二元二次方程组的解法,分式方程的解法,无理方程的解法教案

学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：谭盛德 姓名 教学 目标 重点 难点 郭海杰 年级 高一 授课时间：2013 年 8 月 性别 男 2 日(星期 五 ) 16 : 00 ~ 18 : 00 教学课题 简单的二元二次方程组的解法1. 会用代入解简单的二元二次方程组 2．会用平方法解无理方程 3．熟悉分式方程的解法 重点 ：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法 难点：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_______________________________ 第 4 次课课前检查第四讲 简单的二元二次方程组的解法在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消 元法解二元一次方程组．高中新课标必修 2 中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解 法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法． 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程，叫做二元二次方程． 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组， 或由两个二元二次方程组组成的方 程组，叫做二元二次方程组． 一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解． 其蕴含着转 化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．2 x  y  0 【例 1】解方程组  2 2 x  y  3  0(1) (2)分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得 y  2 x ，代入方程(2)消去 y ． 解：由(1)得： y  2 x (3)将(3)代入(2)得： x2  (2 x)2  3  0 ，解得： x1  1或x2  1 把 x  1 代入(3)得： y2  2 ；把 x  1 代入(3)得： y2  2 ． x  1  x1  1 ∴原方程组的解是：  1 ． 或  y1  2  y1  2说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： ①由二元一次方程变形为用 x 表示 y 的方程，或用 y 表示 x 的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；关注成长每一天 咨询热线：0757-88018866 1学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center③解消元后得到的一元二次方程； ④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的 ⑤写出答案． (2) 消 x ，还是消 y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那 么最好消去系数绝对值较小的，如方程 x  2 y  1  0 ，可以消去 x ，变形x  2 y  1 ，再代入消元．值；得(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值， 能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点不 切记． x  y  11 【例 2】解方程组   xy  28(1) (2)分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把 x 、 y 看成是方程z 2  11z  28  0 的两根，则更容易求解．解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把 x 、 y 看成是方程 z 2  11z  28  0 的两根，解 方程得： z  4或z=7 ． x  4  x1  7 ∴ 原方程组的解是：  1 ． 或 y1  7  y1  4 x  y  a 说明：(1) 对于这种对称性的方程组  ，利用一元二次方程的根与系数的关系构造  xy  b方程时，未知数要换成异于 x 、 y 的字母，如 z ．x  4 x  7 (2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解  ，则必有解  ． y  7 y  4二、由两个二元二次方程组成的方程组 1．可因式分解型的方程组 方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程 组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成． x 2  y 2  5( x  y )  【例 3】解方程组  2 2  x  xy  y  43  (1) (2)分析：注意到方程 x2  y2  5( x  y) ，可分解成 ( x  y)( x  y  5)  0 ，即得 x  y  0 或关注成长每一天咨询热线：0757-880188662学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning centerx  y  5  0 ，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．解：由(1)得：x2  y 2  5( x  y)  0  ( x  y)( x  y)  5( x  y)  0  ( x  y)( x  y  5)  0∴ x y  0或x y 5  0x  y  5  0 x  y  0 或 2 ∴ 原方程组可化为两个方程组：  2 2 2  x  xy  y  43  x  xy  y  43用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：  x1  1  x2  6  x3  43  x4   43  , , ,   y1  6  y2  1  y3   43  y4  43  说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元 一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程． x 2  xy  12  【例 4】解方程组  2  xy  y  4  (1) (2)分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二 次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例 3 的类型． 