第三节相似矩阵2013-5-3(修改完)

第三节

1



相似矩阵

教学过程：

本节中始终假设为对角矩阵,即

2



diag(,,,).

12n



n

一、问题的提出

1.方阵中的讨论是很简单的,将A化为,可使问题变简单.有效的方法是寻找可逆矩阵P,使PAP,即将A对角化.

2.A可对角化的条件是什么？如何寻求P？二、相似矩阵的概念

【定义5.10】设A,B都是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使PAPB,则称B是A的相似矩阵，或A与B相似.且P为相似变换矩阵.PAP称为对A作相似变换.

可以证明相似具有：自反性；对称性；传递性.且相似关系是等价关系.

三.相似矩阵的性质

1

|P1||EA||P||P1||P||EA||P1P||EA||EA|.

即A与B具有相同的特征多项式,那么A与B有相同的特

征值.

2.【推论】Ann与对角矩阵diag(1,2,,n)相似

1,2,,n就是A的特征值.[书上定义5.11]证明：显然的特征值为1,2,,n,又Ann与

diag(1,2,,n)相似，所以1,2,,n就是A的

特征值.

3.结论：A与B相似，则A与B相似；A与B相似.例1（09，3，4）设(111),(1相似于diag(3,0,0)，则k=

1

0k)T,若T

.（答案：2）

提示：相似于diag(3,0,0)的特征值为3，0，0.

110k

T

所以110k10k的对角线上的元

110k

素和等于特征值之和，即10k300k2.

四、矩阵可对角化的条件

1.【定理5.5】A与对角矩阵相似A有n个线性无关的特征向量.（即A可以对角化）证明:“”充分性：

设A有n个线性无关的特征向量1,2,,n，令P(1,2,,n),其中i是A对应于特征值i的特征向量,显然

APA(1,2,,n)(11,22,,nn)P,

因1,2,,n线性无关,知P可逆,有PAP,于是A与相似.

“”必要性：设A与相似.则存在P可逆，使PAP.

记P(1,2,,n),diag(1,2,,n)则有

1

A(1,2,,n)APP(11,22,,nn)显然,i是A对应于特征值i的特征向量,因P可逆,所以1,2,,n线性无关.

2.【推论5.2】若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角矩阵相似.

31

例1A，试问A能否对角化？若能对角化,求

13

出可逆矩阵P.

31

解由EA(4)(2)

13

得A的特征值14,22，因为1,2互异，所以A能对角化.

解线性方程组(4EA)x0得特征向量p1；

11

1

解线性方程组(2EA)x0得特征向量p2；

1

1

令P(p1,p2)，则PAPdiag(4,2).

122

例2设A224,A能否对角化？若能对角化,

242

求出可逆矩阵P.

解由上一节的计算知：已知A有特征值

122,37，且它们对应的特征向量依次为：201

10,1,232.

112201

取P(1,2,3)012,由于|P|280,

112

则1,2,3是A的3个线性无关的特征向量,于是

2

A可对角化,且P1AP2.

7

120

注：当然,若取P(3,1,2)201,

211

那么

7



P1AP2.

2

注意：在写对角矩阵时注意特征值与特征向量的位置对应关

系.

212

例3A533，A能否对角化？若能对角化,求

102

出可逆矩阵P.

解：由

2

EA

51323

102

(2)(2)(3)32(3)5(2)33231

1,

EA0解得A的特征值1231.当1时,解线性方程组(EA)x0,

由

312

EA523

101

11101



22011

000011

所以(EA)x0基础解系：1.

1

∵对应特征值1231的特征向量只有一个，

r13r3r25r3

0

0r3(1)

1

r1r3r2r3r2(1)r32r2

∴A不能对角化.

注意：A的对应特征值的线性无关的特征向量的个数不超过重根的重数.

3.【补充定理1】设Ann特征值为n重根,则A对应于的线性无关的特征向量个数mnR(EA)n.4.【定理5.6】方阵Ann可以对角化对于A的每一个n重根,恰有n个线性无关的特征向量,即

mnR(EA)n.

【自由未知量个数等于重根个数】结论：矩阵A的特征值互异，A一定可以对角化；矩阵A的特征值不互异，但A的特征值的重根的个数等于对应的线性无关特征向量的个数，则A一定可以对角化.

