鼓泡型吸收塔的传质模型及基础方程解析
摘要：
基于液体扩散模型、气泡平推流假设在一维情况下考虑鼓泡塔内部气液两相的传质行为，建立了鼓泡型吸收塔的传质模型，并利用常规方法和算子特征值法对其进行了解析求解。分析表明，沿塔高方向的浓度分布主要取决于引入的无因次数R 、U 、S 的值，而塔顶排放尾气的有效浓度和塔底排出液的有效含量也由R 、U 、S 决定。 关键词：鼓泡式吸收塔；平推流；轴向扩散；算子特征值法
Abstract:
The mass transfer behaviour of gas-liquid bubble type absorbing tower under unidimensional condition is investigated based on liquid diffusion model and bubble plug flow hypothesis,and the mass transfer model is established as well as its analytical solutions in the conventional and operator eigenvalue method .It is demonstrated that concentration distribution along the height is mainly determined by R 、U and S,three introduced dimensionless groups,which also determine the effective concentration of exhaust and excluding liquid from the top and bottom of the tower,respectively.
Key words:
bubble type absorbing tower;plug flow;axial diffusion;operator eigenvalue method
背景介绍：
鼓泡型吸收塔是化学工业以及其他许多工业生产中中的重要设备之一。由于其设备结构简单, 操作方便, 早已成为化工单元设备而广泛地用于吸收、解吸等操作中，经验表明, 对于所谓“液膜”控制 或“气一液膜”控制的物系, 鼓泡式吸收塔比较奏效, 尤其对于规模不是很大的生产更为适宜, 操作简便。
鼓泡式吸收塔是将液体自塔顶不断地流向塔底而构成液柱, 使气泡导入液柱之中, 实现气液相连续逆流接触的装置。过去对于单一气泡的传质研究众多, 而关于气泡群在鼓泡塔内传质的研究则为数甚少。在鼓泡塔内进行了氢和二氧化碳的吸收试验, 把气液两相看作是平推流, 来求取总容积传质系数。有人用注入染料等方法, 观察液流时, 发现返混相当明显, 并不能当作是平推流。采用示踪排出液浓度的矩形、脉动波解法对液体混合特性研究之后 ,得知了轴向扩散模型大体上是适用的。
本文目的在于根据气泡流为平推流, 液体为扩散模型的观点, 建立鼓泡式吸收塔的理论模型, 并给出边界条件及由此得出的解析结果, 找出沿塔高度方向浓度分布函数关系及其主要影响因素, 从而估计塔顶排出气体中有效成分浓度和塔底排出液的有效成分含量, 为鼓泡式吸收塔的设计及操作求得必要的理论依据。
模型的建立：
为简化起见，取鼓泡塔气体流动方向为z 轴正向，并满足以下假设：
（1）液体流动包含主体流动和扩散流动，并用轴向扩散理论表示。
（2）气体运动视为平推流，在流动方向上没有混合和扩散流动。
(3）液体中吸收组分B 的浓度远大于被吸收组分A 的浓度，可视为不变。
（4）被吸收组分A 的浓度在液体中很低，可视为0。
（5）气液之间A 组分含量满足亨利定律：
C L =P L
H
在满足上述假设的条件下，考虑恒温稳态时，取z —z+dz对气液两相中的A 组分进行物料衡算。在z 处气相中A 的浓度为C G ，液相中为C L , 则在z+dz处分别为
