路程问题
路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间；平均速度=总路程÷总时间
相遇路程÷速度和=相遇时间；相遇路程÷相遇时间= 速度和；相遇时间×速度和=相遇路程
相遇问题（直线）：甲的路程+ 乙的路程=总路程
相遇问题（环形）：甲的路程+乙的路程=环形周长
追及问题：
追及时间=路程差÷速度差
速度差=路程差÷追及时间
追及时间×速度差=路程差
追及问题（直线）：距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间
追及问题（环形）：快的路程-慢的路程=曲线的周长
流水问题折叠
顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速－水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速－水速
静水速度（船速)=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度－逆水速度）÷2
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速，（1）
逆水速度=船速-水速.（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
由公式（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度；
船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。
时间×速度=路程
例1： 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时4 千米。求甲乙两地相距多少千米？
分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为
28-4×2=20 （千米）
20×2=40（千米）
40÷（4×2）=5（小时）
28×5=140 （千米）。
综合式：（28-4×2）×2÷（4×2）×28
火车过桥折叠编辑本段
速度：（距离+车长）÷时间
时间：（距离+车长）÷速度
距离： 速度×时间-车长
车长： 速度×时间-距离
列车过桥问题公式
(桥长+列车长)÷速度=过桥时间;
(桥长+列车长)÷过桥时间=速度;
速度×过桥时间=桥、车长度之和。
工程问题
一：基本数量关系
1.工作效率×工作时间=工作总量 2.123工作效率=工作总量÷工作时间 3.工作时间=工作总量÷工作效率 二：基本特点
设工作总量为“1”，工效=1/时间
三：基本方法
算术方法、比例方法、方程方法。
四：基本思想
分做合想、合做分想。
五：类型与方法
一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。
二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。
三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配
四：休息请假：
方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。
五：休息与周期：
1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。
2.天数：①近似天数，②准确天数。
3.列表确定工作天数。
六：交替与周期：估算周期，注意顺序！
七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。
八：工效变化。
九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。
十：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题 。
事例
1,一项工程,甲,乙两队合作30天完成.如果甲队单独做24天后,乙队再加入合作,两队合作12天后,甲队因事离去,由乙队继续做了15天才完成.这项工程如果由甲队单独完成,需要多少天
分析:甲先做24天,乙最后做15天,可以理解为又合做15天加先合做12天,共合做27天. =90(天)
2,一项工程,甲,乙两队合做每天能完成全工程的.甲队独做3天,乙队独做5天后,可完成全工程的.如果全工程由
乙队单独做,多少天可以完成
可理解为两队合做了3天.=10(天)
3,甲,乙两队合作,20天完成一项工程.如果两队合作8天后,乙队再独做4天,还剩下这项工程的.甲,乙两队独做各需几天完成
乙的工效=
乙需的天数:1÷=60(天)
甲乙需的天数:1÷=30(天)
4,一项工程,甲,队独做10天可以完成,乙队独做30天可以完成.现在两队合作期间甲队休息了2天,乙队休息了8天(两队不在同一天休息).从开始到完工共用了多少天
分析:可理解为甲多做6天.+8=11(天)
5,一项工程,如甲队独做,可6天完成.甲3天的工作量,乙要4天完成.两队合做了2天后,由乙队单独做,乙队还需做多少天才能完成
甲的工效,乙的工效, =3(天)
工程问题
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 ——工作效率×时间=工作总量
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫它们做“工程问题”.
举一个简单例子.：一件工作，甲做15天可完成，乙做10天可完成.问两人合作几天可以完成？
一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，
再根据基本数量关系式，得到
工作量÷工作效率=工作时间
1÷（1/15+1/10）=6（天）
答：两人合作需要6天.
这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30。设全部工作量为30份，那么甲每天完成2份，乙每天完成3份，两人合作所需天数是 :
30÷（2+ 3）= 6（天）
如果用数计算，更方便.
