勾股定理题型总结

勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能

一、本章知识内容归纳

1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。 （1）重视勾股定理的叙述形式：

①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.

从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。 （2）定理的作用：

①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。

③作长为n的线段。（利用勾股定理探究长度为2,,……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。） 2、勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下：

①首先确定最大的边（如c）

②验证ab与c是否具有相等关系：

若abc，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形。 若abc，则△ABC不是直角三角形。

2

2

2

2

2

2

2

2

2

补充知识：

222222

当abc时，则是锐角三角形；当abc时，则是钝角三角形。

（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股数组的一般规律： ① ② ③

丢番图发现的：式子mn,2mn,mn(mn的正整数）

22

毕达哥拉斯发现的：2n1,2n2n,2n2n1（n1的整数） 22

柏拉图发现的：2n,n1,n1（n1的整数）

2

2

2

2

1

3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件：

勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。 （2）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可，不必专门训练.

二、本章解题技能归纳

1、直角三角形的性质与判定小结 （1）直角三角形的性质：

角的关系：直角三角形两锐角互余。

边的关系：直角三角形斜边大于直角边。直角三角形两直角边的平方和等于斜边

的平方。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。 双垂图：双垂图中的线段关系。 （2）直角三角形的判定：

①有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形。

③两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。 2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长

设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c，由勾股定理知道：a2b2c2。变形得：a

因此已知直角三角形的任意两边，c2b2,bc2a2,ca2b2，

利用勾股定理可求出第三条边。

3、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边 （1）含有30°的直角三角形的三边的比为：1：:2。 （2）含有45°的直角三角形的三边的比为：1:1:2。 （3）等边三角形的边长为a，则高为

a2

a。 ，面积为

24

三、阅读与思考——“希波克拉底月牙形”

（1如左图：∠C=90°，图中有阴影的三个半圆

的面积S1,S2,S3有什么关系？ 答：

（2）如图：∠C=90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为

2

勾股定理知识技能和题型归纳（二）——题型

一、基础练习（要求熟练掌握）

1、在ΔABC中，a,b,c为三边长.

(1)当∠A=90°时，三边关系 . (2)当∠C=90°时，三边关系 .

(3)当acb时，°.

2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c. （1） 已知a=5,b=12,则c= ; （2） 已知b=6,c=10, 则a= （3） 已知a=2,c=5,则b= ；

2

2

2

a

b

（4） 已知a=15,b=20, 则△ABC的周长= ； （5） 已知a=2, c =2.5, 则△ABC的面积= ； （6） 已知a: c =3:5, a+ c =32, 则b= ;

（7） 已知c =10, a: b=3:4, 则a= , b= ，斜边上的高= 。 3、已知△ABC是直角三角形，AC=3，BC=5， 求AB的长。

4、在△ABC中，∠C=90°，AB=20。

（1）若∠B=45°，求BC、AC。（2）若∠A=60°，求BC、AC。

5、求下列图中未知数x、y、z的值：

x= ;

y= ; z= ;

3

二、与其它章节知识的联系

6、在△ABC的三边 a,b,c，且acbcab，判断△ABC的形状。

7、若△ABC的三边a,b,c满足条件abc33810a24b26c，判断 △ABC的形状。

22

8、△ABC的三边a,b,c，满足ab10012b16a,c边的长是

2

2

2

2

2

2

2

4

4

2x5

3 的解，求△ABC中最大角的度数。 x5x5

9、用本章学过的知识判断直线y3x3与y

4

1

x3的位置关系，说明理由。 3

10、在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

11、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

12、如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25千米，C、D为两个村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=15 千米，CB=10千米，现要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村到E的的距离相等，则E应建在距A多少千米处？

13、在河L的同侧有两个仓库A、B相距1640米，其中A距河210米，B距河570米，现要在河岸上建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和最短，问：这个最短路程是多少？码头应建在何处？

5

三、典型数学思想、方法的训练

(一)方程思想进行计算

14、小明用一根长30厘米的绳子折成三段，围成一个三角形，他用尺子量了一下，其中一条线段的长度比较短线段长7厘米，比较长线段短1厘米，请你帮助小明判断一下，他围成的三角形是直角三角形吗？

15、已知△ABC中，∠C=90°，D、E分别为BC、AC 的中点，AD=5，BE=2，求AB的长.

