近三年大连数学中考题25汇总
1、（2012一模）如图，四边形ABCD 中，∠ABC=2∠ADC=2α，点E 、F 分别在CB 、CD 的延长线上，且EB=AB+AD， ∠AEB=∠FAD .
（1）猜想线段AE 、AF 的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若将“EB=AB+AD”改为“EB=AB+kAD（k 为常数，且k >0）”，其他条件不变
求DF 的值（用含k 、α的式子表示）. AB
2、（2012二模）如图12， 在正方形ABCD 中，点M 在边AB 上，点N 在边AD 的延长线上，且BM =DN 。点E 为MN 的中点，DE 的延长线与AC 相交于点F 。试猜想线段DF 与线段AC 的关系，并证明你的猜想。 图12猜想：线段DF 垂直平分线段AC ，且DF =1AC ．……………………………… 2分
2
证明：过点M 作MG ∥AD ，与DF 的延长线相交于点G ．
则∠EMG =∠N ，∠BMG =∠BAD ．…………………………………………………… 3分 ∵∠MEG =∠NED ，ME =NE ， ∴△MEG ≌△NED ，
∴MG =DN ．…………………………………………………………………………… 4分 ∵BM = DN，
∴MG = BM ． ………………………………………………………………………… 5分 作GH ⊥BC ，垂足为H ，连接AG 、C G ． ……………6分 ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=DA， ∠BAD =∠B =∠ADC =90︒，…… 7分 ∵∠GMB =∠B =∠GHB =90︒，
∴四边形MBHG 是矩形． ……………………………8分
∵MG =MB ，
B H
∴四边形MBHG 是正方形， …………………………9分 ∴MG = GH= BH= MB, ∠AMG =∠CHG =90︒ ，
∴AM=CH，……………………………………………………………………………10分 ∴△AMG ≌△CHG ．
∴GA=GC．……………………………………………………………………………11分 又∵DA=DC，
∴DG 是线段AC 的垂直平分线． ∵∠ADC =90︒，DA=DC， ∴DF =1AC ．
2
C
即线段DF 垂直平分线段AC ，且DF =1AC ．
……………………………………12分
2
3、（2012中考）如图13，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝2∠BCD ＝2a ，点E 在AD 上，点F 在DC 上，且∠BEF=∠A.
（1）∠BEF=_____(用含a 的代数式表示) ；
（2）当AB ＝AD 时，猜想线段ED 、EF 的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当AB≠AD时，将“点E 在AD 上”改为“点E 在AD 的延长线上，且AE ＞AB ，AB ＝mDE ，AD ＝nDE”，其他条件不变（如图14），求EB/EF的值（用含m 、n 的代数式表示）。
解：（1）180°－2α。 （2）EB =EF 。证明如下： 连接BD 交EF 于点O ，连接BF 。
∵AD ∥BC ，∴∠A =180°-∠ABC =180°－2α，∠ADC =180°－∠C =180°-α。 ∵AB =AD ，∴∠ADB =
1
（180°－∠A ）=α。 2
∴∠BDC =∠ADC －∠ADB =180°－2α。 由（1）得：∠BEF =180°－2α=∠BDC 。 又∵∠EOB =∠DOF ，∴△EOB ∽△DOF 。∴
OE OB OE OD
，即。 ==
OD OF OB OF
∵∠EOD =∠BOF ，∴△EOD ∽△BOF 。∴∠EFB =∠EDO =α。 ∴∠EBF =180°－∠BEF －∠EFB =α=∠EFB 。∴EB =EF 。 （3） 延长AB 至G ，使AG =AE ，连接BE ，GE ，
180︒-∠A 180︒-(180︒-2α)==α。 则∠G =∠AEG =
22
∵AD ∥BC ，∴∠EDF =∠C =α，∠GBC =∠A ，∠DEB =∠EBC 。 ∴∠EDF =∠G 。∵∠BEF =∠A ，∴∠BEF =∠GBC 。 ∴∠
GBC
+
∠
EBC =∠DEB +∠BEF ，即∠EBG =∠FED 。 ∴△DEF ∽△GBE 。∴
EB BG
。∵AB =mDE ，AD =nDE ，∴AG =AE =（n +1）DE 。 =
EF DE
