圆锥的侧面积和全面积同步达纲练习
（120分 100分钟）
一、基础题（每题3分，共54分） 1．一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该圆锥的侧面积与全面积之比值为（ ）
2．若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧面积与底面积之比为（ ） A ．3：2 B ．3：1 C ．2：1 D ．5：3
3．如图3-8-4，将半径为2的圆形纸片沿半径OA 、OB 将其截成1：3两部分，用所得的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（ ）
3A ．4 2B ．3 4C ．5 1D ．2
1
A ．2
13D ．2或2
B ．1 C ．1或3
4．如图3-8-5，将三角形绕直线ι旋转一周，可以得到图3-8-6所示的立体图形的是（ ）
5．在△ABC 中，∠C=90°，AB=4cm，BC=3cm．若△ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积是（ ）
2222
A ．6πcm B ．12πcm C ．18πcm D ．24πcm
2
6．将一个半径为8cm ，面积为32πcm 的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为（ ）
A ．4 B ．4 C ．45 D ．2
2
7．已知圆锥的母线长是10cm ，侧面展开图的面积是60πcm ，则这个圆锥的底面半径是 cm．
8．已知圆锥的底面半径是2cm ，母线长是5cm ，则它的侧面积是 ．
9．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是 ．
10．一个扇形，半径为30cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ．
11．一个扇形，半径为30cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为 ．
2
12．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm ，母线长为50cm ，那么这个烟囱帽的底面直径为（ ）
A ．80cm B ．100cm C ．40cm D ．5cm 13．圆锥的高为3cm ，底面半径为4cm ，求它的侧面积和侧面展开图的圆心角．
14．以斜边长为a 的等腰直角三角形的斜边为轴，旋转一周，求所得图形的表面积． 15．已知两个圆锥的锥角相等，底面面积的比为9：25，其中底面较小的圆锥的底面半径为6cm ，求另一个圆锥的底面积的大小．
16．轴截面是顶角为120°的等腰三角形的圆锥侧面积和底面积的比是多少？
17．如图3-8-7，已知圆锥的母线SB=6，底面半径r=2，求圆锥的侧面展开图扇形的圆心角α．
18．一个圆锥的底面半径为10cm ，母线长20cm ，求： （1）圆锥的全面积； （2）圆锥的高；
（3）轴与一条母线所夹的角； （4）侧面展开图扇形的圆心角．
二、学科内综合题（每题7分，共21分）
19．一个扇形如图3-8-8，半径为30cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，求圆锥底面半径和锥角．
20．一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的高是2cm ． （1）求圆锥的侧面积和全面积； （2）画出圆锥的侧面展开图．
21．若△ABC 为等腰直角三角形，其中∠ABC=90°，AB=BC=52cm ，求将等腰直角三角形绕直线AC 旋转一周所得到图形的面积．
三、应用题（每题6分，共18分）
22．用一块圆心角为300°的扇形铁皮做一个圆锥形烟囱帽，圆锥的底面直径为1m ，求这个扇形铁皮的半径．
23．如图3-8-9，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面周长为36m ，母线长为8m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头重合部分，那么这座粮仓实际需用油毡的面积是多少？
24．如图3-8-10，有一直径是1m 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC ，求：
（1）被剪掉的阴影部分的面积； （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径是多少？（结果可用根号表示）
四、创新题（10分）
25．小明要在半径为1m ，圆心角为60°的扇形铁皮上剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮．小明在扇形铁皮上设计了如图3-8-11的甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并计算哪个正方形的面积较大？（估算时取1．73，结果保留两个有效数字）
五、中考题（17分） 26．（3分）一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm ，母线长为5cm ，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是（ ）
2222
A ．66πcm B ．30πcm C ．28πcm D ．15πcm 27．（6分）圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体，那么圆台可以看成是 所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体；如果将一个半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体应该是 ．
28．（8分）在半径为27m 的广场中央，点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°（如图3-8-12），求光源离地面的垂直高度SO ．（精确到0．1m ；2=1．44，3=1．732，5=2．236，以上数据供参考）
加试题：竞赛趣味题（每题5分，共10分）
1．如图3-8-13，在小学，我们曾用实验归纳出圆锥的体积等于三分之一底面积乘以高．现在我们的实验是，取一个半径为R 的半球面，再取一个半径和高都是R 的圆锥容器．两次将圆锥容器装满细沙，并倒入半球内，发现半球恰好被装满．试根据这一实验猜想半径为R 的球的体积公式．
111++222abc
2．已知a 、b 、c 为正整数，且a ＋b ＋c ＋48＜4a ＋6b ＋12c ，求（a b c ）的
值．
Ⅵ．探究题
要将一块直径为2m 的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面． 操作：方案一：在图3-8-14中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）．
方案二：在图3-8-15中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）．
探究：（1）求方案一中圆锥底面的半径； （2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面半径；
（3）设方案二中半圆圆心为O ，圆柱两个底面的圆心为O 1、O 2，圆锥底面的圆心为O 3，试判断以O 1、O 2、O 3、O 为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．
参考答案
Ⅱ. 三、1．5cm ；12cm ；65πcm 2．50π；60°；53
3．65π；10π；65π 点拨：以BC 为轴旋转所得圆锥的底面半径为5cm ，高为12cm ，母线长为13cm. 利用公式计算.
