《双曲线的定义及其标准方程》说课教案
各位专家，各位老师：
一、 教材分析与处理 1、 教材的地位与作用
学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
2、 学生状况分析：
学生在学习这节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也曾经尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础。另外，高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。
根据以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律我希望学生能达到以下三个教学目标。
3、 教学目标
（1） 知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；
（2） 过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；
（3） 情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
4． 教学重点、难点
依据教学目标，根据学生的认知规律，确定本节课的重点是理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。难点是双曲线标准方程的推导。
5、 教材处理：
我对教学内容作了一点调整：教材中是借用细绳画出的双曲线图形，而我改用几何画板画出双 曲线图形。因为相比之下，几何画板更为形象直观。通过几何画板，学生不仅可看到双曲线形 成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线形成的联系和区别。 三、 教学过程与设计
为达到本节课的教学目标，更好地突出重点，分散难点，我把教学过程分为四个阶段。 知识引入---- 知识回顾、观察动画、概括定义
在课的开始我设置了这样几个问题，以帮助学生进行知识回顾： 椭圆的第一定义是什么？定义中哪些字非常关键？
椭圆的标准方程是什么？
如何判断焦点位置？a 、b 、c 是何种关系？（片）
通过回顾，既检测了学生对前面知识的掌握情况，同时又为下面双曲线的学习做好铺垫。之后，告诉学生：今天要学习一种新的曲线。
打开几何画板，首先通过动画让学生再一次回顾椭圆的生成过程，然后改变图中的条件，将F 1, F 2
距离变大，动画生成一种新的曲线，学生易看出该曲线为双曲线。
双曲线的定义其实就是动点所满足的关系，那么双曲线的定义是什么？也就是动点所满足的关系是什么？这个问题可让学生进行探究。
解决这个问题有两个难点：一是距离的运算关系的得出；二是运算关系的简化。
在探究中，学生类比椭圆会想到动点到两定点的距离差为定值，会认为这个定值必是正值，而忽视了距离差为负值的情况，这样实质上只能得到双曲线的一支。对于这种情况，我采取启发引导，把P 从一支移到另一支，然后让学生再次思考自己得到的关系是否正确。在引导下，学生会想到自己缺少一种情况，动点到两定点的距离差为正值或正值的相反数。但这个关系能不能加以简化？学生这个时候会联想到利用绝对值进行简化。这样就得到了动点所满足的较为精炼的关系，也就是得到了双曲线的定义。
这一设计让学生先形象直观地看到椭圆与双曲线的形成过程，在此基础上，再通过教师的引导，学
生就可在观察思考中一步一步地由感性认识上升到理性认识，最终得到双曲线定义，从而培养了学生的观察能力及概括能力。另外，这一设计也在形的方面实现了椭圆与双曲线的比较，也为下面双曲线定义的挖掘及两种曲线的对比打下基础。
随着双曲线定义的得出，教学进入第二阶段---知识探索 （二） 知识探索---- 定义的挖掘、标准方程的推导、方程的对比
1、定义的挖掘
在这一环节中，我们要认识到定义中的绝对值和两点间距离与常数的大小关系二者对曲线的影响。首先，我设置了这样两个问题：
（1）类比椭圆寻找双曲线定义中的关键字；
（2）若分别去掉这几个关键字曲线会发生怎样变化？（片）
然后让学生带着问题进行合作探究，教师可适当引导，对于学生难以理解的地方适时给予帮助指导。
虽然学生学习椭圆定义时也接触过类似问题，但双曲线较为复杂，比如 ：增加了“绝对值”等等。
学生要独立完成会较为困难，所以采取合作探究。这个过程既可以加深学生对定义的理解，又让可学生在相互交流中互相启发、激励、共同进步提高，从而培养学生的表达能力和协作能力。