∴BG =AG －AB =（n +1）DE －mDE =（n +1－m ）DE 。 ∴
EB （n +1-m ）DE ==n+1-m 。 EF DE
6、（2013中考）将△ABC 绕点B 逆时针旋转α得到△DBE ，DE 的延长线与AC 相交于点F ，连接DA 、BF ． （1）如图1，若∠ABC =α=60°，BF =AF ．
①求证：DA ∥BC ；②猜想线段DF 、AF 的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图2，若∠ABC ＜α，BF =mAF （m 为常数），求
的值（用含m 、α的式子表示）．
（1）证明：①由旋转性质可知，∠DBE =∠ABC =60°，BD =AB ∴△ABD 为等边三角形， ∴∠DAB =60°， ∴∠DAB =∠ABC ， ∴DA ∥BC ． ②猜想：DF =2AF ．
证明：如答图1所示，在DF 上截取DG =AF ，连接BG ． 由旋转性质可知，DB =AB ，∠BDG =∠BAF ． ∵在△DBG 与△ABF 中，
∴△DBG ≌△ABF （SAS ）， ∴BG =BF ，∠DBG =∠ABF ． ∵∠DBG +∠GBE =α=60°，
∴∠GBE +∠ABF =60°，即∠GBF =α=60°， 又∵BG =BF ，
∴△BGF 为等边三角形， ∴GF =BF ，又BF =AF ， ∴GF =AF ．
∴DF =DG +GF =AF +AF =2AF ．
（2）解：如答图2所示，在DF 上截取DG =AF ，连接BG ． 由（1），同理可证明△DBG ≌△ABF ，BG =BF ，∠GBF =α． 过点B 作BN ⊥GF 于点N ，
∵BG =BF ，∴点N 为GF 中点，∠FBN =． 在Rt △BFN 中，NF =BF •sin ∠FBN =BFsin =mAFsin
．
∴GF =2NF =2mAFsin
∴DF =DG +GF =AF +2mAFsin ，
∴=1+2msin
．
7、（2014一模）如图1，△ABC 中，AB=AC，点D 在BC 上，点E 、F 分别在AD 和AD 的延长线上，且∠AEC=∠BAC ，BF ∥CE.
（1）求证：∠AFB 与∠BAC 互补；
（2）图1中是否存在与AF 相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；
（3）若将“AB=AC，点D 在BC 上，点E 、F 分别在AD 和AD 的延长线上”改为“AB=kAC，点D 在BC 的延长线上，点E 、F 分别在DA 和DA 的延长线上”，其他条件不变（如图2）. 若CE=1，BF=3，∠BAC=α，求AF 的长（用含k 、α的式子表示）.
B C D B 1
2
（1） 证明：如图①，
∵BF ∥CE ，
∴∠AFB =∠CEF ．
∵∠CEF 与∠AEC 互补，∠AEC =∠BAC ， ∴∠CEF 与∠BAC 互补． ∴∠AFB 与∠BAC 互补．……………………………………1分
（2）存在，CE=AF． ………………………………………2分
证明：如图①，在AF 上取一点G ，使AG =BF ．
∵∠AFB +∠BAC =180°=∠AFB+(∠BAF+∠CAF ) ， ∠AFB+∠ABF+∠BAF =180°， 第24题① ∴∠ABF =∠CAF ．……………………………………………3分 又∵AB=AC，
∴△ABF ≌△CAG ． …………………………………………4分 ∴AF=CG，∠AFB =∠CGA ． 又∵∠AFB =∠CEF ，
A
∴∠CGA =∠CEF ． …………………………………………5分
∴CE =CG ．
∴CE =AF ． ……………………………………………………6分 D B （3）解：如图②，作∠GBA =∠EAC ，点G 在DA 的延长线上． ∵∠AEC =∠BAC ， 第24题② ∴∠GAB =∠ECA ．……………………………………………7分
∴△G B A ∽△E A C ．………………………………………………………………………………8分
∴AG =AB =k ，∠B G A =∠A E C =∠B A C =α．…………………………………………………9分
CE
AC
∵BF ∥CE ，
∴∠BFG =180°－∠FEC=180°－α=∠BGF ，
∴B G =B F ．…………………………………………………………………………………………10分 作BH ⊥FG ，垂足为H ，则
A F =A G +G F =A G +2F H = k C E +2B F c o s ∠B F G = k +6c o s (180°－α) ．……………………………11分
