2012年湖北省荆州市中考数学试题及答案

荆州市二O一二年初中毕业生学业及升学考试

数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码

粘贴在答题卡指定位置．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3．填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域

内．答在试题卷上无效．

4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．

一、选择题(本大题10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分)

1．下列实数中，无理数是( ) A．－

5 B．π C

D．|－2| 2

2．用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－3＝0，配方后的方程可以是( ) A．(x－1)2＝4 B．(x＋1)2＝4 C．(x－1)2＝16 D．(x＋1)2＝16 3．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于( )

A．30° B．35° C．40° D．45°

4

|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为( ) A．3 B．9 C．12 D．27

5．对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是( ) ．．A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是5 D．极差是7

6．已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示．．．正确的是( )

l1 l2

第3题图

A． B． C． D．

7．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )

A

A． B． C． D．

8．如图，点A是反比例函数y=

2(x＞0)的图象上任意一点，AB∥

x轴交

x

3反比例函数y=－ 的图象于点B，以AB为边作□ABCD，其中C、Dx

在x轴上，则S□ABCD为( ) A．2 B．3 C．4 D．5

9．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为( )

A．2 B．

C

D．3

第8题图

D

第9题图

10．已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有( ) A．8048个 B．4024个 C．2012个 D．1066个

图① 图② 图③

二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)

11

－－(－2)2－

2)0＝__▲__． 第13题图

12.若x2y9与xy3互为相反数，则13. 如图，已知正方形ABCD的对角线长为

ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为__▲__

14．已知：多项式x2－kx＋1是一个完全平方式，则反比例函数y=

k1的解析式为_▲__ x

15．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝

第15题图

第15题图

图(1) 图(2)

第17题图

16．如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为__▲__cm2．(结果可保留根号)

17．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程

1＋1＝1的解为__▲__．

x1m

18．如图(1)所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE—ED—DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论：AD＝BE＝5；cos∠ABE＝时，y＝

3；当0＜t≤55

2t2；当t＝29秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是__▲__(填序号)． 5三、解答题

19．(本题满分7分)先化简，后求值：

(1a21)(a3)，其中a

1．

a3a1

解：原式＝1

a3＝2． a1a1

当a

＋1

20．(本题满分8分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度(α＜∠BAC)，得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H． (1)请根据题意用实线补全图形； (2)求证：△AFB≌△AGE．

B

B

第20题图

解：(1)画图，如图1；

(2)由题意得：△ABC≌△AED．

∴AB＝AE，∠ABC＝∠E．在△AFB和△AGE

中，

图1

ABCE,

ABAE,

,

∴△AFB≌△AGE(ASA)．

B

21．(本题满分8分)“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．

请根据以上信息回答：

(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？ (2)将两幅不完整的图补充完整；

(3)若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；

(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率． 解：(1)60÷10%=600(人)．

答：本次参加抽样调查的居民有600人．2分 (2)如图2；

图2

(3)8000×40%=3200(人)．

答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人． (4)如图3；

开始

A D

图3

(列表方法略，参照给分)． P(C粽)＝

3＝1． 1． 答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是

22．(本题满分9分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D＝56°，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积．(参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数)

第22题图

解：如图4，连结AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB． ∵OA＝OB＝5m，AB＝8m， ∴AF＝BF＝

图4

1AB＝4(m)，∠AOB＝2∠AOF． 2

AF＝0.8＝sin53°

．

AO

在Rt△AOF中，sin∠AOF＝

∴∠AOF＝53°，则∠AOB＝106°．

∵OF

3(m)，由题意得：MN＝1m， ∴FN＝OM－OF＋MN＝3(m)．

∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB， ∴AE＝FN＝3m，DC＝AB＋2DE． 在Rt△ADE中，tan56°＝

AE＝3，∴DE＝2m，DC＝12m

DE2

1(8＋12)×3－(106π×52－1×8×3)＝20(m2)． 23602

∴S阴＝S梯形ABCD－(S扇OAB－S△OAB)＝答：U型槽的横截面积约为20m2．

23．(本题满分10分)荆州素有“中国淡水鱼都”之美誉．某水产经销商在荆州鱼博会上批发购进草鱼和乌鱼(俗称黑鱼)共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．

(1)请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y(元)与进货量x(千克)之间的函数关系式； (2)若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？

)

第23题图

26x (20≤x≤40),

解：(1)y＝

24x (x40).

(2)设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼(75－x)千克，所需进货费用为w元．

x40,

由题意得：

89%(75x)95%x≥93%75.

