圆中的多解问题（教案设计）
苏科版九年级5.1~5.4问题研讨
设计思想：
来源于一位学生的问题，评价手册140页选择题的第四
小题，该题的答案虽然简单，但是过程不好用数学符号描述，故且采用动手做实验和课件演示的方法，让学生感知其过程。在演示过程中发现多解问题，进而特意翻阅了近几年的中考试题，该类问题平均4~6分，有的甚至12分。所以才设计此专题，让学生感受圆中的多解问题。
学情分析：
三（6）班整体数学素质一般偏下，优生10人左右，中
等生10左右，后进生20人左右，但学风较好，能与老师积极配合。所以设计问题不能太多，不能过于繁琐、复杂，让学生了解该数学思想方法即可。限5.1~5.4。
设计流程： （1）从简单的问题入手，引出多解问题；
（2）探索由图形位置不同而引发的多种情况问题；
（3）探索由圆本身的对称性导致多种情况的问题；
（4）小结
（5）反馈练习5分钟左右
教学目标：
知识技能目标：在了解圆的对称性的基础上，掌握点、弦、角位置的不唯一性，并会根据具体问题加以分类讨论。
过程性目标：经历对圆中不唯一的点、弦、角的探索过程，体会多解的来源，初步学会“分类”与“数形结合”的数学思想方法。
情感态度目标：在数学活动中培养学生主动探究的能力，并使学生在学习过程中获得成功的经验，训练学生敢于面对挑战的意志。
教学重点：解决简单的圆中多解问题，并学会说理。
教学难点：如何确定圆中多解问题的情况。
教学过程：
问题探索：
问题1：已知⊙O 的弦 AB 所对的圆心角等于140，则弦AB 所对的圆周角的度数为__________.
O
练一练
已知⊙O 是∆ABC 的外接圆，OD ⊥BC 且交BC 于点D ，∠BOC=40，则∠BAC 为多少度？
{点在弦AB 所对的优弧上或劣弧上}
问题2、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AB=2， CO ⊥AB, 在图中画出弦AD ，使AD=1，并求∠CAD 的度数。
B
{
{圆的对称性}
问题3：点p 到⊙
O 的最大距离为6cm ，最小距离为2cm ，求⊙的半径。
{点与圆的位置关系}
变式： ⊙O 的半径为5，已知平面上一点P 到圆周上的点的最短距离为3，则到圆周上的点的最长距离为___________. 练一练
（2007南京中考）如图，点A 是半径为12cm ⊙O 上的一个定点，动点P 从A 点出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 时立即停止运动。
如果∠POA=90 ，求点P 的运动时间。O O （3s 或9s ） A
{师生共同分析后，学生独立完成}
数学实验
如图：点p 是半径为5的⊙O 内一点，且OP=4，在⊙O 中，过点P 的所有弦中，
（1） 存在长为8的弦吗？猜一猜！ （2） 存在长为4的弦吗？为什么？
{只要弦长在6与10之间均存在两条}
五、小 结
{如果有时间可让学生先说一说}
1、图形位置不同而引发的多种情况，则需按一定的标准，进行分情况讨论。
2、根据圆的对称性，常常可以找到几个性质相同的弦或角，则需逐一加以讨论。
{在以后的学习中我们会继续探索直线与圆、圆与圆等图形中的多解问题}
反馈练习：
1、已知点P 到圆周上的点的最长距离为7，最短距离为3，此圆的半径是___________.
