教案
解直角三角形
4.1 正弦和余弦（1）
教学设计 教学内容 教学分析
教学准备 第 1 课时
板书设计
4.1 正弦和余弦（2）
［教学目标］
1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算；
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。 ［教学重点与难点］
用函数的观点理解正切，正弦、余弦 ［教学过程］ 一、知识回顾
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：sinA＝_____，cosA=_____，tanA＝_____。∠B的三角函数关系式_________________________。
2、比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB，tanA与tanB的表达式，你有什么发现？______________________________________________________。 3、练习：
①如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。 ②如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。 ③在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。
3
④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA=5，则BC=_____。 4
⑤在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,sinB=5,则AC=_____。
3
⑥如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15,sinC=5，则AB=_____。 2
⑦在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=3，AC=12，则AB=_____,BC=_____。
二、例题
例1、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。（精确到1m）
（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）
例2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为4m，车厢到地面的距离为1.4m。
（1）你能求出木板与地面的夹角吗？
（2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离。（精确到0.1m） （参考数据：sin20.5°≈0.3500，cos20.5°≈0.9397，tan20.5°≈0.3739）
三、随堂练习
1、小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为40°，求滑梯的高度。（精确到0.1m） （参考数据：sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660，tan40°≈0.8391）
2、一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确
到0.1m）
（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）
四、本课小结 谈谈本课的收获和体会 五、课外练习
1、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD的长。
2、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值。
12
3、在△ABC中，∠C＝90°，cosB=13,AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。 12
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝13，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值。
5、在△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，且∠ADC＝50°，AD＝2，求tanB的值。（精确到0.01m）（参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）
4.1 正弦和余弦
［教学目标］
1、
2、
能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
［教学重点与难点］
在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。 ［教学过程］ 一、情景创设
1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？
2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？ 二、探索活动
1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。 （根据是______________________________________。） 2、正弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A 的______，记作________， 即：sinA＝________=________. 3、余弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,
我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________， 即：cosA=______=_____。
（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看. ___________________________________________________. 4、牛刀小试
根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与探索
怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
（1） 如图，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度时，他的位置升高了约 0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。 根据正弦、余弦的定义，可以知道： sin15°＝0.26，cos15°＝0.97
（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？ sin75°、cos75°呢？
sin30°＝_____，cos30°＝_____. sin75°＝_____，cos75°＝_____.
（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。 （4）观察与思考：
从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？
____________________________________________________________。 从cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？
____________________________________________________________。 当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？ ____________________________________________________________。 6、锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。 三、随堂练习
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC＝12，BC＝5，则sinA＝_____， cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______. 3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，tanB=________, cosB=______,sinB=_______ 四、请你谈谈本节课有哪些收获？ 五、拓宽和提高
已知在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝5：12：13， 试求最小角的三角函数值。
4.2 正切（1）
教学目标:
1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。 2、了解计算一个锐角的正切值的方法。 教学重点：
理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。 教学难点：
计算一个锐角的正切值的方法。 教学过程：
一、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪
个更陡？你是怎么判断的？
图（1） 图（2） [点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形
答：图 的台阶更陡，理由 二、探索活动 1、思考与探索一：
除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述 台阶的倾斜程度呢？
① 可通过测量BC与AC的长度，
② 再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。 （思考：BC与AC长度的比与台
阶的倾斜程度有何关系？）答：_________________.
③ 讨论：你还可以用其它什么方法？
能说出你的理由吗？答：________________________. 2、思考与探索二：
（1）如图，一般地，如果锐角A的大小已确定， 我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2， A
RtAB3C3„„，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____„„ 根据相似三角形的性质，
B1
B2
B3
C1
C2C3 A
B
B1C1
AC1＝_________＝_________＝„„ 得：
（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的 大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的 邻边的比值也_________。 3、正切的定义
A
斜边c
对边a
对边b
C
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边。我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A_______，记作______。 即：tanA＝________＝__________
（你能写出∠B的正切表达式吗？）试试看.