解得x≥50．

由题意得w＝8(75－x)＋24x＝16x＋600． ∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大． ∴当x＝50时，75－x＝25，W最小＝1400(元)．

答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元．

24．(本题满分12)已知：y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围；

(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值． 解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点． 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点， 令y＝0得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0．

△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k＝1． 综上所述，k的取值范围是k≤2． (2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k＝1． 由题意得(k－1)x1＋(k＋2)＝2kx1．

将(*)代入(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得： 2k(x1＋x2)＝4x1x2． 又∵x1＋x2＝∴2k·

2

2k，xx＝k2，

12

2k＝4·k2． k1k1

图5

解得：k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去)． ∴所求k值为－1．

②如图5，∵k1＝－1，y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－且－1≤x≤1．

由图象知：当x＝－1时， y最小＝－3；当x＝∴y的最大值为

25．(本题满分12分)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE

1)2＋3．

22

1时，y＝3．

最大

22

3，最小值为－3．

2

1＝，A(3，0)，D(－1，0)，E(0，3)． 3

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标； (2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ．．．．

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面

积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

图甲

(1)解：由题意，设抛物线解析式为y＝a(x－3)(x＋1)． 将E(0，3)代入上式，解得：a＝－1． ∴y＝－x2＋2x＋3．

图乙(备用图)

则点B(1，4)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 (2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)． 在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，

∴∠1＝∠2＝45°，AE

在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM，

∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE

∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°． 图6

∴AB是△ABE外接圆的直径．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 在Rt△ABE中，tan∠BAE＝∴∠BAE＝∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°． ∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圆的切线．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

BE＝1＝tan∠CBE，

AE3

1(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 3

(4)解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b．

k2,3kb0,

将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得

b6.kb4.

∴y＝－2x＋6．

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝情况一：如图7，当0＜t≤交AE于点G．

3，∴F(3，3)．„„„„9分

3时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN

2

则ON＝AD＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L． 由△AHD∽△FHM，得

ADHK．即tHK．解得HK＝2t．

tFMHL

∴S阴＝S△MND－S△GNA－S△HAD＝

1×3×3－1(3－t)2－1t·2t＝－3t2＋3t．„„„„11分 2222

图8

图7

情况二：如图8，当

3＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE2

于点V．由△IQA∽△IPF，得

AQIQ3tIQ．解得IQ＝2(3－t)．

．即

t33IQ

∴S阴＝S△IQA－S△VQA＝

1×(3－t)×2(3－t)－1(3－t)2＝1(3－t)2＝1t2－3t＋9． 22222

332

t3t (0t≤),22综上所述：s＝„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 193t23t (t≤3).222

参考答案

一、选择题(每选对一题得3分，共30分)

1．B 2．A 3．B 4．D 5．B 6．A 7．B 8．D 9．C 10．B

二、填空题(每填对一题得3分，共24分)

11．－1 12.27 13.8 14.y=15．

1或y=－3 1 16．

360 17．x＝3 18．①③④

2

a3＝2． a1a1

19．解：原式＝1

当a

＋1

20．解：(1)画图，如图1； (2)由题意得：△ABC≌△AED．

∴AB＝AE，∠ABC＝∠E．在△AFB和△AGE

中，

图1

ABCE,

ABAE,

,

∴△AFB≌△AGE(ASA)． 21．解：(1)60÷10%=600(人)．

答：本次参加抽样调查的居民有600人．2分 (2)如图2；

B

图2

(3)8000×40%=3200(人)．

答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人． (4)如图3；

开始

A D A A C

图3 (列表方法略，参照给分)．

1P(C粽)＝3＝． 4

答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是

1． 22．解：如图4，连结AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB． ∵OA＝OB＝5m，AB＝8m， ∴AF＝BF＝

1AB＝4(m)，∠AOB＝2∠AOF．

AF＝0.8＝sin53°

．

AO

在Rt△AOF中，sin∠AOF＝

∴∠AOF＝53°，则∠AOB＝106°．

∵OF

3(m)，由题意得：MN＝1m， ∴FN＝OM－OF＋MN＝3(m)．

∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB， ∴AE＝FN＝3m，DC＝AB＋2DE． 在Rt△ADE中，tan56°＝

图4

AE＝3，∴DE＝2m，DC＝12m DE2

∴S阴＝S梯形ABCD－(S扇OAB－S△OAB)＝答：U型槽的横截面积约为20m2．

1(8＋12)×3－(106π×52－1×8×3)＝20(m2)． 26x (20≤x≤40),

23．解：(1)y＝

24x (x40).

(2)设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼(75－x)千克，所需进货费用为w元．

x40,

由题意得：

89%(75x)95%x≥93%75.

