第3章 第4节
一、选择题
π
1.为得到函数y=cos(x+的图象,只需将函数y=sinx的图象( )
3π
A.向左平移
6π
B
65π
C
65π
D.向右平移
6答案:C
ππππ
解析:y=sinx=x)=cos(x-),令x-0,得x1=,
2222ππ
再令x+0得到x2=-,
33
ππ5π
∴向左平移了|-=个长度单位.
326
ππ
2.已知函数y=sin(x+x+),则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为
66( )
π
A.2π,x
6π
C.π,x=
6答案:D
ππ
解析:∵y=sin(x+x+661π
=sin(2x+23
2ππ1π∴T=π,再将x=代入y=sin(2x+,
ω12231
得y=
2π
即x=
12
3. 如图,弹簧挂着小球作上下振动,时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止的位置)的高
π
B.2π,x=
12π
D.π,x=
12
π
度h(cm)之间的函数关系式是h=4sin(6πt+t∈[0,+∞)),则小球最高点与最低点的距离、
3每秒能往复振动的次数分别为(
)
A.4、3 2
C.8、
π答案:B
π2π1
解析:∵在关系式h=4sin(6πt+中,振幅A=4,周期T=36π31
低点的距离d=2A=8,每秒能往复振动的次数f==3.选择B.
T
π
4. (2010·惠州调研)已知f(x)=cos(ωx的图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离为
3π,要得到y=f(x)的图象,只需把y=sinωx的图象( )
5
A.向左平移个单位
125
B个单位
127
C个单位
127
D.向右平移个单位
12答案:A
πππ
解析:依题意,y=f(x)的最小正周期为π,故ω=2,因为y=cos(2x+)=sin(2x+)
3325π5π
=sin(2x+,所以把y=sin2x的图象向左平移π个单位可得到y=cos(2x+的图象.
6123
ππ
5.函数y=sin(2x+的图象经怎样平移后所得的图象关于点(-,0)中心对称( )
312ππ
A.向左平移 B.向左平移126ππ
C D.向右平移
612答案:D
B.8、3 2
D.4π
ππ
解析:由题意设y=sin(2x+θ)的对称中心为(-,0),则2×(-)+θ=kπ(k∈Z),
1212π
∴θ=kπ+(k∈Z),
6
ππ
∴函数y=sin(2x+的图象的对称中心为(-,0),
612ππ
又y=sin(2x+)=sin2(x+),
612ππ
y=sin(2x+=sin2(x+,
36
πππ
所以y=sin(2x+的图象向右平移个单位即可得到y=sin(2x+的图象.
3126π
6.关于函数f(x)=sin(2x,有下列命题
4π
①其表达式可写成f(x)=cos(2x+;
4π
②直线x=-是f(x)图象的一条对称轴;
8
π
③f(x)的图象可由g(x)=sin2x的图象向右平移
4④存在α∈(0,π),使f(x+α)=f(x+3α)恒成立. 则其中真命题为( ) A.②③ C.②④ 答案:C
πππ3
解析:对于①,f(x)=sin(2x-=cos[(2x-=cos(2x-π),故①错.
4244πππππ
对于②,当x=-f(-)=sin[2×(--]=sin(-=-1,故②正确.
88842ππ
对于③,g(x)=sin2xy=sin2(x-=sin(2x
44π
-,故③错. 2
π
对于④,∵f(x)的周期为π,故当α=时,
2f(x+α)=f(x+3α),所以④正确. 二、填空题
7.函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数A>0,ω>0)在 闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω=________.
B.①② D.③④
答案:3
2π2π2π2π
解析:观察函数图象可得周期T=,又由函数y=Asin(ωx+φ)得T=,则T==,
3ω3ω所以ω=3.
π
8.设函数y=cos的图象位于y轴右侧的所有的对称中心从左依次为A1,A2,…,An,…,
2则A50的坐标是________.
答案:(99,0)
ππ
解析:由x=+kπ,得x=2k+1(k∈Z),
22即对称中心横坐标为x=2k+1,k≥0且k∈N, 当k=49时,x=99, 则A50的坐标为(99,0).