Ⅲ. 一、1．扇形 2．l ；2πr 3．πl r 4．全面积
2
1
Ⅳ.1．12π 2．B 点拨：侧面积=2底面直径²π²母线长.
a
3．D 点拨：展开图的弧长是a π，故底面半径是2，这时母线长，底面半径和高构成
直角三角形.
Ⅴ. 一、1．A 解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，扇形的弧长为l ，则
120πR 2πl =180=3R.
2π111R 22
∴2πr=3. ∴R=3r.∴S 侧=2³2πr ²R=2²2πr²3r=6πr ³2=3πr .
S 全面积=S侧+S底=3πr +πr =4πr . ∴S 表：S 底=3πr ：4πr =3:4. 2．C 解：设圆锥母线为ι，底面半径为r ，由题意，得ι=2r．
2
2
2
2
2
1
2
∴S 侧=2²2πr ²ι=πr ³2 r=2πr
2
2
∴S 侧：S 底=2πr ：πr =2:1.
3．D 解：圆的周长为2π²OA=2π³2=4π.
13
⌒
∴劣弧AB 的长为4³4π=π，优弧AB 的长为4³4π=3π.
⌒
设含劣弧AB 的扇形围成的圆锥的底面半径为r 1，含优弧AB 的扇形围成的圆锥的底面
⌒⌒
1⎧
r =, 1⎪⎪2⎨⎧2πr 1=π,
⎪r =3. ⎨
⎪222πr 2=3π.
半径为r 2，则⎩解得⎩
点拨：不能漏掉含优弧AB 的扇形，而选错A.
4．B 点拨：认真分析图形，发挥空间想象力.
5．B 解：由题意知旋转后的几何体为以AC 为高，AB 为母线，BC 为底面半径的圆锥，
⌒
11
2
所以S 侧=2²2π²BC²AB=2³2π³3³4=12π（cm ）
6．B 解：设圆锥底面圆的半径为r ，母线长为l ，则l =8cm，πr²l =32π．
1
7．6 解：设圆锥的底面半径为r ，则2²2πr²10=60π，解得r=6．
1
22
8．10πcm 解：S 侧=2πr ²l ²2=π³2³5=10π（cm ）.
1
9．1：2：3 解：设轴截面（等边三角形）边长为a ，则圆锥的底面半径为2a ，母线
为a.
a π1a π
222
∴S 底=π²（2）=4a ，S 侧=2²2π²2²a=2a .
π2π23π2
a +a =a
24S 全=S底+S侧=4. π22232
a :πa :πa
44∴S 底：S 侧：S 全=4=1：2：3.
点拨：恰当设元，分别求出各面积再求比值.
n πR 120π⨯30=180180=20π，∴2πr=20π，r=10cm. 10．10cm 解：l =
120π
222
11．400πcm 点拨：l =180³30=20π，20π=2πr ，r=10，S 底=πr =10π=100π，11
2
S 侧=2l R=2³20π³30=300π，∴S 全=S底+S侧=400cm.
1
12．A 点拨：由公式S 侧=2²2πr²R=πrR ，所以50πr=2000π，2r=80.