001

例4设A11x，问x为何值时，A能对角化？

100

01

解由于EA11x(1)(1),

10

所以A的特征值为121,31；

A要能对角化，则当121时，(AE)x0的基础

解系中应含两个向量，



101101r

由AE10x00x1~，

101000

即R(AE)1x10；故x1时，A能对角化

提问1．设三阶方阵A有特征值11,21,32，

其对应特征向量分别为1,2,3．记P=22,33,41，则PAP=（

1

）

12（A）（B）21

1111（C）（D）11.

22

1

1.矩阵A1与下列矩阵（）相似.

2

（下列矩阵中，谁对应特征值1，有两个线性无关的特征向

量，只能从选项3，4中找.注意到三角矩阵特征值的特殊性判断）

2（A）001（C）0

003

340100

11021

（B）001（D）0

000

200201

20.01

3.（08.1.4）设A为2阶矩阵，1,2为线性无关的2维列向量，A10,A2212，则A的非零特征值为

解：

02

A(1,2)(A1,A2)(0,212)(1,2)

01

021

记P(1,2),P可逆，故PAPB

01A与B有相同的特征值EB



2

(1)，

01

1,20,1，

故

非零的特征值为1.

ab

为实矩阵,bc0,则A可对角化.

cd

提示：EA0(ad)adbc0

4.判断正误：A

(ad)24bc0A有互异特征值.

1212

例5已知p1是矩阵A=5a3的一个特征

11b2

向量.求参数a,b及特征向量p所对应的特征值；判断A是

否可以相似对角化并说明理由.

解1）由

212111



App5a311a3.

b01b211



2）由EA(1)A的特征值为1231，

312110r

A(E)523011R(AE)2

101~000

推出(AE)x0的基础解系中只含一个解向量.故A不

可以相似对角化.

111

例6设Ax若A有三个线性无关的特征向4y，

335

量，且2为A的一个二重特征根，试求可逆矩阵P使

P1AP为对角形矩阵.

解

12xr11111r

r33r1



A2Ex2y~02x

33300

x2

依题意得R(A2E)1

y2

1x

y0

11

EA242(2)2(6),

335

所以A的特征值为122,36；122时，解(A2E)x0得基础解系

1

11p11,p20

01

2



36时，解(A6E)x0得基础解系p31；

3

1

令P(p1,p2,p3)，则PAPdiag(2,2,6).

124500

例7设A2x2与0y0相似，求

421004

x,y.

解因为

124124

rr

A2x2312x2



421505123c3c1

2x45(83x)，

500

又因为20y，所以由A与相似得

5(83x)20yA



aaa11x15y423112233

3x4y8x4

解之得.

xy1y5

说明：也可以借助5是A的一个特征值，从而由5EA0x4再求y.

321100

例8设方阵A=040,f(x)xx3，求f(A).

012

解由EA(2)(3)(4)A的特征值为14，23，32.解方程(4EA)x0，

1211054EA000r000

0

12~012

5得

14对应的特征向量为p12.

1

解方程(3EA)x0，

0210003EA010r010

0

11~001

得23对应的特征向量为p1

02.

0

解方程(2EA)x0，

12112EA020r01000

010

~010

1

得解方程得32对应的特征向量为

p03.

1

1

令Pp1,p2,p30

10111

可以求得P26

201

1

154

02,3，

012

22，0

1

所以PAPAPP

，

f(A)Pf()P1P(1003E)P1

100

01211525

1

002310062622

10010147010

210062993101521992210031001

0410070.

99199100022125

结论：若矩阵多项式

f(Ann)amAmam1Am1a1AE有n个互异

特征值，则存在可逆矩阵P使得Pf(A)Pf()即f(A)与f()相似，其中

f(i)amimam1im1a1i1（i1,2,,n），

f(nn)ammam1m1a1E

diag(f(1),f(2),f(n))

例9设三阶方阵A的特征值为11,21,30，

求A3AE.

1001

解因为A与010相似，所以APP；

000

又

111

53E1311

0013

51

551

于是A3AEP(3E)P53E=15.

另解：设f(x)x3x1，则f()31为矩阵多项式f(A)A3AE的特征值，分别取为11,21,30得

f(1)3,f(1)5,f(0)1.

故

A53AEf(1)f(1)f(0)15.

.(答案:24)

例10（1）(00.4)已知A44与B相似,且A的特征值为2,3,4,5.则BE

（2）(00.3)已知A44与B相似,且A的特征值为

1111

.(答案:24),,,.则B1E

2345

（3）设A33有特征值11,21,32,其对应的特

征向量分别为1,2,3,记P(22,33,41),则

P1APdiag(1,2,1).