16、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少？

17、如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，

FG2

作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求的值． 2

AB

6

(二)构造直角三角形

18、已知△ABC中，AB=8，AC=7，BC=6，求△ABC的面积。

19、已知△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB－AC=2-2，求BC的长。

20、已知：如图，AB＝AC＝20，BC＝32，

D为BC边上一点，∠DAC＝90°．求BD的长．

21、（1）写出三种用“构造斜边长为的直角三角形的方法”作长为7的线段的方案。

（2）能否通过“构造直角边长为7的直角三角形的方法” 来作长为的线段？若能，写出三角形的三边；若不能，说明理由。

7

（3）在（1）中，作长为7的线段，往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长为7的线段，对于正整数k，能否通过构造两边均为有理数的直角三角形求出作长为k的线段？若能，请写出此时三角形三边之间的关系；若不能，请说明理由。

(三)勾股定理与变换

22、已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，BC与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长。

D

B

23、（2004年荆州中考）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种证明方法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到ABCD的位置，连结

'

'

''

'

CC'，设ABa,BCb,ACc，请利用四边形BCC'D'的面积证明勾股定理。

8

24、△ABC中,CD是AB边上的中线，AC=8，BC=6，CD=5，判断△ABC的形状。

(四)面积法:

h12h12

h,h,h123()()1，那么这个三角形25、设表示三角形的三条高，如果h2h3

是什么三角形？

26、证明：直角三角形的斜边与斜边上的高的和大于两直角边之和。

27、已知：平面直角坐标系xOy内，点A

（），C(0,－3)， ），B

（1）判断ABC的形状并说明理由；

（2）若点D

的坐标为(4)，求BCD中CD边上的高h的值.

9

28.如图，已知直线y

x1与x轴、y轴分别 3

交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内

O

作等腰RtΔABC, ∠BAC=90,且P(1,a)为坐标系中 的一个动点.

(1)求ΔABC的面积SABC；

(2)证明不论a取任何实数，ΔBOP的面积是一个常数； (3)要使得ΔABC和ΔABP的面积相等，求实数a的值.

(五)代数计算证明几何问题:

29、求证：直角三角形中两直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．

30、如图△ABC中，∠C=90°，M是CB的中点，MD⊥AB于D，

AD、BD、AC总能构成一个直角三角形。

10

31、正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，AF=1

AD，求证：CE⊥EF.

32、（1）已知：如图，CD⊥AB，OA＞OB， 求证：①AC2

BD2

AD2

BC2

；

②AC2

BC2

AD2

BD2

.

（2）运用（1）的结论可以证明下列命题： 已知：如图，设M是△ABC内部任意一点， MD⊥AB于G，ME⊥BC于K，MF⊥CA于H，BD=BE，CE=CF，求证：AD=AF；

4

AF

A

B

(六)图形的割、补与拼图

33、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4， CD=5，AD=52，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。

34、一块四边形的草地ABCD,其中∠A=60°,

∠B=∠D=90°,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积.

35、有十字形，它由五个全等的正方形组成，如图所示，你能把它切成三块，拼成一个长是宽的2倍的长方形吗？（先计算，再拼图）

备用图：

36、现有一张长为6.5，宽为2的纸片，请你将它分割成6块，再合并成一个正方形，要求先画出分割线，再拼成正方形并证明你的方法的正确性。

(七)运动、开放与探究

37、在△ABC中，设BCa,ACb,BAc,当∠C=90°时，根据勾股定理有

a2b2c2；若△ABC不是直角三角形，请你类比勾股定理，试猜想a2b2

与c的关系，并证明你的结论。

38、如图，M是Rt△ABC斜边AB的中点， P、Q分别在AC、BC上，PM⊥MQ，

判断PQ、AP与BQ的数量关系并证明你的结论.

2

B

39、△ABC中，AB=AC=4，点P在BC边上运动，猜想APPBPC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想.

2

40、已知：矩形ABCD．（四个角是直角）

① Ｐ为矩形内一点（如图a），求证: PAPCPBPD;

② 探索P运动到AD边上(如图b）、矩形ABCD外(如图c）时，结论是否仍然成立．

41、探索勾股数的规律：

观察下列各组数：（3，4，5）（5，12，13）（7，24，25）（9，40，41）……，

22

32151714,1,

222可发现：，请你写出第k个数

2222

组： .