9、（2014中考）如图1，△ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上，DE =DC ，点F 是DE 与AC 的交点，且DF =FE ．
（1）图1中是否存在与∠BDE 相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； （2）求证：BE =EC ；
（3）若将“点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上”和“点F 是DE 与AC 的交点，且DF =FE ”分别改为“点D 在AB 上，点E 在CB 的延长线上”和“点F 是ED 的延长线与AC 的交点，且DF =kFE ”，其他条件不变（如图2）．当AB =1，∠ABC =a 时，求BE 的长（用含k 、a 的式子表示）．
解：（1）∠DCA =∠BDE ． 证明：∵AB =AC ，DC =DE ， ∴∠ABC =∠ACB ，∠DEC =∠DCE ．
∴∠BDE =∠DEC ﹣∠DBC =∠DCE ﹣∠ACB =∠DC A ．（2）过点E 作EG ∥AC ，交AB 于点G ，如图1， 则有∠DAC =∠DGE ． 在△DCA 和△EDG 中，
∴△DCA ≌△EDG （AAS ）． ∴DA =EG ，CA =DG ． ∴DG =A B ． ∴DA =BG ．
∵AF ∥EG ，DF =EF ， ∴DA =AG ． ∴AG =BG ． ∵EG ∥AC ， ∴BE =E C ．
（3）过点E 作EG ∥AC ，交AB 的延长线于点G ，如图2， ∵AB =AC ，DC =DE ，
∴∠ABC =∠ACB ，∠DEC =∠DCE ．
∴∠BDE =∠DBC ﹣∠DEC =∠ACB ﹣∠DCE =∠DC A ． ∵AC ∥EG ， ∴∠DAC =∠DGE ． 在△DCA 和△EDG 中，
∴△DCA ≌△EDG （AAS ）． ∴DA =EG ，CA =DG ∴DG =AB =1． ∵AF ∥EG ， ∴△ADF ∽△GDE ． ∴
．
∵DF =kFE ，
∴DE =EF ﹣DF =（1﹣k ）EF ． ∴．
∴AD =．
∴GE =AD =
．
过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，如图2， ∵AB =AC ，AH ⊥BC ， ∴BH =CH ．∴BC =2BH ． ∵AB =1，∠ABC =α， ∴BH =AB •cos ∠ABH =cosα． ∴BC =2cosα．
∵AC ∥EG ， ∴△ABC ∽△GBE ． ∴．
∴
．
∴BE =．
∴BE 的长为．
8、（2014二模） 4、（2013一模）
证明：过点D 作CE 的平行线，交CB 的延长线于点G （如图1）．
∵DG ∥CE ，
∴∠BCE=∠DGB ． ……………………………………………………1分 ∵AB =AC ， ∴∠ABC=∠ACB ．
∵∠ABD 与∠ACE 互补， ∴∠ABD +∠ACB +∠BCE =180°． ∴∠ABD +∠ABC +∠DGB =180°．
即∠DGB =180°-（∠ABD +∠ABC ）=180°-∠DBC =∠DBG ． ………2分 ∴DG =DB ． ∵BD =CE ，
∴DG = CE．… …………………… ……………………………………3分 又∵∠DFG=∠EFC ，
∴△D F G ≌△E F C ．………………………………………………………………………………4
E
（第24题图1）
分
∴D F =F E ． …………………………………………………………………………………………5分 （2）猜想：D F =k E F ． ……………………………………………………………………………6分
证明：过点D 作CE 的平行线，交BC 于点G （如图2）． ∵DG ∥CE ，
∴∠DGF=∠FCE ． …………………………………………7分 ∵AB =AC ， ∴∠ABC=∠ACB ． ∵∠ACB +∠FCE +∠ACE =360°， ∴∠ABC +∠DGF +∠ACE =360°． 即∠ABD +∠DBG +∠DGF +∠ACE =360°， ∵∠ABD +∠ACE =180°， ∴∠DBG +∠DGF =180°．
即∠DBG =180°-∠DGF =∠DGB ． …………………………9分 ∴DG =DB ． ∵∠DFG=∠EFC ，
∴△DFG ∽△EFC ．…………………………………………10分 ∴DF =DG ．即DF =DB =kCE =k ． EF EC EF EC CE
