第32卷 第12期
2010年6月武 汉 理 工 大 学 学 报JOURNA L OF WUHAN UNIVERSIT Y OF TECHN OLOG Y Vol. 32 No. 12 J un. 2010DOI :10.3963/j. issn. 167124431. 2010. 12. 031
一种小世界网络上L 2SIRS 类疾病传播模型
周佳华1, 周双全2, 黄樟灿1
(1. 武汉理工大学理学院, 武汉430070;2. )
摘 要: L 2SIRS 模型, 利用平均场理论对疾病传播行为进行分析, , 并与不具有远程感染的传统SIRS 类疾病传播模型进行比较, 该文所, 结果表明, 远程感染的概率对疾病的传播具有重要的影响, 随着感染节点随机感染陌生节点概率的增大, 网络的传播阈值会逐渐减小直至消失。
关键词: 小世界网络; SIRS ; 传播临界值; 远程感染; 仿真
中图分类号: O 231. 5; N 945. 1文献标识码: A 文章编号:167124431(2010) 1220133204
Analyze of L 2SIRS Model in the Small 2world N et work
ZHO U Jia 2hua 1, ZHO U S huang 2quan 2, HUA N G Zhang 2can 1
(1. School of Sciences , Wuhan University of Technology , Wuhan 430070, China ;2. School of Electronic Engineering ,
Naval University of Engineering ,Wuhan 430033,China )
Abstract : In the model with the long 2distance in the small 2world network , The infected nodes not only infect their neigh 2bors but also infect other nodes with the certain probability. Base on this ,the L 2SIRS model which the infected nodes may con 2nect with the nodes which is not their neighbors , With the mean 2field theory analyzes the spread of the disease , it is easy to get the critical threshold of immunization. Then compare it with the traditional SIRS model , and simulate it with computer , the re 2sults show that the probability of long 2distance spread is very important to the spread of the disease , with the increasing of the probability of the infected nodes infect their strangers , the critical threshold will decrease until die away.
K ey w ords : small 2world network ; SIRS model ; critical threshold ; long 2distance ; simulation
20世纪末,Watts 和Strogatz 在规则的最近邻耦合网络和ER 随机图的基础上, 提出了更能体现真实网络的小世界模型(WS 模型) [1], 自此, 复杂网络理论迅速发展起来, 在复杂网络上来研究疾病的传播也越来越受关注。
流行病的研究已有较长的历史, 自1927年K ermack 与Mc K endrick 提出的仓储模型[2]到20世纪中叶的蓬勃发展[3], 对传染病的研究已提出了多种传播模型[4,5], 其中建立微分方程模型则是对传染病的流行规律进行研究的一种重要方法。在典型的传播模型中, 种群内的个体被抽象为几类, 每一类都处于一个典型的收稿日期:2010201230.
基金项目:国家天元基金(10726031) .
作者简介:周佳华(19852) , 女, 硕士生. E 2mail :jiahua0916@163. com
武 汉 理 工 大 学 学 报 2010年6月134
状态, 其基本状态包括:易感状态(susceptible ) 、感染状态(infected ) 、被移除状态(recovered ) 等, 并通过这些状态之间的不同转化过程来建立模型从而进行研究。如SI 模型[6],SIS 模型[7],SIR 模型[8]等。
传统的模型均是假定当人群中存在感染时, 所有的感染者都以一定的概率有可能被感染, 即假设所有人之间都存在接触, 显然, 这在一定程度上与现实不相符, 因为一个人不可能跟所有其他人都存在接触, 复杂网络上的传播动力学解决了这一问题:将人群抽象为网络的节点, 而边则代表了人群之间的联系, 只有存在联系的节点(熟人) 之间才能相互传染疾病, 而没有联系的节点(陌生人) 之间不会传染。如文献[9]是在复杂网络上建立手足口疾病的SEI (susceptible 2eclipse 2infected ) 模型来了解其传播的潜在机制, 文献[10]则在局域网内讨论了SIS 类疾病传播模型, 文献[11]研究的是小世界网络上流行病的传播, 文献[12]考虑了复杂网络上疾病传播的不同状态以及其间的传播机制。文献[13]研究了复杂网络上标准SIRS 模型的传播行为, 而文献[14]则是在文献[13]的基础上进一步考虑直接免疫。