解：(1) –(2) 3 得： x2  xy  3( xy  y 2 )  0 即 x2  2xy  3 y 2  0  ( x  3 y)( x  y)  0 ∴ x  3 y  0或x  y  0x  3y  0 x  y  0 ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：  ． , 2 2  xy  y  4  xy  y  4  x  3  x2  3 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：  1 ． ,  y1  1  y2  1说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与 原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组． x 2  y 2  26 【例 5】解方程组   xy  5(1) (2)分析：(1) +(2)  2 得：( x  y)2  36 (3) ，(1) -(2)  2 得：( x  y)2  16 (4) ，分别分解(3)、 (4)可得四个二元一次方程组．关注成长每一天咨询热线：0757-880188663学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center解：(1) +(2)  2 得： x2  y 2  2xy  36  ( x  y)2  36  x  y  6或x  y  6 ， -(2)  2 得： x2  y 2  2xy  16  ( x  y)2  16  x  y  4或x  y  4 ． 解此四个方程组，得原方程组的解是：(1) x1  5  x2  1  x3  1  x4  5 ． , , ,  y1  1  y2  5  y3  5  y4  1   x2  y 2  a  x2  y 2  a x  y  m 说明：对称型方程组，如  、 都可以通过变形转化为  的形  xy  n x  y  b  xy  b式，通过构造一元二次方程求解． 2．可消二次项型的方程组 xy  x  3 【例 6】解方程组  3xy  y  8(1) (2)分析：注意到两个方程都有 xy 项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化 为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组． 解：(1) 3  (2) 得： 3x  y  1  y  3x  1(3)代入(1)得： x(3x  1)  x  3  3x2  3  x1  1或x2  1 ． 分别代入(3)得： y1  2或y2  4 ． x  1  x2  1 ∴ 原方程组的解是：  1 ． 或  y1  2  y2  4说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个 二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解． 二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决． 练 习A 1．解下列方程组： (1)  组x  y2  6 y  x(2)  x2  2 y 2  8 x  y  2 x  2 y  02 3 x  2 xy  10(3) x  y  1 2 x  3xy  y  52 2(4) 2．解下列方程组：关注成长每一天咨询热线：0757-880188664学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center(1)  x  y  3  xy  2(2) x  y  1  xy  6 (3x  4 y  3)(3x  4 y  3)  0 3x  2 y  53．解下列方程组： (1)  x(2 x  3)  02  y  x 1(2) (3) ( x  y  2)( x  y )  0 x  y  82 2(4) ( x  y)( x  y  1)  0 ( x  y)( x  y  1)  0  xy  x  16  xy  x  8B 组4．解下列方程组： x2  y 2  3  (1)  2 2 x  y  0 (2) 1．解下列方程组： (1) x  2 y  32  x  2 y  3x  2  0(2) 2 x  3 y  12 2 2 x  3xy  y  4 x  3 y  3  02．解下列方程组： (1) x  y  3  xy  2(2) x  2 y  4 2 xy  213．解下列方程组： (1) 3 x 2  y 2  8  2 2  x  xy  y  4 (2)  x2  y 2  4 2 xy  21 x  y  42 2  x  y  104．解下列方程组： (1)  x2  y 2  5  xy  2(2) 分式方程和无理方程的解法 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法． 本讲将要学习可化为一元二次 方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方 程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握 可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根． 一、可化为一元二次方程的分式方程 1．去分母化分式方程为一元二次方程 【例 1】解方程1 4x 2  2  1． x2 x 4 x2关注成长每一天 咨询热线：0757-88018866 5学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为：1 4x 2   1 x  2 ( x  2)( x  2) x  2方程两边各项都乘以 x 2  4 ：( x  2)  4x  2( x  2)  x2  4即 3x  6  x2  4 ， 整理得： x2  3x  2  0 解得： x  1 或 x  2 ． 检验：把 x  1 代入 x 2  4 ，不等于 0，所以 x  1 是原方程的解； 把 x  2 代入 x 2  4 ，等于 0，所以 x  2 是增根． 所以，原方程的解是 x  1 ． 