惹平麻行烦公的理
让人怀疑的第５公理
朱帆远
《几何原本》成为几何学的范本。５４６５个定理，使
个公理在很长时间里都被看做是几何学的基石，很少有人怀疑公理的正确性，除了第５个公理。
欧几里得是古希腊著名的数学家，他在其名著《几何原本》一书中，列出了五个公理：
一、两点间必可联一条直线；二、直线可以任意延长；三、已知圆心及半径可作一圆；四、凡直角皆相等；
五、如图一，两直线ＡＢ、ＣＤ被另一直线截于
第５个公理也被称为“平行公理”，它不像前四个公理那么简单明了，那么为大家所公认。所以从《几何原本》问世开始，数学家就对这个平行公理产生了怀疑。大家猜测，也许平行公理只能算个定理，能从另外四个公理中推导出来，或者用另外更加简明的公理来代替。
欧几里得本人也对平行公理有此疑问，所以他在导出各种定理的过程中，能不用平行公理就尽量不用，一直拖到证明第２９个定理时，才不得已用上平行公理。
平行公理通常用这样的等价形式表达：过直线外一点有唯一的一条直线与其平行。所谓平行就是“永”不相交的意思，不论直线如何延伸，两条直线不会相交在一点。但是这个表达里涉及到了“无限”的意思，直线无限延伸，这个实在是难以亲身
图一
然后，欧几里得从５个公理出发，一共推出了
体验，因此欧几里得不采取这种形式的平行公理，也许是要使平行公理显得更简明、更没漏洞吧。
公元５世纪，希腊数学家普罗克鲁斯在评论
／文
Ｅ、Ｆ，若∠ＡＥＦ＋∠ＣＦＥ＜１８０°，则两直线在、的方向相交。
星际交流《大科技・科学之谜》充实了我的生活，让我的生活变得更加丰富多彩，没有它我的生活将索
然无味。安徽省灵璧县灵璧中学张庆祥
２５
《几何原本》时，对平行的概念提出了质疑。他提出，平行公理中的那两条直线并不一定是平行的，也可能会像两条相互接近却永不相交的双曲线，虽然越往远处去，两条线距离越近，但就是没有公不过，这个数学共点。这样，平行公理就被推翻了。
家依然坚持认为，平行公理其实是个定理，他对此进行了证明。
普罗克鲁斯假定，两条相交的直线间，从一条直线上的一点到另一条直线的距离，会随着该点与交点相远离，而无限增大；而两条固定平行线之间的距离不能任意增大。利用这些假定，普罗克鲁斯推导出了平行公理。实际上，他不过是用自己的假定代替了平行公理而已，由于他本身的证明中也含有假定的成分，因此他的替代定理是否比平行公理更正确，就不好说了。
“证明”平行公两千多年来，不断有人想通过
理，来达到推翻该公理的目的。但是这些人都犯了和普罗克鲁斯类似的错误，即用一些假定来代替了平行公理，其实并不比平行公理更加正确。
《几何原本》第一卷第１６定理说：三角形的外角大于不相邻的任何一个内角。欧几里得的证明是这样的：在图三中，取ＡＣ的中点Ｄ，联ＢＤ，延长一倍至Ｅ，联ＣＥ。则由全等形可知∠Ａ＝∠ＤＣＥ＜
∠ＡＣＦ。这个证明是正确的，但是其中暗含了一个
假定，直线的长度是无限的。因为如果这里的直线其实是一条球面上的直线（大圆弧），是有限长度的，Ｅ点有可能会绕过球面，回到ＢＤ线段上，此前的证明过程就不成立了。
图三
利用第１６定理，《几何原本》中证明了第２７定理：过直线外一点必可引一条平行线。如图四，设Ｅ为直线ＣＤ外一点，取ＣＤ上任一点Ｆ，作
证明公理遭遇“冰山”
意大利数学家萨凯里也想证明平行公理。在图二中他假设ＡＤ＝ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｂ＝直角。由全等形的定理可以马上导出∠Ｃ＝∠Ｄ。
接下来，萨凯里根据这两个等角的大小考虑了下列三种可能：第一，∠Ｃ＝∠Ｄ＝直角；第二，