C G +(∂C G ∂C ) dZ C L +(L ) dZ ∂Z ∂Z
由气相吸收进入液相的A 的量为：
AdZ (1-ε) aK G (C G -mC L )
将扩散传质模型的概念应用于液体部分，轴向扩散传质的速率为：
dC L q =
-A εE dZ
物料守恒表达式为：
dC G ) dz ]+Adz (1-ε) aK G (C G -m C L ) dz
dC L dC L dC L d 2C L U L [C L +() dz ]A -AE εAdz (1-ε) aK G (C G -m C L ) =U L C L A -AE ε(+dz ) 2dz dz dz dz U G C G A =U G [C G +(
化简得：
dC G ⎧U () +(1-ε) aK G (C G -m C L ) =0G ⎪⎪dz ⎨2dC d C L L ⎪U L () +E ε+(1-ε) aK G (C G -m C L ) =0⎪dz dz 2⎩
基础方程解析：
先对其进行无因次化，令
C G U mC L U , X =, U G =G , U L =L
C GF C GF 1-εε
K aL 4mU G U L L z U =, R =G , S =, Z =2E U L L 2U G Y =
对方程组进行化简得：
dY ⎧+2R (Y -X ) =0⎪⎪dZ ⎨d 2X ⎪2+2U dX +RUS (Y -X ) =0⎪dZ ⎩dZ
由于C L 可近似看做0，则上面两个方程组分别为：
dC G ⎧U () +(1-ε) aK G C G =0G ⎪⎪dz ⎨2dC d C L L ⎪U L () +E ε+(1-ε) aK G C G =02⎪dz dz ⎩
dY ⎧+2RY =（01）⎪⎪dZ ⎨d 2X ⎪2+2U dX +RUSY =（02）⎪dZ ⎩dZ
边界条件分别为：
dC L ⎧B . C . 1:z =0, C =C , =0G GF ⎪dz ⎨dC ⎪B . C . 2:z =L , C L =0, G =0dz ⎩
dX ⎧B . C . 1:Z =0, Y =1, =0⎪dZ ⎨dY ⎪B . C . 2:Z =1, X =0, =0dZ ⎩
（一）常规方法
先对（1）进行求解，直接利用分离变量法：
dY =-2RdZ ，ln Y =-2RZ +C ，代入B . C . 1，得C =0，Y =e -2RZ （3）Y 将其代入（2）得：
d 2X dX -2RZ +2U +RUSe =0(4) 2dZ dZ
此为二阶常系数非齐次微分方程，其齐次方程对应的特征方程为：
r 2+2Ur =0
r 1=0, r 2=-2U
则其齐次方程的根为
X o =C 1+C 2e -2UZ
设非齐次方程的一个特解
X *=ae -2RZ , X *'=-2Rae -2RZ , X *'' =4R 2ae -2RZ
将其代入（4）得：
a =1US
4U -R
1US -2RZ e 4U -R 则原非齐次方程的解为： X =C 1+C 2e -2UZ +
带入边界条件得：
C 1=
则 1S 1RS (Re-2U -Ue -2R ), C 2=4U -R 4R -U
1S [R (e -2U -e -2UZ ) +U (e -2RZ -e -2R )]4U -R X =
于是原方程组的解为：
1RUS ⎧e -2x -e -2xZ [f (U ) -f (R )]（5）⎪X =, 其中，f (x ) =⎨4U -R x -2RZ ⎪Y =e （6）⎩
（二）算子特征值法
上述方程组也可用算子特征值法求得，步骤如下：
dY ⎧+2RY =0⎪⎪dZ ⎨d 2X dX ⎪2+2U +RUSY =0⎪dZ ⎩dZ
首先将方程组写成算子形式：
(D +2R ) Y =0⎧ ⎨2⎩(D +2UD ) X +RUSY =0
方程组对应的特征方程为：
（λ+2R ）(λ2+2U λ) =0
解之，有λ1=0，λ2=-2U , λ3=-2R