说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把 所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产 生的增根，就是使分式方程的分母为 0 的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式 方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0．若为 0，即为增根；若不为 0，即为原方程的解． 2．用换元法化分式方程为一元二次方程 【例 2】解方程 (x 2 2 3x 2 )  40 x 1 x 1分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，x2  y ，即得到一个关于 y 的一元二次方程．最后在已知 y 的值的情况下，用去分母的方法 设 x 1解方程x2  y． x 1 x2  y ，则原方程可化为： y 2  3 y  4  0 x 1解：设解得 y  4 或 y  1 ．关注成长每一天咨询热线：0757-880188666学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center(1)当 y  4 时，x2  4 ，去分母，得 x2  4( x  1)  x2  4x  4  0  x  2 ； x 1(2)当 y  1 时，x2 1  5 ．  1  x 2   x  1  x 2  x  1  0  x  x 1 2检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0． 所以， x  2 ， x 1  5 都是原方程的解． 2说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出 y 的值，而没有求到原方程的解，即 x 的值． 【例 3】解方程8( x 2  2 x) 3( x 2  1)  2  11 ． x2  1 x  2xx2  2 x x2  1 分 析 ：注意观察方程特点，可以看到分式 2 与 2 互为倒数．因此，可以设 x 1 x  2x x2  2 x  y ，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程． x2  1解：设x2  2 x x2  1 1  y ，则 2  2 x 1 x  2x y 3 3  11  8 y 2  11y  3  0  y  1或y  ． y 8原方程可化为： 8 y (1)当 y  1 时， (2)当 y x2  2 x 1  1  x2  2 x  x2  1  x   ； 2 2 x 12 3 时， x 2 2 x  3  8 x 2  16 x  3x 2  3  5 x 2  16 x  3  0  x  3或x   1 ． 8 5 x 1 8检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0．1 1 所以，原方程的解是 x   ， x  3 ， x   ． 2 5说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现 了化归思想．二、可化为一元二次方程的无理方程 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程． 1．平方法解无理方程关注成长每一天咨询热线：0757-880188667学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center【例 4】解方程x  7  x 1分析：移项、平方，转化为有理方程求解． 解：移项得： x  7  x  1 两边平方得： x  7  x2  2 x  1 移项，合并同类项得： x 2  x  6  0 解得： x  3 或 x  2 检验：把 x  3 代入原方程，左边  右边，所以 x  3 是增根． 把 x  2 代入原方程，左边 = 右边，所以 x  2 是原方程的根． 所以，原方程的解是 x  2 ． 说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤： ①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同 时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根． 【例 5】解方程3x  2  x  3  3分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式， 再用例 4 的方法解方程． 解：原方程可化为： 3x  2  3  x  3 两边平方得： 3x  2  9  6 x  3  x  3 整理得： 6 x  3  14  2x  3 x  3  7  x 两边平方得： 9( x  3)  49  14x  x2 整理得： x 2  23x  22  0 ，解得： x  1 或 x  22 ． 检验：把 x  1 代入原方程，左边=右边，所以 x  1 是原方程的根． 把 x  22 代入原方程，左边  右边，所以 x  22 是增根． 所以，原方程的解是 x  1 ． 说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤： ①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次 根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例 4 的说明． 2．换元法解无理方程关注成长每一天咨询热线：0757-880188668学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center【例 6】解方程 3x2  15x  2 x2  5x  1  2 分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的 二 次 根 式 与 其 余 有 理 式 的 关 系 ， 可 以 发 现 ： 3x2  15x  3  3( x2  5x  1) ． 因 此 ， 可 以 设x2  5x  1  y ，这样就可将原方程先转化为关于 y 的一元二次方程处理．解：设 x2  5x  1  y ，则 x2  5x  1  y 2  3x2  15x  3( y 2  1) 原方程可化为： 3( y 2  1)  2 y  2 ，5 即 3 y 2  2 y  5  0 ，解得： y  1 或 y   ． 3(1)当 y  1 时， x 2  5 x  1  1  x 2  5 x  0  x  1或x  0 ；5 (2)当 y   时，因为 x2  5x  1  y  0 ，所以方程无解． 