第２４卷第２期许昌学院学报Ｖｏｌ２４Ｎｏ．２加０５年３月ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＸＵＣＨＡＮＧＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＭａｒ．．２００５文章墒号：１６７ｌ一９８２４（２００５）０２～００１８一‘）４
一致最小方差无偏估计的判定及其求法
王芬玲，樊明智，
（许昌学院数学系，河南许昌４６１０００）
摘要：给出了一致最小方差无偏估计的判定方法及存在的充要条件，并给出了一致最小方
差无偏估计的几种求法，最后通过实例说明了这些方法的应用．
关键词：一致最小方差无偏估计；无偏估计；充分统计量；Ｃ—Ｒ下界
中图分类号：０２１２．１文献标识码：Ａ
Ｏ引言
当样本容量ｎ＞１时，可估参数（统计中，一般将存在无偏估计的参数函数称为可估参数）的无偏估计不惟一设ｇ（∞为可估参数，我们把ｇ（∞的所有无偏估计组成的类记为岵，如何从坛中选取一个较好的估计是我们关心的问题．根据均方误差原则，一个无偏估计其方差越小越好，对固定大小的样本来说，估计餐的方差不能任意小．那么，在所有无偏估计中，估计量的方差下界是什么？有无达到这个下界的估计量？如存在，如何把它找出来？为此本文将给出一致最小方差无偏估计的判定方法及其求法．
１主要结果
定义设ｇ（∞为可估参数，如果ｒ（ｘ）是ｇ（口）的无偏估计，且对略中任一个估讹妒（ｘ），有
－缸ｂ（ｒ（ｘ））≤协目（驴（ｘ））Ｖ口∈＠
则称为ｒ（ｘ）为ｇ（∞的一致最小方差无偏估计（ｕｎｉｆｏｒｒｎｌｙＭｉｎｉｆ肌ｍＶａｄａｎｃｅｕｎｂｉａｓｅｄＥｓｔｉｍａｔｅ），简记为ＵＭＶＵＥｆｌＩ．
引理ｌ设ｓ（ｘ）是分布族｛，（ｘ，口），臼∈＠｝的充分统计量，妒（盖）是ｇ（疗）的无偏估计ｔ令ｒ（ｘ）＝Ｅ（妒（ｘ）ｌｓ（ｘ）），则ｒ（ｘ）也是ｇ（目）的无偏估计，且
％埽（ｒ（ｘ））≤忆印（妒（卫））Ｖ疗∈＠
引理２设ｓ（丑）是分布族｛，（丑，口），日∈＠｝的完备充分统计量，ｇ（口）为可估参数，则ｇ（目）的ｕＭＶｕＥ存在，它是ｓ（Ⅳ）的函数且在几乎处处意义下是惟一的．
定理１设丁（．ｊｆ）是ｇ（∞的无偏估计，％啊（丁（ｘ））（∞，则ｒ（引为ｇ（日）的ｕＭＶｕＥ的充要条件是对任～Ｏ的无偏估计Ｐ（膏），若忆ｒ（Ｐ（ｘ））＜ｍ，则有ｃ锄（ｆ（ｘ），ｒ（趵）＝Ｏ
证明令
“＝｛妒（置）：岛（妒（石））＝ｇ（∞，仇御（ｘ）＜＋∞，Ｖ曰∈＠ｆ；
‰＝｛妒（盖）：局（Ｐ（ｘ））＝０，％啊驴（盖）＜＋∞，Ｖ口∈＠｝，
设ｒ（ｘ）是ｇ（鲫的ｕＭＶｕＥ，任取驴（ｘ）∈‰及＾∈Ｒ，则
妒’（ｘ）＝＾妒（置）＋ｒ（ｘ）∈Ｕ，且有沌印（ｒ（ｘ））≤ｙａ唯（Ａ驴（ｘ）＋ｒ（ｘ））