然而, 实际生活中熟人(有边连接) 和陌生人(无边连接) , 因互相接触(比如在公共场合) , 从而变为熟人, 。针对这一情况, 文献[15]。改进的模型基于如下随机远程感染机制:, 对不存在边连接的陌生节点, , 也就是说, 患过该种病的个体在一定时间内将不再患病, 因此, 该文提出了一种小世界网络上考虑非邻居节点可能与感染节点发生接触的SIRS 模型, 称之为L 2SIRS 模型。并将该模型与传统的SIRS 传播模型进行了比较。
1 基本假设及疾病传播机制
假定节点总数固定不变, 考虑将节点分为易感S 、染病I 、具有免疫R 这3种状态且各状态的节点均匀混合, 在均匀网络中, 由于度高度峰化, 且其扰动很小, 于是将网络中各节点的度都近似为平均度, 即k i ≈。
设网络规模N →∞, 给定网络初始时处于各状
态的节点的比例S (0) 、I (0) 、R (0) , 在每个时间
步, 任意处于易感状态的节点若存在感染的邻居节
点, 则将以概率β被感染, 每个感染节点在网络中
以概率ω(称为陌生节点感染率) 随机感染一个陌
生节点, 同时感染节点以概率γ被治愈, 且在一定
时间内对该病毒具有免疫力, 而具有免疫力的节点
则以δ的概率失去免疫, 恢复为易感状态。整个过程如图1所示。
2 小世界网络上具有远程感染的SIRS 类疾病的数学模型
定义时刻t 网络中各状态节点密度为S t , I t , R t , 当t →∞时, 各状态的个体的稳态密度分别为S , I , R , 由以上讨论可得
d t
d t
d =-βI S =βI S =γI -δR -ωI +δR (1) +ωI -γI 由归一化条件S t +I t +R t =1可将式(1) 化成
=-βI S -ωI +1-S -I d t
d t =βI S +ωI -γI (2)
第32卷 第12期 周佳华, 周双全, 黄樟灿:一种小世界网络上L 2SIRS 类疾病传播模型 135 为了求得各状态节点的稳态密度, 令式(2) 右端等于0, 可求得其平衡点为
(S , I ) =(1, 0) 或(S , I ) =β, γ+
情形1 (S , I ) =(1, 0) , 这时式(2) 对应的Jacobi 矩阵为
-δ0J =-β-ω-δβ+ω- 当J =-δ(β+w -γ) >0, tr (J ) =-δ+β+w -γ
βω(S , I ) =(1, 0) 是方程的稳定平稳解。因此, 当βγ时, 系统稳定于解
1, 。
情形2 (S , I ) =β, 对应的矩阵为γ+
-γ+δJ =
+0
当J >0, k k >tr J γ
还取决于随机感染的概率ω, 与一般的不带随机远程感染的SIRS 模型相比, 传播临界值将减小γ, 而
γ时, λ且当ω→0。当ω=0时, 对应于文献[14]的SIRS 模型。c →
λ当λ
γωγγ, , 这时I =βγ+γ+, 与文献[14]中不带随机远程感染的
SIRS 模型相比, 稳态密度高了γ+。小世界网上的SIRS 模型的疾病传播阈值为λc =γ=
3 仿真实验
3. 1 仿真结果
取定参数γ=1, δ=0. 3, ω=0. 1, β=0. 5, 利用计算机可求得系
统(1) 的数值解如图2所示。
由图2可知, 随着时间的增加, 易感节点所占的比例先是逐渐减
小, 然后又逐渐增大, 最后趋于稳定, 而感染节点以及免疫节点所占的
比例均是先增大再减小然后趋于稳定, 这说明随着时间的发展, 疾病
的传播逐渐被控制。
取定参数N =5000, m =3, p =0. 5, 构造一个小世界网, 并在此
网络上来模拟L 2SIRS 类疾病的传播过程, 另外, 取定参数γ=1, δ=
0. 3, 取10个网络现实, 每个现实做25次传播, 然后取平均, 图3是将
ω=0. 1时由平均场理论所得出的结果与计算机所模拟的结果进行比较。图4表示ω取不同值时I 随λ的
) 。变化情况(因为γ=1, 所以λ=β
3. 2 仿真分析
图3对ω=0. 1时的理论值与仿真值进行了比较, 从图3上可以看出, 理论曲线与仿真曲线拟合得较好, 证明了理论结果的正确性。图4则描述了当ω取不同值时稳态密度随传染率的变化曲线, 由图4可知, 随着ω的增大, 疾病的传播临界值逐渐减小, 甚至消失, 说明远程感染的概率对疾病的传播具有重要作用, 控制远程感染概率是控制该类疾病传播的有效措施之一。当ω=0时即为不考虑远程感染的标准的SIRS 模型, 此时的临界值为1/6。
武 汉 理 工 大 学 学 报 2010年6月136
4 结 语
在传统的SIRS , , 对该类模型的性质进行了讨论:当ω=0时,
; 当ω∈(0, 1) 时, 其传播的临界阈值比传统模型小γ, 稳态密度比传统模型提高了γ。因此对于该类型的疾病传播, 控制其远程感染对控制疾病的传播具有重要影响; 推+
广到信息传播的类似网络, 提高其远程感染率可以提高信息传播的效率。
参考文献
[1] Watts D J ,Strogatz S H. Collective Dynamics of Small 2world Networks[J].Nature , 1998, 393(6684) :4402442.