13．解：侧面积为20πcm ，圆心角为288°，由勾股定理可得母线长为5cm ，S
2
侧
r 4
2
=πl r=20πrcm ，圆心角α=l ³360°=5³360°=288°.
2
2
14．解：旋转体的表面积是2πa .
15．解：由圆锥锥角相等，可知两圆的轴截面的两个等腰三角形相似，另一圆锥的底面
2
半径10cm ，底面面积为100πcm .
a
πr 2=l ：16．解：设轴截面等腰三角形的腰长是a ，则圆锥底面半径为2，S 侧：S 底=πr l ：
r=2：.
17．解：设圆锥底面周长为C ，则C=2πr=2π³2=4π. 又此周长即为圆锥侧面展开图
απ⨯SB
的扇形弧长，∴C=180
22
18．解：（1）S 全=πr +πr l =100π+200π=300π（cm ）. （2）如答图3-8-1所示，OS 为圆锥的高
.
180C 180⨯4π
=π⨯SB π⨯6=120°. . ∴a=
在Rt △OSA 中，OS=OA -AS =
2
2
202-102=103（cm ）.
AS 1
=
（3）在Rt △OSA 中，sin α=OA 2，∴α=30°.
βπl
（4）设侧面展开图扇形的圆心角底数为β，则2πr=180. ∴β=180°. ∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.
点拨：关于圆锥的轴截面面积的计算问题，关键是结合图形分析清楚轴截面的各元素与圆锥各元素之间的关系，圆锥有无数个轴截面，它们是全等的等腰三角形.
120π⨯30
=20π
α180二、19．解：设底面半径为r ，锥角为. ∵AB 的长为，∴2πr=20π.
⌒
∴r=10（cm ）.
α
∴sin 2
点拨：圆锥的锥角是指圆锥的轴截面中两母线所夹的等腰三角形的顶角，通常是在底面半径、高和母线组成的直角三角形中，首先求出锥角的一半，再得锥角.
20．解：（1）如答图3-8-2为圆锥的轴截面，SA 、SB 为母线，SO 为高，AB 为底面圆的直径、高和母线组成的直角三角形中，首先求出锥角的一半，再得锥角.
20．解：（1）如答图3-8-2为圆锥的轴截面，SA 、SB 为母线，SO 为高，AB 为底面圆的
=
10α
≈0. 3333. 30查表得2=19°28′，∴α=38°56′.
SO 23
=
sin 60︒31
2=4，OB=SB²cos60°=4³2=2，∴直径，所以SO=23. 在Rt △SOB 中，SB=
11
22
S 侧=2π²OB²2²SB=2π³2³2³4=8π，S 全=S侧+S底=8π+π²OB =4π+8π=12π（cm ）.
n π⋅SB 216n π
=8π=8π360360（2）设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则，即，解得n=180，
所以圆锥的侧面展开图如答图3-8-3.
21．解：绕直线AC 旋转一周所得图形如答图3-8-4.
在Rt △ABC 中，OB=AB²cos45°=5
2⨯
2
2=5.
1
2
∴所得图形的面积为2S 侧=2³2³2π³OB ³AB=2π³5³5=502π（cm ）
.
点拨：发挥想象力. 能想象出旋转后的图形面积为两个圆锥的侧面积之和.
n πR
三、22．解：设扇形的半径为R ，圆锥底面半径为r ，那么r=0.5m，2πr=180，
300πR
2π³0.5=180，解得R=0.6m. 答：略.
点拨：扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长.
18
23．解：设圆锥的底面半径为r ，那么2πr=36，∴r=π.
11
2
∴圆锥的侧面积为2πr ²l ²2=36³8³2=144（m ）.
∴实际需要油毡的面积为144+144³10%=158.4（m ）. 答：略.
2
1
点拨：本题还可以用36³8³2直接求得圆锥的侧面积.
2
24．解：（1）连接BC. ∵∠BAC=90°，∴弦BC 为直径. ∴AB=AC.∴AB=AC=BC²
sin45°=2.
1
2
∴S 阴影=S⊙O -S 扇形ABC =π(2) -
90π(
22)
π2=
3608(m2).
90π⋅
2
2
.
（2）设圆锥底面圆的半径为r ，而弧BC 的长即为圆锥底面的周长，2πr=
⌒
180
2
解得r=8(m).
答：略.