即＾２－缸妇（垆（ｘ））＋２＾ｃｏ蜥（ｐ（Ｘ），ｒ（＿］｜『））≥０．
由＾∈月的任意性知：ｃ鲫日（妒（ｘ），ｒ（ｘ））＝ｏ，Ｖ臼∈＠、
收稿日期：２００４一１１—１９作者简介：王芬玲（１９６８一），士，河南都陵人，讲师，研究方向：基础数学
第２４卷第２期王芬玲，等：一致最小方差无偏估计的判定及其求法１９反之，设妒（Ⅳ）∈％都有‰口（妒（剐，丁（ｘ））＝ｏＶ口∈＠要证ｒ（ｘ）是ｇ（∞的ｕＭＶｕＥ，若妒’（并）∈ｕ，则有ｒ（ｘ）一妒’（ｘ）∈【，ｏ，由假设条件得
ｃ。％（ｒ（ｘ）一∥（卫），ｒ（ｘ））＝０
易（（ｒ（ｘ）一９７（ｘ））ｒ（ｘ））＝０
岛（ｒ（ｘ））一Ｅ。（ｒ（ｘ））妒’（ｘ））＝０
由许瓦兹不等式得：一
（Ｆｄ（产（Ⅳ）））２＝（Ｅ口（ｒ（ｘ）驴’（ｘ）））２≤岛（ｒ（ｘ））岛（（妒’（ｘ））２）
从而
Ｅ口（严（ｘ）））≤Ｅ口（（妒’（ｘ））２）
又
¨Ｅ。（丁（ｘ））＝Ｆ日（节７（ｘ））＝ｇ（８），．‘．Ｖ廿日（Ｔ（ｘ））≤Ｉ缸７。（于’（ｘ））
由（妒’（ｘ））∈ｕ之任意性可知，ｒ（膏）是ｇ（∞的ｕＭＶｕＥ．
定理２设总体分布族＂（ｘ，日），口∈＠｝满足如下条件：
（ｉｉ）分布旌有共同支撑＾，且对任意ｘ∈一，ｖ睁∈＠，掣存在；（ｉ）＠为开区间；
（ｉｉｉ）岛（掣）＝』掣出－０＇ｖ日∈＠；（Ｉｖ），（口）：岛（ｉ掣）２：』（曼掣）了（石，口）如，ｏｖ日∈＠
ｘ。，ｘ２，…，ｘ。ｉ．ｉ．ｄ．是抽自总体的一个样本，ｉ（ｘ）是ｇ（目）的无偏估计，且满足
刍』．．．』；（ｘ。，・・・ｘ。）（ｒｌ，（ｘ。，口））ｄｘ，－・ｄｘ。：』・・・』；（ｘ，，…ｚ。）品（Ｊ●，（ｚ。，目））ｄｚ。・－・ｄｘ。
则有
’
‰印（ｉ（Ｊ））≥上ｉ嘉；字ｖ日∈＠（１）
把（１）式称为ｃｒａｍｅｒ－Ｒ帅不等式，简称ｃ．Ｒ不等式，［ｇ７（口）］２／ｎ，（口）称为ｃ－ＲＦ界．
定理２的证明见文献［２］或［３］．
２ｕＭｖｕＥ的几种求法
由ｒ述讨论，只要完备充分统｝｜量存在，可估参数ｕＭｖｕＥ一定存在．因为充分统计量有一个重要作用是降低无偏估计的方差．
引理ｌ、２提供了两种求ｕＭｖｕＥ的方法．
方法ｌ若ｓ（ｘ）为完备充分统计量，寻求函数＾（ｓ（ｘ））为ｇ（∞的无偏估计，则＾Ｃｓ（ｘ））为ｇ（∞的ＵＭＶＵＥ
例１殴样本ｘ∥・ｘ．是来自Ｕ（０，ｐ）的一个样本，求疗的ｕＭｖｕＥ
解由凶子分解定理知ｘ（。）＝ｒｒｍ（盖∥一盖。）是克分统计量，其分布密度函数为
ｐ（ｆ，∞＝ｍ“一１／∥，０＜ｆ＜口
可验证该分布族是完备的，因而ｘ㈨也是８的完备充分统计量．
因为删（。）＝Ｊ：芳也＝了鲁目，故生｝ｘ（。）是口的ｕＭＶｕＥ．
方法２首先找一个无偏估计ｐ（ｘ），然后将之对完备充分统计昔求条件期望，则ｒ（ｘ）＝Ｅ（Ｐ（ｘ）Ｉｓ（ｘ））是譬（∞的ｕＭＶｕＥ．
