计算题时，常用代数中的列方程解应用题的方法来做是很好的方法。
例9. 一个角的补角比它的余角的2倍多8°，求这个角。
分析：先把这个角的补角，余角用这个角的代数式表示出来，再考查补角、余角之间的关系，列方程求解。
解：设这个角为α，那么这个角的补角为180°-α，余角为90°-α，
根据题意，列方程
180°-α=2(90°-α)+8°
180°-α=180°-2α+8°
α=8°
答：这个角的度数为8°。
例10. 下午2点15分到5点30分，时钟的时针转过了多少度？
分析：时钟被分成12个大格时，相当于把圆周12等分，每一等分等于30°，分针转360°时，时针转一大格即30°，从2点15分到5点30分，时针走了(3.5-0.25)格，即30°×(3.5-0.25)=97.5°。 解：30°×(3.5-0.25)=97.5°
答：时针转了97.5°。
测试
选择题
1．下面的语句中，正确的是（ ）
A 、 线段AB 和线段BA 是不同的线段；
B 、 ∠AOB 和∠BOA 是不同的角；
C 、" 延长线段AB 到C" 与" 延长线段BA 到C" 意义不同；
D 、射线AB 与射线BA 是同一条射线。
2．线段AB 上有点C ，点C 使AC:CB=2:3，点M 和点N 分别是线段AC 和线段CB 的中点，若MN=4，则AB 的长是（ ）
A 、6 B 、8 C 、10 D 、12
3．已知线段AB ，反向延长AB 到C ，使AC=
A 、4 B 、6 C 、8 D 、10 BC ，D 为AC 中点，若CD=2 ，则AB 等于（ ）
4．钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数是（ ）
A 、120° B 、105° C 、100° D 、 95°
5．如图， ∠AOC=90°，ON 是锐角∠COD 的角平分线，OM 是∠AOD 的角平分线，那么，∠MON=（ ）
A 、
∠COD+45° B、 90° C、
∠AOD D、 45°
答案与解析
答案：1.C 2.B 3.C 4.B 5.D
解析：
2．AB=AC+CB=2MC+2CN=2(MC+CN)=2MN=8，故选B 。
3．AB=BC-AC=3AC-AC=2AC=4CD，故选C 。
4．时针一小时旋转30°，分针一小时旋转360°，两点半时，时针应指在表盘2与3之间，旋转了15°，分针应指在表盘6的位置，所以这时时针与分针之间形成的角为90°＋15°＝105°。故选B 。
5．∠MON=∠MOD-∠NOD= ∠AOD- ∠COD= (180°-∠BOD)- (90°-∠BOD) =90°- ∠BOD-45°+∠BOD=45°
中考解析
角的度量
考点扫描:
1．理解周角、平角、直角、锐角、钝角的概念，并会进行有关的计算；
2．掌握度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分；
3．理解补角、余角的概念，掌握它们的性质。
名师精讲:
1．直角、锐角、钝角的概念
平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫钝角。这是对小于平角的角的分类，要在理解的基础上加以记忆；同时对周角、平角、直角的度数及它们相互之间的关系也要加以理解和记忆，牢固掌握。
2．角的度量单位以及换算
角的度量单位是度、分、秒。表示方法是在数字的右上角用“°”、“′”、“″”等符号表示，单位换算与时钟的度、分、秒之间的换算一致，为六十进制。
1°=60′,1′=60″。
3．补角、余角的概念及其性质
如果两个角的和是一个平角，则这两个角叫做互为补角，简称“互补”；如果两角的和是一个直角，则这两个角叫做互为余角，简称“互余”。由定义可知，两角互余，则它们的和是90°，两角互补，则它们的和为180°，反之亦然。
4．补角，余角的性质
（1）同角或等角的补角相等；
（2）同角或等角的余角相等。
值得注意的是，互余或互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关；余角、补角是一个角相对于另一个角而言，不是指某个单独的角，互为余角的定义及其性质在以后的推理证明中用得较多，也要在理解的基础上加以记忆。这是本节的重点。