4、牛刀小试
根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。 A
（通过上述计算，你有什么发现？___________________.） 5、思考与探索三：
怎样计算任意一个锐角的正切值呢？
（1）例如，根据书本P39图7—5，我们可以这样来确定tan65°的近似值：当一个点从点O出发沿着65°线移动到点P时，这个点向右水平方向前进了1个单位，那么在垂直方向上升了约2.14个单位。于是可知，tan65°的近似值为2.14。
（2）请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值。
2
C
C
1
B
1
5
A
B
A
C
3
（4）思考：当锐角α越来越大时，α的正切值有什么变化？ 三、随堂练习
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3， 则tanA＝________，tanB＝
______。 2、如图，在正方形ABCD中，点E为
AD的中点,连结EB，设∠EBA＝α，则tanα＝_________。 B
A
四、请你说说本节课有哪些收获？ 五、作业p40 习题7 .1 1、2 六、拓宽与提高
1、如图是一个梯形大坝的横断面， 根据图中的尺寸，请你通过计算判断 左右两个坡的倾斜程度更大一些？
2、在直角坐标系中，△ABC分别为A（－4,1），B（－1，3），C（－4,3）， 试求tanB的值。
A
E
DC
CB
(单位：米)
4.2 正切（1）
一．教学目标：
1． 理解正切的概念，能通过画图求出一个角的正切的近似值。能运用正切解决与直角三角形有关
的简单问题。
2． 经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。 二．知识导学： 1． 问题的提出
⑵上面等式的值随∠A的 变化而变化吗？
3． 概念的形成
由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的 一个锐
角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的 邻边的比 值也确定。
这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它 与这个锐角的大小有着密切的关系。
在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比 称为∠A的正切，记作 tanA
tanAA的对边a
即：
A的邻边
b 4．一个锐角的正切值
⑴如图，△ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°， 求：tanA与 tanB的值。
⑵你能用画图的方法计算一个50°角的正切的近似值吗？ ⑶如图，从点O出发，点P沿65°线移动，当在水平方向 上向右前进了一个单位时，它在垂直方向上向上前进了 个单位。P点的坐标是 ，tan65°≈ 。 据图填表：
a
C
3
C
① 想一想：锐角的正切值是如何随着的变化而变化的？ ② 于用计算器计算正切值请课后自学。
三．巩固与拓展
附．作业：课本P51 T1-①、T2 四．收获与体会
4.2 正切（3）
［教学目标］
1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算；
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。 ［教学重点与难点］
用函数的观点理解正切，正弦、余弦 ［教学过程］ 一、知识回顾
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：sinA＝_____，cosA=_____，tanA＝_____。∠B的三角函数关系式_________________________。
2、比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB，tanA与tanB的表达式，你有什么发现？______________________________________________________。 3、练习：
①如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。 ②如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。 ③在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。
3
④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA=5，则BC=_____。 4
⑤在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,sinB=5,则AC=_____。
3
⑥如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15,sinC=5，则AB=_____。 2
⑦在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=3，AC=12，则AB=_____,BC=_____。
二、例题
例1、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。（精确到1m）
（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）
例2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为4m，车厢到地面的距离为1.4m。
（1）你能求出木板与地面的夹角吗？
（2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离。（精确到0.1m） （参考数据：sin20.5°≈0.3500，cos20.5°≈0.9397，tan20.5°≈0.3739）
三、随堂练习
1、小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为40°，求滑梯的高度。（精确到0.1m） （参考数据：sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660，tan40°≈0.8391）
2、一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确到0.1m）
（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）
四、本课小结
谈谈本课的收获和体会
五、课外练习
1、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD的长。
2、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值。
12
3、在△ABC中，∠C＝90°，cosB=13,AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。
12
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝13，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值。
5、在△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，且∠ADC＝50°，AD＝2，求tanB的值。（精确到0.01m）（参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）
4.3 直角三角形及其应用（1）
（一）教学三维目标
(一)知识目标
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．
二、教学重点、难点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
三、教学过程
1．导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．
2．例题分析
例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．
分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？
由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5
米，可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB．
例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离
灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达
位于灯塔P的南东34方向上的B处。这时，海轮所在的B
处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？
引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？
3巩固练习
为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．
首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题．
Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？
00
(三)总结与扩展
请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决． 本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．
四、布置作业
1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精确到0.1米)．
2．如图6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D测得塔顶A和塔基B的仰面分别为50°和45°，求塔高．
3．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
4.3 直角三角形及其应用（2）
一．教学三维目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
三、教学过程
（一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系：
sinA
A的对边斜边
cosA
A的邻边斜边
A的对边
tanA=A的邻边
（二）新授概念
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例
1