⎧X =A 1+A 2e -2UZ +A 3e -2RZ
⎨-2UZ -2RZ +A 3β3e ⎩Y =A 1β1+A 2β2e
其中βi 由下式确定：
（-λi 2+2U λi ）U -R βi =，β1=0，β2=0, β3=4RUS -(λi +2R ) US
U -R ⎧4A =13⎪US ⎪⎨-2UA 2-2RA 3=0 ⎪A +A e -2U +A e -2R =023⎪1⎩
1RS -2U 1US -2R 1RS 1US e -e , A 2=-, A 3=解之，有A 1= 4U -R 4U -R 4U -R 4U -R
则：
1S ⎧[R (e -2U -e -2UZ ) +U (e -2RZ -e -2R )]⎪X = ⎨4U -R ⎪Y =e -2RZ ⎩
与用二阶非齐次微分方程的常规解法相同。
结论分析：
从（5）、（6）可知，气液相中A 的浓度由R 、S 、U 决定，对于一般情况，在其他条件不变的情况下，调节R 、S 、U 的值是通过改变气液流速来实现的。
很明显 ,S由操作条件或试验条件可以计算出, 而U 可由事先算出的混合扩散系 数，根据操作或试验条件来确定。关于液体平均混合系数E 近似地可用下面的式子E ρd p U L ρH t =2. 5() 7）μμH d
式中各物理量含义为：ρ液体密度，μ液体粘度，d p 气泡平均直径，H t 塔内总持液量H d 净持液量。
在缺乏数据的条件下式 (7)可以作为估算的基础，对鼓泡式吸收塔而言Ht ≈Hd 。R 与K G a 由实验测定排放气体浓度的方法, 借推算而求取。在物系的相平衡关系确定后，m 值在塔内假定保持定值，这样相当于单位容积的局部吸收速度可 由下式决定 : N A =K G a (C G -mC L )
式中N A 为鼓泡塔单位容积的吸收速率,K G 总体积传质系数
11m =+ K G a K G a K L a
对于比较难溶组份的吸收, 鼓泡式吸收塔通常比较更为适用。在此场合，一般可以近似地取为：
K G a ≈K L a /m
因此也可直接分析排出液中A 组份的浓度, 来决定K G a 值。根据K G a 值可以算出R 值。由式(6)可见 ,吸收率主要地决定于 R 值，亦即 由Uc 来决定，似乎U G 越小越有利于吸收, 但a 值在很大程度上决定于UG ，因此欲达到最高吸收率必有最适宜的UG 存在。由试验可以确定这个关系,
这时表现为 R 几乎不随U G 的变化而有所变化。在塔顶(Z = l)排出尾气中A 组份的浓度可如下求出:
Y =e -2R
塔底（Z = 0）的液体中A 的有效浓度为：
X =1S (Re-2U -Ue -2R -R +U ) 4U -R
模型的不足
该模型的推导是在简化条件下求得的，而在实际操作条件下由于工程放大效应，特别是气体的导入和塔顶排出时产生的端效应, 完全破坏了原鼓泡塔传质模型中的假设条件（2）气体在这二个区域不可能保持平推流状态。因为考虑到这种情况还必须再引入新的传质系数而使计算复杂化，所以在试验的基础上予以修正也许更切合实际情况。理论模型可供实验和操作时参考，确定基术的参数式，查明相互的影响等等。 参考文献：
[1]R.Lau,W.Peng,L.G.Velazquez-Vargas,G.Q.Yang,and L.S.Fan.Gas Liquid Mass Transfer in High-Pressure Bubble Columns.Ind. Eng. Chem. Res.,2004,43（5），1302.
[2]G.Q.Yang and L.S.Fan.Axial Liquid Mixing in High-Pressure Bubble Columns.Practice Technology and Fludization.2003,49(8),1995
[3]王运东，骆广生，刘谦等编著. 传递过程原理[M].清华大学出版社.2006年7月.
[4]王金福. 化工应用数学分析[M].化学工业出版社. 2006 年 9 月.