在得出结论后，我又为学生提供了以下题目： 请说出下列方程对应曲线的名称： (1) F 1(-5, 0), F 2(5, 0), ||PF 1|-|PF 2||=6(2) F 1(-5, 0), F 2(5, 0), |PF 1|-|PF 2|=6
(双曲线) (双曲线右支)
（3
）|（4
）（5）
（6
）
=6 （双曲线） -
=6 （双曲线右支）
=25 （椭圆）
（片） =8（以（0，4）为端点，沿着y 轴正向的一条线）
这些题目由浅入深，前面两题学生可由双曲线定义直接认识到动点的几何含义，后四题需根据两点间距离公式及椭圆双曲线定义间接认识到动点的几何含义。这样设置有了过渡，学生不会觉得跨度很大，处理起来比较顺手。通过这些题的练习可以加深学生对定义的理解，更重要的这些题目就是学生对自己研究结果的应用。让学生体验到应用自己探究果实的喜悦，对学生来说是一种激励，一举两得。
标准方程的推导
这一环节是本节课的难点，为了突破它，我设置了这样几个问题让其贯穿推导过程以将难点分解：
回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法； 类比椭圆试着推导双曲线的标准方程； 换元处理与椭圆有没有区别？
猜证双曲线焦点在 y 轴上的标准方程。（片） 然后让学生独立完成推导过程。
这样设置的目的是考虑到由定义求方程，就是求轨迹方程的问题，并且双曲线的标准方程推导过程与椭圆十分类似，学生有能力独立完成。但在由于化简根式时运算量较大，处理起来很可能出现一些运算错误。另外，变形时绝大多数学生会想到先移项再平方，少部分学生会直接平方。若直接平方，就会出现4次方，较为复杂。如果在实际教学中，有学生提出这种做法，我会让然后让大家参与分析讨论，看看哪种做法更为简便。以让学生认识到今后在变形前要考虑清楚不要盲目去做。整个这个推导过程，不仅提高了学生的变形能力、运算能力，而且也提高学生的分析问题和解决问
题的能力。
3、方程的对比
此时，学生接触的方程已比较多，很容易混淆，有必要加以对比。 我引导学生进行以下两组对比：（1）双曲线方程的两种形式的对比；（2）椭圆方程与双曲线方程的对比。（片）对比时会让学生注意方程结构的区别和联系，比如说：到底是平方差还是平方和。另外，还要注意椭圆方程和双曲线方程都涉及到的三个量a 、b 、c 它们的区别和联系。对比后，学生可初步的分清四个标准方程及知道如何判断a 、b 、c 。之后，我又准备了这样一组题：
请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及a 、 b 、c 的值：
(1)
x
2
9
-
y
2
4
=1(2)
x
2
9
+
y
2
4
=1(3)
y
2
9
+
x
2
4
=1(4)
x
2
9
-
y
2
4
=-1（
可以检测学生对四个方程的掌握程度。学生处理时，前三题起来会比较顺利，第4题很可能
出现
问题。因为需变成标准形式之后再判断焦点位置及a 、b 、c 的值。
（三）知识应用----例题与巩固练习
1、
例题：
在本环节中我为学生准备处理两道例题，例题可由学生讲解，教师指导补充。
例1、 已知双曲线焦点的坐标为 F 1(-5, 0), F (5,0) ，双曲线上一点P 到F 1，F 2 的距离的差的绝
对值等于6，求双曲线的标准方程。
这道题难度不大，可直接利用定义求标准方程。也可以按求轨迹方程的方法求标准方程，学
生
不会出现太大问题。但是要向学生指明，如果某种轨迹适合某种曲线的定义，就不必再用列方程求解，
只要利用定义求出常规待定函数即可。
9
（3，-，（，5）例2、 已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点P 1，P 2的坐标为
4
求双曲线的标准方程。（片）
这道题可采用待定系数法求标准方程。本题中双曲线焦点在y 轴上，学生在求解过程中很可能会 忽视这个条件，易将方程设成焦点在x 轴的。教师可及时加以强调，让学生注意审题，以培养学生紧
密
的思维和严谨的学习态度。
设置两道题是考虑到他们都来源于教材，紧紧围绕双曲线的定义和标准方程，题目典型而且也
有
梯度，可使学生初步掌握定义及标准方程的应用。 2、 巩固练习
练习是学习活动中不可缺少的环节，可巩固对知识的理解，在这一环节我为学生准备了三道 练习题。
（1）已知双曲线的实轴长为6，焦距为10，则该双曲线的标准方程为（ ） A.
x
2
9x
2
-
y
2
16
2
=1 B.
x
2
16x
2
-
y
2
9y
2
=1
C.
9
-
y
16
=1或
x
2
16
-
y
2
9
=1 D.