π
9.(2010·福建卷)已知函数f(x)=3sin(ωx-ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对
6π
称轴完全相同.若x∈[0,,则f(x)的取值范围是________.
2
3
答案:[-3]
2
πππkπ2π
解析:f(x)=3sin(ωx-的对称轴方程为ωxkπ+,即x=+(k∈Z),g(x)=
662ω3ωkπφ
2cos(2x+φ)+1的对称轴方程为2x+φ=kπ,即x=(k∈Z).
22
kπ2πkπφ
由题意-ω=2,
ω3ω22π
∴f(x)=2sin(2x-),
6π
当x∈[0,时,
2ππ5
2x-∈[-π],
6663
f(x)的取值范围为[3].
2三、解答题
10. 已知函数f(x)=cos2x-2sinxcosx-sin2x.
(1)在给定的坐标系中,作出函数f(x)在区间[0,π]上的图象. π
(2)求函数f(x)在区间[-,0]上的最大值和最小值.
2
解:(1)f(x)=cos2x-2sinxcosx-sin2x π
=cos2x-sin2x2cos(2x.
4列表:
π3ππ
(2)∵-≤x≤0≤2x+≤2444π3
故当2x+,
44
π
即x=-f(x)有最小值,f(x)min=-1;
2π
当2x+0,
4
π
即x=-f(x)有最大值,f(x)max=2.
8π
即f(x)在[0]上的最小值为-1,最大值为2.
2
11π
11. (2010·山东卷)已知函数f(x)xsinφ+cos2x·cosφ-sin(+φ)(0
222π1
点(,). 62
(1)在给定的坐标系中,作出函数f(x)在区间[0,π]上的图象. π
(2)求函数f(x)在区间[-,0]上的最大值和最小值.
2
解:(1)f(x)=cos2x-2sinxcosx-sin2x π
=cos2x-sin2x2cos(2x.
4列表:
π3ππ
(2)∵-≤x≤0≤2x+≤2444π3
故当2x+,
44
π
即x=-f(x)有最小值,f(x)min=-1;
2π
当2x+0,
4
π
即x=-f(x)有最大值,f(x)max=2.
8π
即f(x)在[0]上的最小值为-1,最大值为2.
2
11π
11. (2010·山东卷)已知函数f(x)xsinφ+cos2x·cosφ-sin(+φ)(0
222π1
点(,). 62
(1)求φ的值;
1
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变,得到函数y=g(x)
2π
的图象,求函数g(x)在[0,]上的最大值和最小值.
4
π11
+φ(0
所以f(x)=sin2xsinφ+cosφ-cosφ
22211
=sin2xsinφ+cos2xcosφ 221
=(sin2xsinφ+cos2xcosφ) 21
=cos(2x-φ). 2π1
又函数图象过点62,
ππ11
2×-φ,即cosφ=1. cos6322π
又0
3
π112x,将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵(2)由(1)知f(x)=cos322π1
4x-. 坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,可知g(x)=f(2x)32
π
0,,所以4x∈[0,π], 因为x∈4π2ππ
, 因此4x-333π1
4x-≤1. cos32
π110,上的最大值和最小值分别为和-. 所以y=g(x)在424
12.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价8千元,7月份价格最低为4千元;该商品每件的售价为g(x)(x为月份),且满足g(x)=f(x-2)+2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式; (2)问哪几个月能盈利?
ππ
解:(1)f(x)=Asin(ωx+φ)+B,由题意可得A=2,B=6,ωφ=-
44
ππ
所以f(x)=2sin(x-+6(1≤x≤12,x为正整数),
44π3
g(x)=2sin(x-)+8(1≤x≤12,x为正整数).
44π2
(2)g(x)>f(x),得sin
2kπ
444∴8k+3
∵1≤x≤12,k∈Z,∴k=0时,3
k=1时,11
答:其中4,5,6,7,8,12月份能盈利.