3检验：把 x  1, x  0 分别代入原方程，都适合． 所以，原方程的解是 x  1, x  0 ． 说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了 化归思想． 练 习A 1．解下列方程： (1)2x  1 x5  ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3)组(2)x x7  2 2 x  11x  21 x  12 x  352(3)2 1  1 y 4 y22(4)4 4 x215 2  1 x 4 2x22．用换元法解方程： x 2  3．解下列方程： (1)x  2  x(2)x 5  x  7(3)x3 2  x4．解下列方程： (1)3x  1  x  4  1(2)2x  4  x  5  1关注成长每一天咨询热线：0757-880188669学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center5．用换元法解下列方程： (1) x  12  x  0 (2) x2  3x  x2  3x  6B 1．解下列方程： (1) (3)2x  5 4 1  2  x  3x  2 x  4 x  22组x4 1 x6   2 x  x  2 x 1 x  42(2)1 x 1 1   2 x  7 (2 x  1)( x  7) 2 x  3x  1(4)x  1 2x 4x   2 0 x 1 x 1 x 12．用换元法解下列方程：x 2  5 x 24( x  1) (1)   14  0 x 1 x( x  5)(3)x4  2x2  1 x2  1  2 x x22( x 2  1) 6( x  1)  2 7 (2) x 1 x 13．若 x  1 是方程 4．解下列方程： (1)x 1   4 的解，试求 a 的值． xa xa3  2x2  4x  1 2 x  2x  3(2)3x 6x2 ax  2  2 xa a x xa5．解下列方程： (1) x2  x2  1  3 (3) 2x2  4x  3 x2  2x  6  15 (2)x  10  6 x  10 5关注成长每一天咨询热线：0757-8801886610学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center简单的二元二次方程组答案A 组 8  x   x1  x1  3  x2  2 x1  0  2 3 x4     1． (1)  , , (2)  , , (3)  , (4)    y  3  y1  3  y2  2  y1  2  y   2   2  y1  3   x  1  x2  2  x1  3  x2  2 2． (1)  1 , , (2)  ,  y1  2  y2  1  y1  2  y2  310  10  x2   2 , 2  10  10  y2   4 4 3  7  13 x     x1  0  2 2    x1   x2   x1  3  1  x2  1  3  x3  2 , , (2)  , , , 3．  3 , 3 , (3)   y1  1  y  5  y1  3  1  y2  1  3  y3  2  y1  1  y2  4      2 4  1  1  x2   x3   x4  2  x1  0   2  2  x4  1 , (4)  , , , ．   y4  2  y1  0  y  1  y   1  y4  0  2 2  3   2  x1   4．(1)  y   1 6  6  6  6  x2   x3    x4   2 , 2 , 2 , 2 ．(2)  x  4 ．     6  6  6  6 y  3 y2   y3  y4    2   2   2  2B 组7   x   4  x2  5  x1  5  x2  1  1 1． (1)  , , (2)  ,  y1  4  y2  1  y   3  y2  3  1  22． (1)  x1  7  x2  3  x1  1  x2  2   , , (2)  3, 7  y1  2  y2  1  y1   2  y2  2  3． 6 13  6 13  x  0  x2  0  x3  2  x4   2  x1   x2      13  13  x3  2  x4  2 (2)  1 , , , (1)  , , , y1  2  y2  2  y3   2  y4  2     y  2 13  y   2 13  y3  2  y4  2  1  2 13  13  x  1  x2  3 x  2  x2  1  x3  1  x4  2 4． (1)  1 ， (2)  1 , , , ,   y1  1  y2  2  y3  2  y4  1  y1  3  y2  1关注成长每一天咨询热线：0757-8801886611学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center分式方程和无理方程的解法答案 A 组 1． (1) x  1 ,(2) x  1, x  21,(3) y  0, y  1,(4) x  3, x  5 2． x   2 3． (1) x  1, (2) x  6, (3) x  4．(1) x  5 ．(2) x  20 ． 5． (1) x  9,(2) x  1, x  4 B 组 1． (1) x  1  13, (2) x  3, (3) x  5, x  1, (4) x  2． (1) x  1, x  2, x  3, x  4,(2) x  1  2, x 2 2 23 2 1 , (2) x   a 2 21 35 3 23  17 ,(3) x  1 43． 4． (1) x  0, x  2, x 5． (1) x   2,(2) x  26,(3) x  3, x  1听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________. 课堂检测天 · 星 o测试题(累计不超过 20 分钟)_______道；成绩_______. 教学需要：加快 ；保持 ；放慢 ；增加内容 作业_____题； 巩固复习____________________ ； 预习布置_____________________. 教学组长签字： 学习管理师: Te s□□□□课后巩固 签字 老师 课后 赏识 评价天 星m 权老师最欣赏的地方： 老师想知道的事情： 老师的建议： t e s o o n 关注成长每一天t e s o o no o n. c o m咨询热线：0757-88018866 天 12星 版