解得x≥50．

由题意得w＝8(75－x)＋24x＝16x＋600． ∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大． ∴当x＝50时，75－x＝25，W最小＝1400(元)．

答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元．

24．解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点． 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点， 令y＝0得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0．

△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k＝1．

综上所述，k的取值范围是k≤2． (2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k＝1． 由题意得(k－1)x1＋(k＋2)＝2kx1．

将(*)代入(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得： 2k(x1＋x2)＝4x1x2． 又∵x1＋x2＝∴2k·

2

2k，xx＝k2，

12

2k＝4·k2． 图5

解得：k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去)． ∴所求k值为－1．

②如图5，∵k1＝－1，y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－且－1≤x≤1．

由图象知：当x＝－1时， y最小＝－3；当x＝∴y的最大值为

1)2＋3．

22

1时，y＝3．

最大

22

3，最小值为－3．

2

25．(1)解：由题意，设抛物线解析式为y＝a(x－3)(x＋1)． 将E(0，3)代入上式，解得：a＝－1． ∴y＝－x2＋2x＋3．

则点B(1，4)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 (2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)． 在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，

∴∠1＝∠2＝45°，AE

在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM，

∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE

∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°． 图6

∴AB是△ABE外接圆的直径．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 在Rt△ABE中，tan∠BAE＝∴∠BAE＝∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°． ∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圆的切线．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

BE＝1＝tan∠CBE，

AE3

(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－1)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

3(4)解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b．

k2,3kb0,

将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得

b6.kb4.

∴y＝－2x＋6．

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝情况一：如图7，当0＜t≤交AE于点G．

则ON＝AD＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L． 由△AHD∽△FHM，得

3，∴F(3，3)．„„„„9分

22

3时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN

2

ADHK．即tHK．解得HK＝2t．

tFMHL

1×3×3－1(3－t)2－1t·2t＝－3t2＋3t．„„„„11分 2222

图8

∴S阴＝S△MND－S△GNA－S△HAD＝

图7

情况二：如图8，当

3＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得

AQIQ3tIQ．解得IQ＝2(3－t)．

．即

FPIPt∴S阴＝S△IQA－S△VQA＝

1×(3－t)×2(3－t)－1(3－t)2＝1(3－t)2＝1t2－3t＋9． 22222

332

t3t (0t≤),22综上所述：s＝„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

193t23t (t≤3).222

荆州市二O一二年初中毕业生学业及升学考试

数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码

粘贴在答题卡指定位置．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3．填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域

内．答在试题卷上无效．

4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．

一、选择题(本大题10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分)

1．下列实数中，无理数是( ) A．－

5 B．π C

D．|－2| 2

2．用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－3＝0，配方后的方程可以是( ) A．(x－1)2＝4 B．(x＋1)2＝4 C．(x－1)2＝16 D．(x＋1)2＝16 3．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于( )

A．30° B．35° C．40° D．45°

4

|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为( ) A．3 B．9 C．12 D．27

5．对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是( ) ．．A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是5 D．极差是7

6．已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示．．．正确的是( )

l1 l2

第3题图

A． B． C． D．

7．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )

A

A． B． C． D．

8．如图，点A是反比例函数y=

2(x＞0)的图象上任意一点，AB∥

x轴交

x

3反比例函数y=－ 的图象于点B，以AB为边作□ABCD，其中C、Dx

在x轴上，则S□ABCD为( ) A．2 B．3 C．4 D．5

9．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为( )

A．2 B．

C

D．3

第8题图

D

第9题图

10．已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有( ) A．8048个 B．4024个 C．2012个 D．1066个

图① 图② 图③

二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)

11

－－(－2)2－

2)0＝__▲__． 第13题图

12.若x2y9与xy3互为相反数，则13. 如图，已知正方形ABCD的对角线长为

ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为__▲__

14．已知：多项式x2－kx＋1是一个完全平方式，则反比例函数y=

k1的解析式为_▲__ x

15．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝

第15题图

第15题图

图(1) 图(2)

第17题图

16．如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为__▲__cm2．(结果可保留根号)

17．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程

1＋1＝1的解为__▲__．

x1m

18．如图(1)所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE—ED—DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论：AD＝BE＝5；cos∠ABE＝时，y＝

3；当0＜t≤55

2t2；当t＝29秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是__▲__(填序号)． 5三、解答题

19．(本题满分7分)先化简，后求值：

(1a21)(a3)，其中a

1．

a3a1

解：原式＝1

a3＝2． a1a1

当a

＋1

20．(本题满分8分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度(α＜∠BAC)，得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H． (1)请根据题意用实线补全图形； (2)求证：△AFB≌△AGE．