∴DF =kEF ． ………………………………………………………………………………………11分
（第24题图2）
(2013一模
)
（1）证明：∵∠ABE =∠AEB ，
∴AB =AE ． ∵AG ⊥BE ，
∴B G =G E ． ……………………………………………………………………………1（2）猜想：C D =D F ．…………………………………………………………………2证明：如图①，作CP ⊥BD , 垂足为P ，作FQ ⊥BD ，交BD 延长线于点Q ． ∵∠ABC=∠PBC +∠ABG=90°=∠PBC +∠BCP ，
∴ ∠BCP = ∠ABG ． A
F 又∵∠BPC= ∠AGB=90° ，BC=AB， ∴△BCP ≌△ABG ．
∴ C P = B G ．…………………………………3分 D 同理F Q =G E ． ………………………………4分 P
∴C P =F Q ． …………………………………5分
E ∵∠CDP =∠FDQ ，∠DPC =∠DQF=90°，
B ∴ △DPC ≌△DQF ．
∴ C D =D F ．…………………………………6分
第25题图①
（3）如图②，作CP ⊥BD ，垂足为P ，连接AF ，交BD 于点Q ． ∵∠AED=180°－∠AEB=180°－135°=45°，∠AEF=90°， D ∴∠AED=∠FED =45°． ………………………7分 ∵AE=EF，
∴EQ ⊥AF ，AQ=QF．…………………………9分 ∴∠DQF=∠DPC =90°． ∴QF ∥PC ．
F ∴DF =QF ．……………………………………10分
DC
PC
B
C
由（2）知，CP=BQ．…………………………11分
∴DF AQ 第25题图②
DC BQ
=tan ∠ABE =tan α．
分分
∴DF=atan ．………………………………………………………………………12分
近三年大连数学中考题25汇总
1、（2012一模）如图，四边形ABCD 中，∠ABC=2∠ADC=2α，点E 、F 分别在CB 、CD 的延长线上，且EB=AB+AD， ∠AEB=∠FAD .
（1）猜想线段AE 、AF 的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若将“EB=AB+AD”改为“EB=AB+kAD（k 为常数，且k >0）”，其他条件不变
求DF 的值（用含k 、α的式子表示）. AB
2、（2012二模）如图12， 在正方形ABCD 中，点M 在边AB 上，点N 在边AD 的延长线上，且BM =DN 。点E 为MN 的中点，DE 的延长线与AC 相交于点F 。试猜想线段DF 与线段AC 的关系，并证明你的猜想。 图12猜想：线段DF 垂直平分线段AC ，且DF =1AC ．……………………………… 2分
2
证明：过点M 作MG ∥AD ，与DF 的延长线相交于点G ．
则∠EMG =∠N ，∠BMG =∠BAD ．…………………………………………………… 3分 ∵∠MEG =∠NED ，ME =NE ， ∴△MEG ≌△NED ，
∴MG =DN ．…………………………………………………………………………… 4分 ∵BM = DN，
∴MG = BM ． ………………………………………………………………………… 5分 作GH ⊥BC ，垂足为H ，连接AG 、C G ． ……………6分 ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=DA， ∠BAD =∠B =∠ADC =90︒，…… 7分 ∵∠GMB =∠B =∠GHB =90︒，
∴四边形MBHG 是矩形． ……………………………8分
∵MG =MB ，
B H
∴四边形MBHG 是正方形， …………………………9分 ∴MG = GH= BH= MB, ∠AMG =∠CHG =90︒ ，
∴AM=CH，……………………………………………………………………………10分 ∴△AMG ≌△CHG ．
∴GA=GC．……………………………………………………………………………11分 又∵DA=DC，
∴DG 是线段AC 的垂直平分线． ∵∠ADC =90︒，DA=DC， ∴DF =1AC ．
2
C
即线段DF 垂直平分线段AC ，且DF =1AC ．
……………………………………12分
2
3、（2012中考）如图13，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝2∠BCD ＝2a ，点E 在AD 上，点F 在DC 上，且∠BEF=∠A.