如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
AC
解：在Rt△ABC中sinB=AB
AC1200
AB=sinB=0.2843=4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
例2.2003
年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ中解决。
A的对边
斜边 例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=
来解决的两个实际问题即已知和斜边，
求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
（三）．巩固练习
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m) 0教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：
四、布置作业
4.3 直角三角形及其应用（3）
一．教学三维目标
(一)知识目标明
巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)德育目标
培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：能熟练运用有关三角函数知识．
2．难点：解决实际问题．
3．疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．
三、教学过程
1．探究活动一
教师出示投影片，出示例题．
例1 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．
2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．
2．探究活动二
例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？
练习P95 练习1，2。
(三)小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
四、布置作业
.3 直角三角形及其应用（4）
一．教学目标
(一)知识目标致
使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．
二、教学重点、难点
1．重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；
2．难点：如何添作适当的辅助线．
三、教学过程
1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．
2．例题
例 燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)．
分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．
(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．
例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．
3．巩固练习
如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)．
分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m
，
∠CAD=60°，求AD、AC的长．
(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．
(三)小结
请学生作小结，教师补充．
本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系．
四、布置作业
4.3 直角三角形及其应用（5）
一．教学三维目标
(一)知识目标
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
(二)能力训练点
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．
三、教学过程
(一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
aab
(1)边角之间关系 sinA=c cosA=c tanAb
(2)三边之间关系
a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
（二） 探究活动
1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
3．例题评析
例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=
三角形．
例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 B=35，解这个三角形（精确到0.1）．
02 a=6，解这个
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
例 3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三) 巩固练习
在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线AD=43，解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
(四)总结与扩展
请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
2解决问题要结合图形。
四、布置作业
复习
一、考标要求：
1、探索并掌握勾股定理及其逆定理。
2、掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念。
3、掌握30°、45°、60°角的三角函数值。会使用计算器求锐角三角函数值，及求三角函数值对应的角度（锐角）。
二、知识要点：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°。 ∠A 的正弦：sinA
∠A的余弦： cosA=a， cb， c
AC
∠A的正切： tanA=a。 b
2、特殊角度的三角函数值
0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
3、我们可以利用计算器计算任意一个锐角的三角函数值，反过来，已知一个三角函数值，我们也可以利用计算器求出相应的锐角的大小。
三、考点探视：三个三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、特殊角的三角函数值及简单运用三角函数的定义解题是本节的考查重点，主要以选择题和填空题的形式出现。
四、典例精析：
例1 （2007 天津）sin45cos45的值等于（ ） A. 2 B. 1 2 C. D. 1
3,则AC＝。 5
3例3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC等于AB边上的中线的，求sinB的值。 2例2 Rt△ABC中，∠C＝900，AB＝5,sinA=
五、反馈检测：
一、选择题：
1、（2007 江苏宿迁）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（ ） A. 5 B.
第2题图 22 C. D. 553A E B C 第1题图
2、（2007 怀化）如图，菱形ABCD的周长为40cm，DEAB，垂足为E，sinA
确的有（ ）
①DE6cm
23，则下列结论正5②BE2cm ③菱形面积为60cm
④BD
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
3、（2007 滨州）如图7，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜
程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越大，梯子越陡
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠A的函数值无关
4、（2007枣庄）如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的 E点反射后照射到B点，设入
射角为ａ(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D．若AC=3，BD=6,CD=12,则tanａ的值为 （ ）
43 B. 34
43C. D. 55A．
二、填空题：
5、（2007 黄冈）计算：2sin60°6、（2007 常州）若∠30，则∠的余角是 °，cos ．
7、（2007 南昌）在Rt△ABC中，C90°，a，b，c分别是A，B，C的对边，若b2a，则tanA
sin60
tan458、（2007 济宁）计算的值是 cos30
9、（2007 湖州）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道
sin15°≈0.26，cos15°≈0.97) B
3
4 A C
11题 第9题图
10、 （2007 河池）已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC = 4cm，BC = 3cm，sin∠A=．
11、（2007 眉山）在RtΔABC中，∠C＝900，BC：AC＝3：4．则cosA＝_______．
12、（2007 牡丹江）已知Rt△ABC中，∠C90，AC6，BC8，将它的一个锐角翻折，使该锐
角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则tan∠CDE的值为 ．
三、解答题：
13、（2007 眉山）
计算： 2sin450＋cos300·tan600—(3)2
14、（2007芜湖）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，
tanBcosDAC，
(1) 求证：AC=BD；
(2)若sinC12，BC=12，求AD的长． 13
教案
解直角三角形
4.1 正弦和余弦（1）
教学设计 教学内容 教学分析
教学准备 第 1 课时
板书设计
4.1 正弦和余弦（2）
［教学目标］
1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算；
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。 ［教学重点与难点］
用函数的观点理解正切，正弦、余弦 ［教学过程］ 一、知识回顾
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：sinA＝_____，cosA=_____，tanA＝_____。∠B的三角函数关系式_________________________。