例２设某种产品的寿命服从带有未知参数Ａ的指数分布，对固定时问ｔｏ，产品在ｔ。前失效的概率肌（ｘ≤ｆｏ）＝Ｊ—ｅ“～兮ｇ（＾），求ｇ（＾）的ｕＭＶｕＥ．
许昌学院学报２００５年３月
解先寻找一个完箭允分统计量．
抽取，ｔ个产品进行试验，得样本盖∥・・ｘ。，由指数族的性质知：
ｓ（ｘ）＝∑ｘ。为＾的一个完备充分统计量．
令学（ｘ）＝，（Ｊ．；％）足ｇ（＾）的无偏估计，因为Ｅ（妒（盖））＝肌（ｘｌ≤ｔｏ）＝ｇ（＾），则在ｓ（置）＝ｓ的条件下求条件期望：
，，
当ｏｃ詈≤１时，有
Ｅ（Ｐ（鼻）ｌｓ（ｘ）＝ｓ？＝，（ｘ。≤州ｓ（丑）＝ｓ）＝ｐ（志≤导）
＝ｆｃｎ一，，ｃ－一ｚ，“一２ａｔ＝－一（・一导）“一１
当导≥１时，Ｅ（妒（ｘ）｜５（ｘ）＝ｓ）＝１，
故ｇ（＾）的ｕＭＶｕＥ为：
咖）：『１＿（・一高）”１瑚果ｓ（如“．
１ｌ，如果ｓ（ｘ）＜“
方法３利用定理１，ｕＭｖｕＥ存在的充要条件来寻求ｕＭｖｕＥ．
例３没样本ｘ∥‘’ｘ。，ｉ．ｉｄ是来自Ｎ（ｐ，。２）的一个样本，证明ｉ＝吉蚤ｘ，及ｓ２＝＿与善（ｘ．一ｘ）２分别为肚，ａ２的ｕＭＶｕＦ
证明令参数守问＠＝｛（严，口２）ｌ卢∈尺，口２＞０｝，Ｖ臼∈＠，氏∈ｕ，有：
印。＝（２—２）一｛Ｊ…ｊ８。（ｘ∥‘’，％）ｅｘｐ【一刍蚤（置一ｐ）２】出ｒ…如。＝ｏ（２）
两边关于Ⅳ求导，得：。
（ｚ一２）一；卜・』蹦ｍ…＾）妄窨（≈一ｐ）“一【一去砉（≈一严）２］岫…出。＝。（３）
因此
●
（２—２）一；』…』岛（ｚ∥．．，ｚ。）ｉｅｘｐ［＿刍骞（毛一岸）２］出，…如。＝ｏ、（４）
即毋（ａ。ｉ）：ｏ，又困Ｅ孑＝ｐ，由定理１知ｉ：÷∑ｘ。及为Ⅳ的ｕＭｖｕＥ．
（３）式两边关于“求导，得：
（２—２）一ｊ』¨・』蹦ｍ…＾）［骞（戡一一）】２ｅ砷【一刍耋（‰一一）２】也，…出。＝。（５）
（２）式两边关于一２求导，得：
（２—２）一；ｊ．－ｆｄ。（ｘ∥‘‘，“）骞（甄一一）２ｅｘ一［一刍薯（ｚ。一一）２】出－…如。＝。（６）
（６）式减去上倍的（５）式，得：
（ｚ一２）一；卜－』蹦钆…，剞耋（她一ｉ）２ｅ印【一去骞（＊。一一）２】出，…也。＝。
即岛（％５２）：０，Ｖ臼∈＠，又因Ｅ庐２＝口２，由定理１知５２及为ｄ２的ｕＭＶｕＥ．
方法４利用定理２，ｃ．Ｒ不等式提供了一种验证某些估计是ｕＭｖｕＥ的方法．在定理２的条件成立时，由ｃ—Ｒ不等式知．无偏估计的方差不低于ｃ—Ｒ下界．因此，若某个无偏估计的方差达到了ｃ．Ｒ下界，则它必
第２４卷第２期王芬玲，等：一致最小方差无偏估计的判定及其求法
是一个ＵＭｖＵＥ．
倒４设样本Ｊ∥‘‘咒，ｉ．ｉ．ｄ是来自口（１，Ｐ），求ｐ的ｕＭＶｕＥ．