第3章 第4节
一、选择题
π
1.为得到函数y=cos(x+的图象,只需将函数y=sinx的图象( )
3π
A.向左平移
6π
B
65π
C
65π
D.向右平移
6答案:C
ππππ
解析:y=sinx=x)=cos(x-),令x-0,得x1=,
2222ππ
再令x+0得到x2=-,
33
ππ5π
∴向左平移了|-=个长度单位.
326
ππ
2.已知函数y=sin(x+x+),则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为
66( )
π
A.2π,x
6π
C.π,x=
6答案:D
ππ
解析:∵y=sin(x+x+661π
=sin(2x+23
2ππ1π∴T=π,再将x=代入y=sin(2x+,
ω12231
得y=
2π
即x=
12
3. 如图,弹簧挂着小球作上下振动,时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止的位置)的高
π
B.2π,x=
12π
D.π,x=
12
π
度h(cm)之间的函数关系式是h=4sin(6πt+t∈[0,+∞)),则小球最高点与最低点的距离、
3每秒能往复振动的次数分别为(
)
A.4、3 2
C.8、
π答案:B
π2π1
解析:∵在关系式h=4sin(6πt+中,振幅A=4,周期T=36π31
低点的距离d=2A=8,每秒能往复振动的次数f==3.选择B.
T
π
4. (2010·惠州调研)已知f(x)=cos(ωx的图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离为
3π,要得到y=f(x)的图象,只需把y=sinωx的图象( )
5
A.向左平移个单位
125
B个单位
127
C个单位
127
D.向右平移个单位
12答案:A
πππ
解析:依题意,y=f(x)的最小正周期为π,故ω=2,因为y=cos(2x+)=sin(2x+)
3325π5π
=sin(2x+,所以把y=sin2x的图象向左平移π个单位可得到y=cos(2x+的图象.
6123
ππ
5.函数y=sin(2x+的图象经怎样平移后所得的图象关于点(-,0)中心对称( )
312ππ
A.向左平移 B.向左平移126ππ
C D.向右平移
612答案:D
B.8、3 2
D.4π
ππ
解析:由题意设y=sin(2x+θ)的对称中心为(-,0),则2×(-)+θ=kπ(k∈Z),
1212π
∴θ=kπ+(k∈Z),
6
ππ
∴函数y=sin(2x+的图象的对称中心为(-,0),
612ππ
又y=sin(2x+)=sin2(x+),
612ππ
y=sin(2x+=sin2(x+,
36
πππ
所以y=sin(2x+的图象向右平移个单位即可得到y=sin(2x+的图象.
3126π
6.关于函数f(x)=sin(2x,有下列命题
4π
①其表达式可写成f(x)=cos(2x+;
4π
②直线x=-是f(x)图象的一条对称轴;
8
π
③f(x)的图象可由g(x)=sin2x的图象向右平移
4④存在α∈(0,π),使f(x+α)=f(x+3α)恒成立. 则其中真命题为( ) A.②③ C.②④ 答案:C
πππ3
解析:对于①,f(x)=sin(2x-=cos[(2x-=cos(2x-π),故①错.
4244πππππ
对于②,当x=-f(-)=sin[2×(--]=sin(-=-1,故②正确.
88842ππ
对于③,g(x)=sin2xy=sin2(x-=sin(2x
44π
-,故③错. 2
π
对于④,∵f(x)的周期为π,故当α=时,
2f(x+α)=f(x+3α),所以④正确. 二、填空题
7.函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数A>0,ω>0)在 闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω=________.
B.①② D.③④
答案:3
2π2π2π2π
解析:观察函数图象可得周期T=,又由函数y=Asin(ωx+φ)得T=,则T==,
3ω3ω所以ω=3.
π
8.设函数y=cos的图象位于y轴右侧的所有的对称中心从左依次为A1,A2,…,An,…,
2则A50的坐标是________.
答案:(99,0)
ππ
解析:由x=+kπ,得x=2k+1(k∈Z),
22即对称中心横坐标为x=2k+1,k≥0且k∈N, 当k=49时,x=99, 则A50的坐标为(99,0).