（1）∠BEF=_____(用含a 的代数式表示) ；
（2）当AB ＝AD 时，猜想线段ED 、EF 的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当AB≠AD时，将“点E 在AD 上”改为“点E 在AD 的延长线上，且AE ＞AB ，AB ＝mDE ，AD ＝nDE”，其他条件不变（如图14），求EB/EF的值（用含m 、n 的代数式表示）。
解：（1）180°－2α。 （2）EB =EF 。证明如下： 连接BD 交EF 于点O ，连接BF 。
∵AD ∥BC ，∴∠A =180°-∠ABC =180°－2α，∠ADC =180°－∠C =180°-α。 ∵AB =AD ，∴∠ADB =
1
（180°－∠A ）=α。 2
∴∠BDC =∠ADC －∠ADB =180°－2α。 由（1）得：∠BEF =180°－2α=∠BDC 。 又∵∠EOB =∠DOF ，∴△EOB ∽△DOF 。∴
OE OB OE OD
，即。 ==
OD OF OB OF
∵∠EOD =∠BOF ，∴△EOD ∽△BOF 。∴∠EFB =∠EDO =α。 ∴∠EBF =180°－∠BEF －∠EFB =α=∠EFB 。∴EB =EF 。 （3） 延长AB 至G ，使AG =AE ，连接BE ，GE ，
180︒-∠A 180︒-(180︒-2α)==α。 则∠G =∠AEG =
22
∵AD ∥BC ，∴∠EDF =∠C =α，∠GBC =∠A ，∠DEB =∠EBC 。 ∴∠EDF =∠G 。∵∠BEF =∠A ，∴∠BEF =∠GBC 。 ∴∠
GBC
+
∠
EBC =∠DEB +∠BEF ，即∠EBG =∠FED 。 ∴△DEF ∽△GBE 。∴
EB BG
。∵AB =mDE ，AD =nDE ，∴AG =AE =（n +1）DE 。 =
EF DE
∴BG =AG －AB =（n +1）DE －mDE =（n +1－m ）DE 。 ∴
EB （n +1-m ）DE ==n+1-m 。 EF DE
6、（2013中考）将△ABC 绕点B 逆时针旋转α得到△DBE ，DE 的延长线与AC 相交于点F ，连接DA 、BF ． （1）如图1，若∠ABC =α=60°，BF =AF ．
①求证：DA ∥BC ；②猜想线段DF 、AF 的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图2，若∠ABC ＜α，BF =mAF （m 为常数），求
的值（用含m 、α的式子表示）．
（1）证明：①由旋转性质可知，∠DBE =∠ABC =60°，BD =AB ∴△ABD 为等边三角形， ∴∠DAB =60°， ∴∠DAB =∠ABC ， ∴DA ∥BC ． ②猜想：DF =2AF ．
证明：如答图1所示，在DF 上截取DG =AF ，连接BG ． 由旋转性质可知，DB =AB ，∠BDG =∠BAF ． ∵在△DBG 与△ABF 中，
∴△DBG ≌△ABF （SAS ）， ∴BG =BF ，∠DBG =∠ABF ． ∵∠DBG +∠GBE =α=60°，
∴∠GBE +∠ABF =60°，即∠GBF =α=60°， 又∵BG =BF ，
∴△BGF 为等边三角形， ∴GF =BF ，又BF =AF ， ∴GF =AF ．
∴DF =DG +GF =AF +AF =2AF ．
（2）解：如答图2所示，在DF 上截取DG =AF ，连接BG ． 由（1），同理可证明△DBG ≌△ABF ，BG =BF ，∠GBF =α． 过点B 作BN ⊥GF 于点N ，
∵BG =BF ，∴点N 为GF 中点，∠FBN =． 在Rt △BFN 中，NF =BF •sin ∠FBN =BFsin =mAFsin
．
∴GF =2NF =2mAFsin
∴DF =DG +GF =AF +2mAFsin ，
∴=1+2msin
．
7、（2014一模）如图1，△ABC 中，AB=AC，点D 在BC 上，点E 、F 分别在AD 和AD 的延长线上，且∠AEC=∠BAC ，BF ∥CE.