解设总体分布为，（ｇ，ｐ）＝矿（１一ｐ）１～，＊＝ｏ，ｌ，ｏ＜ｐ＜１
容易验证；，（ｘ，ｐ）ｌｐ∈ｐ（ｏ，１）｝满足定理２的条件
因为：
故Ｐ的无偏估计的ｃ—Ｒ下界为ｉｂ＝掣．‰）＝耳［毒・帕川卜乓【者与］２：南％（并－ｐ）２＝万尚
ｉ作为ｐ的无偏估汁，有：
％砸）＝去耋地。（置）丢删刊＝世≯
ｉ达到了ｃ—Ｒ下界，故ｉ为ｐ的ｕＭｖｕＥ．
方法５通过解方程来求ｕＭＶｕＥ．若ｓ（工）为完备充分统计量，可估两数Ｆ（口）的ｕＭｖｕＥ．是方程Ｅ（＾（Ｓ（ｘ）））＝ｇ（日）的唯一解．
如例１也可采用方法５来解决，即先找出＾（５（ｘ））为日的ｕＭＶｕＥ，解方程：Ｅ（＾（ｓ（ｘ）））＝口，再求出＾（５（ｘ））．
因为盖（。）也是目的完备充分统计量，记＿：ｒ㈨取值为‘，设＾（ｆ）是口的元偏估计（即为目的ｕＭｖｕＥ）
ｒ日
从而有Ｅ（ｈ（￡））＝ｌ矗（￡）－ｎＰ。１／扫”出＝臼，ｖ口＞ｏ
ＪＯ
ｒ日ｒ日
即：ｌ＾（ｔ）ｎ，。１出：俨¨＝Ｉ（ｎ＋１）‘ｑ￡，ｖ口＞ｏ
对上式两边求导得：
＾（￡）・ｎ￡８—１：（ｎ＋１）ｒ８日Ｕ＾（￡）：！！型ｆ，Ｖ口＞０ｎ
－
因而＾（５（ｘ））：型ｘ㈨是口的ｕＭｖｕＥ．
涟：方法１比较简单，但适用范匍有一定的局限性；方法２虽计算量较大，但适用范围广，是一种普遍使用的方法；方法３需要构造。的无偏估计，方法灵活但需要一定的技巧；方法４要求密度函数满足一定的条件（即正则条件１—４）方可使用；方法５足一种不常用的方法，但在完备充分统计量ｓ（丑）容身确定时，利用参数估计的无偏性建立等式还是比较简单的．
参考文献
［１］茆诗松，王静龙，濮晓龙高等数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９８
［２］中山大学教学力学系概率论与数理统计（下）［ＭＪ．北京：高等教育出版社．１９８０
［３］华东师范大学数学系概率论与数理统计教程［Ｍ］北京：高等教育出版社，１９８３
责任编校：周伦
ＪｕｄｇｅｍｅｎｔａｎｄＳｏｌｕｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄｓｏｆＵＭＶＵＥ
ＷＡＮＧＦｅｎ。ｌｉｎｇ，ＦＡＮＭｉｎｇ‘ｚｈｉ
（上卸Ⅱ玎舢眦０，肘珊＾删ｎ￡溉，ｘ∽矗。昭‰洫倦毋，ｘ眦＾ｏ昭４６１０００，现ｉＭ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉ８ｐａｐｅ。ｐｍｖｉｄｅｓｍｅｔｈｏｄｓｏｆｊｕｄｇｅｍｅｎｔ０ｆＵＭＶＵＥ，ｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｍｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｅｘｉｓｔｅｎｃｅ，ｓｅｖｅｒａｌｓ０】ｕ石ｏｎｓ抽ＵＭＶＵＥ，ａｎｄｅ。