特征根法求数列的通项公式

特征根法求数列的通项公式

胡贵平（甘肃省白银市第九中学 ，甘肃 白银 730913）

类型一、a n +2=pa n +1+qa n

如果数列{a n }满足下列条件：已知a 1的值且对于n ∈N ，都有a n +2=pa n +1+qa n （其中p ，q 均为非零常数）. 先把原递推公式转化为a n +2-x 1a n +1=x 2(a n +1-x 1a n ) ，

⎧x 1+x 2=p 其中x 1, x 2满足⎨，显然x 1, x 2是方程x 2-px -q =0的两个非零根.

⎩x 1x 2=-q

1） 2）

如果a 2-x 1a 1=0，则a n +2-x 1a n +1=0，a n 成等比，很容易求通项公式. 如果a 2-x 1a 1≠0，则{a n +2-x 1a n +1}成等比. 公比为x 2，

n -1

所以a n +1-x 1a n =(a 2-x 1a 1) x 2

a n +1x 2

n -1

，转化成：

-

x 1a n

=(a 2-x 1a 1) ， n -2

x 2x 2

a n +1x 2

n -1

( I )又如果x 1=x 2，则{

a n +1x 2

n -1

}等差，公差为(a 2-x 1a 1) ，

所以=

a 2

+(n -1)(a 2-x 1a 1) ， 1

n -1

即：a n +1=[a 2+(n -1)(a 2-x 1a 1)]x 2 a n =[

a 2(a -x 1a 1) n -1

+(n -2) 2]x 2 x 2x 2

n -1

可以整理成通式：a n =(A +Bn ) x 2

( Ii)如果x 1≠x 2，则令

a n +1x 2

n -1

=b n +1，

x 1

=A ，(a 2-x 1a 1) =B , 就有 x 2

b n +1-Ab n =B ，利用待定系数法可以求出b n 的通项公式

b n =

a 1x 2(1-x 2) x 1n -1(a 2-x 1a 1) x 2

() -

x 1-x 2x 2x 1-x 2

所以a n =[

a 1x 2(1-x 2) x 1n -1(a 2-x 1a 1) x 2n -2

() -]x 2，化简整理得：

x 1-x 2x 2x 1-x 2

a n =

a 1(1-x 2) n -1a 1x 1-a 2n -1

x 1+x 2.

x 1-x 2x 1-x 2

小结：对于由递推公式a n +2=pa n +1+qa n ，a 1=α, a 2=β给出的数列{a n }，方程x 2-px -q =0，叫做数列{a n }的特征方程. 若x 1, x 2是特征方程的两个根，

n -1

当x 1≠x 2时，数列{a n }的通项为a n =Ax 1n -1+Bx 2，其中A ，B 由a 1=α, a 2=β决n -1定（即把a 1, a 2, x 1, x 2和n =1, 2，代入a n =Ax 1n -1+Bx 2，得到关于A 、B 的方程组）；n -1当x 1=x 2时，数列{a n }的通项为a n =(A +Bn ) x 2，其中A ，B 由a 1=α, a 2=β决n -1定（即把a 1, a 2, x 1, x 2和n =1, 2，代入a n =(A +Bn ) x 2，得到关于A 、B 的方程组）.

例1. 已知数列{a n }满足a 1=2, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N *) ，求数列{a n }的通项a n .

解：其特征方程为x 2=3x -2，解得x 1=1, x 2=2，令a n =A ⋅1n +B ⋅2n ，

⎧A =1

⎧a 1=A +2B =2⎪n -1

，得⎨⎨1， ∴a n =1+2.

B =⎩a 2=A +4B =3⎪2⎩

由

例2. 已知数列{a n }满足a 1=1, a 2=2, 4a n +2=4a n +1-a n (n ∈N *) ，求数列{a n }的通项

a n .

解：其特征方程为4x 2=4x -1，解得x 1=x 2=

11

，令a n =(A +nB )() n ， 22

1⎧

a =(A +B ) =11⎪⎧A =-43n -2⎪2由⎨，得⎨， ∴a n =n -1.

2⎩B =6⎪a =(A +2B ) 1=2

2⎪4⎩

类型二、 a n +1=

pa n +q

ra n +h

pa n +q

，

ra n +h

如果数列{a n }满足下列条件：已知a 1的值且对于n ∈N ，都有a n +1=

h

（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且ph ≠qr , r ≠0, a 1≠-），那么，其特征方程为

r

px +q

，变形为rx 2+(h -p ) x -q =0 x =

rx +h

若方程有二异根x 1、x 2，则可令代入a 1, a 2的值可求得c 值.

a n +1-x 1a -x 1

=c ⋅n （其中c 是待定常数），

a n +1-x 2a n -x 2

⎧a -x ⎫a -x 1

这样数列⎨n 1⎬是首项为1，公比为c 的等比数列，于是这样可求

a -x a 1-x 2⎩n 2⎭

得a n .

若方程有二重根x 0，代入a 1, a 2的值可求得c 值.