π
9.(2010·福建卷)已知函数f(x)=3sin(ωx-ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对
6π
称轴完全相同.若x∈[0,,则f(x)的取值范围是________.
2
3
答案:[-3]
2
πππkπ2π
解析:f(x)=3sin(ωx-的对称轴方程为ωxkπ+,即x=+(k∈Z),g(x)=
662ω3ωkπφ
2cos(2x+φ)+1的对称轴方程为2x+φ=kπ,即x=(k∈Z).
22
kπ2πkπφ
由题意-ω=2,
ω3ω22π
∴f(x)=2sin(2x-),
6π
当x∈[0,时,
2ππ5
2x-∈[-π],
6663
f(x)的取值范围为[3].
2三、解答题
10. 已知函数f(x)=cos2x-2sinxcosx-sin2x.
(1)在给定的坐标系中,作出函数f(x)在区间[0,π]上的图象. π
(2)求函数f(x)在区间[-,0]上的最大值和最小值.
2
解:(1)f(x)=cos2x-2sinxcosx-sin2x π
=cos2x-sin2x2cos(2x.
4列表:
π3ππ
(2)∵-≤x≤0≤2x+≤2444π3
故当2x+,
44
π
即x=-f(x)有最小值,f(x)min=-1;
2π
当2x+0,
4
π
即x=-f(x)有最大值,f(x)max=2.
8π
即f(x)在[0]上的最小值为-1,最大值为2.
2
11π
11. (2010·山东卷)已知函数f(x)xsinφ+cos2x·cosφ-sin(+φ)(0
222π1
点(,). 62
(1)在给定的坐标系中,作出函数f(x)在区间[0,π]上的图象. π
(2)求函数f(x)在区间[-,0]上的最大值和最小值.
2
解:(1)f(x)=cos2x-2sinxcosx-sin2x π
=cos2x-sin2x2cos(2x.
4列表:
π3ππ
(2)∵-≤x≤0≤2x+≤2444π3
故当2x+,
44
π
即x=-f(x)有最小值,f(x)min=-1;
2π
当2x+0,
4
π
即x=-f(x)有最大值,f(x)max=2.
8π
即f(x)在[0]上的最小值为-1,最大值为2.
2
11π
11. (2010·山东卷)已知函数f(x)xsinφ+cos2x·cosφ-sin(+φ)(0
222π1
点(,). 62
(1)求φ的值;
1
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变,得到函数y=g(x)
2π
的图象,求函数g(x)在[0,]上的最大值和最小值.
4
π11
+φ(0
所以f(x)=sin2xsinφ+cosφ-cosφ
22211
=sin2xsinφ+cos2xcosφ 221
=(sin2xsinφ+cos2xcosφ) 21
=cos(2x-φ). 2π1
又函数图象过点62,
ππ11
2×-φ,即cosφ=1. cos6322π
又0
3
π112x,将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵(2)由(1)知f(x)=cos322π1
4x-. 坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,可知g(x)=f(2x)32
π
0,,所以4x∈[0,π], 因为x∈4π2ππ
, 因此4x-333π1
4x-≤1. cos32
π110,上的最大值和最小值分别为和-. 所以y=g(x)在424
12.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价8千元,7月份价格最低为4千元;该商品每件的售价为g(x)(x为月份),且满足g(x)=f(x-2)+2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式; (2)问哪几个月能盈利?
ππ
解:(1)f(x)=Asin(ωx+φ)+B,由题意可得A=2,B=6,ωφ=-
44
ππ
所以f(x)=2sin(x-+6(1≤x≤12,x为正整数),
44π3
g(x)=2sin(x-)+8(1≤x≤12,x为正整数).
44π2
(2)g(x)>f(x),得sin
2kπ
444∴8k+3
∵1≤x≤12,k∈Z,∴k=0时,3
k=1时,11
答:其中4,5,6,7,8,12月份能盈利.