符号说明：
a 鼓泡塔气液接触的体积比表面积A 鼓泡塔的截面积
C G 气相中A 的浓度
C L 液相中A 的浓度
D 微分算子
E 轴向扩散系数
H 亨利系数
K G (L ) 以气相(液相) 表示的体积总传质系数m 相平衡常数
N A 鼓泡塔单位体积的吸收速率
P L 与液相中A 的浓度平衡的气相中A 的分压q 轴向扩散速率
R 、S 、U 过程参数，R =K G aL 4m U G U L L , U =, S =2E U L 2U G
U G (L ) 气相（液相）的空塔流速
z 以塔底计算的高度
Z 无量纲高度，Z =
希腊字母z L
β过程参数
ε气体鼓泡塔中的液体分量
λ方程的根
鼓泡型吸收塔的传质模型及基础方程解析
摘要：
基于液体扩散模型、气泡平推流假设在一维情况下考虑鼓泡塔内部气液两相的传质行为，建立了鼓泡型吸收塔的传质模型，并利用常规方法和算子特征值法对其进行了解析求解。分析表明，沿塔高方向的浓度分布主要取决于引入的无因次数R 、U 、S 的值，而塔顶排放尾气的有效浓度和塔底排出液的有效含量也由R 、U 、S 决定。 关键词：鼓泡式吸收塔；平推流；轴向扩散；算子特征值法
Abstract:
The mass transfer behaviour of gas-liquid bubble type absorbing tower under unidimensional condition is investigated based on liquid diffusion model and bubble plug flow hypothesis,and the mass transfer model is established as well as its analytical solutions in the conventional and operator eigenvalue method .It is demonstrated that concentration distribution along the height is mainly determined by R 、U and S,three introduced dimensionless groups,which also determine the effective concentration of exhaust and excluding liquid from the top and bottom of the tower,respectively.
Key words:
bubble type absorbing tower;plug flow;axial diffusion;operator eigenvalue method
背景介绍：
鼓泡型吸收塔是化学工业以及其他许多工业生产中中的重要设备之一。由于其设备结构简单, 操作方便, 早已成为化工单元设备而广泛地用于吸收、解吸等操作中，经验表明, 对于所谓“液膜”控制 或“气一液膜”控制的物系, 鼓泡式吸收塔比较奏效, 尤其对于规模不是很大的生产更为适宜, 操作简便。
鼓泡式吸收塔是将液体自塔顶不断地流向塔底而构成液柱, 使气泡导入液柱之中, 实现气液相连续逆流接触的装置。过去对于单一气泡的传质研究众多, 而关于气泡群在鼓泡塔内传质的研究则为数甚少。在鼓泡塔内进行了氢和二氧化碳的吸收试验, 把气液两相看作是平推流, 来求取总容积传质系数。有人用注入染料等方法, 观察液流时, 发现返混相当明显, 并不能当作是平推流。采用示踪排出液浓度的矩形、脉动波解法对液体混合特性研究之后 ,得知了轴向扩散模型大体上是适用的。
本文目的在于根据气泡流为平推流, 液体为扩散模型的观点, 建立鼓泡式吸收塔的理论模型, 并给出边界条件及由此得出的解析结果, 找出沿塔高度方向浓度分布函数关系及其主要影响因素, 从而估计塔顶排出气体中有效成分浓度和塔底排出液的有效成分含量, 为鼓泡式吸收塔的设计及操作求得必要的理论依据。
模型的建立：
为简化起见，取鼓泡塔气体流动方向为z 轴正向，并满足以下假设：
（1）液体流动包含主体流动和扩散流动，并用轴向扩散理论表示。
（2）气体运动视为平推流，在流动方向上没有混合和扩散流动。
(3）液体中吸收组分B 的浓度远大于被吸收组分A 的浓度，可视为不变。
（4）被吸收组分A 的浓度在液体中很低，可视为0。
（5）气液之间A 组分含量满足亨利定律：
C L =P L
