等差数列小测
1．在等差数列{a n }中， a 3+a 4=12，公差d =2，则a 9=（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 2．已知数列为等差数列，其前项和为，，则
为（ ）
A.
B.
C. D. 不能确定
3．在等差数列
中，若
，是数列
的前项和，则
（ ）
A. 48 B. 54 C. 60 D. 108
4．等差数列{a n }的前11项和S 11=88，则a 3+a 6+a 9=（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 32
5．在等差数列{a n }中， a 5=9，且2a 3=a 2+6，则a 1等于（ ） A. －3 B. －2 C. 0 D. 1
6．在数列{a n }中， a n +1-a n =2， a 15=-10，则a 1=（ ） A. 38 B. -38 C. 18 D. -18
7．已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2，则a 5=（ ）
A. 5 B. 9 C. 16 D. 25
8．一个正项等比数列前n 项的和为3，前3n 项的和为21，则前2n 项的和为（ A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 9．已知数列的前项和公式为，
求（1）数列的通项公式；（2）求使得最小的序号的值.
10．在等差数列{a n }中， a 2=3, a 2a 3=2a 4+1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n }的前n 项和S n ． ）
11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 5=-2， S 5=-30. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)当S n 取最小值时，求n 的值.
12．已知数列{a n }的前n 项和为S n =10n -n .
2
(1)求数列{a n }的通项公式. (2)求数列a n 的前n 项和.
{
参考答案
1．D
【解析】 a 3+a 4=12, ∴2a 1+5d =2a 1+10=12, ∴a 1=1, ∴a 9=1+8d =17. 本题选择D 选项. 2．B
【解析】3．B
，，故选B.
【解析】等差数列中4．B
【解析】S 11=
11(a 1+a 11)
2
=11a 6，所以a 6=8，根据等差数列性质： a 3+a 6+a 9=
3a 6=24，故选择B.
5．A
【解析】根据题意, 设等差数列{a n }的公差为d , 首项为a 1， 若a 5=9, 则有a 1+4d =9，
又由2a 3=a 2+6, 则2(a 1+2d )=( a 1+d )+6， 解可得d =3, a 1=−3； 故选：A. 6．B
【解析】由题，数列{a n }中， a n +1-a n =2，即该数列为等差数列， d =2 则
a 15=a 1+(15-1)d =-10, ∴a 1=-38
7．B
【解析】由前n 项和公式 可得： a 5=S 5-S 4=52-42=9.
本题选择B 选项.
8．C
【解析】 {a n } 是等差数列， ∴S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 也成等差数列，
S n =3，S 3n =21，∴，2(S 2n -S n )=S n +(S 3n -S 2n ) ，解得S 2n =9
故选C
【点睛】本题考查等查数列前n 项和性质的应用，利用S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等差数列进行求值是解决问题的关键 9．（1）
；（2）
时，有最小值
.
时，
；
，又
的前项
【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，运用分类整合思想分别求出当当
时，由
得
成立，从而求出数列
和公式为求得
时，有最小值
时，
得，
成立，
的通项公式
.
.
时，有最小值
.
： ；
的通项公式
，进而求出
；（2）借助数列
，依据是正整数，
解：（1）当当所以又数列
时，由
（2）因为
又因为是正整数，所以
10．（Ⅰ）a n =2n -1；（Ⅱ） S n =n 2.
【解析】试题分析：（1）利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n }的通项公式．
（2）由a 1=1， a n =2n -1，能求出数列{a n }的前n 项和． 试题解析：
（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，则
{
a 1+d =3
3(a 1+2d )=2(a 1+3d )+1
解得a 1=1, d =2，∴a n =2n -1． （Ⅱ）S n
1+2n -1)n (==n 2．
2
11．(1) a n =2n -12;(2) 当S n 取最小值时， n =5或6.
【解析】试题分析：（1）由a 5=-2， S 5=-30得： a 1=-10，d =2，故a n =2n -12；（2）令a n ≤0，即2n -12≤0，解得n ≤6，所以当S n 取最小值时，试题解析： (1)因为S 5+a 1)⨯55=
(a 2
=-30
，又a 5=-2，解得a 1=-10.
所以数列{a a 5-a 1
n }的公差d =
4
=2. 所以a n =a 1+(n -1)d =2n -12. (2)令a n ≤0，即2n -12≤0，解得n ≤6. 又a 6=0，
所以当S n 取最小值时， n =5或6.
12．（1）a n =-2n +11（2）S '={10n -n 2, n ≤5
n
n 2
-10n +50, n ≥6
【解析】试题分析：
(1)利用通项公式与前n 项和的关系可得a n =-2n +11；
(2)分类讨论当n ≤5和n ≥6的情况可得S '={10n -n 2, n ≤5
n
n 2
-10n +50, n ≥6
.
试题解析：
解： （）1a n =-2n +11 （2）由题意可知从第6项起为负值.
∴当n ≤5时，S 'n
=S n =10n -n 2; 当n ≥6时，S 'n
=S 5+(S 5-S n )=2S 5-S n
n =5或6.