16
-
9
=1或
x
2
9
-
y
2
16
=1
此题是求焦点不确定的双曲线标准方程，学生易忽视焦点在y 轴的情况，通过此题的练习可以提醒学生考虑问题要全面。 （2）已知方程
x
2
m +2
-
y
2
m +1
=1表示双曲线，求m 取值范围。
此题限制条件为m+2 和m+1同号，但会有一些学生会认为它们均大于0，忽视了均小于0的情况，因此会丢解，所以通过这道题的练习会提醒学生考虑问题要认真、全面，同时又可加深学生对定义及标准方程的理解。 （3）相距2km 的两个哨所A ，B 都听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速为330m\s，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 处迟4s 。试判断爆炸点在什么上，并求出曲线的方程。（片）
这道题是从生活中提炼出的数学问题，设计此题的目的是想通过练习题的解决可以加强学生的应用能力及应用意识，让学生感悟到数学是源于生活，服务于生活的辨证唯物主义观点。
（四）知识小结----归纳知识与布置作业
1、知识总结：
（1）双曲线的定义 （与椭圆的区别） （2）标准方程 （两种形式）
（3）焦点位置的判断 （与椭圆的区别） （4）a 、b 、 c 的关系（与椭圆的区别）（片）
在课的尾声，我让学生对本节课进行了总结。目的是帮助他们认清这节课的知识结构， 培养他们的归纳总结能力。
2、 作业：
（1） 用表格形式整理双曲线与椭圆的区别和联系 （2） 142页第1、2题 （3） （选做）M 是双曲线
x
2
4
-
y
2
9
=1上一点，F 1，F 2是双曲线的焦点，∠F 1M F 2=90，求
F 1M F 2的面积。若使双曲线的方程和角度任意变化，你能得出一般性的结论？（片）
教学内涵不局限于课堂，为了帮助学生课下能够继续探索和研究，我设置了几组不同层次的作 业，以帮助学生巩固对定义和标准方程的理解，同时可全面照顾到不同层次的学生，激发他们的能
动性。
板书设计
这样的板书设计目的是为了突出这节课的主要内容和重点，帮助学生理清思绪，起到提纲 挈领的作用。
（片）
四、教学设计的想法说明：
我在教学过程设计方面注意了三点：
1. 教学过程的着力点放在了如何激发学生的学习动机，培养学生的学习兴趣上，这是唤醒学生主
体认识的关键。
2. 教学过程的重点放在了培养学生的创新精神和实践能力上，而把握重点的关键是如何选择好新
精神、实践能力与课堂教学的结合，这个结合点从学科来说，就是以科学知识为载体，培养学生的创新思维方法；从教师来说就是“思路、教路、学路”三者有机结合的教学过程设计，及其在课堂中的艺术展现；从学生来说，就是亲历、体验、探究、思考和创造性的解决问题的过程，从而在过程中获得逐步发展。
3. 教学过程的基本点放在了夯实基础知识和训练基本技能上，基础知识的教学注重了层次性、针
对性。
《双曲线的定义及其标准方程》说课教案
各位专家，各位老师：
一、 教材分析与处理 1、 教材的地位与作用
学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
2、 学生状况分析：
学生在学习这节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也曾经尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础。另外，高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。
根据以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律我希望学生能达到以下三个教学目标。
3、 教学目标
（1） 知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；
（2） 过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；
（3） 情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
4． 教学重点、难点
依据教学目标，根据学生的认知规律，确定本节课的重点是理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。难点是双曲线标准方程的推导。
5、 教材处理：
我对教学内容作了一点调整：教材中是借用细绳画出的双曲线图形，而我改用几何画板画出双 曲线图形。因为相比之下，几何画板更为形象直观。通过几何画板，学生不仅可看到双曲线形 成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线形成的联系和区别。 三、 教学过程与设计
为达到本节课的教学目标，更好地突出重点，分散难点，我把教学过程分为四个阶段。 知识引入---- 知识回顾、观察动画、概括定义