⎧1⎫1

这样数列⎨，公差为c 的等差数列，于是这样可求⎬是首项为

a -x a -x ⎩n 0⎭10

11

=+c （其中c 是待定常数），

a n +1-x 0a n -x 0

得a n .

例3. 已知数列{a n }满足a 1=2, a n =解：其特征方程为x =

a n +1-1a -1

=c ⋅n a n +1+1a n +1

a n -1+2

(n ≥2) ，求数列{a n }的通项a n .

2a n -1+1

x +2

，化简得2x 2-2=0，解得x 1=1, x 2=-1，令2x +1

由a 1=2, 得a 2=

41，可得c =-， 53

⎧a -1⎫1a -11

∴数列⎨n ⎬是以1=为首项，以-为公比的等比数列，

a 1+133⎩a n +1⎭

a n -11⎛1⎫3n -(-1) n

∴=⋅ -⎪，∴a n =n . n

a n +13⎝3⎭3+(-1)

n -1

例4. 已知数列{a n }满足a 1=2, a n +1=

2a n -1

(n ∈N *) ，求数列{a n }的通项a n . 4a n +6

解：其特征方程为x =

11a n +1+

2

=

11a n +

2

+c

12x -1

，即4x 2+4，解得x 1=x 2=-，令x +1=0

24x +6

由a 1=2, 得a 2=

3

，求得c =1， 14

⎧⎫⎪1⎪12

是以为首项，以1为公差的等差数列，=∴数列⎨⎬115⎪a n +⎪a 1+

⎩2⎭2

13-5n 123

. ∴=+(n -1) ⋅1=n -， ∴a n =

510n -65a n +2

例5（2005，重庆, 文,22）数列{a n }满足a 1=1且8a n +1a n -16a n +1+2a n +5=0(n ≥1). 记b n =

11

a n -

2

(n ≥1).

（Ⅰ）求b 1, b 2, b 3, b 4的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n .

解：由已知, 得a n +1=

2a n +52x +515

, 其特征方程为x =解之得, x 1=或x 2=

16-8a n 16-8x 24

15

6(a n -) 12(a n -) 1, a -5= ∴a n +1-=n +1216-8a n 416-8a n

1111

a n -a 1-a n -

2n -1+51n -141, ∴ =⋅=⋅() =-n ∴a n =n ∴

5255522+42a n +1-a n -a n -a 1-4444a n +1-

b n =

1n 4

⋅2+(n ≥1) 由b n =33

1a n -

1

2

得a n b n =

1

b n +1， 2

故S n =a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n

1

(1-2n )

1n 51=(2+5n -1) . =+n =(b 1+b 2+ +b n ) +n

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特征根法求数列的通项公式

胡贵平（甘肃省白银市第九中学 ，甘肃 白银 730913）

类型一、a n +2=pa n +1+qa n

如果数列{a n }满足下列条件：已知a 1的值且对于n ∈N ，都有a n +2=pa n +1+qa n （其中p ，q 均为非零常数）. 先把原递推公式转化为a n +2-x 1a n +1=x 2(a n +1-x 1a n ) ，

⎧x 1+x 2=p 其中x 1, x 2满足⎨，显然x 1, x 2是方程x 2-px -q =0的两个非零根.

⎩x 1x 2=-q

1） 2）

如果a 2-x 1a 1=0，则a n +2-x 1a n +1=0，a n 成等比，很容易求通项公式. 如果a 2-x 1a 1≠0，则{a n +2-x 1a n +1}成等比. 公比为x 2，

n -1

所以a n +1-x 1a n =(a 2-x 1a 1) x 2

a n +1x 2

n -1

，转化成：

-

x 1a n

=(a 2-x 1a 1) ， n -2

x 2x 2

a n +1x 2

n -1

( I )又如果x 1=x 2，则{

a n +1x 2

n -1

}等差，公差为(a 2-x 1a 1) ，

所以=

a 2

+(n -1)(a 2-x 1a 1) ， 1

n -1

即：a n +1=[a 2+(n -1)(a 2-x 1a 1)]x 2 a n =[

a 2(a -x 1a 1) n -1

+(n -2) 2]x 2 x 2x 2

n -1

可以整理成通式：a n =(A +Bn ) x 2

( Ii)如果x 1≠x 2，则令

a n +1x 2

n -1

=b n +1，

x 1

=A ，(a 2-x 1a 1) =B , 就有 x 2

b n +1-Ab n =B ，利用待定系数法可以求出b n 的通项公式

b n =

a 1x 2(1-x 2) x 1n -1(a 2-x 1a 1) x 2

() -

x 1-x 2x 2x 1-x 2

所以a n =[

a 1x 2(1-x 2) x 1n -1(a 2-x 1a 1) x 2n -2

() -]x 2，化简整理得：

x 1-x 2x 2x 1-x 2

a n =

a 1(1-x 2) n -1a 1x 1-a 2n -1

x 1+x 2.

x 1-x 2x 1-x 2

小结：对于由递推公式a n +2=pa n +1+qa n ，a 1=α, a 2=β给出的数列{a n }，方程x 2-px -q =0，叫做数列{a n }的特征方程. 若x 1, x 2是特征方程的两个根，

n -1

当x 1≠x 2时，数列{a n }的通项为a n =Ax 1n -1+Bx 2，其中A ，B 由a 1=α, a 2=β决n -1定（即把a 1, a 2, x 1, x 2和n =1, 2，代入a n =Ax 1n -1+Bx 2，得到关于A 、B 的方程组）；n -1当x 1=x 2时，数列{a n }的通项为a n =(A +Bn ) x 2，其中A ，B 由a 1=α, a 2=β决n -1定（即把a 1, a 2, x 1, x 2和n =1, 2，代入a n =(A +Bn ) x 2，得到关于A 、B 的方程组）.