点拨：阴影部分的面积是用圆减去一个圆心角为90°的扇形的面积. 关键是求扇形的半径，而扇形的弧长实际上是圆锥底面圆的周长.
3
四、25．解：方案甲：连接OH ，设EF=x，则OF=EF²cot60°=3x.
33(7-23) x +x
222222
37在Rt △OGH 中，OH =GH+OG，即1=x+（3）. 解得x =.
方案乙：作OM ⊥G ′H ′于M ，交E ′F ′于N ，则M 、N 分别是G ′H ′和E ′F ′的中点，
∠NOF ′=30°.
3
2222
连接OG ′. 设E ′F ′=y，则ON=2y. 在Rt △OG ′M 中，OM +MG′=OG′，∴y =2-3.
22
若3≈1.73，则x =0.287≈0.29，y =0.27，
∴x ﹥y ，即按甲方案剪得的正方形面积较大. 五、26．D 解：如冰淇淋纸筒示意图（答图3-8-5），根据题意，得SA=SB=5cm，AB=6cm.
2
2
AB
圆锥的底面周长为l =2π²2=2π²3=6π，
111
2
∴S 侧=2l ²R=2²SB ²l =2³5³6π=15π（cm ）.
点拨：冰淇淋纸筒侧面积是圆锥的侧面积，不能加上底面面积. 27．直角梯形以垂直于底边的腰；球或球体 28．解：在△SAB 中，SA=SB，∠ASB=120°.
∵SO ⊥AB ，∴O 为AB 的中点，且∠ASO=∠BSO=60°.
3
=93
在Rt △ASO 中，OA=27m，∴SO=OA²cot ∠ASO=27³cot60°=27³3≈15.6（m ）.
答：略.
424
333
加试题：1．解：V 球=3πR ，实验结果表明：2V 圆锥=V半球，即V 半球=3πR ，∴V 球=3πR .
点拨：数学试验是获得一些结论的重要途径，同时在获取知识培养能力，增强毅力等方面有很大益处.
222
2．解：不等式两边加上1，移项整理后有a -4a+b-6b+c-12c+49﹤1，
222222
∵a 、b 、c 为正整数，∴a -4a+b-6b+c-12c+49≤0，即（a-2）+(b-3)+(c-6)≤0. ∴a-2=0，b-3=0，c-6=0.∴a=2，b=3，c=6.
111++236）2³3³6=136=1. ∴原式=（
点拨：（1）若x +y≤0，必有x=0，y=0；（2）通过本题应注重加“1”的妙用.
Ⅵ. 方案一：如答图3-8-6，⊙O 3是圆锥底面，⊙O 1和⊙O 2是圆柱底面
.
2
2
方案二：如答图3-8-7，⊙O 1和⊙O 2是圆柱底面，⊙O 3是圆锥底面.
11
（1）圆锥半径为2³2³2=0.5m.
（2）如答图3-8-7，连接OO 1、OO 2、O 2O 3、O 1O 3、O 1O 2，设⊙O 1与⊙O 2的半径为ym ，⊙O 3
的半径为xm. ∵⊙O 1和⊙O 2外切于点D ，∴OD ⊥O 1O 2，
设⊙O 1切AB 于点C ，连接O 1C ，∴O 1C ⊥AB. ∴四边形O 1COD 为正方形.OD=y.
222222
∴OO 1=O1D +OD. ∴(1-y)=y+y. ∴y=-1±2.
∵y ﹥0，∴y=2-1. ∴圆柱底面半径为（2-1）m.
222
∵O 1O 3=O2O 3，O 1D=O2D ，∴O 3D ⊥O 1O 2. ∴O 1O 3=O1D +O3D .
222
∴(x+y)=y+(1-x-y). ∴x=1-2y=3-22.
∴圆锥底面半径为（3-22）m. （3）四边形OO 1O 3O 2是正方形.
由（2）知O 1O 3=x+y=2-2，O 1O=1-y=2-2.
同理OO 2=O2O 3=2-2，即O 1O=O1O 3=O2O 3=OO2. ∴四边形OO 1O 3O 2是菱形. ∵OO 3=1-x=2-2，O 1O 2=2y=22-2，∴OO 3=O1O 2. ∴四边形OO 1O 3O 2是正方形.