学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：谭盛德 姓名 教学 目标 重点 难点 郭海杰 年级 高一 授课时间：2013 年 8 月 性别 男 2 日(星期 五 ) 16 : 00 ~ 18 : 00 教学课题 简单的二元二次方程组的解法1. 会用代入解简单的二元二次方程组 2．会用平方法解无理方程 3．熟悉分式方程的解法 重点 ：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法 难点：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_______________________________ 第 4 次课课前检查第四讲 简单的二元二次方程组的解法在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消 元法解二元一次方程组．高中新课标必修 2 中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解 法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法． 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程，叫做二元二次方程． 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组， 或由两个二元二次方程组组成的方 程组，叫做二元二次方程组． 一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解． 其蕴含着转 化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．2 x  y  0 【例 1】解方程组  2 2 x  y  3  0(1) (2)分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得 y  2 x ，代入方程(2)消去 y ． 解：由(1)得： y  2 x (3)将(3)代入(2)得： x2  (2 x)2  3  0 ，解得： x1  1或x2  1 把 x  1 代入(3)得： y2  2 ；把 x  1 代入(3)得： y2  2 ． x  1  x1  1 ∴原方程组的解是：  1 ． 或  y1  2  y1  2说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： ①由二元一次方程变形为用 x 表示 y 的方程，或用 y 表示 x 的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；关注成长每一天 咨询热线：0757-88018866 1学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center③解消元后得到的一元二次方程； ④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的 ⑤写出答案． (2) 消 x ，还是消 y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那 么最好消去系数绝对值较小的，如方程 x  2 y  1  0 ，可以消去 x ，变形x  2 y  1 ，再代入消元．值；得(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值， 能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点不 切记． x  y  11 【例 2】解方程组   xy  28(1) (2)分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把 x 、 y 看成是方程z 2  11z  28  0 的两根，则更容易求解．解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把 x 、 y 看成是方程 z 2  11z  28  0 的两根，解 方程得： z  4或z=7 ． x  4  x1  7 ∴ 原方程组的解是：  1 ． 或 y1  7  y1  4 x  y  a 说明：(1) 对于这种对称性的方程组  ，利用一元二次方程的根与系数的关系构造  xy  b方程时，未知数要换成异于 x 、 y 的字母，如 z ．x  4 x  7 (2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解  ，则必有解  ． y  7 y  4二、由两个二元二次方程组成的方程组 1．可因式分解型的方程组 方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程 组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成． x 2  y 2  5( x  y )  【例 3】解方程组  2 2  x  xy  y  43  (1) (2)分析：注意到方程 x2  y2  5( x  y) ，可分解成 ( x  y)( x  y  5)  0 ，即得 x  y  0 或关注成长每一天咨询热线：0757-880188662学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning centerx  y  5  0 ，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．解：由(1)得：x2  y 2  5( x  y)  0  ( x  y)( x  y)  5( x  y)  0  ( x  y)( x  y  5)  0∴ x y  0或x y 5  0x  y  5  0 x  y  0 或 2 ∴ 原方程组可化为两个方程组：  2 2 2  x  xy  y  43  x  xy  y  43用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：  x1  1  x2  6  x3  43  x4   43  , , ,   y1  6  y2  1  y3   43  y4  43  说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元 一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程． x 2  xy  12  【例 4】解方程组  2  xy  y  4  (1) (2)分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二 次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例 3 的类型． 