在课的开始我设置了这样几个问题，以帮助学生进行知识回顾： 椭圆的第一定义是什么？定义中哪些字非常关键？
椭圆的标准方程是什么？
如何判断焦点位置？a 、b 、c 是何种关系？（片）
通过回顾，既检测了学生对前面知识的掌握情况，同时又为下面双曲线的学习做好铺垫。之后，告诉学生：今天要学习一种新的曲线。
打开几何画板，首先通过动画让学生再一次回顾椭圆的生成过程，然后改变图中的条件，将F 1, F 2
距离变大，动画生成一种新的曲线，学生易看出该曲线为双曲线。
双曲线的定义其实就是动点所满足的关系，那么双曲线的定义是什么？也就是动点所满足的关系是什么？这个问题可让学生进行探究。
解决这个问题有两个难点：一是距离的运算关系的得出；二是运算关系的简化。
在探究中，学生类比椭圆会想到动点到两定点的距离差为定值，会认为这个定值必是正值，而忽视了距离差为负值的情况，这样实质上只能得到双曲线的一支。对于这种情况，我采取启发引导，把P 从一支移到另一支，然后让学生再次思考自己得到的关系是否正确。在引导下，学生会想到自己缺少一种情况，动点到两定点的距离差为正值或正值的相反数。但这个关系能不能加以简化？学生这个时候会联想到利用绝对值进行简化。这样就得到了动点所满足的较为精炼的关系，也就是得到了双曲线的定义。
这一设计让学生先形象直观地看到椭圆与双曲线的形成过程，在此基础上，再通过教师的引导，学
生就可在观察思考中一步一步地由感性认识上升到理性认识，最终得到双曲线定义，从而培养了学生的观察能力及概括能力。另外，这一设计也在形的方面实现了椭圆与双曲线的比较，也为下面双曲线定义的挖掘及两种曲线的对比打下基础。
随着双曲线定义的得出，教学进入第二阶段---知识探索 （二） 知识探索---- 定义的挖掘、标准方程的推导、方程的对比
1、定义的挖掘
在这一环节中，我们要认识到定义中的绝对值和两点间距离与常数的大小关系二者对曲线的影响。首先，我设置了这样两个问题：
（1）类比椭圆寻找双曲线定义中的关键字；
（2）若分别去掉这几个关键字曲线会发生怎样变化？（片）
然后让学生带着问题进行合作探究，教师可适当引导，对于学生难以理解的地方适时给予帮助指导。
虽然学生学习椭圆定义时也接触过类似问题，但双曲线较为复杂，比如 ：增加了“绝对值”等等。
学生要独立完成会较为困难，所以采取合作探究。这个过程既可以加深学生对定义的理解，又让可学生在相互交流中互相启发、激励、共同进步提高，从而培养学生的表达能力和协作能力。
在得出结论后，我又为学生提供了以下题目： 请说出下列方程对应曲线的名称： (1) F 1(-5, 0), F 2(5, 0), ||PF 1|-|PF 2||=6(2) F 1(-5, 0), F 2(5, 0), |PF 1|-|PF 2|=6
(双曲线) (双曲线右支)
（3
）|（4
）（5）
（6
）
=6 （双曲线） -
=6 （双曲线右支）
=25 （椭圆）
（片） =8（以（0，4）为端点，沿着y 轴正向的一条线）
这些题目由浅入深，前面两题学生可由双曲线定义直接认识到动点的几何含义，后四题需根据两点间距离公式及椭圆双曲线定义间接认识到动点的几何含义。这样设置有了过渡，学生不会觉得跨度很大，处理起来比较顺手。通过这些题的练习可以加深学生对定义的理解，更重要的这些题目就是学生对自己研究结果的应用。让学生体验到应用自己探究果实的喜悦，对学生来说是一种激励，一举两得。
标准方程的推导
这一环节是本节课的难点，为了突破它，我设置了这样几个问题让其贯穿推导过程以将难点分解：
回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法； 类比椭圆试着推导双曲线的标准方程； 换元处理与椭圆有没有区别？
猜证双曲线焦点在 y 轴上的标准方程。（片） 然后让学生独立完成推导过程。
这样设置的目的是考虑到由定义求方程，就是求轨迹方程的问题，并且双曲线的标准方程推导过程与椭圆十分类似，学生有能力独立完成。但在由于化简根式时运算量较大，处理起来很可能出现一些运算错误。另外，变形时绝大多数学生会想到先移项再平方，少部分学生会直接平方。若直接平方，就会出现4次方，较为复杂。如果在实际教学中，有学生提出这种做法，我会让然后让大家参与分析讨论，看看哪种做法更为简便。以让学生认识到今后在变形前要考虑清楚不要盲目去做。整个这个推导过程，不仅提高了学生的变形能力、运算能力，而且也提高学生的分析问题和解决问
题的能力。
3、方程的对比
此时，学生接触的方程已比较多，很容易混淆，有必要加以对比。 我引导学生进行以下两组对比：（1）双曲线方程的两种形式的对比；（2）椭圆方程与双曲线方程的对比。（片）对比时会让学生注意方程结构的区别和联系，比如说：到底是平方差还是平方和。另外，还要注意椭圆方程和双曲线方程都涉及到的三个量a 、b 、c 它们的区别和联系。对比后，学生可初步的分清四个标准方程及知道如何判断a 、b 、c 。之后，我又准备了这样一组题：