B

B

第20题图

解：(1)画图，如图1；

(2)由题意得：△ABC≌△AED．

∴AB＝AE，∠ABC＝∠E．在△AFB和△AGE

中，

图1

ABCE,

ABAE,

,

∴△AFB≌△AGE(ASA)．

B

21．(本题满分8分)“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．

请根据以上信息回答：

(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？ (2)将两幅不完整的图补充完整；

(3)若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；

(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率． 解：(1)60÷10%=600(人)．

答：本次参加抽样调查的居民有600人．2分 (2)如图2；

图2

(3)8000×40%=3200(人)．

答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人． (4)如图3；

开始

A D

图3

(列表方法略，参照给分)． P(C粽)＝

3＝1． 1． 答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是

22．(本题满分9分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D＝56°，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积．(参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数)

第22题图

解：如图4，连结AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB． ∵OA＝OB＝5m，AB＝8m， ∴AF＝BF＝

图4

1AB＝4(m)，∠AOB＝2∠AOF． 2

AF＝0.8＝sin53°

．

AO

在Rt△AOF中，sin∠AOF＝

∴∠AOF＝53°，则∠AOB＝106°．

∵OF

3(m)，由题意得：MN＝1m， ∴FN＝OM－OF＋MN＝3(m)．

∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB， ∴AE＝FN＝3m，DC＝AB＋2DE． 在Rt△ADE中，tan56°＝

AE＝3，∴DE＝2m，DC＝12m

DE2

1(8＋12)×3－(106π×52－1×8×3)＝20(m2)． 23602

∴S阴＝S梯形ABCD－(S扇OAB－S△OAB)＝答：U型槽的横截面积约为20m2．

23．(本题满分10分)荆州素有“中国淡水鱼都”之美誉．某水产经销商在荆州鱼博会上批发购进草鱼和乌鱼(俗称黑鱼)共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．

(1)请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y(元)与进货量x(千克)之间的函数关系式； (2)若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？

)

第23题图

26x (20≤x≤40),

解：(1)y＝

24x (x40).

(2)设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼(75－x)千克，所需进货费用为w元．

x40,

由题意得：

89%(75x)95%x≥93%75.

解得x≥50．

由题意得w＝8(75－x)＋24x＝16x＋600． ∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大． ∴当x＝50时，75－x＝25，W最小＝1400(元)．

答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元．

24．(本题满分12)已知：y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围；

(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值． 解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点． 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点， 令y＝0得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0．

△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k＝1． 综上所述，k的取值范围是k≤2． (2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k＝1． 由题意得(k－1)x1＋(k＋2)＝2kx1．

将(*)代入(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得： 2k(x1＋x2)＝4x1x2． 又∵x1＋x2＝∴2k·

2

2k，xx＝k2，

12

2k＝4·k2． k1k1

图5

解得：k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去)． ∴所求k值为－1．

②如图5，∵k1＝－1，y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－且－1≤x≤1．

由图象知：当x＝－1时， y最小＝－3；当x＝∴y的最大值为

25．(本题满分12分)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE

1)2＋3．

22

1时，y＝3．

最大

22

3，最小值为－3．

2

1＝，A(3，0)，D(－1，0)，E(0，3)． 3

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标； (2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ．．．．

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面

积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

图甲

(1)解：由题意，设抛物线解析式为y＝a(x－3)(x＋1)． 将E(0，3)代入上式，解得：a＝－1． ∴y＝－x2＋2x＋3．

图乙(备用图)

则点B(1，4)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 (2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)． 在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，

∴∠1＝∠2＝45°，AE

在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM，

∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE

∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°． 图6

∴AB是△ABE外接圆的直径．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 在Rt△ABE中，tan∠BAE＝∴∠BAE＝∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°． ∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圆的切线．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

BE＝1＝tan∠CBE，

AE3

1(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 3

(4)解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b．

k2,3kb0,

将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得

b6.kb4.

∴y＝－2x＋6．

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝情况一：如图7，当0＜t≤交AE于点G．

3，∴F(3，3)．„„„„9分

3时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN

2

则ON＝AD＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L． 由△AHD∽△FHM，得

ADHK．即tHK．解得HK＝2t．

tFMHL

∴S阴＝S△MND－S△GNA－S△HAD＝

1×3×3－1(3－t)2－1t·2t＝－3t2＋3t．„„„„11分 2222

图8

图7

情况二：如图8，当

3＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE2

于点V．由△IQA∽△IPF，得

AQIQ3tIQ．解得IQ＝2(3－t)．

．即

t33IQ

∴S阴＝S△IQA－S△VQA＝

1×(3－t)×2(3－t)－1(3－t)2＝1(3－t)2＝1t2－3t＋9． 22222

332

t3t (0t≤),22综上所述：s＝„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 193t23t (t≤3).222