解：(1) –(2) 3 得： x2  xy  3( xy  y 2 )  0 即 x2  2xy  3 y 2  0  ( x  3 y)( x  y)  0 ∴ x  3 y  0或x  y  0x  3y  0 x  y  0 ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：  ． , 2 2  xy  y  4  xy  y  4  x  3  x2  3 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：  1 ． ,  y1  1  y2  1说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与 原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组． x 2  y 2  26 【例 5】解方程组   xy  5(1) (2)分析：(1) +(2)  2 得：( x  y)2  36 (3) ，(1) -(2)  2 得：( x  y)2  16 (4) ，分别分解(3)、 (4)可得四个二元一次方程组．关注成长每一天咨询热线：0757-880188663学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center解：(1) +(2)  2 得： x2  y 2  2xy  36  ( x  y)2  36  x  y  6或x  y  6 ， -(2)  2 得： x2  y 2  2xy  16  ( x  y)2  16  x  y  4或x  y  4 ． 解此四个方程组，得原方程组的解是：(1) x1  5  x2  1  x3  1  x4  5 ． , , ,  y1  1  y2  5  y3  5  y4  1   x2  y 2  a  x2  y 2  a x  y  m 说明：对称型方程组，如  、 都可以通过变形转化为  的形  xy  n x  y  b  xy  b式，通过构造一元二次方程求解． 2．可消二次项型的方程组 xy  x  3 【例 6】解方程组  3xy  y  8(1) (2)分析：注意到两个方程都有 xy 项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化 为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组． 解：(1) 3  (2) 得： 3x  y  1  y  3x  1(3)代入(1)得： x(3x  1)  x  3  3x2  3  x1  1或x2  1 ． 分别代入(3)得： y1  2或y2  4 ． x  1  x2  1 ∴ 原方程组的解是：  1 ． 或  y1  2  y2  4说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个 二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解． 二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决． 练 习A 1．解下列方程组： (1)  组x  y2  6 y  x(2)  x2  2 y 2  8 x  y  2 x  2 y  02 3 x  2 xy  10(3) x  y  1 2 x  3xy  y  52 2(4) 2．解下列方程组：关注成长每一天咨询热线：0757-880188664学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center(1)  x  y  3  xy  2(2) x  y  1  xy  6 (3x  4 y  3)(3x  4 y  3)  0 3x  2 y  53．解下列方程组： (1)  x(2 x  3)  02  y  x 1(2) (3) ( x  y  2)( x  y )  0 x  y  82 2(4) ( x  y)( x  y  1)  0 ( x  y)( x  y  1)  0  xy  x  16  xy  x  8B 组4．解下列方程组： x2  y 2  3  (1)  2 2 x  y  0 (2) 1．解下列方程组： (1) x  2 y  32  x  2 y  3x  2  0(2) 2 x  3 y  12 2 2 x  3xy  y  4 x  3 y  3  02．解下列方程组： (1) x  y  3  xy  2(2) x  2 y  4 2 xy  213．解下列方程组： (1) 3 x 2  y 2  8  2 2  x  xy  y  4 (2)  x2  y 2  4 2 xy  21 x  y  42 2  x  y  104．解下列方程组： (1)  x2  y 2  5  xy  2(2) 分式方程和无理方程的解法 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法． 本讲将要学习可化为一元二次 方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方 程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握 可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根． 一、可化为一元二次方程的分式方程 1．去分母化分式方程为一元二次方程 【例 1】解方程1 4x 2  2  1． x2 x 4 x2关注成长每一天 咨询热线：0757-88018866 5学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为：1 4x 2   1 x  2 ( x  2)( x  2) x  2方程两边各项都乘以 x 2  4 ：( x  2)  4x  2( x  2)  x2  4即 3x  6  x2  4 ， 整理得： x2  3x  2  0 解得： x  1 或 x  2 ． 检验：把 x  1 代入 x 2  4 ，不等于 0，所以 x  1 是原方程的解； 把 x  2 代入 x 2  4 ，等于 0，所以 x  2 是增根． 所以，原方程的解是 x  1 ． 