圆锥的侧面积和全面积同步达纲练习
（120分 100分钟）
一、基础题（每题3分，共54分） 1．一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该圆锥的侧面积与全面积之比值为（ ）
2．若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧面积与底面积之比为（ ） A ．3：2 B ．3：1 C ．2：1 D ．5：3
3．如图3-8-4，将半径为2的圆形纸片沿半径OA 、OB 将其截成1：3两部分，用所得的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（ ）
3A ．4 2B ．3 4C ．5 1D ．2
1
A ．2
13D ．2或2
B ．1 C ．1或3
4．如图3-8-5，将三角形绕直线ι旋转一周，可以得到图3-8-6所示的立体图形的是（ ）
5．在△ABC 中，∠C=90°，AB=4cm，BC=3cm．若△ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积是（ ）
2222
A ．6πcm B ．12πcm C ．18πcm D ．24πcm
2
6．将一个半径为8cm ，面积为32πcm 的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为（ ）
A ．4 B ．4 C ．45 D ．2
2
7．已知圆锥的母线长是10cm ，侧面展开图的面积是60πcm ，则这个圆锥的底面半径是 cm．
8．已知圆锥的底面半径是2cm ，母线长是5cm ，则它的侧面积是 ．
9．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是 ．
10．一个扇形，半径为30cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ．
11．一个扇形，半径为30cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为 ．
2
12．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm ，母线长为50cm ，那么这个烟囱帽的底面直径为（ ）
A ．80cm B ．100cm C ．40cm D ．5cm 13．圆锥的高为3cm ，底面半径为4cm ，求它的侧面积和侧面展开图的圆心角．
14．以斜边长为a 的等腰直角三角形的斜边为轴，旋转一周，求所得图形的表面积． 15．已知两个圆锥的锥角相等，底面面积的比为9：25，其中底面较小的圆锥的底面半径为6cm ，求另一个圆锥的底面积的大小．
16．轴截面是顶角为120°的等腰三角形的圆锥侧面积和底面积的比是多少？
17．如图3-8-7，已知圆锥的母线SB=6，底面半径r=2，求圆锥的侧面展开图扇形的圆心角α．
18．一个圆锥的底面半径为10cm ，母线长20cm ，求： （1）圆锥的全面积； （2）圆锥的高；
（3）轴与一条母线所夹的角； （4）侧面展开图扇形的圆心角．
二、学科内综合题（每题7分，共21分）
19．一个扇形如图3-8-8，半径为30cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，求圆锥底面半径和锥角．
20．一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的高是2cm ． （1）求圆锥的侧面积和全面积； （2）画出圆锥的侧面展开图．
21．若△ABC 为等腰直角三角形，其中∠ABC=90°，AB=BC=52cm ，求将等腰直角三角形绕直线AC 旋转一周所得到图形的面积．
三、应用题（每题6分，共18分）
22．用一块圆心角为300°的扇形铁皮做一个圆锥形烟囱帽，圆锥的底面直径为1m ，求这个扇形铁皮的半径．
23．如图3-8-9，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面周长为36m ，母线长为8m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头重合部分，那么这座粮仓实际需用油毡的面积是多少？
24．如图3-8-10，有一直径是1m 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC ，求：
（1）被剪掉的阴影部分的面积； （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径是多少？（结果可用根号表示）
四、创新题（10分）
25．小明要在半径为1m ，圆心角为60°的扇形铁皮上剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮．小明在扇形铁皮上设计了如图3-8-11的甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并计算哪个正方形的面积较大？（估算时取1．73，结果保留两个有效数字）
五、中考题（17分） 26．（3分）一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm ，母线长为5cm ，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是（ ）
2222
A ．66πcm B ．30πcm C ．28πcm D ．15πcm 27．（6分）圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体，那么圆台可以看成是 所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体；如果将一个半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体应该是 ．
28．（8分）在半径为27m 的广场中央，点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°（如图3-8-12），求光源离地面的垂直高度SO ．（精确到0．1m ；2=1．44，3=1．732，5=2．236，以上数据供参考）
加试题：竞赛趣味题（每题5分，共10分）
1．如图3-8-13，在小学，我们曾用实验归纳出圆锥的体积等于三分之一底面积乘以高．现在我们的实验是，取一个半径为R 的半球面，再取一个半径和高都是R 的圆锥容器．两次将圆锥容器装满细沙，并倒入半球内，发现半球恰好被装满．试根据这一实验猜想半径为R 的球的体积公式．
111++222abc
2．已知a 、b 、c 为正整数，且a ＋b ＋c ＋48＜4a ＋6b ＋12c ，求（a b c ）的
值．
Ⅵ．探究题
要将一块直径为2m 的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面． 操作：方案一：在图3-8-14中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）．
方案二：在图3-8-15中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）．
探究：（1）求方案一中圆锥底面的半径； （2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面半径；
（3）设方案二中半圆圆心为O ，圆柱两个底面的圆心为O 1、O 2，圆锥底面的圆心为O 3，试判断以O 1、O 2、O 3、O 为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．
参考答案
Ⅱ. 三、1．5cm ；12cm ；65πcm 2．50π；60°；53
3．65π；10π；65π 点拨：以BC 为轴旋转所得圆锥的底面半径为5cm ，高为12cm ，母线长为13cm. 利用公式计算.