3：2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是10∶15=2∶3
种树问题
5棵树种2排,每排3棵：就是一个等边三角形，选两边中点放一个；
6棵树种3排,每排3棵：也是一个等边三角形，三边中点都放一个；
7棵树种6排,每排3棵：还是一个等边三角形，三边中点都放一个，然后在中心处放一个；
9棵树种9排,每排3棵：画一个一比四的长方形（长为4），在为宽（长度1）两边一个放2，一个放3（一个中点），然后在长的中点处作平行于宽的一条线，放三个（两个在边上，一个中点），这时候，上下分为两个长宽比1：2的长方形，其中一个是两宽均为3个点，最后，在这个长方形（两宽均为3个点）的中心放一点；
9棵树种10排,每排3棵：上下两个有公共边的正方形（等大），这样有6个点各一个，然后在上下两个正方形的中心各一个，公共边中点一个；
10棵树种5排,每排4棵：画个五角星，然后外围端点，内部交点；
12棵对种6排,每排4棵：同上！六角星，然后外围端点，内部交点；
4树四排，每排3棵：正四面体的顶点；（这样有四个面，都是三角形）
6棵树种3排,每排4棵：
方法一：在球面上，做两个互相垂直的大圆（他们会有两交点），然后将两圆都四等分，这样总共六个点；（实际上产生了3个圆，且两两垂直，每个圆都是4点；）
方法二：正八面体，六个顶点；（这样中间那个面是，然后两个对角面。其实空间位置和球类似，只是表述不同而已）
8棵树种12排,每排4棵：那就只有正（长）方体了，八个端点，总共六个表面，还有两个对角面！
16棵树种15排，每排4棵，是三个五角星嵌套在一起，里面一个都是外面一个的内部交点。然后在图形正中心放一个点。总共就是16个点，每点种一棵树就可以了。
【注：五角星外面顶点5个，里面还有5个点，把里面这五个叫做内部交点吧！】
或者说：你正画一个五角星，然后把外面的五个顶点连线，得到五条线。分别左右同时延长一倍，然后连起外面5个点，就是1个大的五角星。依此方法再来一遍，就得到更大的一个五角星，然后中心来一个点。 青蛙跳井公式问题：
1、青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井？（6）
2、单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠？（7） 解题方法：完成任务的次数＝井深或绳长 - 每次滑下米数遇到半米要将前面的单位转化成半米）
例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的4米转换成8个半米再计算。
完成任务的次数＝（总长-单长）/实际单长+1
总结：次数=（总长-一次能跳的高度）/（一次跳的高度-退下来的）+1
例题：小明的爸爸在高山上工作,那里的气温白天和夜晚相差很大,他的手表由于受气温的影响走得不正常,白天快1/2分钟,夜里慢1/3分钟,他10月1日白天对准时间,问到哪一天手表正好快5分钟?
A10月25日 B10月28日 C10月26日 D10月29日
解答:（5-1/2）/（1/2-1/3）+1=28
年龄问题
年龄问题”的基本规律是：不管时间如何变化，两人的年龄的差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键。分析时，可借助线段图分析，结合和倍、差倍、和差等问题分析方法，灵活解题。
公式 ：年龄差÷倍数差=年龄（满足当时倍数关系时候的年龄）
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差
路程问题
路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间；平均速度=总路程÷总时间
相遇路程÷速度和=相遇时间；相遇路程÷相遇时间= 速度和；相遇时间×速度和=相遇路程
相遇问题（直线）：甲的路程+ 乙的路程=总路程
相遇问题（环形）：甲的路程+乙的路程=环形周长
追及问题：
追及时间=路程差÷速度差
速度差=路程差÷追及时间
追及时间×速度差=路程差
追及问题（直线）：距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间
追及问题（环形）：快的路程-慢的路程=曲线的周长
流水问题折叠
顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速－水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速－水速
静水速度（船速)=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度－逆水速度）÷2
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速，（1）
逆水速度=船速-水速.（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
由公式（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度；
船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。
时间×速度=路程
例1： 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时4 千米。求甲乙两地相距多少千米？
分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为
28-4×2=20 （千米）
20×2=40（千米）
40÷（4×2）=5（小时）
28×5=140 （千米）。
综合式：（28-4×2）×2÷（4×2）×28
火车过桥折叠编辑本段
速度：（距离+车长）÷时间
时间：（距离+车长）÷速度
距离： 速度×时间-车长
车长： 速度×时间-距离
列车过桥问题公式
(桥长+列车长)÷速度=过桥时间;
(桥长+列车长)÷过桥时间=速度;
速度×过桥时间=桥、车长度之和。
工程问题
一：基本数量关系
1.工作效率×工作时间=工作总量 2.123工作效率=工作总量÷工作时间 3.工作时间=工作总量÷工作效率 二：基本特点
设工作总量为“1”，工效=1/时间
三：基本方法
算术方法、比例方法、方程方法。
四：基本思想
分做合想、合做分想。
五：类型与方法
一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。
二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。
三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配
四：休息请假：
方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。
五：休息与周期：
1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。
2.天数：①近似天数，②准确天数。
3.列表确定工作天数。
六：交替与周期：估算周期，注意顺序！
七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。
八：工效变化。
九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。
十：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题 。
事例
1,一项工程,甲,乙两队合作30天完成.如果甲队单独做24天后,乙队再加入合作,两队合作12天后,甲队因事离去,由乙队继续做了15天才完成.这项工程如果由甲队单独完成,需要多少天
分析:甲先做24天,乙最后做15天,可以理解为又合做15天加先合做12天,共合做27天. =90(天)
2,一项工程,甲,乙两队合做每天能完成全工程的.甲队独做3天,乙队独做5天后,可完成全工程的.如果全工程由
乙队单独做,多少天可以完成
可理解为两队合做了3天.=10(天)
3,甲,乙两队合作,20天完成一项工程.如果两队合作8天后,乙队再独做4天,还剩下这项工程的.甲,乙两队独做各需几天完成
乙的工效=
乙需的天数:1÷=60(天)
甲乙需的天数:1÷=30(天)
4,一项工程,甲,队独做10天可以完成,乙队独做30天可以完成.现在两队合作期间甲队休息了2天,乙队休息了8天(两队不在同一天休息).从开始到完工共用了多少天
分析:可理解为甲多做6天.+8=11(天)
5,一项工程,如甲队独做,可6天完成.甲3天的工作量,乙要4天完成.两队合做了2天后,由乙队单独做,乙队还需做多少天才能完成
甲的工效,乙的工效, =3(天)
工程问题
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 ——工作效率×时间=工作总量
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫它们做“工程问题”.