说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把 所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产 生的增根，就是使分式方程的分母为 0 的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式 方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0．若为 0，即为增根；若不为 0，即为原方程的解． 2．用换元法化分式方程为一元二次方程 【例 2】解方程 (x 2 2 3x 2 )  40 x 1 x 1分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，x2  y ，即得到一个关于 y 的一元二次方程．最后在已知 y 的值的情况下，用去分母的方法 设 x 1解方程x2  y． x 1 x2  y ，则原方程可化为： y 2  3 y  4  0 x 1解：设解得 y  4 或 y  1 ．关注成长每一天咨询热线：0757-880188666学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center(1)当 y  4 时，x2  4 ，去分母，得 x2  4( x  1)  x2  4x  4  0  x  2 ； x 1(2)当 y  1 时，x2 1  5 ．  1  x 2   x  1  x 2  x  1  0  x  x 1 2检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0． 所以， x  2 ， x 1  5 都是原方程的解． 2说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出 y 的值，而没有求到原方程的解，即 x 的值． 【例 3】解方程8( x 2  2 x) 3( x 2  1)  2  11 ． x2  1 x  2xx2  2 x x2  1 分 析 ：注意观察方程特点，可以看到分式 2 与 2 互为倒数．因此，可以设 x 1 x  2x x2  2 x  y ，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程． x2  1解：设x2  2 x x2  1 1  y ，则 2  2 x 1 x  2x y 3 3  11  8 y 2  11y  3  0  y  1或y  ． y 8原方程可化为： 8 y (1)当 y  1 时， (2)当 y x2  2 x 1  1  x2  2 x  x2  1  x   ； 2 2 x 12 3 时， x 2 2 x  3  8 x 2  16 x  3x 2  3  5 x 2  16 x  3  0  x  3或x   1 ． 8 5 x 1 8检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0．1 1 所以，原方程的解是 x   ， x  3 ， x   ． 2 5说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现 了化归思想．二、可化为一元二次方程的无理方程 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程． 1．平方法解无理方程关注成长每一天咨询热线：0757-880188667学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center【例 4】解方程x  7  x 1分析：移项、平方，转化为有理方程求解． 解：移项得： x  7  x  1 两边平方得： x  7  x2  2 x  1 移项，合并同类项得： x 2  x  6  0 解得： x  3 或 x  2 检验：把 x  3 代入原方程，左边  右边，所以 x  3 是增根． 把 x  2 代入原方程，左边 = 右边，所以 x  2 是原方程的根． 所以，原方程的解是 x  2 ． 说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤： ①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同 时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根． 【例 5】解方程3x  2  x  3  3分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式， 再用例 4 的方法解方程． 解：原方程可化为： 3x  2  3  x  3 两边平方得： 3x  2  9  6 x  3  x  3 整理得： 6 x  3  14  2x  3 x  3  7  x 两边平方得： 9( x  3)  49  14x  x2 整理得： x 2  23x  22  0 ，解得： x  1 或 x  22 ． 检验：把 x  1 代入原方程，左边=右边，所以 x  1 是原方程的根． 把 x  22 代入原方程，左边  右边，所以 x  22 是增根． 所以，原方程的解是 x  1 ． 说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤： ①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次 根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例 4 的说明． 2．换元法解无理方程关注成长每一天咨询热线：0757-880188668学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center【例 6】解方程 3x2  15x  2 x2  5x  1  2 分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的 二 次 根 式 与 其 余 有 理 式 的 关 系 ， 可 以 发 现 ： 3x2  15x  3  3( x2  5x  1) ． 因 此 ， 可 以 设x2  5x  1  y ，这样就可将原方程先转化为关于 y 的一元二次方程处理．解：设 x2  5x  1  y ，则 x2  5x  1  y 2  3x2  15x  3( y 2  1) 原方程可化为： 3( y 2  1)  2 y  2 ，5 即 3 y 2  2 y  5  0 ，解得： y  1 或 y   ． 3(1)当 y  1 时， x 2  5 x  1  1  x 2  5 x  0  x  1或x  0 ；5 (2)当 y   时，因为 x2  5x  1  y  0 ，所以方程无解． 