2、比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB，tanA与tanB的表达式，你有什么发现？______________________________________________________。 3、练习：
①如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。 ②如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。 ③在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。
3
④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA=5，则BC=_____。 4
⑤在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,sinB=5,则AC=_____。
3
⑥如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15,sinC=5，则AB=_____。 2
⑦在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=3，AC=12，则AB=_____,BC=_____。
二、例题
例1、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。（精确到1m）
（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）
例2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为4m，车厢到地面的距离为1.4m。
（1）你能求出木板与地面的夹角吗？
（2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离。（精确到0.1m） （参考数据：sin20.5°≈0.3500，cos20.5°≈0.9397，tan20.5°≈0.3739）
三、随堂练习
1、小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为40°，求滑梯的高度。（精确到0.1m） （参考数据：sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660，tan40°≈0.8391）
2、一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确
到0.1m）
（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）
四、本课小结 谈谈本课的收获和体会 五、课外练习
1、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD的长。
2、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值。
12
3、在△ABC中，∠C＝90°，cosB=13,AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。 12
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝13，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值。
5、在△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，且∠ADC＝50°，AD＝2，求tanB的值。（精确到0.01m）（参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）
4.1 正弦和余弦
［教学目标］
1、
2、
能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
［教学重点与难点］
在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。 ［教学过程］ 一、情景创设
1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？
2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？ 二、探索活动
1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。 （根据是______________________________________。） 2、正弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A 的______，记作________， 即：sinA＝________=________. 3、余弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,
我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________， 即：cosA=______=_____。
（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看. ___________________________________________________. 4、牛刀小试
根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与探索
怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
（1） 如图，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度时，他的位置升高了约 0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。 根据正弦、余弦的定义，可以知道： sin15°＝0.26，cos15°＝0.97
（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？ sin75°、cos75°呢？
sin30°＝_____，cos30°＝_____. sin75°＝_____，cos75°＝_____.
（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。 （4）观察与思考：
从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？
____________________________________________________________。 从cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？
____________________________________________________________。 当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？ ____________________________________________________________。 6、锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。 三、随堂练习
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC＝12，BC＝5，则sinA＝_____， cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______. 3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，tanB=________, cosB=______,sinB=_______ 四、请你谈谈本节课有哪些收获？ 五、拓宽和提高
已知在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝5：12：13， 试求最小角的三角函数值。
4.2 正切（1）
教学目标:
1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。 2、了解计算一个锐角的正切值的方法。 教学重点：
理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。 教学难点：
计算一个锐角的正切值的方法。 教学过程：
一、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪
个更陡？你是怎么判断的？
图（1） 图（2） [点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形
答：图 的台阶更陡，理由 二、探索活动 1、思考与探索一：
除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述 台阶的倾斜程度呢？
① 可通过测量BC与AC的长度，
② 再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。 （思考：BC与AC长度的比与台
阶的倾斜程度有何关系？）答：_________________.
③ 讨论：你还可以用其它什么方法？
能说出你的理由吗？答：________________________. 2、思考与探索二：
（1）如图，一般地，如果锐角A的大小已确定， 我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2， A
RtAB3C3„„，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____„„ 根据相似三角形的性质，
B1
B2
B3
C1
C2C3 A
B
B1C1
AC1＝_________＝_________＝„„ 得：
（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的 大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的 邻边的比值也_________。 3、正切的定义
A
斜边c
对边a
对边b
C
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边。我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A_______，记作______。 即：tanA＝________＝__________
（你能写出∠B的正切表达式吗？）试试看.