参考答案

一、选择题(每选对一题得3分，共30分)

1．B 2．A 3．B 4．D 5．B 6．A 7．B 8．D 9．C 10．B

二、填空题(每填对一题得3分，共24分)

11．－1 12.27 13.8 14.y=15．

1或y=－3 1 16．

360 17．x＝3 18．①③④

2

a3＝2． a1a1

19．解：原式＝1

当a

＋1

20．解：(1)画图，如图1； (2)由题意得：△ABC≌△AED．

∴AB＝AE，∠ABC＝∠E．在△AFB和△AGE

中，

图1

ABCE,

ABAE,

,

∴△AFB≌△AGE(ASA)． 21．解：(1)60÷10%=600(人)．

答：本次参加抽样调查的居民有600人．2分 (2)如图2；

B

图2

(3)8000×40%=3200(人)．

答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人． (4)如图3；

开始

A D A A C

图3 (列表方法略，参照给分)．

1P(C粽)＝3＝． 4

答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是

1． 22．解：如图4，连结AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB． ∵OA＝OB＝5m，AB＝8m， ∴AF＝BF＝

1AB＝4(m)，∠AOB＝2∠AOF．

AF＝0.8＝sin53°

．

AO

在Rt△AOF中，sin∠AOF＝

∴∠AOF＝53°，则∠AOB＝106°．

∵OF

3(m)，由题意得：MN＝1m， ∴FN＝OM－OF＋MN＝3(m)．

∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB， ∴AE＝FN＝3m，DC＝AB＋2DE． 在Rt△ADE中，tan56°＝

图4

AE＝3，∴DE＝2m，DC＝12m DE2

∴S阴＝S梯形ABCD－(S扇OAB－S△OAB)＝答：U型槽的横截面积约为20m2．

1(8＋12)×3－(106π×52－1×8×3)＝20(m2)． 26x (20≤x≤40),

23．解：(1)y＝

24x (x40).

(2)设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼(75－x)千克，所需进货费用为w元．

x40,

由题意得：

89%(75x)95%x≥93%75.

解得x≥50．

由题意得w＝8(75－x)＋24x＝16x＋600． ∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大． ∴当x＝50时，75－x＝25，W最小＝1400(元)．

答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元．

24．解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点． 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点， 令y＝0得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0．

△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k＝1．

综上所述，k的取值范围是k≤2． (2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k＝1． 由题意得(k－1)x1＋(k＋2)＝2kx1．

将(*)代入(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得： 2k(x1＋x2)＝4x1x2． 又∵x1＋x2＝∴2k·

2

2k，xx＝k2，

12

2k＝4·k2． 图5

解得：k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去)． ∴所求k值为－1．

②如图5，∵k1＝－1，y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－且－1≤x≤1．

由图象知：当x＝－1时， y最小＝－3；当x＝∴y的最大值为

1)2＋3．

22

1时，y＝3．

最大

22

3，最小值为－3．

2

25．(1)解：由题意，设抛物线解析式为y＝a(x－3)(x＋1)． 将E(0，3)代入上式，解得：a＝－1． ∴y＝－x2＋2x＋3．

则点B(1，4)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 (2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)． 在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，

∴∠1＝∠2＝45°，AE

在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM，

∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE

∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°． 图6

∴AB是△ABE外接圆的直径．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 在Rt△ABE中，tan∠BAE＝∴∠BAE＝∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°． ∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圆的切线．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

BE＝1＝tan∠CBE，

AE3

(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－1)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

3(4)解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b．

k2,3kb0,

将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得

b6.kb4.

∴y＝－2x＋6．

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝情况一：如图7，当0＜t≤交AE于点G．

则ON＝AD＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L． 由△AHD∽△FHM，得

3，∴F(3，3)．„„„„9分

22

3时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN

2

ADHK．即tHK．解得HK＝2t．

tFMHL

1×3×3－1(3－t)2－1t·2t＝－3t2＋3t．„„„„11分 2222

图8

∴S阴＝S△MND－S△GNA－S△HAD＝

图7

情况二：如图8，当

3＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得

AQIQ3tIQ．解得IQ＝2(3－t)．

．即

FPIPt∴S阴＝S△IQA－S△VQA＝

1×(3－t)×2(3－t)－1(3－t)2＝1(3－t)2＝1t2－3t＋9． 22222

332

t3t (0t≤),22综上所述：s＝„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

193t23t (t≤3).222