第一章 实数
考点一、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“±a ”。
2、算术平方根
正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）
a 2=a = ；注意a a ≥0
-a （a
3、立方根
如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：-a =-a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
4. 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
5. a ⨯=ab (a ≥0, b ≥0)a a =(a ≥0, b >0) b b
考点二、实数的概念及分类 （3分）
1. 实数的分类
（1）按实数的定义分类：
⎧⎧自然数(0, 1, 2, 3 ) ⎧整数⎨⎪⎪⎩负整数(-1, -2, -3 ) ⎪⎪⎪12⎧⎪有理数⎨正分数(, ) (整数、有限小数、无限循环小数) ⎪⎪23⎪分数(小数) ⎨⎪实数⎨12⎪⎪负分数(-, - ) ⎪⎪23⎩⎩⎪⎪⎧正有理数⎪无理数(无限不循环小数) ⎪⎨⎩⎩负有理数
（2）按实数的正负分类：
⎧⎧⎧正整数正有理数⎪⎪⎨正实数⎨⎪⎩正分数
⎪⎪⎩正无理数⎪⎪实数⎨零（既不是正数也不是负数）
⎪⎧⎧负整数⎪负有理数⎨⎪负实数⎪⎨⎩负分数⎪⎪⎪⎩负无理数⎩
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如7, 2等；
π（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； 3
（3）有特定结构的数，如0.1010010001„等；
（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）
考点三、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a ≥0；若|a|=-a，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点四、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做±a ⨯10n 的形式，其中1≤a
考点五、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a 、b 是实数，
a -b >0⇔a >b ,
a -b =0⇔a =b ,
a -b
（3）求商比较法：设a 、b
a a a >1⇔a >b ; =1⇔a =b ;
（4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则a >b ⇔a
（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则a 2>b 2⇔a
考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）
1、加法交换律 a +b =b +a
2、加法结合律 (a +b ) +c =a +(b +c )
3、乘法交换律 ab =ba
4、乘法结合律 (ab ) c =a (bc )
5、乘法对加法的分配律 a (b +c ) =ab +ac
6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么？
有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？
相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，
n 这个因数叫底数。记作: a
9、有理数乘方运算的法则是什么？
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？
去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
思维启动
如图是一块由两个正方形并排放在一起而成的硬纸板，请你用两刀把它裁成四块，然后拼成一个正方形，拼后的正方形边长为多少？
第一章 实数
考点一、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“±a ”。
2、算术平方根
正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）
a 2=a = ；注意a a ≥0
-a （a
3、立方根
如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：-a =-a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
4. 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
5. a ⨯=ab (a ≥0, b ≥0)a a =(a ≥0, b >0) b b
考点二、实数的概念及分类 （3分）
1. 实数的分类
（1）按实数的定义分类：
⎧⎧自然数(0, 1, 2, 3 ) ⎧整数⎨⎪⎪⎩负整数(-1, -2, -3 ) ⎪⎪⎪12⎧⎪有理数⎨正分数(, ) (整数、有限小数、无限循环小数) ⎪⎪23⎪分数(小数) ⎨⎪实数⎨12⎪⎪负分数(-, - ) ⎪⎪23⎩⎩⎪⎪⎧正有理数⎪无理数(无限不循环小数) ⎪⎨⎩⎩负有理数
（2）按实数的正负分类：
⎧⎧⎧正整数正有理数⎪⎪⎨正实数⎨⎪⎩正分数
⎪⎪⎩正无理数⎪⎪实数⎨零（既不是正数也不是负数）
⎪⎧⎧负整数⎪负有理数⎨⎪负实数⎪⎨⎩负分数⎪⎪⎪⎩负无理数⎩
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如7, 2等；
π（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； 3
（3）有特定结构的数，如0.1010010001„等；
（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）
考点三、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a ≥0；若|a|=-a，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点四、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做±a ⨯10n 的形式，其中1≤a
考点五、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a 、b 是实数，
a -b >0⇔a >b ,
a -b =0⇔a =b ,
a -b
（3）求商比较法：设a 、b
a a a >1⇔a >b ; =1⇔a =b ;
（4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则a >b ⇔a
（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则a 2>b 2⇔a
考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）
1、加法交换律 a +b =b +a
2、加法结合律 (a +b ) +c =a +(b +c )
3、乘法交换律 ab =ba
4、乘法结合律 (ab ) c =a (bc )
5、乘法对加法的分配律 a (b +c ) =ab +ac
6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么？
有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？
相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，
n 这个因数叫底数。记作: a
9、有理数乘方运算的法则是什么？
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？
去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
思维启动
如图是一块由两个正方形并排放在一起而成的硬纸板，请你用两刀把它裁成四块，然后拼成一个正方形，拼后的正方形边长为多少？