四、格点问题(中考出现的较热门的新题型)

42．（2007金华中考）如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的

直角三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 ．

备用图

43．

备用图：

勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能

一、本章知识内容归纳

1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。 （1）重视勾股定理的叙述形式：

①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.

从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。 （2）定理的作用：

①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。

③作长为n的线段。（利用勾股定理探究长度为2,,……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。） 2、勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下：

①首先确定最大的边（如c）

②验证ab与c是否具有相等关系：

若abc，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形。 若abc，则△ABC不是直角三角形。

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2

2

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2

2

补充知识：

222222

当abc时，则是锐角三角形；当abc时，则是钝角三角形。

（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股数组的一般规律： ① ② ③

丢番图发现的：式子mn,2mn,mn(mn的正整数）

22

毕达哥拉斯发现的：2n1,2n2n,2n2n1（n1的整数） 22

柏拉图发现的：2n,n1,n1（n1的整数）

2

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1

3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件：

勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。 （2）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可，不必专门训练.

二、本章解题技能归纳

1、直角三角形的性质与判定小结 （1）直角三角形的性质：

角的关系：直角三角形两锐角互余。

边的关系：直角三角形斜边大于直角边。直角三角形两直角边的平方和等于斜边

的平方。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。 双垂图：双垂图中的线段关系。 （2）直角三角形的判定：

①有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形。

③两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。 2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长

设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c，由勾股定理知道：a2b2c2。变形得：a

因此已知直角三角形的任意两边，c2b2,bc2a2,ca2b2，

利用勾股定理可求出第三条边。

3、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边 （1）含有30°的直角三角形的三边的比为：1：:2。 （2）含有45°的直角三角形的三边的比为：1:1:2。 （3）等边三角形的边长为a，则高为

a2

a。 ，面积为

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三、阅读与思考——“希波克拉底月牙形”

（1如左图：∠C=90°，图中有阴影的三个半圆

的面积S1,S2,S3有什么关系？ 答：

（2）如图：∠C=90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为

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勾股定理知识技能和题型归纳（二）——题型

一、基础练习（要求熟练掌握）

1、在ΔABC中，a,b,c为三边长.

(1)当∠A=90°时，三边关系 . (2)当∠C=90°时，三边关系 .

(3)当acb时，°.

2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c. （1） 已知a=5,b=12,则c= ; （2） 已知b=6,c=10, 则a= （3） 已知a=2,c=5,则b= ；

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（4） 已知a=15,b=20, 则△ABC的周长= ； （5） 已知a=2, c =2.5, 则△ABC的面积= ； （6） 已知a: c =3:5, a+ c =32, 则b= ;

（7） 已知c =10, a: b=3:4, 则a= , b= ，斜边上的高= 。 3、已知△ABC是直角三角形，AC=3，BC=5， 求AB的长。

4、在△ABC中，∠C=90°，AB=20。

（1）若∠B=45°，求BC、AC。（2）若∠A=60°，求BC、AC。

5、求下列图中未知数x、y、z的值：

x= ;

y= ; z= ;

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二、与其它章节知识的联系

6、在△ABC的三边 a,b,c，且acbcab，判断△ABC的形状。

7、若△ABC的三边a,b,c满足条件abc33810a24b26c，判断 △ABC的形状。

22

8、△ABC的三边a,b,c，满足ab10012b16a,c边的长是

2

2

2

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2

2

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4

2x5

3 的解，求△ABC中最大角的度数。 x5x5

9、用本章学过的知识判断直线y3x3与y

4

1

x3的位置关系，说明理由。 3

10、在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

11、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

12、如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25千米，C、D为两个村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=15 千米，CB=10千米，现要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村到E的的距离相等，则E应建在距A多少千米处？

13、在河L的同侧有两个仓库A、B相距1640米，其中A距河210米，B距河570米，现要在河岸上建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和最短，问：这个最短路程是多少？码头应建在何处？

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三、典型数学思想、方法的训练

(一)方程思想进行计算

14、小明用一根长30厘米的绳子折成三段，围成一个三角形，他用尺子量了一下，其中一条线段的长度比较短线段长7厘米，比较长线段短1厘米，请你帮助小明判断一下，他围成的三角形是直角三角形吗？

15、已知△ABC中，∠C=90°，D、E分别为BC、AC 的中点，AD=5，BE=2，求AB的长.

