定积分的应用举例
邢
健
徐立新
422000）
（邵阳学院理学与信息科学系，湖南邵阳
摘要：定积分在众多领域有极其广泛的应用，它在求平面图形的面积，经济学，物理学中都有相关的应用. 关键词：定积分平面图形面积经济学物理学应用
1. 定积分在求平面图形的面积方面的应用
由定积分的几何意义可知，若y=f（x ）在［a ，b ］上连续，对坌x ∈［a ，b ］，有f （x ）≥0则蘩a f （x ）dx 表示y=f（x ），直线x=a，x=b及x 轴所围面积.
例1. 计算抛物线y =2x与直线y=x-4所围成的图形的面积. 解：先确定在y 轴上的投影区间:［-2摇4］，再确定左右曲线φ左（y ）=最后计算积分
4
2
b
12
y ，φ右（y ）=y+4.2
S=蘩-2（y+4-
1212134
y ）dy=［y +4y-y ］-2=18226
2. 定积分在经济学中的应用
1
例2. 某企业生产x 吨产品时的边际成本为c ′（x ）=x+30
50
（元/吨），且固定成本为900元，试求产量为多少时平均成本最低.
解：首先求出成本函数
S ）从点a 处推移到点b 处计算在移动过程中气体压力所做的功.
解：活塞的位置可以用坐标x 表示，由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强p 与体积V 的乘积是常数k. 即
k
pV=k或p=
V
在点x 处，因为V=xS，所以作用在活塞上的力为
k k ·F=pS=S=
xS x
k
当活塞从x 移动到x+dx时，变力所做的功近似为dx
x
k
即功元素为dW=dx
x
于是所求的功为
W=蘩a
b
b k b
dx=k［lnx ］|a =klnx a
c （x ）=蘩0c ′（x ）dx+c0=蘩0（
x x
112
x+30）dx+900=x +30x+90050100
例4. 一圆柱形的贮水桶高为5m ，底圆半径为3m ，桶内盛满
了水，试问要把桶内的水全部吸出需做多少功？
解：取深度x 为积分变量，它的变化区间为［0，5］，相应于［0，5］上任小区间［x ，x+dx］的一薄层水的高度为dx ，水的比重为9.8kN/m. 因此如x 的单位为m ，这薄层水的重力为9.8π·3dx. 这薄层水吸出桶外需做的功近似地为
··dW=88.2πx dx
此即功元素. 于是所求的功为
3
2
得平均成本函数为
c （x ）1900（x ）==x+30
x 100x
求一阶导数
（x ）=
1900
-2
100x
x 525
··（KJ ）W=蘩088.2xdx=88.2π［］|0=88.2π
22
5
2
令=0，解得x 1=300（x 2=-300舍去）.
因此，（x ）仅有一个驻点x 1=300，再由实际问题本身可知
从以上例子我们看到，定积分确实有广泛的应用，但它的
应用远不止这些，这里我们不一一列举.
参考文献：
［1］华东师范大学数学系. 数学分析［M ］. 高等教育出版社,
（x ）有最小值，故当产量为300吨时，平均成本最低.
3. 定积分在物理学中的应用
例3. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在
等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为（上接第43页）懂，把句读顺，把意读出。有时还刻意安排某个学习成绩较差的学生提前预习下一课并叫他到办公室教会他读某一自然段，下一次上课时，让他起来读。他流利的读书声、标准的发音给同学们带来惊喜，也博得了同学们的阵阵掌声，给这一位同学带来了成功的喜悦，也带来了自信，带来了学习语文的冲动，同时，给其他同学带来了“我也要读”的强烈愿望。
（四）培养学生正确的学习态度
教师除了要鼓励学生学习外，还要利用身边的例子和农村落后的事实教育学生，并向学生分析父母撑起一个家的艰难等，打温情牌让学生主动学习，这样学生的学习习惯会有很大改观，学习态度也会端正。
综上所述，要强化初中新生语文教学效果，就必须由培养学生学习兴趣、教师帮助学生实现知识链接循序渐进地过渡到初中语文学习，帮助学生探索出一套符合自身实际的学习
1990.
［2］侯风波. 经济数学基础［M ］. 高等教育出版社,2004. ［3］陈锡璞. 工程经济［M ］. 北京:机械工业出版社.,1994.10. 方法，端正学生的学习态度，做好这些就能带领农村初中新生走出语文学习的困境。如何将这些措施具体化，关系到学生语文综合素质的提高和学习能力的养成，这也是学校与教师应该研究的重点问题。
参考文献：
［1］苏晓红. 浅谈如何在农村学校中开展文明礼仪教育［J ］. 学周刊：A ，2012（10）.
［2］杜春美. 初中语文学习的养成教育［J ］. 教育教学论坛，2011（24）.
［3］邓应和. 浅谈农村初中语文教学中学生情感的激发［J ］. 读与写（下旬），2011，08（3）.
［4］卢强. 农村初中新生语文学习的问题及其对策［J ］. 中学教学参考，2011（28）.