4、牛刀小试
根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。 A
（通过上述计算，你有什么发现？___________________.） 5、思考与探索三：
怎样计算任意一个锐角的正切值呢？
（1）例如，根据书本P39图7—5，我们可以这样来确定tan65°的近似值：当一个点从点O出发沿着65°线移动到点P时，这个点向右水平方向前进了1个单位，那么在垂直方向上升了约2.14个单位。于是可知，tan65°的近似值为2.14。
（2）请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值。
2
C
C
1
B
1
5
A
B
A
C
3
（4）思考：当锐角α越来越大时，α的正切值有什么变化？ 三、随堂练习
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3， 则tanA＝________，tanB＝
______。 2、如图，在正方形ABCD中，点E为
AD的中点,连结EB，设∠EBA＝α，则tanα＝_________。 B
A
四、请你说说本节课有哪些收获？ 五、作业p40 习题7 .1 1、2 六、拓宽与提高
1、如图是一个梯形大坝的横断面， 根据图中的尺寸，请你通过计算判断 左右两个坡的倾斜程度更大一些？
2、在直角坐标系中，△ABC分别为A（－4,1），B（－1，3），C（－4,3）， 试求tanB的值。
A
E
DC
CB
(单位：米)
4.2 正切（1）
一．教学目标：
1． 理解正切的概念，能通过画图求出一个角的正切的近似值。能运用正切解决与直角三角形有关
的简单问题。
2． 经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。 二．知识导学： 1． 问题的提出
⑵上面等式的值随∠A的 变化而变化吗？
3． 概念的形成
由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的 一个锐
角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的 邻边的比 值也确定。
这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它 与这个锐角的大小有着密切的关系。
在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比 称为∠A的正切，记作 tanA
tanAA的对边a
即：
A的邻边
b 4．一个锐角的正切值
⑴如图，△ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°， 求：tanA与 tanB的值。
⑵你能用画图的方法计算一个50°角的正切的近似值吗？ ⑶如图，从点O出发，点P沿65°线移动，当在水平方向 上向右前进了一个单位时，它在垂直方向上向上前进了 个单位。P点的坐标是 ，tan65°≈ 。 据图填表：
a
C
3
C
① 想一想：锐角的正切值是如何随着的变化而变化的？ ② 于用计算器计算正切值请课后自学。
三．巩固与拓展
附．作业：课本P51 T1-①、T2 四．收获与体会
4.2 正切（3）
［教学目标］
1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算；
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。 ［教学重点与难点］
用函数的观点理解正切，正弦、余弦 ［教学过程］ 一、知识回顾
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：sinA＝_____，cosA=_____，tanA＝_____。∠B的三角函数关系式_________________________。
2、比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB，tanA与tanB的表达式，你有什么发现？______________________________________________________。 3、练习：
①如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。 ②如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。 ③在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。
3
④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA=5，则BC=_____。 4
⑤在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,sinB=5,则AC=_____。
3
⑥如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15,sinC=5，则AB=_____。 2
⑦在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=3，AC=12，则AB=_____,BC=_____。
二、例题
例1、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。（精确到1m）
（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）
例2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为4m，车厢到地面的距离为1.4m。
（1）你能求出木板与地面的夹角吗？
（2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离。（精确到0.1m） （参考数据：sin20.5°≈0.3500，cos20.5°≈0.9397，tan20.5°≈0.3739）
三、随堂练习
1、小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为40°，求滑梯的高度。（精确到0.1m） （参考数据：sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660，tan40°≈0.8391）
2、一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确到0.1m）
（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）
四、本课小结
谈谈本课的收获和体会
五、课外练习
1、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD的长。
2、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值。
12
3、在△ABC中，∠C＝90°，cosB=13,AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。
12
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝13，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值。
5、在△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，且∠ADC＝50°，AD＝2，求tanB的值。（精确到0.01m）（参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）
4.3 直角三角形及其应用（1）
（一）教学三维目标
(一)知识目标
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．
二、教学重点、难点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
三、教学过程
1．导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．
2．例题分析
例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．
分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？
由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5
米，可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB．
例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离
灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达
位于灯塔P的南东34方向上的B处。这时，海轮所在的B
处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？
引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？
3巩固练习
为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．
首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题．
Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？
00
(三)总结与扩展
请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决． 本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．
四、布置作业
1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精确到0.1米)．
2．如图6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D测得塔顶A和塔基B的仰面分别为50°和45°，求塔高．
3．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
4.3 直角三角形及其应用（2）
一．教学三维目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
三、教学过程