（1）求证：∠AFB 与∠BAC 互补；
（2）图1中是否存在与AF 相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；
（3）若将“AB=AC，点D 在BC 上，点E 、F 分别在AD 和AD 的延长线上”改为“AB=kAC，点D 在BC 的延长线上，点E 、F 分别在DA 和DA 的延长线上”，其他条件不变（如图2）. 若CE=1，BF=3，∠BAC=α，求AF 的长（用含k 、α的式子表示）.
B C D B 1
2
（1） 证明：如图①，
∵BF ∥CE ，
∴∠AFB =∠CEF ．
∵∠CEF 与∠AEC 互补，∠AEC =∠BAC ， ∴∠CEF 与∠BAC 互补． ∴∠AFB 与∠BAC 互补．……………………………………1分
（2）存在，CE=AF． ………………………………………2分
证明：如图①，在AF 上取一点G ，使AG =BF ．
∵∠AFB +∠BAC =180°=∠AFB+(∠BAF+∠CAF ) ， ∠AFB+∠ABF+∠BAF =180°， 第24题① ∴∠ABF =∠CAF ．……………………………………………3分 又∵AB=AC，
∴△ABF ≌△CAG ． …………………………………………4分 ∴AF=CG，∠AFB =∠CGA ． 又∵∠AFB =∠CEF ，
A
∴∠CGA =∠CEF ． …………………………………………5分
∴CE =CG ．
∴CE =AF ． ……………………………………………………6分 D B （3）解：如图②，作∠GBA =∠EAC ，点G 在DA 的延长线上． ∵∠AEC =∠BAC ， 第24题② ∴∠GAB =∠ECA ．……………………………………………7分
∴△G B A ∽△E A C ．………………………………………………………………………………8分
∴AG =AB =k ，∠B G A =∠A E C =∠B A C =α．…………………………………………………9分
CE
AC
∵BF ∥CE ，
∴∠BFG =180°－∠FEC=180°－α=∠BGF ，
∴B G =B F ．…………………………………………………………………………………………10分 作BH ⊥FG ，垂足为H ，则
A F =A G +G F =A G +2F H = k C E +2B F c o s ∠B F G = k +6c o s (180°－α) ．……………………………11分
9、（2014中考）如图1，△ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上，DE =DC ，点F 是DE 与AC 的交点，且DF =FE ．
（1）图1中是否存在与∠BDE 相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； （2）求证：BE =EC ；
（3）若将“点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上”和“点F 是DE 与AC 的交点，且DF =FE ”分别改为“点D 在AB 上，点E 在CB 的延长线上”和“点F 是ED 的延长线与AC 的交点，且DF =kFE ”，其他条件不变（如图2）．当AB =1，∠ABC =a 时，求BE 的长（用含k 、a 的式子表示）．
解：（1）∠DCA =∠BDE ． 证明：∵AB =AC ，DC =DE ， ∴∠ABC =∠ACB ，∠DEC =∠DCE ．
∴∠BDE =∠DEC ﹣∠DBC =∠DCE ﹣∠ACB =∠DC A ．（2）过点E 作EG ∥AC ，交AB 于点G ，如图1， 则有∠DAC =∠DGE ． 在△DCA 和△EDG 中，
∴△DCA ≌△EDG （AAS ）． ∴DA =EG ，CA =DG ． ∴DG =A B ． ∴DA =BG ．
∵AF ∥EG ，DF =EF ， ∴DA =AG ． ∴AG =BG ． ∵EG ∥AC ， ∴BE =E C ．
（3）过点E 作EG ∥AC ，交AB 的延长线于点G ，如图2， ∵AB =AC ，DC =DE ，
∴∠ABC =∠ACB ，∠DEC =∠DCE ．
∴∠BDE =∠DBC ﹣∠DEC =∠ACB ﹣∠DCE =∠DC A ． ∵AC ∥EG ， ∴∠DAC =∠DGE ． 在△DCA 和△EDG 中，
∴△DCA ≌△EDG （AAS ）． ∴DA =EG ，CA =DG ∴DG =AB =1． ∵AF ∥EG ， ∴△ADF ∽△GDE ． ∴