3检验：把 x  1, x  0 分别代入原方程，都适合． 所以，原方程的解是 x  1, x  0 ． 说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了 化归思想． 练 习A 1．解下列方程： (1)2x  1 x5  ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3)组(2)x x7  2 2 x  11x  21 x  12 x  352(3)2 1  1 y 4 y22(4)4 4 x215 2  1 x 4 2x22．用换元法解方程： x 2  3．解下列方程： (1)x  2  x(2)x 5  x  7(3)x3 2  x4．解下列方程： (1)3x  1  x  4  1(2)2x  4  x  5  1关注成长每一天咨询热线：0757-880188669学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center5．用换元法解下列方程： (1) x  12  x  0 (2) x2  3x  x2  3x  6B 1．解下列方程： (1) (3)2x  5 4 1  2  x  3x  2 x  4 x  22组x4 1 x6   2 x  x  2 x 1 x  42(2)1 x 1 1   2 x  7 (2 x  1)( x  7) 2 x  3x  1(4)x  1 2x 4x   2 0 x 1 x 1 x 12．用换元法解下列方程：x 2  5 x 24( x  1) (1)   14  0 x 1 x( x  5)(3)x4  2x2  1 x2  1  2 x x22( x 2  1) 6( x  1)  2 7 (2) x 1 x 13．若 x  1 是方程 4．解下列方程： (1)x 1   4 的解，试求 a 的值． xa xa3  2x2  4x  1 2 x  2x  3(2)3x 6x2 ax  2  2 xa a x xa5．解下列方程： (1) x2  x2  1  3 (3) 2x2  4x  3 x2  2x  6  15 (2)x  10  6 x  10 5关注成长每一天咨询热线：0757-8801886610学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center简单的二元二次方程组答案A 组 8  x   x1  x1  3  x2  2 x1  0  2 3 x4     1． (1)  , , (2)  , , (3)  , (4)    y  3  y1  3  y2  2  y1  2  y   2   2  y1  3   x  1  x2  2  x1  3  x2  2 2． (1)  1 , , (2)  ,  y1  2  y2  1  y1  2  y2  310  10  x2   2 , 2  10  10  y2   4 4 3  7  13 x     x1  0  2 2    x1   x2   x1  3  1  x2  1  3  x3  2 , , (2)  , , , 3．  3 , 3 , (3)   y1  1  y  5  y1  3  1  y2  1  3  y3  2  y1  1  y2  4      2 4  1  1  x2   x3   x4  2  x1  0   2  2  x4  1 , (4)  , , , ．   y4  2  y1  0  y  1  y   1  y4  0  2 2  3   2  x1   4．(1)  y   1 6  6  6  6  x2   x3    x4   2 , 2 , 2 , 2 ．(2)  x  4 ．     6  6  6  6 y  3 y2   y3  y4    2   2   2  2B 组7   x   4  x2  5  x1  5  x2  1  1 1． (1)  , , (2)  ,  y1  4  y2  1  y   3  y2  3  1  22． (1)  x1  7  x2  3  x1  1  x2  2   , , (2)  3, 7  y1  2  y2  1  y1   2  y2  2  3． 6 13  6 13  x  0  x2  0  x3  2  x4   2  x1   x2      13  13  x3  2  x4  2 (2)  1 , , , (1)  , , , y1  2  y2  2  y3   2  y4  2     y  2 13  y   2 13  y3  2  y4  2  1  2 13  13  x  1  x2  3 x  2  x2  1  x3  1  x4  2 4． (1)  1 ， (2)  1 , , , ,   y1  1  y2  2  y3  2  y4  1  y1  3  y2  1关注成长每一天咨询热线：0757-8801886611学大教育（佛山）个性化学习中心Foshan Xueda Education Individualized learning center分式方程和无理方程的解法答案 A 组 1． (1) x  1 ,(2) x  1, x  21,(3) y  0, y  1,(4) x  3, x  5 2． x   2 3． (1) x  1, (2) x  6, (3) x  4．(1) x  5 ．(2) x  20 ． 5． (1) x  9,(2) x  1, x  4 B 组 1． (1) x  1  13, (2) x  3, (3) x  5, x  1, (4) x  2． (1) x  1, x  2, x  3, x  4,(2) x  1  2, x 2 2 23 2 1 , (2) x   a 2 21 35 3 23  17 ,(3) x  1 43． 4． (1) x  0, x  2, x 5． (1) x   2,(2) x  26,(3) x  3, x  1听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________. 课堂检测天 · 星 o测试题(累计不超过 20 分钟)_______道；成绩_______. 教学需要：加快 ；保持 ；放慢 ；增加内容 作业_____题； 巩固复习____________________ ； 预习布置_____________________. 教学组长签字： 学习管理师: Te s□□□□课后巩固 签字 老师 课后 赏识 评价天 星m 权老师最欣赏的地方： 老师想知道的事情： 老师的建议： t e s o o n 关注成长每一天t e s o o no o n. c o m咨询热线：0757-88018866 天 12星 版