中考典例
1．（河北省）如果∠A=35°18′, 那么∠A 的余角等于___________。
考点：互余定义
评析：由互余定义：两个角之和是90°这两个角是互为余角。即可求出∠A 的余角为52°42′（或54.7°）
2．（安徽省）如图，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是__________度。
考点：互补定义
评析：互补是指两个角之和等于180°，设截去的缺口为∠1，剩下的两角为∠2，∠3。则有∠1+∠2+∠3=180°，弯成的钢架所成角是120°，即∠2+∠3=120°，因此∠1=60°。
真题专练
1．（北京崇文区）一个角的8倍等于这个角的补角，则这个角等于 度。
2．（北京宣武区）如果一个角的余角是35度，那么这个角的补角是 度。
3．（镇江市）若∠α的余角是47°，则∠α＝________度。
4．（河南省）一个角的补角比这个角的余角大 度。
5．（陕西省）如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ ）
A 、30° B 、60° C 、90° D 、120°
6．（南充市）已知∠A 是它的补角的4倍，那么∠A 的度数是（ ）
A 、144° B 、36° C 、45° D 、72°
7．（杭州市）在时刻8:30，时钟上的时针和分针之间的夹角为（ ）
A 、85° B 、75° C 、70° D 、60°
8
．（北京西城区）一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角。
9．（杭州市）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°求这个角的度数。 答案：
1、20（提示：可设这个角是x °根据题意得方程：8x = 180–x ，解得x =20）； 2、125（提示：由余角是35°，可知这个角是55°，所以补角是125°。另外也可根据一个角的补角比它的余角大90°来求）；
3、43；
4、90；
5、B （提示：150°–90°=30°）；
6、A （提示：可设∠A 等于x °，根据题意得方程：x =4(180–x ) ，解得x =144，所以选A ）； 7、B （提示：当8:30时，时钟上的分针指向刻度6，时钟上的时针指向刻度8.9之间的正中间）。
8、75°（解题过程如下：设这个角为x °根据题意得方程：90–x
+20=(180–x ) ，解得x =75。答这个角是75°）。
9、50°（解题过程如下：设这个角为x °，则这个角的补角是(180–x ) °，余角是 (90–x ) °，由题意，得(180–x ) –3(90–x )=10,解得x =50。答：这个角的度数是50°。
角的画法
考点扫描:
1．掌握用量角器或三角板画一个角等于已知角；
2．掌握用量角器或三角板画角的和、差、倍、分的方法。
名师精讲:
本节主要掌握两种基本技能：（1）画一个角等于已知角。其步骤是：①量出已知角的度数；②画一条射线作为角的始边；③用量角器按已知角的度数画出所求的角的终边。二是画角的和、差、倍、分。方法有两种：①用量角器量出各已知角的度数，进而计算出所有要画的角的度数，再用量角器画出；②利用“拼”或“割”的方法作出两角之和或差。
另外，对于一些特殊的角如15°，30°，45°，60°，75°，90°，135°„„可以用三角板画。画表示方向的角时，要以南、北方向线为角的起始位置，向东或向西旋转（南偏东、南偏西、北偏东、北偏西）已知角度。西南、西北、东南、东北方向即是偏45°角的方向。
专题辅导
平面几何入门要过好五关（二）
平面几何入门要过好“五关”——语言关，画图关，命题关、论据关，推理关。
三、命题关：
首先要排除对命题语句的障碍，判断命题的真假，认清题目的条件和结论。实际上类似于语文中对句子分析时找主语, 谓语一样。
例：“等角的余角相等”
题设（条件）：等角的余角。
结论：相等。（这是一个真命题）
要会用图形，符号语言来表示出题设结论。
题设：∵ ∠1+∠2=900，∠3+∠4=900（已知）
∠1=∠3
结论：∴ ∠2=∠4（等角的余角相等）