∠ＡＥＦ＝∠ＤＦＥ。若ＥＡ与ＦＣ相交于Ｇ点，则得三
角形ＧＥＦ的外角∠ＤＦＥ和不相邻的内角∠ＡＥＦ相等，这和第１６定理产生矛盾。同理ＥＡ和ＦＣ也不能相交。因此ＡＥ和ＣＤ必然平行。
过直线外一点有一条平行线，所以钝角假定不成立（在直线无限长的条件下）。
∠Ｃ＝∠Ｄ＝钝角；第三，∠Ｃ＝∠Ｄ＝锐角。他想用反
证法，说明如果两个角等于钝角或锐角，就会出现矛盾的结果，因此只有假定两个角等于直角是对的，而这个结果正好和平行公理的描述是等价的。
图四
为了排除锐角假定，萨凯里从锐角假定出发，导出许多欧几里得几何中没见过的、稀奇古怪的
图二
假如∠Ｃ＝∠Ｄ＝钝角，就相当于“过直线外一点，而假如∠Ｃ＝∠Ｄ＝锐角，没有任何直线与之平行”
相当于“过直线外一点可以引无穷条平行线”。钝角假定可以轻易地被排除，萨凯里做了如下推导：
定理。这些定理根据日常经验看，实在是匪夷所思，于是萨凯里宣布，锐角假定也是不成立的，平行公理得到证明！
其实，萨凯里丧失了一个让自己名垂青史的机会。如果他仔细研究他推导出的那些古怪的定理，就会发现它们虽然奇怪，但在数学上完全成
星际交流《大科技・科学之谜》是良师，是益友，它既带领我探知神秘世界，又伴随我共同进步。希望
２６
与各位同学交流进步。ＱＱ：５５０６９４１３１。陕西省宝鸡市虢镇中学张超
内蒙古大草原上驰骋的骏马，它们奔跑时的步法是多么优美，发出“哒哒哒哒、哒哒哒哒”的节奏声；赤道南边澳大利亚原野上欢快跳跃的袋鼠，它们展现的是“啪……啪……”的节奏；而当我们睁大眼睛，找找大森林里奇形怪状，长着数不清多条腿的昆虫时，会发现它们的步伐匆
还匆，杂而不乱，“嗖嗖嗖……”
那么灵活！动物们的步调节奏教人忍不住细细琢磨起来。
精彩步调谁击的拍
？
仇君／文
脏的装置在幕后决定着节奏；而狂奔的时候，我们要大口、快速地喘气。
在动物的运动模式中，这种可以控制的节奏特别普遍，也特别有趣。对于有腿的动物而言，未受意识控制的简单的运动模“步调”，要揭开动物式，就称为
节奏的奥秘，突破口就是步调。
倾听动物们的脚步声
大自然中的节奏众多而且变化多端，我们的心脏和肺都具有节奏性的周期，周期的长短随着身体的需要而调整，自然界的许多节奏都犹如心跳，有类似心
另一些自然节奏则类似呼吸，在寻常的情况下发生时，它们根据一个简单的模式运转着，比如１分钟呼吸十几次；但是在特殊的时候，另一个精妙的控制机制就会接管呼吸，以便改变原来的节奏，来适应眼前的需要，比如在
立，是千真万确的定理———双曲非欧几何中的定理，那些定理适用于与欧氏几何完全不同的崭新的几何学中。由于他没有摆脱欧氏几何即真理的思想束缚，因此没有想到要推翻当时的几何学，去开创非欧几何学。
应该还有一种几何，其基本假定就是三角形的内角和不等于１８０°。这种几何在平行公理上与传统的欧氏几何不一样，是一种崭新的几何学。
就这样，数学家们从让人烦恼的平行公理出发，最终发现，几何学不过是描述物理空间的一种工具，而不代表物理空间本身。以平行公理为基础的欧氏几何可以描述物理空间，而否定了平行公理的非欧几何也一样可以描述物理空间。对平行公理是否为公理的探索，最终使数学家对几何学有了更深的认识，而非欧几何也促进了物理学的大发展。
崭新的几何学
萨凯里之后的许多数学家也从平行公理出发，与非欧几何的“冰山一角”相遇了。德国数学家施魏卡特在１８１６年得到结论说，除欧氏几何外，
星际交流《大科技・科学之谜》丰富了我的视野，的确是一本高雅、极具时代气息的科技读物。
广西北海市第一中学陈嫱嫱
２７
惹平麻行烦公的理