举一个简单例子.：一件工作，甲做15天可完成，乙做10天可完成.问两人合作几天可以完成？
一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，
再根据基本数量关系式，得到
工作量÷工作效率=工作时间
1÷（1/15+1/10）=6（天）
答：两人合作需要6天.
这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30。设全部工作量为30份，那么甲每天完成2份，乙每天完成3份，两人合作所需天数是 :
30÷（2+ 3）= 6（天）
如果用数计算，更方便.
3：2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是10∶15=2∶3
种树问题
5棵树种2排,每排3棵：就是一个等边三角形，选两边中点放一个；
6棵树种3排,每排3棵：也是一个等边三角形，三边中点都放一个；
7棵树种6排,每排3棵：还是一个等边三角形，三边中点都放一个，然后在中心处放一个；
9棵树种9排,每排3棵：画一个一比四的长方形（长为4），在为宽（长度1）两边一个放2，一个放3（一个中点），然后在长的中点处作平行于宽的一条线，放三个（两个在边上，一个中点），这时候，上下分为两个长宽比1：2的长方形，其中一个是两宽均为3个点，最后，在这个长方形（两宽均为3个点）的中心放一点；
9棵树种10排,每排3棵：上下两个有公共边的正方形（等大），这样有6个点各一个，然后在上下两个正方形的中心各一个，公共边中点一个；
10棵树种5排,每排4棵：画个五角星，然后外围端点，内部交点；
12棵对种6排,每排4棵：同上！六角星，然后外围端点，内部交点；
4树四排，每排3棵：正四面体的顶点；（这样有四个面，都是三角形）
6棵树种3排,每排4棵：
方法一：在球面上，做两个互相垂直的大圆（他们会有两交点），然后将两圆都四等分，这样总共六个点；（实际上产生了3个圆，且两两垂直，每个圆都是4点；）
方法二：正八面体，六个顶点；（这样中间那个面是，然后两个对角面。其实空间位置和球类似，只是表述不同而已）
8棵树种12排,每排4棵：那就只有正（长）方体了，八个端点，总共六个表面，还有两个对角面！
16棵树种15排，每排4棵，是三个五角星嵌套在一起，里面一个都是外面一个的内部交点。然后在图形正中心放一个点。总共就是16个点，每点种一棵树就可以了。
【注：五角星外面顶点5个，里面还有5个点，把里面这五个叫做内部交点吧！】
或者说：你正画一个五角星，然后把外面的五个顶点连线，得到五条线。分别左右同时延长一倍，然后连起外面5个点，就是1个大的五角星。依此方法再来一遍，就得到更大的一个五角星，然后中心来一个点。 青蛙跳井公式问题：
1、青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井？（6）
2、单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠？（7） 解题方法：完成任务的次数＝井深或绳长 - 每次滑下米数遇到半米要将前面的单位转化成半米）
例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的4米转换成8个半米再计算。
完成任务的次数＝（总长-单长）/实际单长+1
总结：次数=（总长-一次能跳的高度）/（一次跳的高度-退下来的）+1
例题：小明的爸爸在高山上工作,那里的气温白天和夜晚相差很大,他的手表由于受气温的影响走得不正常,白天快1/2分钟,夜里慢1/3分钟,他10月1日白天对准时间,问到哪一天手表正好快5分钟?
A10月25日 B10月28日 C10月26日 D10月29日
解答:（5-1/2）/（1/2-1/3）+1=28
年龄问题
年龄问题”的基本规律是：不管时间如何变化，两人的年龄的差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键。分析时，可借助线段图分析，结合和倍、差倍、和差等问题分析方法，灵活解题。
公式 ：年龄差÷倍数差=年龄（满足当时倍数关系时候的年龄）
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差