四、论据关：
几何入门阶段的计算与证明要写出论据。这是过好这关的有效办法，填写依据时，不要似是而非。 例：如图，A 、B 、C 、D 四点共线，∠1=∠2，那么∠3与∠4是什么关系。
解：∵ A、B 、C 、D 四点共线，论据：已知
∴ ∠1+∠3=1800 论据：平角定义
∠2+∠4=1800 论据：平角定义
又∵ ∠1=∠2 论据：已知
∴ ∠3=∠4 论据：等角的补角相等
五、推理关：
学习平面几何的主要任务之一是培养逻辑推理能力。为过好推理关要注意分析命题的条件、结论，特别注意图形的特点和隐含条件，一环扣一环。要探索解题思路，总结解题规律。要重视因果关系一步推理的训练。
简单的推理技能有两个方面的要求：
一是必须做到“言必有据”，每一次推理都有三部分组成，即推理的条件（因），推出的结论（果），以及由条件到结论（由因导果）的依据（推理的理由）。推理必须使三者的因果关系合理、正确。
二是要分得清推理的层次. 解决一个问题, 说明一个结论成立，常常要经过若干次推理。要能分得清每一次推理的“因”，“果”，和“理由”三个部分，要分得清前后两次推理的关系，从而使整个推理过程不仅有根有据，而且层次分明。
培养逻辑推理能力是学习平面几何的重要的一点，要过好推理关，应注意分析命题的条件和结论，观察图形特点，挖掘隐含条件，采用分析综合法，探索解题思路，摸索解题规律。
例：如图，BD 、CE 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∠1=∠2，那么∠ABC 和∠ACB 相等吗？请说明理由。
证明：（1）∵ BD平分∠ABC （已知）, ∴ ∠ABC=2∠1 （角平分线定义）
（2）∵ CE平分∠ACB （已知）, ∴ ∠ACB=2∠2 （角平分线定义）
（3）∵ ∠1=∠2 （已知）∴ ∠ABC=∠ACB （等量的同倍量相等）。
在这个证明过程中，包括了三个一次推理的组合，完成了从已知条件向结论的过程。第（3）部分是
（1）与（2）共同的结果，而（1），（2）两个推理是并列的，因而在证明中先写（1）或（2）没有什么关系，但（3）必须在（1）（2）的后面。
一个命题的证明从哪里下手，分几步进行推理，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合，完成题设到结论的过渡，这需要认真对图形题设与结论之间的关系进行分析，把一条推理的长链接好。
例：一步推理训练：线段中点定义：
（1）∵ O为AB 中点（已知）, ∴ AO=OB（线段中点定义）
（2）∵ O为AB 中点（已知）, ∴ AO= AB,BO=AB （线段中点定义）
（3）∵ O为AB 中点（已知）, ∴ AB=2AO,AB=2BO（线段中点定义）
（4）∵ AO=OB（已知）, ∴ O为AB 中点（线段中点定义）
（5）∵ AO= AB （
BO=AB ）（已知）, ∴ O为AB 中点（线段中点定义） （6）∵ AB=2AO（AB=2BO）（已知）, ∴ O为AB 中点。
角的度量与画法
一、本讲教学内容：
角的度量，直角概念，角的分类，角的度数计算，余角、补角的概念与性质，画一个角等于已知角，角的和、差的画法。
二、本讲技能要求
1、掌握度、分、秒的计算。
2、逐步掌握学过的几何图形的表示方法，懂得学过的几何语句，能由这些语句准确，整洁地画出图形。认识学过的图形，会用语句描述这些简单的几何图形。
三、例题精讲：
例1. 将3.720用度、分、秒表示。
解：3.720=30+(0.72×60′)=30+43.2′=30+43′+(0.2′×60″)=3043′12″
例2. 用度表示52013′48″。
解：52013′48″=520+(13 ) ′=520+13.8′=520+( ) 0=52.230
例3．判断下列计算的对错，对的画“√”，错的说明错在那里，并改正。
(1)31056′÷3=10052′.
(2) 37028′+44049′=82017′
(3) 22.5×3=66.15
(4)22.360-18022′=4.140.
解：（1）错，因为用10=100′计算的。 00
应改为：31056′÷3=(300+114′+120″) ÷3=10038′40″.