（一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系：
sinA
A的对边斜边
cosA
A的邻边斜边
A的对边
tanA=A的邻边
（二）新授概念
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例
1
如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
AC
解：在Rt△ABC中sinB=AB
AC1200
AB=sinB=0.2843=4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
例2.2003
年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ中解决。
A的对边
斜边 例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=
来解决的两个实际问题即已知和斜边，
求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
（三）．巩固练习
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m) 0教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：
四、布置作业
4.3 直角三角形及其应用（3）
一．教学三维目标
(一)知识目标明
巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)德育目标
培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：能熟练运用有关三角函数知识．
2．难点：解决实际问题．
3．疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．
三、教学过程
1．探究活动一
教师出示投影片，出示例题．
例1 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．
2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．
2．探究活动二
例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？
练习P95 练习1，2。
(三)小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
四、布置作业
.3 直角三角形及其应用（4）
一．教学目标
(一)知识目标致
使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．
二、教学重点、难点
1．重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；
2．难点：如何添作适当的辅助线．
三、教学过程
1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．
2．例题
例 燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)．
分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．
(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．
例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．
3．巩固练习
如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)．
分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m
，
∠CAD=60°，求AD、AC的长．
(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．
(三)小结
请学生作小结，教师补充．
本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系．
四、布置作业
4.3 直角三角形及其应用（5）
一．教学三维目标
(一)知识目标
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
(二)能力训练点
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．
三、教学过程
(一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
aab
(1)边角之间关系 sinA=c cosA=c tanAb
(2)三边之间关系
a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
（二） 探究活动
1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
3．例题评析
例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=
三角形．
例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 B=35，解这个三角形（精确到0.1）．
02 a=6，解这个
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
例 3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三) 巩固练习
在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线AD=43，解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
(四)总结与扩展
请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
2解决问题要结合图形。
四、布置作业
复习
一、考标要求：
1、探索并掌握勾股定理及其逆定理。
2、掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念。
3、掌握30°、45°、60°角的三角函数值。会使用计算器求锐角三角函数值，及求三角函数值对应的角度（锐角）。
二、知识要点：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°。 ∠A 的正弦：sinA
∠A的余弦： cosA=a， cb， c
AC
∠A的正切： tanA=a。 b
2、特殊角度的三角函数值
0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
3、我们可以利用计算器计算任意一个锐角的三角函数值，反过来，已知一个三角函数值，我们也可以利用计算器求出相应的锐角的大小。
三、考点探视：三个三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、特殊角的三角函数值及简单运用三角函数的定义解题是本节的考查重点，主要以选择题和填空题的形式出现。
四、典例精析：
例1 （2007 天津）sin45cos45的值等于（ ） A. 2 B. 1 2 C. D. 1
3,则AC＝。 5
3例3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC等于AB边上的中线的，求sinB的值。 2例2 Rt△ABC中，∠C＝900，AB＝5,sinA=
五、反馈检测：
一、选择题：
1、（2007 江苏宿迁）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（ ） A. 5 B.
第2题图 22 C. D. 553A E B C 第1题图
2、（2007 怀化）如图，菱形ABCD的周长为40cm，DEAB，垂足为E，sinA
确的有（ ）
①DE6cm
23，则下列结论正5②BE2cm ③菱形面积为60cm
④BD
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
3、（2007 滨州）如图7，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜
程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越大，梯子越陡
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠A的函数值无关
4、（2007枣庄）如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的 E点反射后照射到B点，设入
射角为ａ(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D．若AC=3，BD=6,CD=12,则tanａ的值为 （ ）
43 B. 34
43C. D. 55A．
二、填空题：
5、（2007 黄冈）计算：2sin60°6、（2007 常州）若∠30，则∠的余角是 °，cos ．
7、（2007 南昌）在Rt△ABC中，C90°，a，b，c分别是A，B，C的对边，若b2a，则tanA
sin60
tan458、（2007 济宁）计算的值是 cos30
9、（2007 湖州）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道
sin15°≈0.26，cos15°≈0.97) B
3
4 A C
11题 第9题图
10、 （2007 河池）已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC = 4cm，BC = 3cm，sin∠A=．
11、（2007 眉山）在RtΔABC中，∠C＝900，BC：AC＝3：4．则cosA＝_______．
12、（2007 牡丹江）已知Rt△ABC中，∠C90，AC6，BC8，将它的一个锐角翻折，使该锐
角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则tan∠CDE的值为 ．
三、解答题：
13、（2007 眉山）
计算： 2sin450＋cos300·tan600—(3)2
14、（2007芜湖）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，
tanBcosDAC，
(1) 求证：AC=BD；
(2)若sinC12，BC=12，求AD的长． 13