16、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少？

17、如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，

FG2

作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求的值． 2

AB

6

(二)构造直角三角形

18、已知△ABC中，AB=8，AC=7，BC=6，求△ABC的面积。

19、已知△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB－AC=2-2，求BC的长。

20、已知：如图，AB＝AC＝20，BC＝32，

D为BC边上一点，∠DAC＝90°．求BD的长．

21、（1）写出三种用“构造斜边长为的直角三角形的方法”作长为7的线段的方案。

（2）能否通过“构造直角边长为7的直角三角形的方法” 来作长为的线段？若能，写出三角形的三边；若不能，说明理由。

7

（3）在（1）中，作长为7的线段，往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长为7的线段，对于正整数k，能否通过构造两边均为有理数的直角三角形求出作长为k的线段？若能，请写出此时三角形三边之间的关系；若不能，请说明理由。

(三)勾股定理与变换

22、已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，BC与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长。

D

B

23、（2004年荆州中考）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种证明方法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到ABCD的位置，连结

'

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''

'

CC'，设ABa,BCb,ACc，请利用四边形BCC'D'的面积证明勾股定理。

8

24、△ABC中,CD是AB边上的中线，AC=8，BC=6，CD=5，判断△ABC的形状。

(四)面积法:

h12h12

h,h,h123()()1，那么这个三角形25、设表示三角形的三条高，如果h2h3

是什么三角形？

26、证明：直角三角形的斜边与斜边上的高的和大于两直角边之和。

27、已知：平面直角坐标系xOy内，点A

（），C(0,－3)， ），B

（1）判断ABC的形状并说明理由；

（2）若点D

的坐标为(4)，求BCD中CD边上的高h的值.

9

28.如图，已知直线y

x1与x轴、y轴分别 3

交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内

O

作等腰RtΔABC, ∠BAC=90,且P(1,a)为坐标系中 的一个动点.

(1)求ΔABC的面积SABC；

(2)证明不论a取任何实数，ΔBOP的面积是一个常数； (3)要使得ΔABC和ΔABP的面积相等，求实数a的值.

(五)代数计算证明几何问题:

29、求证：直角三角形中两直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．

30、如图△ABC中，∠C=90°，M是CB的中点，MD⊥AB于D，

AD、BD、AC总能构成一个直角三角形。

10

31、正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，AF=1

AD，求证：CE⊥EF.

32、（1）已知：如图，CD⊥AB，OA＞OB， 求证：①AC2

BD2

AD2

BC2

；

②AC2

BC2

AD2

BD2

.

（2）运用（1）的结论可以证明下列命题： 已知：如图，设M是△ABC内部任意一点， MD⊥AB于G，ME⊥BC于K，MF⊥CA于H，BD=BE，CE=CF，求证：AD=AF；

4

AF

A

B

(六)图形的割、补与拼图

33、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4， CD=5，AD=52，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。

34、一块四边形的草地ABCD,其中∠A=60°,

∠B=∠D=90°,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积.

35、有十字形，它由五个全等的正方形组成，如图所示，你能把它切成三块，拼成一个长是宽的2倍的长方形吗？（先计算，再拼图）

备用图：

36、现有一张长为6.5，宽为2的纸片，请你将它分割成6块，再合并成一个正方形，要求先画出分割线，再拼成正方形并证明你的方法的正确性。

(七)运动、开放与探究

37、在△ABC中，设BCa,ACb,BAc,当∠C=90°时，根据勾股定理有

a2b2c2；若△ABC不是直角三角形，请你类比勾股定理，试猜想a2b2

与c的关系，并证明你的结论。

38、如图，M是Rt△ABC斜边AB的中点， P、Q分别在AC、BC上，PM⊥MQ，

判断PQ、AP与BQ的数量关系并证明你的结论.

2

B

39、△ABC中，AB=AC=4，点P在BC边上运动，猜想APPBPC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想.

2

40、已知：矩形ABCD．（四个角是直角）

① Ｐ为矩形内一点（如图a），求证: PAPCPBPD;

② 探索P运动到AD边上(如图b）、矩形ABCD外(如图c）时，结论是否仍然成立．

41、探索勾股数的规律：

观察下列各组数：（3，4，5）（5，12，13）（7，24，25）（9，40，41）……，

22

32151714,1,

222可发现：，请你写出第k个数

2222

组： .

四、格点问题(中考出现的较热门的新题型)

42．（2007金华中考）如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的

直角三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 ．

备用图

43．

备用图：