ｐ】ａｊｎｓ￡ｂ。ｐｒ靴出丑ｌ印ｐ】ｉｃａ石ｏｎ。ｆ出ｅｓｅｍｅ出ｏｄｓ呐ａａｆｅｗｅ髓“１ｐｌｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＵＭＶＵＥ；Ｕｎｂｉａｓｅｄｅｓｔｉｍａｔｅ；ｓｕ珩ｃ；ｅｎｔｓｔａＩｉｓｔ记；Ｃ—Ｒ１０ｗｅｒｂｏｕｎｄ
第２４卷第２期许昌学院学报Ｖｏｌ２４Ｎｏ．２加０５年３月ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＸＵＣＨＡＮＧＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＭａｒ．．２００５文章墒号：１６７ｌ一９８２４（２００５）０２～００１８一‘）４
一致最小方差无偏估计的判定及其求法
王芬玲，樊明智，
（许昌学院数学系，河南许昌４６１０００）
摘要：给出了一致最小方差无偏估计的判定方法及存在的充要条件，并给出了一致最小方
差无偏估计的几种求法，最后通过实例说明了这些方法的应用．
关键词：一致最小方差无偏估计；无偏估计；充分统计量；Ｃ—Ｒ下界
中图分类号：０２１２．１文献标识码：Ａ
Ｏ引言
当样本容量ｎ＞１时，可估参数（统计中，一般将存在无偏估计的参数函数称为可估参数）的无偏估计不惟一设ｇ（∞为可估参数，我们把ｇ（∞的所有无偏估计组成的类记为岵，如何从坛中选取一个较好的估计是我们关心的问题．根据均方误差原则，一个无偏估计其方差越小越好，对固定大小的样本来说，估计餐的方差不能任意小．那么，在所有无偏估计中，估计量的方差下界是什么？有无达到这个下界的估计量？如存在，如何把它找出来？为此本文将给出一致最小方差无偏估计的判定方法及其求法．
１主要结果
定义设ｇ（∞为可估参数，如果ｒ（ｘ）是ｇ（口）的无偏估计，且对略中任一个估讹妒（ｘ），有
－缸ｂ（ｒ（ｘ））≤协目（驴（ｘ））Ｖ口∈＠
则称为ｒ（ｘ）为ｇ（∞的一致最小方差无偏估计（ｕｎｉｆｏｒｒｎｌｙＭｉｎｉｆ肌ｍＶａｄａｎｃｅｕｎｂｉａｓｅｄＥｓｔｉｍａｔｅ），简记为ＵＭＶＵＥｆｌＩ．
引理ｌ设ｓ（ｘ）是分布族｛，（ｘ，口），臼∈＠｝的充分统计量，妒（盖）是ｇ（疗）的无偏估计ｔ令ｒ（ｘ）＝Ｅ（妒（ｘ）ｌｓ（ｘ）），则ｒ（ｘ）也是ｇ（目）的无偏估计，且
％埽（ｒ（ｘ））≤忆印（妒（卫））Ｖ疗∈＠
引理２设ｓ（丑）是分布族｛，（丑，口），日∈＠｝的完备充分统计量，ｇ（口）为可估参数，则ｇ（目）的ｕＭＶｕＥ存在，它是ｓ（Ⅳ）的函数且在几乎处处意义下是惟一的．