H
在满足上述假设的条件下，考虑恒温稳态时，取z —z+dz对气液两相中的A 组分进行物料衡算。在z 处气相中A 的浓度为C G ，液相中为C L , 则在z+dz处分别为
C G +(∂C G ∂C ) dZ C L +(L ) dZ ∂Z ∂Z
由气相吸收进入液相的A 的量为：
AdZ (1-ε) aK G (C G -mC L )
将扩散传质模型的概念应用于液体部分，轴向扩散传质的速率为：
dC L q =
-A εE dZ
物料守恒表达式为：
dC G ) dz ]+Adz (1-ε) aK G (C G -m C L ) dz
dC L dC L dC L d 2C L U L [C L +() dz ]A -AE εAdz (1-ε) aK G (C G -m C L ) =U L C L A -AE ε(+dz ) 2dz dz dz dz U G C G A =U G [C G +(
化简得：
dC G ⎧U () +(1-ε) aK G (C G -m C L ) =0G ⎪⎪dz ⎨2dC d C L L ⎪U L () +E ε+(1-ε) aK G (C G -m C L ) =0⎪dz dz 2⎩
基础方程解析：
先对其进行无因次化，令
C G U mC L U , X =, U G =G , U L =L
C GF C GF 1-εε
K aL 4mU G U L L z U =, R =G , S =, Z =2E U L L 2U G Y =
对方程组进行化简得：
dY ⎧+2R (Y -X ) =0⎪⎪dZ ⎨d 2X ⎪2+2U dX +RUS (Y -X ) =0⎪dZ ⎩dZ
由于C L 可近似看做0，则上面两个方程组分别为：
dC G ⎧U () +(1-ε) aK G C G =0G ⎪⎪dz ⎨2dC d C L L ⎪U L () +E ε+(1-ε) aK G C G =02⎪dz dz ⎩
dY ⎧+2RY =（01）⎪⎪dZ ⎨d 2X ⎪2+2U dX +RUSY =（02）⎪dZ ⎩dZ
边界条件分别为：
dC L ⎧B . C . 1:z =0, C =C , =0G GF ⎪dz ⎨dC ⎪B . C . 2:z =L , C L =0, G =0dz ⎩
dX ⎧B . C . 1:Z =0, Y =1, =0⎪dZ ⎨dY ⎪B . C . 2:Z =1, X =0, =0dZ ⎩
（一）常规方法
先对（1）进行求解，直接利用分离变量法：
dY =-2RdZ ，ln Y =-2RZ +C ，代入B . C . 1，得C =0，Y =e -2RZ （3）Y 将其代入（2）得：
d 2X dX -2RZ +2U +RUSe =0(4) 2dZ dZ
此为二阶常系数非齐次微分方程，其齐次方程对应的特征方程为：
r 2+2Ur =0
r 1=0, r 2=-2U
则其齐次方程的根为
X o =C 1+C 2e -2UZ
设非齐次方程的一个特解
X *=ae -2RZ , X *'=-2Rae -2RZ , X *'' =4R 2ae -2RZ
将其代入（4）得：
a =1US
4U -R
1US -2RZ e 4U -R 则原非齐次方程的解为： X =C 1+C 2e -2UZ +
带入边界条件得：
C 1=
则 1S 1RS (Re-2U -Ue -2R ), C 2=4U -R 4R -U
1S [R (e -2U -e -2UZ ) +U (e -2RZ -e -2R )]4U -R X =
于是原方程组的解为：
1RUS ⎧e -2x -e -2xZ [f (U ) -f (R )]（5）⎪X =, 其中，f (x ) =⎨4U -R x -2RZ ⎪Y =e （6）⎩
（二）算子特征值法
上述方程组也可用算子特征值法求得，步骤如下：
dY ⎧+2RY =0⎪⎪dZ ⎨d 2X dX ⎪2+2U +RUSY =0⎪dZ ⎩dZ
首先将方程组写成算子形式：
(D +2R ) Y =0⎧ ⎨2⎩(D +2UD ) X +RUSY =0
方程组对应的特征方程为：
（λ+2R ）(λ2+2U λ) =0
解之，有λ1=0，λ2=-2U , λ3=-2R
⎧X =A 1+A 2e -2UZ +A 3e -2RZ
⎨-2UZ -2RZ +A 3β3e ⎩Y =A 1β1+A 2β2e
其中βi 由下式确定：
（-λi 2+2U λi ）U -R βi =，β1=0，β2=0, β3=4RUS -(λi +2R ) US