Ⅲ. 一、1．扇形 2．l ；2πr 3．πl r 4．全面积
2
1
Ⅳ.1．12π 2．B 点拨：侧面积=2底面直径²π²母线长.
a
3．D 点拨：展开图的弧长是a π，故底面半径是2，这时母线长，底面半径和高构成
直角三角形.
Ⅴ. 一、1．A 解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，扇形的弧长为l ，则
120πR 2πl =180=3R.
2π111R 22
∴2πr=3. ∴R=3r.∴S 侧=2³2πr ²R=2²2πr²3r=6πr ³2=3πr .
S 全面积=S侧+S底=3πr +πr =4πr . ∴S 表：S 底=3πr ：4πr =3:4. 2．C 解：设圆锥母线为ι，底面半径为r ，由题意，得ι=2r．
2
2
2
2
2
1
2
∴S 侧=2²2πr ²ι=πr ³2 r=2πr
2
2
∴S 侧：S 底=2πr ：πr =2:1.
3．D 解：圆的周长为2π²OA=2π³2=4π.
13
⌒
∴劣弧AB 的长为4³4π=π，优弧AB 的长为4³4π=3π.
⌒
设含劣弧AB 的扇形围成的圆锥的底面半径为r 1，含优弧AB 的扇形围成的圆锥的底面
⌒⌒
1⎧
r =, 1⎪⎪2⎨⎧2πr 1=π,
⎪r =3. ⎨
⎪222πr 2=3π.
半径为r 2，则⎩解得⎩
点拨：不能漏掉含优弧AB 的扇形，而选错A.
4．B 点拨：认真分析图形，发挥空间想象力.
5．B 解：由题意知旋转后的几何体为以AC 为高，AB 为母线，BC 为底面半径的圆锥，
⌒
11
2
所以S 侧=2²2π²BC²AB=2³2π³3³4=12π（cm ）
6．B 解：设圆锥底面圆的半径为r ，母线长为l ，则l =8cm，πr²l =32π．
1
7．6 解：设圆锥的底面半径为r ，则2²2πr²10=60π，解得r=6．
1
22
8．10πcm 解：S 侧=2πr ²l ²2=π³2³5=10π（cm ）.
1
9．1：2：3 解：设轴截面（等边三角形）边长为a ，则圆锥的底面半径为2a ，母线
为a.
a π1a π
222
∴S 底=π²（2）=4a ，S 侧=2²2π²2²a=2a .
π2π23π2
a +a =a
24S 全=S底+S侧=4. π22232
a :πa :πa
44∴S 底：S 侧：S 全=4=1：2：3.
点拨：恰当设元，分别求出各面积再求比值.
n πR 120π⨯30=180180=20π，∴2πr=20π，r=10cm. 10．10cm 解：l =
120π
222
11．400πcm 点拨：l =180³30=20π，20π=2πr ，r=10，S 底=πr =10π=100π，11
2
S 侧=2l R=2³20π³30=300π，∴S 全=S底+S侧=400cm.
1
12．A 点拨：由公式S 侧=2²2πr²R=πrR ，所以50πr=2000π，2r=80.