定理１设丁（．ｊｆ）是ｇ（∞的无偏估计，％啊（丁（ｘ））（∞，则ｒ（引为ｇ（日）的ｕＭＶｕＥ的充要条件是对任～Ｏ的无偏估计Ｐ（膏），若忆ｒ（Ｐ（ｘ））＜ｍ，则有ｃ锄（ｆ（ｘ），ｒ（趵）＝Ｏ
证明令
“＝｛妒（置）：岛（妒（石））＝ｇ（∞，仇御（ｘ）＜＋∞，Ｖ曰∈＠ｆ；
‰＝｛妒（盖）：局（Ｐ（ｘ））＝０，％啊驴（盖）＜＋∞，Ｖ口∈＠｝，
设ｒ（ｘ）是ｇ（鲫的ｕＭＶｕＥ，任取驴（ｘ）∈‰及＾∈Ｒ，则
妒’（ｘ）＝＾妒（置）＋ｒ（ｘ）∈Ｕ，且有沌印（ｒ（ｘ））≤ｙａ唯（Ａ驴（ｘ）＋ｒ（ｘ））
即＾２－缸妇（垆（ｘ））＋２＾ｃｏ蜥（ｐ（Ｘ），ｒ（＿］｜『））≥０．
由＾∈月的任意性知：ｃ鲫日（妒（ｘ），ｒ（ｘ））＝ｏ，Ｖ臼∈＠、
收稿日期：２００４一１１—１９作者简介：王芬玲（１９６８一），士，河南都陵人，讲师，研究方向：基础数学
第２４卷第２期王芬玲，等：一致最小方差无偏估计的判定及其求法１９反之，设妒（Ⅳ）∈％都有‰口（妒（剐，丁（ｘ））＝ｏＶ口∈＠要证ｒ（ｘ）是ｇ（∞的ｕＭＶｕＥ，若妒’（并）∈ｕ，则有ｒ（ｘ）一妒’（ｘ）∈【，ｏ，由假设条件得
ｃ。％（ｒ（ｘ）一∥（卫），ｒ（ｘ））＝０
易（（ｒ（ｘ）一９７（ｘ））ｒ（ｘ））＝０
岛（ｒ（ｘ））一Ｅ。（ｒ（ｘ））妒’（ｘ））＝０
由许瓦兹不等式得：一
（Ｆｄ（产（Ⅳ）））２＝（Ｅ口（ｒ（ｘ）驴’（ｘ）））２≤岛（ｒ（ｘ））岛（（妒’（ｘ））２）
从而
Ｅ口（严（ｘ）））≤Ｅ口（（妒’（ｘ））２）
又
¨Ｅ。（丁（ｘ））＝Ｆ日（节７（ｘ））＝ｇ（８），．‘．Ｖ廿日（Ｔ（ｘ））≤Ｉ缸７。（于’（ｘ））
由（妒’（ｘ））∈ｕ之任意性可知，ｒ（膏）是ｇ（∞的ｕＭＶｕＥ．
定理２设总体分布族＂（ｘ，日），口∈＠｝满足如下条件：
（ｉｉ）分布旌有共同支撑＾，且对任意ｘ∈一，ｖ睁∈＠，掣存在；（ｉ）＠为开区间；
（ｉｉｉ）岛（掣）＝』掣出－０＇ｖ日∈＠；（Ｉｖ），（口）：岛（ｉ掣）２：』（曼掣）了（石，口）如，ｏｖ日∈＠
ｘ。，ｘ２，…，ｘ。ｉ．ｉ．ｄ．是抽自总体的一个样本，ｉ（ｘ）是ｇ（目）的无偏估计，且满足
刍』．．．』；（ｘ。，・・・ｘ。）（ｒｌ，（ｘ。，口））ｄｘ，－・ｄｘ。：』・・・』；（ｘ，，…ｚ。）品（Ｊ●，（ｚ。，目））ｄｚ。・－・ｄｘ。
则有
’
‰印（ｉ（Ｊ））≥上ｉ嘉；字ｖ日∈＠（１）
把（１）式称为ｃｒａｍｅｒ－Ｒ帅不等式，简称ｃ．Ｒ不等式，［ｇ７（口）］２／ｎ，（口）称为ｃ－ＲＦ界．
定理２的证明见文献［２］或［３］．
２ｕＭｖｕＥ的几种求法
由ｒ述讨论，只要完备充分统｝｜量存在，可估参数ｕＭｖｕＥ一定存在．因为充分统计量有一个重要作用是降低无偏估计的方差．
引理ｌ、２提供了两种求ｕＭｖｕＥ的方法．
方法ｌ若ｓ（ｘ）为完备充分统计量，寻求函数＾（ｓ（ｘ））为ｇ（∞的无偏估计，则＾Ｃｓ（ｘ））为ｇ（∞的ＵＭＶＵＥ