U -R ⎧4A =13⎪US ⎪⎨-2UA 2-2RA 3=0 ⎪A +A e -2U +A e -2R =023⎪1⎩
1RS -2U 1US -2R 1RS 1US e -e , A 2=-, A 3=解之，有A 1= 4U -R 4U -R 4U -R 4U -R
则：
1S ⎧[R (e -2U -e -2UZ ) +U (e -2RZ -e -2R )]⎪X = ⎨4U -R ⎪Y =e -2RZ ⎩
与用二阶非齐次微分方程的常规解法相同。
结论分析：
从（5）、（6）可知，气液相中A 的浓度由R 、S 、U 决定，对于一般情况，在其他条件不变的情况下，调节R 、S 、U 的值是通过改变气液流速来实现的。
很明显 ,S由操作条件或试验条件可以计算出, 而U 可由事先算出的混合扩散系 数，根据操作或试验条件来确定。关于液体平均混合系数E 近似地可用下面的式子E ρd p U L ρH t =2. 5() 7）μμH d
式中各物理量含义为：ρ液体密度，μ液体粘度，d p 气泡平均直径，H t 塔内总持液量H d 净持液量。
在缺乏数据的条件下式 (7)可以作为估算的基础，对鼓泡式吸收塔而言Ht ≈Hd 。R 与K G a 由实验测定排放气体浓度的方法, 借推算而求取。在物系的相平衡关系确定后，m 值在塔内假定保持定值，这样相当于单位容积的局部吸收速度可 由下式决定 : N A =K G a (C G -mC L )
式中N A 为鼓泡塔单位容积的吸收速率,K G 总体积传质系数
11m =+ K G a K G a K L a
对于比较难溶组份的吸收, 鼓泡式吸收塔通常比较更为适用。在此场合，一般可以近似地取为：
K G a ≈K L a /m
因此也可直接分析排出液中A 组份的浓度, 来决定K G a 值。根据K G a 值可以算出R 值。由式(6)可见 ,吸收率主要地决定于 R 值，亦即 由Uc 来决定，似乎U G 越小越有利于吸收, 但a 值在很大程度上决定于UG ，因此欲达到最高吸收率必有最适宜的UG 存在。由试验可以确定这个关系,
这时表现为 R 几乎不随U G 的变化而有所变化。在塔顶(Z = l)排出尾气中A 组份的浓度可如下求出:
Y =e -2R
塔底（Z = 0）的液体中A 的有效浓度为：
X =1S (Re-2U -Ue -2R -R +U ) 4U -R
模型的不足
该模型的推导是在简化条件下求得的，而在实际操作条件下由于工程放大效应，特别是气体的导入和塔顶排出时产生的端效应, 完全破坏了原鼓泡塔传质模型中的假设条件（2）气体在这二个区域不可能保持平推流状态。因为考虑到这种情况还必须再引入新的传质系数而使计算复杂化，所以在试验的基础上予以修正也许更切合实际情况。理论模型可供实验和操作时参考，确定基术的参数式，查明相互的影响等等。 参考文献：
[1]R.Lau,W.Peng,L.G.Velazquez-Vargas,G.Q.Yang,and L.S.Fan.Gas Liquid Mass Transfer in High-Pressure Bubble Columns.Ind. Eng. Chem. Res.,2004,43（5），1302.
[2]G.Q.Yang and L.S.Fan.Axial Liquid Mixing in High-Pressure Bubble Columns.Practice Technology and Fludization.2003,49(8),1995
[3]王运东，骆广生，刘谦等编著. 传递过程原理[M].清华大学出版社.2006年7月.
[4]王金福. 化工应用数学分析[M].化学工业出版社. 2006 年 9 月.
符号说明：
a 鼓泡塔气液接触的体积比表面积A 鼓泡塔的截面积
C G 气相中A 的浓度
C L 液相中A 的浓度
D 微分算子
E 轴向扩散系数
H 亨利系数
K G (L ) 以气相(液相) 表示的体积总传质系数m 相平衡常数
N A 鼓泡塔单位体积的吸收速率
P L 与液相中A 的浓度平衡的气相中A 的分压q 轴向扩散速率
R 、S 、U 过程参数，R =K G aL 4m U G U L L , U =, S =2E U L 2U G
U G (L ) 气相（液相）的空塔流速
z 以塔底计算的高度
Z 无量纲高度，Z =
希腊字母z L
β过程参数
ε气体鼓泡塔中的液体分量
λ方程的根