让人怀疑的第５公理
朱帆远
《几何原本》成为几何学的范本。５４６５个定理，使
个公理在很长时间里都被看做是几何学的基石，很少有人怀疑公理的正确性，除了第５个公理。
欧几里得是古希腊著名的数学家，他在其名著《几何原本》一书中，列出了五个公理：
一、两点间必可联一条直线；二、直线可以任意延长；三、已知圆心及半径可作一圆；四、凡直角皆相等；
五、如图一，两直线ＡＢ、ＣＤ被另一直线截于
第５个公理也被称为“平行公理”，它不像前四个公理那么简单明了，那么为大家所公认。所以从《几何原本》问世开始，数学家就对这个平行公理产生了怀疑。大家猜测，也许平行公理只能算个定理，能从另外四个公理中推导出来，或者用另外更加简明的公理来代替。
欧几里得本人也对平行公理有此疑问，所以他在导出各种定理的过程中，能不用平行公理就尽量不用，一直拖到证明第２９个定理时，才不得已用上平行公理。
平行公理通常用这样的等价形式表达：过直线外一点有唯一的一条直线与其平行。所谓平行就是“永”不相交的意思，不论直线如何延伸，两条直线不会相交在一点。但是这个表达里涉及到了“无限”的意思，直线无限延伸，这个实在是难以亲身
图一
然后，欧几里得从５个公理出发，一共推出了
体验，因此欧几里得不采取这种形式的平行公理，也许是要使平行公理显得更简明、更没漏洞吧。
公元５世纪，希腊数学家普罗克鲁斯在评论
／文
Ｅ、Ｆ，若∠ＡＥＦ＋∠ＣＦＥ＜１８０°，则两直线在、的方向相交。
星际交流《大科技・科学之谜》充实了我的生活，让我的生活变得更加丰富多彩，没有它我的生活将索
然无味。安徽省灵璧县灵璧中学张庆祥
２５
《几何原本》时，对平行的概念提出了质疑。他提出，平行公理中的那两条直线并不一定是平行的，也可能会像两条相互接近却永不相交的双曲线，虽然越往远处去，两条线距离越近，但就是没有公不过，这个数学共点。这样，平行公理就被推翻了。
家依然坚持认为，平行公理其实是个定理，他对此进行了证明。
普罗克鲁斯假定，两条相交的直线间，从一条直线上的一点到另一条直线的距离，会随着该点与交点相远离，而无限增大；而两条固定平行线之间的距离不能任意增大。利用这些假定，普罗克鲁斯推导出了平行公理。实际上，他不过是用自己的假定代替了平行公理而已，由于他本身的证明中也含有假定的成分，因此他的替代定理是否比平行公理更正确，就不好说了。
“证明”平行公两千多年来，不断有人想通过
理，来达到推翻该公理的目的。但是这些人都犯了和普罗克鲁斯类似的错误，即用一些假定来代替了平行公理，其实并不比平行公理更加正确。
《几何原本》第一卷第１６定理说：三角形的外角大于不相邻的任何一个内角。欧几里得的证明是这样的：在图三中，取ＡＣ的中点Ｄ，联ＢＤ，延长一倍至Ｅ，联ＣＥ。则由全等形可知∠Ａ＝∠ＤＣＥ＜
∠ＡＣＦ。这个证明是正确的，但是其中暗含了一个
假定，直线的长度是无限的。因为如果这里的直线其实是一条球面上的直线（大圆弧），是有限长度的，Ｅ点有可能会绕过球面，回到ＢＤ线段上，此前的证明过程就不成立了。
图三
利用第１６定理，《几何原本》中证明了第２７定理：过直线外一点必可引一条平行线。如图四，设Ｅ为直线ＣＤ外一点，取ＣＤ上任一点Ｆ，作
证明公理遭遇“冰山”
意大利数学家萨凯里也想证明平行公理。在图二中他假设ＡＤ＝ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｂ＝直角。由全等形的定理可以马上导出∠Ｃ＝∠Ｄ。
接下来，萨凯里根据这两个等角的大小考虑了下列三种可能：第一，∠Ｃ＝∠Ｄ＝直角；第二，