（2）（√）。
（3）错，本题是十进制小数，要按一般乘法规则进位，应改为22.50×3=67.50。
（4）错，因为被减数与减数单位不同，不能相减。
应改为：22.360-18022′=220+0.36×60′-18022′
=22021′+0.6×60″-18022′
=22021′36″-18022′
=21081′36″-18022′
=3059′36″
例4. 已知∠α=32.680，∠β=28041′55″，求∠α与∠β的差（结果用度、分、秒表示） 分析：因为结果要求用度、分、秒表示，所以，先将∠α表示为度分秒的形式：
32.68°=32°+0.68°=32°+0.68×60′=32°+40.8′
=32°+40′+0.8×60″=32°+40′+48″=32°40′48″，
然后求∠α-∠β的差。
解：∠α-∠β=32°40′48″-28°41′55″
=32°39′108″-28°41′55″ (1)
=31°99′108″-28°41′55″ (2)
=3°58′53″ (3)
注意：两角度相加减时，“度”与“度”、“分”与“分”、“秒”与“秒”分别相加减，如第(3)步；当被减数中的“秒”不够减时（如第(1)步），可从40′中借来1′，化作60″，32°40′48″就变为32°39′108″；当被减数中的“分”不够减时（如第(2)步），可从32°借1°，化作60′，这时，32°39′108″就变为31°99′108″。
例5. 求14°35′42″与21°48′56″的和（结果精确到分）
解：14°35′42″+21°48′56″
=35°83′98″ (1)
=35°84′38″ (2)
=36°24′38″ (3)
≈36°25′ (4)
注意：①本题可直接求得两角之和为35°83′98″，但是98″要变成1′38″（如第(2)步），84′要变成1°24′（如第(3)步）。
②精确到分时，将不足30″的舍去，30″及超过30″的进为1′；精确到度时，则将不足30′的舍去，30′及超过30′的进为1°。
③由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化，要逐级进行，千万不要“越级”。 例6. 把1个周角7等分，求每份角的度数。（精确到分）
分析：1个周角为360°，那么把它7等分，每份角的度数可由360°÷7计算得出。
解：360°÷7=51°+3°÷7
=51°+180′÷7
≈51°+26′
=51°26′
注意：对分的十进制小数来说，仍按四舍五入方法进行近似计算。如25.7′≈26′，8.4′≈8′。 例7. 一个角比它的余角的多120，求这个角的补角。
解：设这个角的度数为x °，则它的余角为(90-x)0，补角为(180-x)0，
由题意可得，x-(90-x)=12,
解方程得x=43.2，
∴ 180-x=180-43.2=136.80.
答：这个角的补角为136.80。
例8. 一个角是另一个角的3倍，且小角的余角与大角的补角之差为200，求这两个角的度数。 解：设大角的度数为x, 则它的补角为(180-x)0，设小角为y 0, 则它的余角为(90-y)0，
由题意可得
解方程组得
答：小角为550，大角为1650。
说明：因为互余两角与互补两角之间的关系是数量关系，所以解这类计算题时，常用代数中的列方程解应用题的方法来做是很好的方法。
例9. 一个角的补角比它的余角的2倍多8°，求这个角。
分析：先把这个角的补角，余角用这个角的代数式表示出来，再考查补角、余角之间的关系，列方程求解。
解：设这个角为α，那么这个角的补角为180°-α，余角为90°-α，
根据题意，列方程
180°-α=2(90°-α)+8°
180°-α=180°-2α+8°
α=8°
答：这个角的度数为8°。
例10. 下午2点15分到5点30分，时钟的时针转过了多少度？
分析：时钟被分成12个大格时，相当于把圆周12等分，每一等分等于30°，分针转360°时，时针转一大格即30°，从2点15分到5点30分，时针走了(3.5-0.25)格，即30°×(3.5-0.25)=97.5°。 解：30°×(3.5-0.25)=97.5°
答：时针转了97.5°。
测试
选择题
1．下面的语句中，正确的是（ ）
A 、 线段AB 和线段BA 是不同的线段；
B 、 ∠AOB 和∠BOA 是不同的角；
C 、" 延长线段AB 到C" 与" 延长线段BA 到C" 意义不同；
D 、射线AB 与射线BA 是同一条射线。
2．线段AB 上有点C ，点C 使AC:CB=2:3，点M 和点N 分别是线段AC 和线段CB 的中点，若MN=4，则AB 的长是（ ）
A 、6 B 、8 C 、10 D 、12
3．已知线段AB ，反向延长AB 到C ，使AC=
A 、4 B 、6 C 、8 D 、10 BC ，D 为AC 中点，若CD=2 ，则AB 等于（ ）