[2] K ermack W O ,Mc K endrick A G. Contributions to the Mathematical Theory of Epidemics[J].Proc Roy S oc ,1927(A115) :
7002721.
[3] Bailey N T J. The Mathematical Theory of Infections Diseases and Its Applications[M ].Second Edition. New Y ork :Hafner
Press ,1975.
[4] Anderson R M , May R M. Infections Diseases of Humans ,Dynamic and Control[M ].Oxford :OxfordUniversity Press ,1992.
[5] Diekmann O , Heesterbeek J A P. Mathematical E pidemiology of Infectious Diseases[M ].New Y ork :[s. n. ],2000.
[6] Bai Wenjie , Zhou Tao , Wang Binghong. Immunization of Susceptible 2infected Model on Scale 2free Networks[J].Physica A ,
2009,384(2) :6562662.
[7] Pastor 2Satorras R , Vespignani A. Epidemic Dynamics and Endemic States in Complex Networks [J].Phys Rev E , 2001,
63(6) :662117.
[8] Ramani A , Carstea A S , Willox R , et al. Oscillating Epidemics :A Discrete 2time Model[J].Physica A ,2004,333(15) :2782
292.
[9] Parham P E , Singh B K , Ferguson N M . Analytic Approximation of Spatial Epidemic Models of Foot and Mouth Disease[J].
Theoretical Population Biology ,2008,73(3) :3492368.
[10] Xia C Y , Liu Z X , Chen Z Q , et al. Epidemic Spreading Behavior in Local 2world Evolving Networks[J].Progress in Natural
Science ,2008,18(6) :7632768.
[11] Han Xiaopu. Disease Spreading with Epidemic Alert on Small 2world Networks[J].Physics Letters A ,2007,365(1) :125.
[12] Naoki Masuda , Norio K onno. Multi 2state E pidemic Processes on Complex Networks [J].Journal of Theoretical Biology ,
2006,243(1) :64275.
[13] 李光正, 史定华. 复杂网络上SIRS 类疾病传播行为分析[J].自然科学进展,2006,16(4) :5082512.
[14] 夏承遗, 刘忠信, 陈增强, 等. 复杂网络上带有直接免疫的SIRS 类传染模型研究[J].控制与决策,2007,23(4) :4682
472.
[15] 吕 欣, 邓宏钟, 李 勇, 等. 一种具有随机远程感染机制的复杂网络SIS 传播模型[C]//第三届全国复杂网络会议论
文集. 上海:上海系统科学出版社,2006:2462251.
第32卷 第12期
2010年6月武 汉 理 工 大 学 学 报JOURNA L OF WUHAN UNIVERSIT Y OF TECHN OLOG Y Vol. 32 No. 12 J un. 2010DOI :10.3963/j. issn. 167124431. 2010. 12. 031
一种小世界网络上L 2SIRS 类疾病传播模型
周佳华1, 周双全2, 黄樟灿1
(1. 武汉理工大学理学院, 武汉430070;2. )
摘 要: L 2SIRS 模型, 利用平均场理论对疾病传播行为进行分析, , 并与不具有远程感染的传统SIRS 类疾病传播模型进行比较, 该文所, 结果表明, 远程感染的概率对疾病的传播具有重要的影响, 随着感染节点随机感染陌生节点概率的增大, 网络的传播阈值会逐渐减小直至消失。
关键词: 小世界网络; SIRS ; 传播临界值; 远程感染; 仿真
中图分类号: O 231. 5; N 945. 1文献标识码: A 文章编号:167124431(2010) 1220133204
Analyze of L 2SIRS Model in the Small 2world N et work
ZHO U Jia 2hua 1, ZHO U S huang 2quan 2, HUA N G Zhang 2can 1
(1. School of Sciences , Wuhan University of Technology , Wuhan 430070, China ;2. School of Electronic Engineering ,
Naval University of Engineering ,Wuhan 430033,China )
Abstract : In the model with the long 2distance in the small 2world network , The infected nodes not only infect their neigh 2bors but also infect other nodes with the certain probability. Base on this ,the L 2SIRS model which the infected nodes may con 2nect with the nodes which is not their neighbors , With the mean 2field theory analyzes the spread of the disease , it is easy to get the critical threshold of immunization. Then compare it with the traditional SIRS model , and simulate it with computer , the re 2sults show that the probability of long 2distance spread is very important to the spread of the disease , with the increasing of the probability of the infected nodes infect their strangers , the critical threshold will decrease until die away.