（4）设A33与B相似,且A33的特征值为1,2,3.则

(2B)E

提示:A33与B相似AB6,又

(2B)2B(2B)14BB1





为(2B)的



特征值表达式,故(2B)的特征值为23,11,7.(答案:1771)

第三节

1



相似矩阵

教学过程：

本节中始终假设为对角矩阵,即

2



diag(,,,).

12n



n

一、问题的提出

1.方阵中的讨论是很简单的,将A化为,可使问题变简单.有效的方法是寻找可逆矩阵P,使PAP,即将A对角化.

2.A可对角化的条件是什么？如何寻求P？二、相似矩阵的概念

【定义5.10】设A,B都是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使PAPB,则称B是A的相似矩阵，或A与B相似.且P为相似变换矩阵.PAP称为对A作相似变换.

可以证明相似具有：自反性；对称性；传递性.且相似关系是等价关系.

三.相似矩阵的性质

1

|P1||EA||P||P1||P||EA||P1P||EA||EA|.

即A与B具有相同的特征多项式,那么A与B有相同的特

征值.

2.【推论】Ann与对角矩阵diag(1,2,,n)相似

1,2,,n就是A的特征值.[书上定义5.11]证明：显然的特征值为1,2,,n,又Ann与

diag(1,2,,n)相似，所以1,2,,n就是A的

特征值.

3.结论：A与B相似，则A与B相似；A与B相似.例1（09，3，4）设(111),(1相似于diag(3,0,0)，则k=

1

0k)T,若T

.（答案：2）

提示：相似于diag(3,0,0)的特征值为3，0，0.

110k

T

所以110k10k的对角线上的元

110k

素和等于特征值之和，即10k300k2.

四、矩阵可对角化的条件

1.【定理5.5】A与对角矩阵相似A有n个线性无关的特征向量.（即A可以对角化）证明:“”充分性：

设A有n个线性无关的特征向量1,2,,n，令P(1,2,,n),其中i是A对应于特征值i的特征向量,显然

APA(1,2,,n)(11,22,,nn)P,

因1,2,,n线性无关,知P可逆,有PAP,于是A与相似.

“”必要性：设A与相似.则存在P可逆，使PAP.

记P(1,2,,n),diag(1,2,,n)则有

1

A(1,2,,n)APP(11,22,,nn)显然,i是A对应于特征值i的特征向量,因P可逆,所以1,2,,n线性无关.

2.【推论5.2】若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角矩阵相似.

31

例1A，试问A能否对角化？若能对角化,求

13

出可逆矩阵P.

31

解由EA(4)(2)

13

得A的特征值14,22，因为1,2互异，所以A能对角化.

解线性方程组(4EA)x0得特征向量p1；

11

1

解线性方程组(2EA)x0得特征向量p2；

1

1

令P(p1,p2)，则PAPdiag(4,2).

122

例2设A224,A能否对角化？若能对角化,

242

求出可逆矩阵P.

解由上一节的计算知：已知A有特征值

122,37，且它们对应的特征向量依次为：201

10,1,232.

112201

取P(1,2,3)012,由于|P|280,

112

则1,2,3是A的3个线性无关的特征向量,于是

2

A可对角化,且P1AP2.

7

120

注：当然,若取P(3,1,2)201,

211

那么

7



P1AP2.

2

注意：在写对角矩阵时注意特征值与特征向量的位置对应关

系.

212

例3A533，A能否对角化？若能对角化,求

102

出可逆矩阵P.

解：由

2

EA

51323

102

(2)(2)(3)32(3)5(2)33231

1,

EA0解得A的特征值1231.当1时,解线性方程组(EA)x0,

由

312

EA523

101

11101



22011

000011

所以(EA)x0基础解系：1.

1

∵对应特征值1231的特征向量只有一个，

r13r3r25r3

0

0r3(1)

1

r1r3r2r3r2(1)r32r2

∴A不能对角化.

注意：A的对应特征值的线性无关的特征向量的个数不超过重根的重数.

mnR(EA)n.

001

例4设A11x，问x为何值时，A能对角化？

100

01

解由于EA11x(1)(1),

10

所以A的特征值为121,31；

A要能对角化，则当121时，(AE)x0的基础

解系中应含两个向量，



101101r

由AE10x00x1~，

101000

即R(AE)1x10；故x1时，A能对角化

提问1．设三阶方阵A有特征值11,21,32，

其对应特征向量分别为1,2,3．记P=22,33,41，则PAP=（

1

）

12（A）（B）21

1111（C）（D）11.

