类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） 共面垂直：掌握几种模型
①等腰（等边）三
角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形
⑤利用相似或全等证明直角。 例：在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，O 为底面ABCD 的中心， E 为CC 1中点, 求证：
(1) AO ⊥OE (2) AO ⊥平面BDE 11
异面垂直（利用线面垂直来证明）
在正四面体ABCD 中，求证：AC ⊥BD
变式1 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， 已知AB =3, AD =2, PA =2, PD =22, ∠PAB =60 ． 证明：AD ⊥PB ；
变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中 点，点F 是BC 的中点，将△AED, △DCF 分别沿DE , DF 折起， 使A , C 两点重合于A . 求证:A D ⊥EF ；
'
'
A '
E
B
变式3如图，在三棱锥P -ABC 中，⊿PAB 是等边三角形， ∠P AC =∠PBC =90 º证明：AB ⊥PC
类型二：直线与平面垂直证明 方法○1利用线面垂直的判断定理 例：在正方体
变式1：如图：直三棱柱ABC －A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，∠ACB=90 .E 为BB1的中点，D 点在AB 上且DE=3 . 求证：CD ⊥平面A1ABB1；
ABCD -A 1BC ⊥平面BDC 1 11D 1中，, 求证：AC 1
变式2：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
CA =CB =CD =BD =2, AB =AD =
求证：AO ⊥平面BCD ；
P -
ABCD 中， 变式3 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P
P A ⊥底面A B C PAC ⊥面PBC ，求证：BC ⊥面PAC 。 , 面
变式1, 在四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且面PAB ⊥底面ABCD , 求证：BC ⊥面PAB
类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)
E
例:如图，已知AB ⊥平面ACD ，
DE ⊥平面ACD ，△ACD C AD =DE =2AB ，F 为CD F
A
(1) 求证：AF //平面BCE ；(2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
例2 如图，在四棱锥P -ABCD 中，
PA ⊥底面ABCD ，
P
AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°PA =AB =BC ， E 是PC 的中点．
，A
D
（1）证明CD ⊥AE ； （2）证明PD ⊥平面ABE ；
变式1已知直四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形，
∠ABC =60︒，E 、F 分别是棱CC ′与
BB ′上的点， 且EC=BC=2FB =2．
（1）求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ；
类型三：平面与平面垂直证明
1. AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，
M 是圆周上任意一点，AN ⊥PM ，点N 为垂足，
求证：平面PAM ⊥平面PBM
2．如图，在空间四边形ABCD 中，AB=BC，CD=DA， E ，F ，Ｇ分别为ＣＤ，ＤＡ
和对角线ＡＣ的中点。 求证：平面ＢＥＦ 平面ＢＧＤ .
3. 在直平行六面体AC 1中，四边形ABCD 是菱形， ∠DAB ＝60°，AC ∩BD ＝O ，AB ＝AA 1.
(1)求证：C 1O ∥平面AB 1D 1； (2)求证：平面AB 1D 1⊥平面ACC 1A 1.
4. 如下图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面 互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，
AB ＝AD ＝2，CD ＝4， M 为CE 的中点．
(1)求证：BM ∥平面ADEF ； (2)求证：平面BDE ⊥平面BEC .
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） 共面垂直：掌握几种模型
①等腰（等边）三
角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形
⑤利用相似或全等证明直角。 例：在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，O 为底面ABCD 的中心， E 为CC 1中点, 求证：
(1) AO ⊥OE (2) AO ⊥平面BDE 11
异面垂直（利用线面垂直来证明）
在正四面体ABCD 中，求证：AC ⊥BD
变式1 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， 已知AB =3, AD =2, PA =2, PD =22, ∠PAB =60 ． 证明：AD ⊥PB ；
变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中 点，点F 是BC 的中点，将△AED, △DCF 分别沿DE , DF 折起， 使A , C 两点重合于A . 求证:A D ⊥EF ；
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A '
E
B
变式3如图，在三棱锥P -ABC 中，⊿PAB 是等边三角形， ∠P AC =∠PBC =90 º证明：AB ⊥PC
类型二：直线与平面垂直证明 方法○1利用线面垂直的判断定理 例：在正方体
变式1：如图：直三棱柱ABC －A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，∠ACB=90 .E 为BB1的中点，D 点在AB 上且DE=3 . 求证：CD ⊥平面A1ABB1；
ABCD -A 1BC ⊥平面BDC 1 11D 1中，, 求证：AC 1
变式2：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
CA =CB =CD =BD =2, AB =AD =
求证：AO ⊥平面BCD ；
P -
ABCD 中， 变式3 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P
P A ⊥底面A B C PAC ⊥面PBC ，求证：BC ⊥面PAC 。 , 面
变式1, 在四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且面PAB ⊥底面ABCD , 求证：BC ⊥面PAB
类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)
E
例:如图，已知AB ⊥平面ACD ，
DE ⊥平面ACD ，△ACD C AD =DE =2AB ，F 为CD F
A
(1) 求证：AF //平面BCE ；(2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
例2 如图，在四棱锥P -ABCD 中，
PA ⊥底面ABCD ，
P
AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°PA =AB =BC ， E 是PC 的中点．
，A
D
（1）证明CD ⊥AE ； （2）证明PD ⊥平面ABE ；
变式1已知直四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形，
∠ABC =60︒，E 、F 分别是棱CC ′与
BB ′上的点， 且EC=BC=2FB =2．
（1）求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ；
类型三：平面与平面垂直证明
1. AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，
M 是圆周上任意一点，AN ⊥PM ，点N 为垂足，
求证：平面PAM ⊥平面PBM
2．如图，在空间四边形ABCD 中，AB=BC，CD=DA， E ，F ，Ｇ分别为ＣＤ，ＤＡ
和对角线ＡＣ的中点。 求证：平面ＢＥＦ 平面ＢＧＤ .
3. 在直平行六面体AC 1中，四边形ABCD 是菱形， ∠DAB ＝60°，AC ∩BD ＝O ，AB ＝AA 1.
(1)求证：C 1O ∥平面AB 1D 1； (2)求证：平面AB 1D 1⊥平面ACC 1A 1.
4. 如下图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面 互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，
AB ＝AD ＝2，CD ＝4， M 为CE 的中点．
(1)求证：BM ∥平面ADEF ； (2)求证：平面BDE ⊥平面BEC .