例１殴样本ｘ∥・ｘ．是来自Ｕ（０，ｐ）的一个样本，求疗的ｕＭｖｕＥ
解由凶子分解定理知ｘ（。）＝ｒｒｍ（盖∥一盖。）是克分统计量，其分布密度函数为
ｐ（ｆ，∞＝ｍ“一１／∥，０＜ｆ＜口
可验证该分布族是完备的，因而ｘ㈨也是８的完备充分统计量．
因为删（。）＝Ｊ：芳也＝了鲁目，故生｝ｘ（。）是口的ｕＭＶｕＥ．
方法２首先找一个无偏估计ｐ（ｘ），然后将之对完备充分统计昔求条件期望，则ｒ（ｘ）＝Ｅ（Ｐ（ｘ）Ｉｓ（ｘ））是譬（∞的ｕＭＶｕＥ．
例２设某种产品的寿命服从带有未知参数Ａ的指数分布，对固定时问ｔｏ，产品在ｔ。前失效的概率肌（ｘ≤ｆｏ）＝Ｊ—ｅ“～兮ｇ（＾），求ｇ（＾）的ｕＭＶｕＥ．
许昌学院学报２００５年３月
解先寻找一个完箭允分统计量．
抽取，ｔ个产品进行试验，得样本盖∥・・ｘ。，由指数族的性质知：
ｓ（ｘ）＝∑ｘ。为＾的一个完备充分统计量．
令学（ｘ）＝，（Ｊ．；％）足ｇ（＾）的无偏估计，因为Ｅ（妒（盖））＝肌（ｘｌ≤ｔｏ）＝ｇ（＾），则在ｓ（置）＝ｓ的条件下求条件期望：
，，
当ｏｃ詈≤１时，有
Ｅ（Ｐ（鼻）ｌｓ（ｘ）＝ｓ？＝，（ｘ。≤州ｓ（丑）＝ｓ）＝ｐ（志≤导）
＝ｆｃｎ一，，ｃ－一ｚ，“一２ａｔ＝－一（・一导）“一１
当导≥１时，Ｅ（妒（ｘ）｜５（ｘ）＝ｓ）＝１，
故ｇ（＾）的ｕＭＶｕＥ为：
咖）：『１＿（・一高）”１瑚果ｓ（如“．
１ｌ，如果ｓ（ｘ）＜“
方法３利用定理１，ｕＭｖｕＥ存在的充要条件来寻求ｕＭｖｕＥ．
例３没样本ｘ∥‘’ｘ。，ｉ．ｉｄ是来自Ｎ（ｐ，。２）的一个样本，证明ｉ＝吉蚤ｘ，及ｓ２＝＿与善（ｘ．一ｘ）２分别为肚，ａ２的ｕＭＶｕＦ
证明令参数守问＠＝｛（严，口２）ｌ卢∈尺，口２＞０｝，Ｖ臼∈＠，氏∈ｕ，有：
印。＝（２—２）一｛Ｊ…ｊ８。（ｘ∥‘’，％）ｅｘｐ【一刍蚤（置一ｐ）２】出ｒ…如。＝ｏ（２）
两边关于Ⅳ求导，得：。
（ｚ一２）一；卜・』蹦ｍ…＾）妄窨（≈一ｐ）“一【一去砉（≈一严）２］岫…出。＝。（３）
因此
●
（２—２）一；』…』岛（ｚ∥．．，ｚ。）ｉｅｘｐ［＿刍骞（毛一岸）２］出，…如。＝ｏ、（４）
即毋（ａ。ｉ）：ｏ，又困Ｅ孑＝ｐ，由定理１知ｉ：÷∑ｘ。及为Ⅳ的ｕＭｖｕＥ．
（３）式两边关于“求导，得：
（２—２）一ｊ』¨・』蹦ｍ…＾）［骞（戡一一）】２ｅ砷【一刍耋（‰一一）２】也，…出。＝。（５）
（２）式两边关于一２求导，得：
（２—２）一；ｊ．－ｆｄ。（ｘ∥‘‘，“）骞（甄一一）２ｅｘ一［一刍薯（ｚ。一一）２】出－…如。＝。（６）
（６）式减去上倍的（５）式，得：
（ｚ一２）一；卜－』蹦钆…，剞耋（她一ｉ）２ｅ印【一去骞（＊。一一）２】出，…也。＝。
即岛（％５２）：０，Ｖ臼∈＠，又因Ｅ庐２＝口２，由定理１知５２及为ｄ２的ｕＭＶｕＥ．