．
∵DF =kFE ，
∴DE =EF ﹣DF =（1﹣k ）EF ． ∴．
∴AD =．
∴GE =AD =
．
过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，如图2， ∵AB =AC ，AH ⊥BC ， ∴BH =CH ．∴BC =2BH ． ∵AB =1，∠ABC =α， ∴BH =AB •cos ∠ABH =cosα． ∴BC =2cosα．
∵AC ∥EG ， ∴△ABC ∽△GBE ． ∴．
∴
．
∴BE =．
∴BE 的长为．
8、（2014二模） 4、（2013一模）
证明：过点D 作CE 的平行线，交CB 的延长线于点G （如图1）．
∵DG ∥CE ，
∴∠BCE=∠DGB ． ……………………………………………………1分 ∵AB =AC ， ∴∠ABC=∠ACB ．
∵∠ABD 与∠ACE 互补， ∴∠ABD +∠ACB +∠BCE =180°． ∴∠ABD +∠ABC +∠DGB =180°．
即∠DGB =180°-（∠ABD +∠ABC ）=180°-∠DBC =∠DBG ． ………2分 ∴DG =DB ． ∵BD =CE ，
∴DG = CE．… …………………… ……………………………………3分 又∵∠DFG=∠EFC ，
∴△D F G ≌△E F C ．………………………………………………………………………………4
E
（第24题图1）
分
∴D F =F E ． …………………………………………………………………………………………5分 （2）猜想：D F =k E F ． ……………………………………………………………………………6分
证明：过点D 作CE 的平行线，交BC 于点G （如图2）． ∵DG ∥CE ，
∴∠DGF=∠FCE ． …………………………………………7分 ∵AB =AC ， ∴∠ABC=∠ACB ． ∵∠ACB +∠FCE +∠ACE =360°， ∴∠ABC +∠DGF +∠ACE =360°． 即∠ABD +∠DBG +∠DGF +∠ACE =360°， ∵∠ABD +∠ACE =180°， ∴∠DBG +∠DGF =180°．
即∠DBG =180°-∠DGF =∠DGB ． …………………………9分 ∴DG =DB ． ∵∠DFG=∠EFC ，
∴△DFG ∽△EFC ．…………………………………………10分 ∴DF =DG ．即DF =DB =kCE =k ． EF EC EF EC CE
∴DF =kEF ． ………………………………………………………………………………………11分
（第24题图2）
(2013一模
)
（1）证明：∵∠ABE =∠AEB ，
∴AB =AE ． ∵AG ⊥BE ，
∴B G =G E ． ……………………………………………………………………………1（2）猜想：C D =D F ．…………………………………………………………………2证明：如图①，作CP ⊥BD , 垂足为P ，作FQ ⊥BD ，交BD 延长线于点Q ． ∵∠ABC=∠PBC +∠ABG=90°=∠PBC +∠BCP ，
∴ ∠BCP = ∠ABG ． A
F 又∵∠BPC= ∠AGB=90° ，BC=AB， ∴△BCP ≌△ABG ．
∴ C P = B G ．…………………………………3分 D 同理F Q =G E ． ………………………………4分 P
∴C P =F Q ． …………………………………5分
E ∵∠CDP =∠FDQ ，∠DPC =∠DQF=90°，
B ∴ △DPC ≌△DQF ．
∴ C D =D F ．…………………………………6分
第25题图①
（3）如图②，作CP ⊥BD ，垂足为P ，连接AF ，交BD 于点Q ． ∵∠AED=180°－∠AEB=180°－135°=45°，∠AEF=90°， D ∴∠AED=∠FED =45°． ………………………7分 ∵AE=EF，
∴EQ ⊥AF ，AQ=QF．…………………………9分 ∴∠DQF=∠DPC =90°． ∴QF ∥PC ．
F ∴DF =QF ．……………………………………10分
DC
PC
B
C
由（2）知，CP=BQ．…………………………11分
∴DF AQ 第25题图②
DC BQ
=tan ∠ABE =tan α．
分分
∴DF=atan ．………………………………………………………………………12分