22

1

1.矩阵A1与下列矩阵（）相似.

2

（下列矩阵中，谁对应特征值1，有两个线性无关的特征向

量，只能从选项3，4中找.注意到三角矩阵特征值的特殊性判断）

2（A）001（C）0

003

340100

11021

（B）001（D）0

000

200201

20.01

3.（08.1.4）设A为2阶矩阵，1,2为线性无关的2维列向量，A10,A2212，则A的非零特征值为

解：

02

A(1,2)(A1,A2)(0,212)(1,2)

01

021

记P(1,2),P可逆，故PAPB

01A与B有相同的特征值EB



2

(1)，

01

1,20,1，

故

非零的特征值为1.

ab

为实矩阵,bc0,则A可对角化.

cd

提示：EA0(ad)adbc0

4.判断正误：A

(ad)24bc0A有互异特征值.

1212

例5已知p1是矩阵A=5a3的一个特征

11b2

向量.求参数a,b及特征向量p所对应的特征值；判断A是

否可以相似对角化并说明理由.

解1）由

212111



App5a311a3.

b01b211



2）由EA(1)A的特征值为1231，

312110r

A(E)523011R(AE)2

101~000

推出(AE)x0的基础解系中只含一个解向量.故A不

可以相似对角化.

111

例6设Ax若A有三个线性无关的特征向4y，

335

量，且2为A的一个二重特征根，试求可逆矩阵P使

P1AP为对角形矩阵.

解

12xr11111r

r33r1



A2Ex2y~02x

33300

x2

依题意得R(A2E)1

y2

1x

y0

11

EA242(2)2(6),

335

所以A的特征值为122,36；122时，解(A2E)x0得基础解系

1

11p11,p20

01

2



36时，解(A6E)x0得基础解系p31；

3

1

令P(p1,p2,p3)，则PAPdiag(2,2,6).

124500

例7设A2x2与0y0相似，求

421004

x,y.

解因为

124124

rr

A2x2312x2



421505123c3c1

2x45(83x)，

500

又因为20y，所以由A与相似得

5(83x)20yA



aaa11x15y423112233

3x4y8x4

解之得.

xy1y5

说明：也可以借助5是A的一个特征值，从而由5EA0x4再求y.

321100

例8设方阵A=040,f(x)xx3，求f(A).

012

解由EA(2)(3)(4)A的特征值为14，23，32.解方程(4EA)x0，

1211054EA000r000

0

12~012

5得

14对应的特征向量为p12.

1

解方程(3EA)x0，

0210003EA010r010

0

11~001

得23对应的特征向量为p1

02.

0

解方程(2EA)x0，

12112EA020r01000

010

~010

1

得解方程得32对应的特征向量为

p03.

1

1

令Pp1,p2,p30

10111

可以求得P26

201

1

154

02,3，

012

22，0

1

所以PAPAPP

，

f(A)Pf()P1P(1003E)P1

100

01211525

1

002310062622

10010147010

210062993101521992210031001

0410070.

99199100022125

结论：若矩阵多项式

f(Ann)amAmam1Am1a1AE有n个互异

特征值，则存在可逆矩阵P使得Pf(A)Pf()即f(A)与f()相似，其中

f(i)amimam1im1a1i1（i1,2,,n），

f(nn)ammam1m1a1E

diag(f(1),f(2),f(n))

例9设三阶方阵A的特征值为11,21,30，

求A3AE.

1001

解因为A与010相似，所以APP；

000

又

111

53E1311

0013

51

551

于是A3AEP(3E)P53E=15.

另解：设f(x)x3x1，则f()31为矩阵多项式f(A)A3AE的特征值，分别取为11,21,30得

f(1)3,f(1)5,f(0)1.

故

A53AEf(1)f(1)f(0)15.

.(答案:24)

例10（1）(00.4)已知A44与B相似,且A的特征值为2,3,4,5.则BE

（2）(00.3)已知A44与B相似,且A的特征值为

1111

.(答案:24),,,.则B1E

2345

（3）设A33有特征值11,21,32,其对应的特

征向量分别为1,2,3,记P(22,33,41),则

P1APdiag(1,2,1).

（4）设A33与B相似,且A33的特征值为1,2,3.则

(2B)E

提示:A33与B相似AB6,又

(2B)2B(2B)14BB1





为(2B)的



特征值表达式,故(2B)的特征值为23,11,7.(答案:1771)

第三节相似矩阵2013-5-3(修改完)

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