4．钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数是（ ）
A 、120° B 、105° C 、100° D 、 95°
5．如图， ∠AOC=90°，ON 是锐角∠COD 的角平分线，OM 是∠AOD 的角平分线，那么，∠MON=（ ）
A 、
∠COD+45° B、 90° C、
∠AOD D、 45°
答案与解析
答案：1.C 2.B 3.C 4.B 5.D
解析：
2．AB=AC+CB=2MC+2CN=2(MC+CN)=2MN=8，故选B 。
3．AB=BC-AC=3AC-AC=2AC=4CD，故选C 。
4．时针一小时旋转30°，分针一小时旋转360°，两点半时，时针应指在表盘2与3之间，旋转了15°，分针应指在表盘6的位置，所以这时时针与分针之间形成的角为90°＋15°＝105°。故选B 。
5．∠MON=∠MOD-∠NOD= ∠AOD- ∠COD= (180°-∠BOD)- (90°-∠BOD) =90°- ∠BOD-45°+∠BOD=45°
中考解析
角的度量
考点扫描:
1．理解周角、平角、直角、锐角、钝角的概念，并会进行有关的计算；
2．掌握度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分；
3．理解补角、余角的概念，掌握它们的性质。
名师精讲:
1．直角、锐角、钝角的概念
平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫钝角。这是对小于平角的角的分类，要在理解的基础上加以记忆；同时对周角、平角、直角的度数及它们相互之间的关系也要加以理解和记忆，牢固掌握。
2．角的度量单位以及换算
角的度量单位是度、分、秒。表示方法是在数字的右上角用“°”、“′”、“″”等符号表示，单位换算与时钟的度、分、秒之间的换算一致，为六十进制。
1°=60′,1′=60″。
3．补角、余角的概念及其性质
如果两个角的和是一个平角，则这两个角叫做互为补角，简称“互补”；如果两角的和是一个直角，则这两个角叫做互为余角，简称“互余”。由定义可知，两角互余，则它们的和是90°，两角互补，则它们的和为180°，反之亦然。
4．补角，余角的性质
（1）同角或等角的补角相等；
（2）同角或等角的余角相等。
值得注意的是，互余或互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关；余角、补角是一个角相对于另一个角而言，不是指某个单独的角，互为余角的定义及其性质在以后的推理证明中用得较多，也要在理解的基础上加以记忆。这是本节的重点。
中考典例
1．（河北省）如果∠A=35°18′, 那么∠A 的余角等于___________。
考点：互余定义
评析：由互余定义：两个角之和是90°这两个角是互为余角。即可求出∠A 的余角为52°42′（或54.7°）
2．（安徽省）如图，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是__________度。
考点：互补定义
评析：互补是指两个角之和等于180°，设截去的缺口为∠1，剩下的两角为∠2，∠3。则有∠1+∠2+∠3=180°，弯成的钢架所成角是120°，即∠2+∠3=120°，因此∠1=60°。
真题专练
1．（北京崇文区）一个角的8倍等于这个角的补角，则这个角等于 度。
2．（北京宣武区）如果一个角的余角是35度，那么这个角的补角是 度。
3．（镇江市）若∠α的余角是47°，则∠α＝________度。
4．（河南省）一个角的补角比这个角的余角大 度。
5．（陕西省）如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ ）
A 、30° B 、60° C 、90° D 、120°
6．（南充市）已知∠A 是它的补角的4倍，那么∠A 的度数是（ ）
A 、144° B 、36° C 、45° D 、72°
7．（杭州市）在时刻8:30，时钟上的时针和分针之间的夹角为（ ）
A 、85° B 、75° C 、70° D 、60°
8
．（北京西城区）一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角。
9．（杭州市）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°求这个角的度数。 答案：
1、20（提示：可设这个角是x °根据题意得方程：8x = 180–x ，解得x =20）； 2、125（提示：由余角是35°，可知这个角是55°，所以补角是125°。另外也可根据一个角的补角比它的余角大90°来求）；
3、43；
4、90；
5、B （提示：150°–90°=30°）；