56
定积分的应用举例
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
邢健， 徐立新
邵阳学院 理学与信息科学系,湖南 邵阳,422000考试周刊
Kaoshi Zhoukan2015(44)
引用本文格式：邢健. 徐立新 定积分的应用举例[期刊论文]-考试周刊 2015(44)
定积分的应用举例
邢
健
徐立新
422000）
（邵阳学院理学与信息科学系，湖南邵阳
摘要：定积分在众多领域有极其广泛的应用，它在求平面图形的面积，经济学，物理学中都有相关的应用. 关键词：定积分平面图形面积经济学物理学应用
1. 定积分在求平面图形的面积方面的应用
由定积分的几何意义可知，若y=f（x ）在［a ，b ］上连续，对坌x ∈［a ，b ］，有f （x ）≥0则蘩a f （x ）dx 表示y=f（x ），直线x=a，x=b及x 轴所围面积.
例1. 计算抛物线y =2x与直线y=x-4所围成的图形的面积. 解：先确定在y 轴上的投影区间:［-2摇4］，再确定左右曲线φ左（y ）=最后计算积分
4
2
b
12
y ，φ右（y ）=y+4.2
S=蘩-2（y+4-
1212134
y ）dy=［y +4y-y ］-2=18226
2. 定积分在经济学中的应用
1
例2. 某企业生产x 吨产品时的边际成本为c ′（x ）=x+30
50
（元/吨），且固定成本为900元，试求产量为多少时平均成本最低.
解：首先求出成本函数
S ）从点a 处推移到点b 处计算在移动过程中气体压力所做的功.
解：活塞的位置可以用坐标x 表示，由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强p 与体积V 的乘积是常数k. 即
k
pV=k或p=
V
在点x 处，因为V=xS，所以作用在活塞上的力为
k k ·F=pS=S=
xS x
k
当活塞从x 移动到x+dx时，变力所做的功近似为dx
x
k
即功元素为dW=dx
x
于是所求的功为
W=蘩a
b
b k b
dx=k［lnx ］|a =klnx a
c （x ）=蘩0c ′（x ）dx+c0=蘩0（
x x
112
x+30）dx+900=x +30x+90050100
例4. 一圆柱形的贮水桶高为5m ，底圆半径为3m ，桶内盛满
了水，试问要把桶内的水全部吸出需做多少功？
解：取深度x 为积分变量，它的变化区间为［0，5］，相应于［0，5］上任小区间［x ，x+dx］的一薄层水的高度为dx ，水的比重为9.8kN/m. 因此如x 的单位为m ，这薄层水的重力为9.8π·3dx. 这薄层水吸出桶外需做的功近似地为
··dW=88.2πx dx
此即功元素. 于是所求的功为
3
2
得平均成本函数为
c （x ）1900（x ）==x+30
x 100x
求一阶导数
（x ）=
1900
-2
100x
x 525
··（KJ ）W=蘩088.2xdx=88.2π［］|0=88.2π
22
5
2
令=0，解得x 1=300（x 2=-300舍去）.
因此，（x ）仅有一个驻点x 1=300，再由实际问题本身可知
从以上例子我们看到，定积分确实有广泛的应用，但它的
应用远不止这些，这里我们不一一列举.
参考文献：
［1］华东师范大学数学系. 数学分析［M ］. 高等教育出版社,
（x ）有最小值，故当产量为300吨时，平均成本最低.
3. 定积分在物理学中的应用
例3. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在
等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为（上接第43页）懂，把句读顺，把意读出。有时还刻意安排某个学习成绩较差的学生提前预习下一课并叫他到办公室教会他读某一自然段，下一次上课时，让他起来读。他流利的读书声、标准的发音给同学们带来惊喜，也博得了同学们的阵阵掌声，给这一位同学带来了成功的喜悦，也带来了自信，带来了学习语文的冲动，同时，给其他同学带来了“我也要读”的强烈愿望。
（四）培养学生正确的学习态度
教师除了要鼓励学生学习外，还要利用身边的例子和农村落后的事实教育学生，并向学生分析父母撑起一个家的艰难等，打温情牌让学生主动学习，这样学生的学习习惯会有很大改观，学习态度也会端正。
综上所述，要强化初中新生语文教学效果，就必须由培养学生学习兴趣、教师帮助学生实现知识链接循序渐进地过渡到初中语文学习，帮助学生探索出一套符合自身实际的学习
1990.
［2］侯风波. 经济数学基础［M ］. 高等教育出版社,2004. ［3］陈锡璞. 工程经济［M ］. 北京:机械工业出版社.,1994.10. 方法，端正学生的学习态度，做好这些就能带领农村初中新生走出语文学习的困境。如何将这些措施具体化，关系到学生语文综合素质的提高和学习能力的养成，这也是学校与教师应该研究的重点问题。
参考文献：
［1］苏晓红. 浅谈如何在农村学校中开展文明礼仪教育［J ］. 学周刊：A ，2012（10）.
［2］杜春美. 初中语文学习的养成教育［J ］. 教育教学论坛，2011（24）.
［3］邓应和. 浅谈农村初中语文教学中学生情感的激发［J ］. 读与写（下旬），2011，08（3）.
［4］卢强. 农村初中新生语文学习的问题及其对策［J ］. 中学教学参考，2011（28）.
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定积分的应用举例
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
邢健， 徐立新
邵阳学院 理学与信息科学系,湖南 邵阳,422000考试周刊
Kaoshi Zhoukan2015(44)
引用本文格式：邢健. 徐立新 定积分的应用举例[期刊论文]-考试周刊 2015(44)