∠ＡＥＦ＝∠ＤＦＥ。若ＥＡ与ＦＣ相交于Ｇ点，则得三
角形ＧＥＦ的外角∠ＤＦＥ和不相邻的内角∠ＡＥＦ相等，这和第１６定理产生矛盾。同理ＥＡ和ＦＣ也不能相交。因此ＡＥ和ＣＤ必然平行。
过直线外一点有一条平行线，所以钝角假定不成立（在直线无限长的条件下）。
∠Ｃ＝∠Ｄ＝钝角；第三，∠Ｃ＝∠Ｄ＝锐角。他想用反
证法，说明如果两个角等于钝角或锐角，就会出现矛盾的结果，因此只有假定两个角等于直角是对的，而这个结果正好和平行公理的描述是等价的。
图四
为了排除锐角假定，萨凯里从锐角假定出发，导出许多欧几里得几何中没见过的、稀奇古怪的
图二
假如∠Ｃ＝∠Ｄ＝钝角，就相当于“过直线外一点，而假如∠Ｃ＝∠Ｄ＝锐角，没有任何直线与之平行”
相当于“过直线外一点可以引无穷条平行线”。钝角假定可以轻易地被排除，萨凯里做了如下推导：
定理。这些定理根据日常经验看，实在是匪夷所思，于是萨凯里宣布，锐角假定也是不成立的，平行公理得到证明！
其实，萨凯里丧失了一个让自己名垂青史的机会。如果他仔细研究他推导出的那些古怪的定理，就会发现它们虽然奇怪，但在数学上完全成
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２６
与各位同学交流进步。ＱＱ：５５０６９４１３１。陕西省宝鸡市虢镇中学张超
内蒙古大草原上驰骋的骏马，它们奔跑时的步法是多么优美，发出“哒哒哒哒、哒哒哒哒”的节奏声；赤道南边澳大利亚原野上欢快跳跃的袋鼠，它们展现的是“啪……啪……”的节奏；而当我们睁大眼睛，找找大森林里奇形怪状，长着数不清多条腿的昆虫时，会发现它们的步伐匆
还匆，杂而不乱，“嗖嗖嗖……”
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仇君／文
脏的装置在幕后决定着节奏；而狂奔的时候，我们要大口、快速地喘气。
在动物的运动模式中，这种可以控制的节奏特别普遍，也特别有趣。对于有腿的动物而言，未受意识控制的简单的运动模“步调”，要揭开动物式，就称为
节奏的奥秘，突破口就是步调。
倾听动物们的脚步声
大自然中的节奏众多而且变化多端，我们的心脏和肺都具有节奏性的周期，周期的长短随着身体的需要而调整，自然界的许多节奏都犹如心跳，有类似心
另一些自然节奏则类似呼吸，在寻常的情况下发生时，它们根据一个简单的模式运转着，比如１分钟呼吸十几次；但是在特殊的时候，另一个精妙的控制机制就会接管呼吸，以便改变原来的节奏，来适应眼前的需要，比如在
立，是千真万确的定理———双曲非欧几何中的定理，那些定理适用于与欧氏几何完全不同的崭新的几何学中。由于他没有摆脱欧氏几何即真理的思想束缚，因此没有想到要推翻当时的几何学，去开创非欧几何学。
应该还有一种几何，其基本假定就是三角形的内角和不等于１８０°。这种几何在平行公理上与传统的欧氏几何不一样，是一种崭新的几何学。
就这样，数学家们从让人烦恼的平行公理出发，最终发现，几何学不过是描述物理空间的一种工具，而不代表物理空间本身。以平行公理为基础的欧氏几何可以描述物理空间，而否定了平行公理的非欧几何也一样可以描述物理空间。对平行公理是否为公理的探索，最终使数学家对几何学有了更深的认识，而非欧几何也促进了物理学的大发展。
崭新的几何学
萨凯里之后的许多数学家也从平行公理出发，与非欧几何的“冰山一角”相遇了。德国数学家施魏卡特在１８１６年得到结论说，除欧氏几何外，
星际交流《大科技・科学之谜》丰富了我的视野，的确是一本高雅、极具时代气息的科技读物。
广西北海市第一中学陈嫱嫱
２７