数列极限例题

三、数列的极限 (1)n1

当n时的变化趋势. 观察数列{1n

问题: 当n无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定? 通过上面演示实验的观察:

(1)n1

当n无限增大时, xn1无限接近于1. n

问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.

xn (1)n1

给定11 nn1111, 由, 只要n100时, 有xn1, 100n100100

11,只要n1000时, 有xn1, 给定10001000

11,只要n10000时, 有xn1, 给定1000010000

1给定0,只要nN([])时, 有xn成立. 

定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在正整数N, 使得对于nN时的一切xn, 不等式xna都成立, 那末就称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a, 记为

limxna, 或xna(n). n

如果数列没有极限, 就说数列是发散的.

注意：

N定义:limxna0,N0, 使nN时, 恒有xna. n

其中记号:每一个或任给的; :至少有一个或存在.

数列收敛的几何解释:

221N13

当nN时, 所有的点xn都落在(a,a)内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.

注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.

n(1)n1

1. 例1 证明limnn

n(1)n111 . 证 注意到xn nn

任给0, 若要xn, 只要11,或 n, n

所以, 取 N[], 则当nN时, 就有 1



n(1)n1

1. n

n(1)n1

1. 即limnn

重要说明：（1）为了保证正整数N，常常对任给的0,给出限制01；

n(1)n1

”的详细推理 （2）逻辑“取 N[], 则当nN时, 就有n1

见下，以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理.

由于N

立.

严格写法应该是：任给0, 不妨取01， 若要11N1，所以当nN时一定成立nN11，即得1成n

n(1)n11111

1111NN1，所以当nN时一定成立nN1，即得成立. 也就n

是成立

n(1)n111. xn=nn

n(1)n1

1. 即limnn

小结: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给定0,寻找N, 但不必要求最小的N. 例3证明limq0, 其中q1. nn

证 任给0(要求ε

n若0q1, xn0q, nlnqln, n

nlnln, 取N[](1), 则当nN时, 就有qn0, lnqlnq

limqn0. n

0,q1,q1,,n 说明：当作公式利用：limq n1,　　　q1,不存在，q1.

三、数列的极限 (1)n1

当n时的变化趋势. 观察数列{1n

问题: 当n无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定? 通过上面演示实验的观察:

(1)n1

当n无限增大时, xn1无限接近于1. n

问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.

xn (1)n1

给定11 nn1111, 由, 只要n100时, 有xn1, 100n100100

11,只要n1000时, 有xn1, 给定10001000

11,只要n10000时, 有xn1, 给定1000010000

1给定0,只要nN([])时, 有xn成立. 

定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在正整数N, 使得对于nN时的一切xn, 不等式xna都成立, 那末就称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a, 记为

limxna, 或xna(n). n

如果数列没有极限, 就说数列是发散的.

注意：

N定义:limxna0,N0, 使nN时, 恒有xna. n

其中记号:每一个或任给的; :至少有一个或存在.

数列收敛的几何解释:

221N13

当nN时, 所有的点xn都落在(a,a)内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.

注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.

n(1)n1

1. 例1 证明limnn

n(1)n111 . 证 注意到xn nn

任给0, 若要xn, 只要11,或 n, n

所以, 取 N[], 则当nN时, 就有 1



n(1)n1

1. n

n(1)n1

1. 即limnn

重要说明：（1）为了保证正整数N，常常对任给的0,给出限制01；

n(1)n1

”的详细推理 （2）逻辑“取 N[], 则当nN时, 就有n1

见下，以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理.

由于N

立.

严格写法应该是：任给0, 不妨取01， 若要11N1，所以当nN时一定成立nN11，即得1成n

n(1)n11111

1111NN1，所以当nN时一定成立nN1，即得成立. 也就n

是成立

n(1)n111. xn=nn

n(1)n1

1. 即limnn

小结: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给定0,寻找N, 但不必要求最小的N. 例3证明limq0, 其中q1. nn

证 任给0(要求ε

n若0q1, xn0q, nlnqln, n

nlnln, 取N[](1), 则当nN时, 就有qn0, lnqlnq

limqn0. n

0,q1,q1,,n 说明：当作公式利用：limq n1,　　　q1,不存在，q1.