=2⨯10⨯5-52-10n +n 2
=n -10n +50
2
()
'={2所以S n
n -10n +50, n ≥6
10n -n 2, n ≤5
等差数列小测
1．在等差数列{a n }中， a 3+a 4=12，公差d =2，则a 9=（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 2．已知数列为等差数列，其前项和为，，则
为（ ）
A.
B.
C. D. 不能确定
3．在等差数列
中，若
，是数列
的前项和，则
（ ）
A. 48 B. 54 C. 60 D. 108
4．等差数列{a n }的前11项和S 11=88，则a 3+a 6+a 9=（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 32
5．在等差数列{a n }中， a 5=9，且2a 3=a 2+6，则a 1等于（ ） A. －3 B. －2 C. 0 D. 1
6．在数列{a n }中， a n +1-a n =2， a 15=-10，则a 1=（ ） A. 38 B. -38 C. 18 D. -18
7．已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2，则a 5=（ ）
A. 5 B. 9 C. 16 D. 25
8．一个正项等比数列前n 项的和为3，前3n 项的和为21，则前2n 项的和为（ A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 9．已知数列的前项和公式为，
求（1）数列的通项公式；（2）求使得最小的序号的值.
10．在等差数列{a n }中， a 2=3, a 2a 3=2a 4+1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n }的前n 项和S n ． ）
11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 5=-2， S 5=-30. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)当S n 取最小值时，求n 的值.
12．已知数列{a n }的前n 项和为S n =10n -n .
2
(1)求数列{a n }的通项公式. (2)求数列a n 的前n 项和.
{
参考答案
1．D
【解析】 a 3+a 4=12, ∴2a 1+5d =2a 1+10=12, ∴a 1=1, ∴a 9=1+8d =17. 本题选择D 选项. 2．B
【解析】3．B
，，故选B.
【解析】等差数列中4．B
【解析】S 11=
11(a 1+a 11)
2
=11a 6，所以a 6=8，根据等差数列性质： a 3+a 6+a 9=
3a 6=24，故选择B.
5．A
【解析】根据题意, 设等差数列{a n }的公差为d , 首项为a 1， 若a 5=9, 则有a 1+4d =9，
又由2a 3=a 2+6, 则2(a 1+2d )=( a 1+d )+6， 解可得d =3, a 1=−3； 故选：A. 6．B
【解析】由题，数列{a n }中， a n +1-a n =2，即该数列为等差数列， d =2 则
a 15=a 1+(15-1)d =-10, ∴a 1=-38
7．B
【解析】由前n 项和公式 可得： a 5=S 5-S 4=52-42=9.
本题选择B 选项.
8．C
【解析】 {a n } 是等差数列， ∴S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 也成等差数列，
S n =3，S 3n =21，∴，2(S 2n -S n )=S n +(S 3n -S 2n ) ，解得S 2n =9
故选C
【点睛】本题考查等查数列前n 项和性质的应用，利用S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等差数列进行求值是解决问题的关键 9．（1）
；（2）
时，有最小值
.
时，
；
，又
的前项
【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，运用分类整合思想分别求出当当
时，由
得
成立，从而求出数列
和公式为求得
时，有最小值
时，
得，
成立，
的通项公式
.
.
时，有最小值
.
： ；
的通项公式
，进而求出
；（2）借助数列
，依据是正整数，
解：（1）当当所以又数列
时，由
（2）因为
又因为是正整数，所以
10．（Ⅰ）a n =2n -1；（Ⅱ） S n =n 2.
【解析】试题分析：（1）利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n }的通项公式．
（2）由a 1=1， a n =2n -1，能求出数列{a n }的前n 项和． 试题解析：
（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，则
{
a 1+d =3
3(a 1+2d )=2(a 1+3d )+1
解得a 1=1, d =2，∴a n =2n -1． （Ⅱ）S n
1+2n -1)n (==n 2．
2
11．(1) a n =2n -12;(2) 当S n 取最小值时， n =5或6.
【解析】试题分析：（1）由a 5=-2， S 5=-30得： a 1=-10，d =2，故a n =2n -12；（2）令a n ≤0，即2n -12≤0，解得n ≤6，所以当S n 取最小值时，试题解析： (1)因为S 5+a 1)⨯55=
(a 2
=-30
，又a 5=-2，解得a 1=-10.
所以数列{a a 5-a 1
n }的公差d =
4
=2. 所以a n =a 1+(n -1)d =2n -12. (2)令a n ≤0，即2n -12≤0，解得n ≤6. 又a 6=0，
所以当S n 取最小值时， n =5或6.
12．（1）a n =-2n +11（2）S '={10n -n 2, n ≤5
n
n 2
-10n +50, n ≥6
【解析】试题分析：
(1)利用通项公式与前n 项和的关系可得a n =-2n +11；
(2)分类讨论当n ≤5和n ≥6的情况可得S '={10n -n 2, n ≤5
n
n 2
-10n +50, n ≥6
.
试题解析：
解： （）1a n =-2n +11 （2）由题意可知从第6项起为负值.
∴当n ≤5时，S 'n
=S n =10n -n 2; 当n ≥6时，S 'n
=S 5+(S 5-S n )=2S 5-S n
n =5或6.
=2⨯10⨯5-52-10n +n 2
=n -10n +50
2
()
'={2所以S n
n -10n +50, n ≥6
10n -n 2, n ≤5