解决立体几何问题的“有力工具”—向量法
法向量：在平面的任何一条垂线上截取一个非零的向量都可称为该平面的一个法向量。 法向量的叉乘求法：若两个不共线的空间向量分别为
→
a = (x 1 , y1 , z1)
→
→
b = (x 2 , y2 , z2) ,则向量所在的平面的一个法向量为n =_______________________口诀：(叉差, -叉差, 叉差)
例：已知A(1 , 2 , 1) , B(3 , 2 , 3) , C(5 , 3 , 1), 求平面ABC 的一个法向量n
1、平行问题（结合图象，直观感觉） 2、垂直问题（结合图象，直观感觉） 1）线线平行l //m ⇔a //b ⇔a =k b 1）线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ⋅b =0 2）线面平行l //α⇔⊥⇔⋅=0 2）线面垂直l ⊥α⇔//⇔=k 3）面面平行α//β⇔n 1//n 2⇔n 1=k n 2 3）面面垂直α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1⋅n 2=0
3、三个空间角问题
1）异面直线AB , CD 所成的角θ（范围： 0
π
A B
2
A B ∙C
c o
A . C ）
2）线面角θ（范围：0≤θ≤
π
2
），n s i θ=c o s =
θ=
π
2
-
θ=-
π
2
3）二面角θ（范围：0≤θ≤π）
θ=π-
n 1∙n 2
cos θ=-n 1⋅n 2
θ=
n 1∙n 2
cos θ=n 1⋅n 2
例1.(云南省2012年1月会考）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AD 1、CD 1中点。
D
（1）求证：EF//平面ABCD ； （2）求两异面直线BD 与CD 1所成角的大小。
例2. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、C 1D 1的中点. 求证：平面D 1EF ∥平面BDG .
B
A 1D
B 1
C 1
C
例3. (云南省2011年6月会考）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中. （1）求证：AC ⊥BD 1；（2）求异面直线AC 与BC 1所成角的大小。 C 1
A 1 1
D
C B
例4. 正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中，求证：（1）BD ' ⊥平面ACB ' ；（2）平面AC B '⊥平面BD D '
例5. （07全国Ⅱ）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点。 （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设SD =2DC ，求二面角A -EF
-D 的大小。
C
例6. (06浙江17) 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC, ∠BAD ＝90o ,PA⊥底面ABCD ，且PA=AD=AB=2BC，M 、N 分别为PC 、PB 的中点。 (1)求证：PB ⊥DM;
(2)求CD 与平面ADMN 所成的角
C
例7. (04天津) 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F. (1) 证明：PA ∥平面EBD (2) 证明：PB ⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D 的大小.
解决立体几何问题的“有力工具”—向量法
法向量：在平面的任何一条垂线上截取一个非零的向量都可称为该平面的一个法向量。 法向量的叉乘求法：若两个不共线的空间向量分别为
→
a = (x 1 , y1 , z1)
→
→
b = (x 2 , y2 , z2) ,则向量所在的平面的一个法向量为n =_______________________口诀：(叉差, -叉差, 叉差)
例：已知A(1 , 2 , 1) , B(3 , 2 , 3) , C(5 , 3 , 1), 求平面ABC 的一个法向量n
1、平行问题（结合图象，直观感觉） 2、垂直问题（结合图象，直观感觉） 1）线线平行l //m ⇔a //b ⇔a =k b 1）线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ⋅b =0 2）线面平行l //α⇔⊥⇔⋅=0 2）线面垂直l ⊥α⇔//⇔=k 3）面面平行α//β⇔n 1//n 2⇔n 1=k n 2 3）面面垂直α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1⋅n 2=0
3、三个空间角问题
1）异面直线AB , CD 所成的角θ（范围： 0
π
A B
2
A B ∙C
c o
A . C ）
2）线面角θ（范围：0≤θ≤
π
2
），n s i θ=c o s =
θ=
π
2
-
θ=-
π
2
3）二面角θ（范围：0≤θ≤π）
θ=π-
n 1∙n 2
cos θ=-n 1⋅n 2
θ=
n 1∙n 2
cos θ=n 1⋅n 2
例1.(云南省2012年1月会考）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AD 1、CD 1中点。
D
（1）求证：EF//平面ABCD ； （2）求两异面直线BD 与CD 1所成角的大小。
例2. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、C 1D 1的中点. 求证：平面D 1EF ∥平面BDG .
B
A 1D
B 1
C 1
C
例3. (云南省2011年6月会考）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中. （1）求证：AC ⊥BD 1；（2）求异面直线AC 与BC 1所成角的大小。 C 1
A 1 1
D
C B
例4. 正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中，求证：（1）BD ' ⊥平面ACB ' ；（2）平面AC B '⊥平面BD D '
例5. （07全国Ⅱ）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点。 （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设SD =2DC ，求二面角A -EF
-D 的大小。
C
例6. (06浙江17) 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC, ∠BAD ＝90o ,PA⊥底面ABCD ，且PA=AD=AB=2BC，M 、N 分别为PC 、PB 的中点。 (1)求证：PB ⊥DM;
(2)求CD 与平面ADMN 所成的角
C
例7. (04天津) 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F. (1) 证明：PA ∥平面EBD (2) 证明：PB ⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D 的大小.