方法４利用定理２，ｃ．Ｒ不等式提供了一种验证某些估计是ｕＭｖｕＥ的方法．在定理２的条件成立时，由ｃ—Ｒ不等式知．无偏估计的方差不低于ｃ—Ｒ下界．因此，若某个无偏估计的方差达到了ｃ．Ｒ下界，则它必
第２４卷第２期王芬玲，等：一致最小方差无偏估计的判定及其求法
是一个ＵＭｖＵＥ．
倒４设样本Ｊ∥‘‘咒，ｉ．ｉ．ｄ是来自口（１，Ｐ），求ｐ的ｕＭＶｕＥ．
解设总体分布为，（ｇ，ｐ）＝矿（１一ｐ）１～，＊＝ｏ，ｌ，ｏ＜ｐ＜１
容易验证；，（ｘ，ｐ）ｌｐ∈ｐ（ｏ，１）｝满足定理２的条件
因为：
故Ｐ的无偏估计的ｃ—Ｒ下界为ｉｂ＝掣．‰）＝耳［毒・帕川卜乓【者与］２：南％（并－ｐ）２＝万尚
ｉ作为ｐ的无偏估汁，有：
％砸）＝去耋地。（置）丢删刊＝世≯
ｉ达到了ｃ—Ｒ下界，故ｉ为ｐ的ｕＭｖｕＥ．
方法５通过解方程来求ｕＭＶｕＥ．若ｓ（工）为完备充分统计量，可估两数Ｆ（口）的ｕＭｖｕＥ．是方程Ｅ（＾（Ｓ（ｘ）））＝ｇ（日）的唯一解．
如例１也可采用方法５来解决，即先找出＾（５（ｘ））为日的ｕＭＶｕＥ，解方程：Ｅ（＾（ｓ（ｘ）））＝口，再求出＾（５（ｘ））．
因为盖（。）也是目的完备充分统计量，记＿：ｒ㈨取值为‘，设＾（ｆ）是口的元偏估计（即为目的ｕＭｖｕＥ）
ｒ日
从而有Ｅ（ｈ（￡））＝ｌ矗（￡）－ｎＰ。１／扫”出＝臼，ｖ口＞ｏ
ＪＯ
ｒ日ｒ日
即：ｌ＾（ｔ）ｎ，。１出：俨¨＝Ｉ（ｎ＋１）‘ｑ￡，ｖ口＞ｏ
对上式两边求导得：
＾（￡）・ｎ￡８—１：（ｎ＋１）ｒ８日Ｕ＾（￡）：！！型ｆ，Ｖ口＞０ｎ
－
因而＾（５（ｘ））：型ｘ㈨是口的ｕＭｖｕＥ．
涟：方法１比较简单，但适用范匍有一定的局限性；方法２虽计算量较大，但适用范围广，是一种普遍使用的方法；方法３需要构造。的无偏估计，方法灵活但需要一定的技巧；方法４要求密度函数满足一定的条件（即正则条件１—４）方可使用；方法５足一种不常用的方法，但在完备充分统计量ｓ（丑）容身确定时，利用参数估计的无偏性建立等式还是比较简单的．
参考文献
［１］茆诗松，王静龙，濮晓龙高等数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９８
［２］中山大学教学力学系概率论与数理统计（下）［ＭＪ．北京：高等教育出版社．１９８０
［３］华东师范大学数学系概率论与数理统计教程［Ｍ］北京：高等教育出版社，１９８３
责任编校：周伦
ＪｕｄｇｅｍｅｎｔａｎｄＳｏｌｕｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄｓｏｆＵＭＶＵＥ
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