13．解：侧面积为20πcm ，圆心角为288°，由勾股定理可得母线长为5cm ，S
2
侧
r 4
2
=πl r=20πrcm ，圆心角α=l ³360°=5³360°=288°.
2
2
14．解：旋转体的表面积是2πa .
15．解：由圆锥锥角相等，可知两圆的轴截面的两个等腰三角形相似，另一圆锥的底面
2
半径10cm ，底面面积为100πcm .
a
πr 2=l ：16．解：设轴截面等腰三角形的腰长是a ，则圆锥底面半径为2，S 侧：S 底=πr l ：
r=2：.
17．解：设圆锥底面周长为C ，则C=2πr=2π³2=4π. 又此周长即为圆锥侧面展开图
απ⨯SB
的扇形弧长，∴C=180
22
18．解：（1）S 全=πr +πr l =100π+200π=300π（cm ）. （2）如答图3-8-1所示，OS 为圆锥的高
.
180C 180⨯4π
=π⨯SB π⨯6=120°. . ∴a=
在Rt △OSA 中，OS=OA -AS =
2
2
202-102=103（cm ）.
AS 1
=
（3）在Rt △OSA 中，sin α=OA 2，∴α=30°.
βπl
（4）设侧面展开图扇形的圆心角底数为β，则2πr=180. ∴β=180°. ∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.
点拨：关于圆锥的轴截面面积的计算问题，关键是结合图形分析清楚轴截面的各元素与圆锥各元素之间的关系，圆锥有无数个轴截面，它们是全等的等腰三角形.
120π⨯30
=20π
α180二、19．解：设底面半径为r ，锥角为. ∵AB 的长为，∴2πr=20π.
⌒
∴r=10（cm ）.
α
∴sin 2
点拨：圆锥的锥角是指圆锥的轴截面中两母线所夹的等腰三角形的顶角，通常是在底面半径、高和母线组成的直角三角形中，首先求出锥角的一半，再得锥角.
20．解：（1）如答图3-8-2为圆锥的轴截面，SA 、SB 为母线，SO 为高，AB 为底面圆的直径、高和母线组成的直角三角形中，首先求出锥角的一半，再得锥角.
20．解：（1）如答图3-8-2为圆锥的轴截面，SA 、SB 为母线，SO 为高，AB 为底面圆的
=
10α
≈0. 3333. 30查表得2=19°28′，∴α=38°56′.
SO 23
=
sin 60︒31
2=4，OB=SB²cos60°=4³2=2，∴直径，所以SO=23. 在Rt △SOB 中，SB=
11
22
S 侧=2π²OB²2²SB=2π³2³2³4=8π，S 全=S侧+S底=8π+π²OB =4π+8π=12π（cm ）.
n π⋅SB 216n π
=8π=8π360360（2）设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则，即，解得n=180，
所以圆锥的侧面展开图如答图3-8-3.
21．解：绕直线AC 旋转一周所得图形如答图3-8-4.
在Rt △ABC 中，OB=AB²cos45°=5
2⨯
2
2=5.
1
2
∴所得图形的面积为2S 侧=2³2³2π³OB ³AB=2π³5³5=502π（cm ）
.
点拨：发挥想象力. 能想象出旋转后的图形面积为两个圆锥的侧面积之和.
n πR
三、22．解：设扇形的半径为R ，圆锥底面半径为r ，那么r=0.5m，2πr=180，
300πR
2π³0.5=180，解得R=0.6m. 答：略.
点拨：扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长.
18
23．解：设圆锥的底面半径为r ，那么2πr=36，∴r=π.
11
2
∴圆锥的侧面积为2πr ²l ²2=36³8³2=144（m ）.
∴实际需要油毡的面积为144+144³10%=158.4（m ）. 答：略.
2
1
点拨：本题还可以用36³8³2直接求得圆锥的侧面积.
2
24．解：（1）连接BC. ∵∠BAC=90°，∴弦BC 为直径. ∴AB=AC.∴AB=AC=BC²
sin45°=2.
1
2
∴S 阴影=S⊙O -S 扇形ABC =π(2) -
90π(
22)
π2=
3608(m2).
90π⋅
2
2
.
（2）设圆锥底面圆的半径为r ，而弧BC 的长即为圆锥底面的周长，2πr=
⌒
180
2
解得r=8(m).
答：略.