请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及a 、 b 、c 的值：
(1)
x
2
9
-
y
2
4
=1(2)
x
2
9
+
y
2
4
=1(3)
y
2
9
+
x
2
4
=1(4)
x
2
9
-
y
2
4
=-1（
可以检测学生对四个方程的掌握程度。学生处理时，前三题起来会比较顺利，第4题很可能
出现
问题。因为需变成标准形式之后再判断焦点位置及a 、b 、c 的值。
（三）知识应用----例题与巩固练习
1、
例题：
在本环节中我为学生准备处理两道例题，例题可由学生讲解，教师指导补充。
例1、 已知双曲线焦点的坐标为 F 1(-5, 0), F (5,0) ，双曲线上一点P 到F 1，F 2 的距离的差的绝
对值等于6，求双曲线的标准方程。
这道题难度不大，可直接利用定义求标准方程。也可以按求轨迹方程的方法求标准方程，学
生
不会出现太大问题。但是要向学生指明，如果某种轨迹适合某种曲线的定义，就不必再用列方程求解，
只要利用定义求出常规待定函数即可。
9
（3，-，（，5）例2、 已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点P 1，P 2的坐标为
4
求双曲线的标准方程。（片）
这道题可采用待定系数法求标准方程。本题中双曲线焦点在y 轴上，学生在求解过程中很可能会 忽视这个条件，易将方程设成焦点在x 轴的。教师可及时加以强调，让学生注意审题，以培养学生紧
密
的思维和严谨的学习态度。
设置两道题是考虑到他们都来源于教材，紧紧围绕双曲线的定义和标准方程，题目典型而且也
有
梯度，可使学生初步掌握定义及标准方程的应用。 2、 巩固练习
练习是学习活动中不可缺少的环节，可巩固对知识的理解，在这一环节我为学生准备了三道 练习题。
（1）已知双曲线的实轴长为6，焦距为10，则该双曲线的标准方程为（ ） A.
x
2
9x
2
-
y
2
16
2
=1 B.
x
2
16x
2
-
y
2
9y
2
=1
C.
9
-
y
16
=1或
x
2
16
-
y
2
9
=1 D.
16
-
9
=1或
x
2
9
-
y
2
16
=1
此题是求焦点不确定的双曲线标准方程，学生易忽视焦点在y 轴的情况，通过此题的练习可以提醒学生考虑问题要全面。 （2）已知方程
x
2
m +2
-
y
2
m +1
=1表示双曲线，求m 取值范围。
此题限制条件为m+2 和m+1同号，但会有一些学生会认为它们均大于0，忽视了均小于0的情况，因此会丢解，所以通过这道题的练习会提醒学生考虑问题要认真、全面，同时又可加深学生对定义及标准方程的理解。 （3）相距2km 的两个哨所A ，B 都听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速为330m\s，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 处迟4s 。试判断爆炸点在什么上，并求出曲线的方程。（片）
这道题是从生活中提炼出的数学问题，设计此题的目的是想通过练习题的解决可以加强学生的应用能力及应用意识，让学生感悟到数学是源于生活，服务于生活的辨证唯物主义观点。
（四）知识小结----归纳知识与布置作业
1、知识总结：
（1）双曲线的定义 （与椭圆的区别） （2）标准方程 （两种形式）
（3）焦点位置的判断 （与椭圆的区别） （4）a 、b 、 c 的关系（与椭圆的区别）（片）
在课的尾声，我让学生对本节课进行了总结。目的是帮助他们认清这节课的知识结构， 培养他们的归纳总结能力。
2、 作业：
（1） 用表格形式整理双曲线与椭圆的区别和联系 （2） 142页第1、2题 （3） （选做）M 是双曲线
x
2
4
-
y
2
9
=1上一点，F 1，F 2是双曲线的焦点，∠F 1M F 2=90，求
F 1M F 2的面积。若使双曲线的方程和角度任意变化，你能得出一般性的结论？（片）
教学内涵不局限于课堂，为了帮助学生课下能够继续探索和研究，我设置了几组不同层次的作 业，以帮助学生巩固对定义和标准方程的理解，同时可全面照顾到不同层次的学生，激发他们的能
动性。
板书设计
这样的板书设计目的是为了突出这节课的主要内容和重点，帮助学生理清思绪，起到提纲 挈领的作用。
（片）
四、教学设计的想法说明：
我在教学过程设计方面注意了三点：
1. 教学过程的着力点放在了如何激发学生的学习动机，培养学生的学习兴趣上，这是唤醒学生主
体认识的关键。
2. 教学过程的重点放在了培养学生的创新精神和实践能力上，而把握重点的关键是如何选择好新
精神、实践能力与课堂教学的结合，这个结合点从学科来说，就是以科学知识为载体，培养学生的创新思维方法；从教师来说就是“思路、教路、学路”三者有机结合的教学过程设计，及其在课堂中的艺术展现；从学生来说，就是亲历、体验、探究、思考和创造性的解决问题的过程，从而在过程中获得逐步发展。
3. 教学过程的基本点放在了夯实基础知识和训练基本技能上，基础知识的教学注重了层次性、针
对性。