2、已知⊙O 的半径是6cm ，
⊙O 的弦AB=6cm， 则弦AB 所对的圆周角等于_______ 。
3、已知圆形下水道的横截面直径为100cm ，如果水面宽AB 为80cm ，求下水道中水的最大深度。（20cm 或80cm ）
{下面练习留以备用}
六、补充练习
1、已知半径为5cm 的⊙O 内有两条平行弦AB 、CD ，且AB=6cm，CD=8cm，求AB 、CD 间的距离。（1或7）
2、在半径为1的⊙O 中，AE 为直径，点B 、C 在圆O 上，ΔABE 和ΔACE 均为直角三角形，弦AB 、AC 的长分别为和2，则∠BAC 等于________。（75或15）
O O
圆中的多解问题（教案设计）
苏科版九年级5.1~5.4问题研讨
设计思想：
来源于一位学生的问题，评价手册140页选择题的第四
小题，该题的答案虽然简单，但是过程不好用数学符号描述，故且采用动手做实验和课件演示的方法，让学生感知其过程。在演示过程中发现多解问题，进而特意翻阅了近几年的中考试题，该类问题平均4~6分，有的甚至12分。所以才设计此专题，让学生感受圆中的多解问题。
学情分析：
三（6）班整体数学素质一般偏下，优生10人左右，中
等生10左右，后进生20人左右，但学风较好，能与老师积极配合。所以设计问题不能太多，不能过于繁琐、复杂，让学生了解该数学思想方法即可。限5.1~5.4。
设计流程： （1）从简单的问题入手，引出多解问题；
（2）探索由图形位置不同而引发的多种情况问题；
（3）探索由圆本身的对称性导致多种情况的问题；
（4）小结
（5）反馈练习5分钟左右
教学目标：
知识技能目标：在了解圆的对称性的基础上，掌握点、弦、角位置的不唯一性，并会根据具体问题加以分类讨论。
过程性目标：经历对圆中不唯一的点、弦、角的探索过程，体会多解的来源，初步学会“分类”与“数形结合”的数学思想方法。
情感态度目标：在数学活动中培养学生主动探究的能力，并使学生在学习过程中获得成功的经验，训练学生敢于面对挑战的意志。
教学重点：解决简单的圆中多解问题，并学会说理。
教学难点：如何确定圆中多解问题的情况。
教学过程：
问题探索：
问题1：已知⊙O 的弦 AB 所对的圆心角等于140，则弦AB 所对的圆周角的度数为__________.
O
练一练
已知⊙O 是∆ABC 的外接圆，OD ⊥BC 且交BC 于点D ，∠BOC=40，则∠BAC 为多少度？
{点在弦AB 所对的优弧上或劣弧上}
问题2、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AB=2， CO ⊥AB, 在图中画出弦AD ，使AD=1，并求∠CAD 的度数。
B
{
{圆的对称性}
问题3：点p 到⊙
O 的最大距离为6cm ，最小距离为2cm ，求⊙的半径。
{点与圆的位置关系}
变式： ⊙O 的半径为5，已知平面上一点P 到圆周上的点的最短距离为3，则到圆周上的点的最长距离为___________. 练一练
（2007南京中考）如图，点A 是半径为12cm ⊙O 上的一个定点，动点P 从A 点出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 时立即停止运动。
如果∠POA=90 ，求点P 的运动时间。O O （3s 或9s ） A
{师生共同分析后，学生独立完成}
数学实验
如图：点p 是半径为5的⊙O 内一点，且OP=4，在⊙O 中，过点P 的所有弦中，
（1） 存在长为8的弦吗？猜一猜！ （2） 存在长为4的弦吗？为什么？
{只要弦长在6与10之间均存在两条}
五、小 结
{如果有时间可让学生先说一说}
1、图形位置不同而引发的多种情况，则需按一定的标准，进行分情况讨论。
2、根据圆的对称性，常常可以找到几个性质相同的弦或角，则需逐一加以讨论。
{在以后的学习中我们会继续探索直线与圆、圆与圆等图形中的多解问题}
反馈练习：
1、已知点P 到圆周上的点的最长距离为7，最短距离为3，此圆的半径是___________.
2、已知⊙O 的半径是6cm ，
⊙O 的弦AB=6cm， 则弦AB 所对的圆周角等于_______ 。
3、已知圆形下水道的横截面直径为100cm ，如果水面宽AB 为80cm ，求下水道中水的最大深度。（20cm 或80cm ）
{下面练习留以备用}
六、补充练习
1、已知半径为5cm 的⊙O 内有两条平行弦AB 、CD ，且AB=6cm，CD=8cm，求AB 、CD 间的距离。（1或7）
2、在半径为1的⊙O 中，AE 为直径，点B 、C 在圆O 上，ΔABE 和ΔACE 均为直角三角形，弦AB 、AC 的长分别为和2，则∠BAC 等于________。（75或15）
O O