点拨：阴影部分的面积是用圆减去一个圆心角为90°的扇形的面积. 关键是求扇形的半径，而扇形的弧长实际上是圆锥底面圆的周长.
3
四、25．解：方案甲：连接OH ，设EF=x，则OF=EF²cot60°=3x.
33(7-23) x +x
222222
37在Rt △OGH 中，OH =GH+OG，即1=x+（3）. 解得x =.
方案乙：作OM ⊥G ′H ′于M ，交E ′F ′于N ，则M 、N 分别是G ′H ′和E ′F ′的中点，
∠NOF ′=30°.
3
2222
连接OG ′. 设E ′F ′=y，则ON=2y. 在Rt △OG ′M 中，OM +MG′=OG′，∴y =2-3.
22
若3≈1.73，则x =0.287≈0.29，y =0.27，
∴x ﹥y ，即按甲方案剪得的正方形面积较大. 五、26．D 解：如冰淇淋纸筒示意图（答图3-8-5），根据题意，得SA=SB=5cm，AB=6cm.
2
2
AB
圆锥的底面周长为l =2π²2=2π²3=6π，
111
2
∴S 侧=2l ²R=2²SB ²l =2³5³6π=15π（cm ）.
点拨：冰淇淋纸筒侧面积是圆锥的侧面积，不能加上底面面积. 27．直角梯形以垂直于底边的腰；球或球体 28．解：在△SAB 中，SA=SB，∠ASB=120°.
∵SO ⊥AB ，∴O 为AB 的中点，且∠ASO=∠BSO=60°.
3
=93
在Rt △ASO 中，OA=27m，∴SO=OA²cot ∠ASO=27³cot60°=27³3≈15.6（m ）.
答：略.
424
333
加试题：1．解：V 球=3πR ，实验结果表明：2V 圆锥=V半球，即V 半球=3πR ，∴V 球=3πR .
点拨：数学试验是获得一些结论的重要途径，同时在获取知识培养能力，增强毅力等方面有很大益处.
222
2．解：不等式两边加上1，移项整理后有a -4a+b-6b+c-12c+49﹤1，
222222
∵a 、b 、c 为正整数，∴a -4a+b-6b+c-12c+49≤0，即（a-2）+(b-3)+(c-6)≤0. ∴a-2=0，b-3=0，c-6=0.∴a=2，b=3，c=6.
111++236）2³3³6=136=1. ∴原式=（
点拨：（1）若x +y≤0，必有x=0，y=0；（2）通过本题应注重加“1”的妙用.
Ⅵ. 方案一：如答图3-8-6，⊙O 3是圆锥底面，⊙O 1和⊙O 2是圆柱底面
.
2
2
方案二：如答图3-8-7，⊙O 1和⊙O 2是圆柱底面，⊙O 3是圆锥底面.
11
（1）圆锥半径为2³2³2=0.5m.
（2）如答图3-8-7，连接OO 1、OO 2、O 2O 3、O 1O 3、O 1O 2，设⊙O 1与⊙O 2的半径为ym ，⊙O 3
的半径为xm. ∵⊙O 1和⊙O 2外切于点D ，∴OD ⊥O 1O 2，
设⊙O 1切AB 于点C ，连接O 1C ，∴O 1C ⊥AB. ∴四边形O 1COD 为正方形.OD=y.
222222
∴OO 1=O1D +OD. ∴(1-y)=y+y. ∴y=-1±2.
∵y ﹥0，∴y=2-1. ∴圆柱底面半径为（2-1）m.
222
∵O 1O 3=O2O 3，O 1D=O2D ，∴O 3D ⊥O 1O 2. ∴O 1O 3=O1D +O3D .
222
∴(x+y)=y+(1-x-y). ∴x=1-2y=3-22.
∴圆锥底面半径为（3-22）m. （3）四边形OO 1O 3O 2是正方形.
由（2）知O 1O 3=x+y=2-2，O 1O=1-y=2-2.
同理OO 2=O2O 3=2-2，即O 1O=O1O 3=O2O 3=OO2. ∴四边形OO 1O 3O 2是菱形. ∵OO 3=1-x=2-2，O 1O 2=2y=22-2，∴OO 3=O1O 2. ∴四边形OO 1O 3O 2是正方形.