6、A （提示：可设∠A 等于x °，根据题意得方程：x =4(180–x ) ，解得x =144，所以选A ）； 7、B （提示：当8:30时，时钟上的分针指向刻度6，时钟上的时针指向刻度8.9之间的正中间）。
8、75°（解题过程如下：设这个角为x °根据题意得方程：90–x
+20=(180–x ) ，解得x =75。答这个角是75°）。
9、50°（解题过程如下：设这个角为x °，则这个角的补角是(180–x ) °，余角是 (90–x ) °，由题意，得(180–x ) –3(90–x )=10,解得x =50。答：这个角的度数是50°。
角的画法
考点扫描:
1．掌握用量角器或三角板画一个角等于已知角；
2．掌握用量角器或三角板画角的和、差、倍、分的方法。
名师精讲:
本节主要掌握两种基本技能：（1）画一个角等于已知角。其步骤是：①量出已知角的度数；②画一条射线作为角的始边；③用量角器按已知角的度数画出所求的角的终边。二是画角的和、差、倍、分。方法有两种：①用量角器量出各已知角的度数，进而计算出所有要画的角的度数，再用量角器画出；②利用“拼”或“割”的方法作出两角之和或差。
另外，对于一些特殊的角如15°，30°，45°，60°，75°，90°，135°„„可以用三角板画。画表示方向的角时，要以南、北方向线为角的起始位置，向东或向西旋转（南偏东、南偏西、北偏东、北偏西）已知角度。西南、西北、东南、东北方向即是偏45°角的方向。
专题辅导
平面几何入门要过好五关（二）
平面几何入门要过好“五关”——语言关，画图关，命题关、论据关，推理关。
三、命题关：
首先要排除对命题语句的障碍，判断命题的真假，认清题目的条件和结论。实际上类似于语文中对句子分析时找主语, 谓语一样。
例：“等角的余角相等”
题设（条件）：等角的余角。
结论：相等。（这是一个真命题）
要会用图形，符号语言来表示出题设结论。
题设：∵ ∠1+∠2=900，∠3+∠4=900（已知）
∠1=∠3
结论：∴ ∠2=∠4（等角的余角相等）
四、论据关：
几何入门阶段的计算与证明要写出论据。这是过好这关的有效办法，填写依据时，不要似是而非。 例：如图，A 、B 、C 、D 四点共线，∠1=∠2，那么∠3与∠4是什么关系。
解：∵ A、B 、C 、D 四点共线，论据：已知
∴ ∠1+∠3=1800 论据：平角定义
∠2+∠4=1800 论据：平角定义
又∵ ∠1=∠2 论据：已知
∴ ∠3=∠4 论据：等角的补角相等
五、推理关：
学习平面几何的主要任务之一是培养逻辑推理能力。为过好推理关要注意分析命题的条件、结论，特别注意图形的特点和隐含条件，一环扣一环。要探索解题思路，总结解题规律。要重视因果关系一步推理的训练。
简单的推理技能有两个方面的要求：
一是必须做到“言必有据”，每一次推理都有三部分组成，即推理的条件（因），推出的结论（果），以及由条件到结论（由因导果）的依据（推理的理由）。推理必须使三者的因果关系合理、正确。
二是要分得清推理的层次. 解决一个问题, 说明一个结论成立，常常要经过若干次推理。要能分得清每一次推理的“因”，“果”，和“理由”三个部分，要分得清前后两次推理的关系，从而使整个推理过程不仅有根有据，而且层次分明。
培养逻辑推理能力是学习平面几何的重要的一点，要过好推理关，应注意分析命题的条件和结论，观察图形特点，挖掘隐含条件，采用分析综合法，探索解题思路，摸索解题规律。
例：如图，BD 、CE 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∠1=∠2，那么∠ABC 和∠ACB 相等吗？请说明理由。
证明：（1）∵ BD平分∠ABC （已知）, ∴ ∠ABC=2∠1 （角平分线定义）
（2）∵ CE平分∠ACB （已知）, ∴ ∠ACB=2∠2 （角平分线定义）
（3）∵ ∠1=∠2 （已知）∴ ∠ABC=∠ACB （等量的同倍量相等）。
在这个证明过程中，包括了三个一次推理的组合，完成了从已知条件向结论的过程。第（3）部分是
（1）与（2）共同的结果，而（1），（2）两个推理是并列的，因而在证明中先写（1）或（2）没有什么关系，但（3）必须在（1）（2）的后面。
一个命题的证明从哪里下手，分几步进行推理，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合，完成题设到结论的过渡，这需要认真对图形题设与结论之间的关系进行分析，把一条推理的长链接好。
例：一步推理训练：线段中点定义：
（1）∵ O为AB 中点（已知）, ∴ AO=OB（线段中点定义）
（2）∵ O为AB 中点（已知）, ∴ AO= AB,BO=AB （线段中点定义）
（3）∵ O为AB 中点（已知）, ∴ AB=2AO,AB=2BO（线段中点定义）
（4）∵ AO=OB（已知）, ∴ O为AB 中点（线段中点定义）
（5）∵ AO= AB （
BO=AB ）（已知）, ∴ O为AB 中点（线段中点定义） （6）∵ AB=2AO（AB=2BO）（已知）, ∴ O为AB 中点。