例1. 已知数列{a n }满足a 1=2, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N *) ，求数列{a n }的通项a n .

解：其特征方程为x 2=3x -2，解得x 1=1, x 2=2，令a n =A ⋅1n +B ⋅2n ，

⎧A =1

⎧a 1=A +2B =2⎪n -1

，得⎨⎨1， ∴a n =1+2.

B =⎩a 2=A +4B =3⎪2⎩

由

例2. 已知数列{a n }满足a 1=1, a 2=2, 4a n +2=4a n +1-a n (n ∈N *) ，求数列{a n }的通项

a n .

解：其特征方程为4x 2=4x -1，解得x 1=x 2=

11

，令a n =(A +nB )() n ， 22

1⎧

a =(A +B ) =11⎪⎧A =-43n -2⎪2由⎨，得⎨， ∴a n =n -1.

2⎩B =6⎪a =(A +2B ) 1=2

2⎪4⎩

类型二、 a n +1=

pa n +q

ra n +h

pa n +q

，

ra n +h

如果数列{a n }满足下列条件：已知a 1的值且对于n ∈N ，都有a n +1=

h

（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且ph ≠qr , r ≠0, a 1≠-），那么，其特征方程为

r

px +q

，变形为rx 2+(h -p ) x -q =0 x =

rx +h

若方程有二异根x 1、x 2，则可令代入a 1, a 2的值可求得c 值.

a n +1-x 1a -x 1

=c ⋅n （其中c 是待定常数），

a n +1-x 2a n -x 2

⎧a -x ⎫a -x 1

这样数列⎨n 1⎬是首项为1，公比为c 的等比数列，于是这样可求

a -x a 1-x 2⎩n 2⎭

得a n .

若方程有二重根x 0，代入a 1, a 2的值可求得c 值.

⎧1⎫1

这样数列⎨，公差为c 的等差数列，于是这样可求⎬是首项为

a -x a -x ⎩n 0⎭10

11

=+c （其中c 是待定常数），

a n +1-x 0a n -x 0

得a n .

例3. 已知数列{a n }满足a 1=2, a n =解：其特征方程为x =

a n +1-1a -1

=c ⋅n a n +1+1a n +1

a n -1+2

(n ≥2) ，求数列{a n }的通项a n .

2a n -1+1

x +2

，化简得2x 2-2=0，解得x 1=1, x 2=-1，令2x +1

由a 1=2, 得a 2=

41，可得c =-， 53

⎧a -1⎫1a -11

∴数列⎨n ⎬是以1=为首项，以-为公比的等比数列，

a 1+133⎩a n +1⎭

a n -11⎛1⎫3n -(-1) n

∴=⋅ -⎪，∴a n =n . n

a n +13⎝3⎭3+(-1)

n -1

例4. 已知数列{a n }满足a 1=2, a n +1=

2a n -1

(n ∈N *) ，求数列{a n }的通项a n . 4a n +6

解：其特征方程为x =

11a n +1+

2

=

11a n +

2

+c

12x -1

，即4x 2+4，解得x 1=x 2=-，令x +1=0

24x +6

由a 1=2, 得a 2=

3

，求得c =1， 14

⎧⎫⎪1⎪12

是以为首项，以1为公差的等差数列，=∴数列⎨⎬115⎪a n +⎪a 1+

⎩2⎭2

13-5n 123

. ∴=+(n -1) ⋅1=n -， ∴a n =

510n -65a n +2

例5（2005，重庆, 文,22）数列{a n }满足a 1=1且8a n +1a n -16a n +1+2a n +5=0(n ≥1). 记b n =

11

a n -

2

(n ≥1).

（Ⅰ）求b 1, b 2, b 3, b 4的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n .

解：由已知, 得a n +1=

2a n +52x +515

, 其特征方程为x =解之得, x 1=或x 2=

16-8a n 16-8x 24

15

6(a n -) 12(a n -) 1, a -5= ∴a n +1-=n +1216-8a n 416-8a n

1111

a n -a 1-a n -

2n -1+51n -141, ∴ =⋅=⋅() =-n ∴a n =n ∴

5255522+42a n +1-a n -a n -a 1-4444a n +1-

b n =

1n 4

⋅2+(n ≥1) 由b n =33

1a n -

1

2

得a n b n =

1

b n +1， 2

故S n =a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n

1

(1-2n )

1n 51=(2+5n -1) . =+n =(b 1+b 2+ +b n ) +n

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