K ey w ords : small 2world network ; SIRS model ; critical threshold ; long 2distance ; simulation
20世纪末,Watts 和Strogatz 在规则的最近邻耦合网络和ER 随机图的基础上, 提出了更能体现真实网络的小世界模型(WS 模型) [1], 自此, 复杂网络理论迅速发展起来, 在复杂网络上来研究疾病的传播也越来越受关注。
流行病的研究已有较长的历史, 自1927年K ermack 与Mc K endrick 提出的仓储模型[2]到20世纪中叶的蓬勃发展[3], 对传染病的研究已提出了多种传播模型[4,5], 其中建立微分方程模型则是对传染病的流行规律进行研究的一种重要方法。在典型的传播模型中, 种群内的个体被抽象为几类, 每一类都处于一个典型的收稿日期:2010201230.
基金项目:国家天元基金(10726031) .
作者简介:周佳华(19852) , 女, 硕士生. E 2mail :jiahua0916@163. com
武 汉 理 工 大 学 学 报 2010年6月134
状态, 其基本状态包括:易感状态(susceptible ) 、感染状态(infected ) 、被移除状态(recovered ) 等, 并通过这些状态之间的不同转化过程来建立模型从而进行研究。如SI 模型[6],SIS 模型[7],SIR 模型[8]等。
传统的模型均是假定当人群中存在感染时, 所有的感染者都以一定的概率有可能被感染, 即假设所有人之间都存在接触, 显然, 这在一定程度上与现实不相符, 因为一个人不可能跟所有其他人都存在接触, 复杂网络上的传播动力学解决了这一问题:将人群抽象为网络的节点, 而边则代表了人群之间的联系, 只有存在联系的节点(熟人) 之间才能相互传染疾病, 而没有联系的节点(陌生人) 之间不会传染。如文献[9]是在复杂网络上建立手足口疾病的SEI (susceptible 2eclipse 2infected ) 模型来了解其传播的潜在机制, 文献[10]则在局域网内讨论了SIS 类疾病传播模型, 文献[11]研究的是小世界网络上流行病的传播, 文献[12]考虑了复杂网络上疾病传播的不同状态以及其间的传播机制。文献[13]研究了复杂网络上标准SIRS 模型的传播行为, 而文献[14]则是在文献[13]的基础上进一步考虑直接免疫。
然而, 实际生活中熟人(有边连接) 和陌生人(无边连接) , 因互相接触(比如在公共场合) , 从而变为熟人, 。针对这一情况, 文献[15]。改进的模型基于如下随机远程感染机制:, 对不存在边连接的陌生节点, , 也就是说, 患过该种病的个体在一定时间内将不再患病, 因此, 该文提出了一种小世界网络上考虑非邻居节点可能与感染节点发生接触的SIRS 模型, 称之为L 2SIRS 模型。并将该模型与传统的SIRS 传播模型进行了比较。
1 基本假设及疾病传播机制
假定节点总数固定不变, 考虑将节点分为易感S 、染病I 、具有免疫R 这3种状态且各状态的节点均匀混合, 在均匀网络中, 由于度高度峰化, 且其扰动很小, 于是将网络中各节点的度都近似为平均度, 即k i ≈。
设网络规模N →∞, 给定网络初始时处于各状
态的节点的比例S (0) 、I (0) 、R (0) , 在每个时间
步, 任意处于易感状态的节点若存在感染的邻居节
点, 则将以概率β被感染, 每个感染节点在网络中
以概率ω(称为陌生节点感染率) 随机感染一个陌
生节点, 同时感染节点以概率γ被治愈, 且在一定
时间内对该病毒具有免疫力, 而具有免疫力的节点
则以δ的概率失去免疫, 恢复为易感状态。整个过程如图1所示。
2 小世界网络上具有远程感染的SIRS 类疾病的数学模型
定义时刻t 网络中各状态节点密度为S t , I t , R t , 当t →∞时, 各状态的个体的稳态密度分别为S , I , R , 由以上讨论可得
d t
d t
d =-βI S =βI S =γI -δR -ωI +δR (1) +ωI -γI 由归一化条件S t +I t +R t =1可将式(1) 化成
=-βI S -ωI +1-S -I d t
d t =βI S +ωI -γI (2)
第32卷 第12期 周佳华, 周双全, 黄樟灿:一种小世界网络上L 2SIRS 类疾病传播模型 135 为了求得各状态节点的稳态密度, 令式(2) 右端等于0, 可求得其平衡点为
(S , I ) =(1, 0) 或(S , I ) =β, γ+
情形1 (S , I ) =(1, 0) , 这时式(2) 对应的Jacobi 矩阵为
-δ0J =-β-ω-δβ+ω- 当J =-δ(β+w -γ) >0, tr (J ) =-δ+β+w -γ
βω(S , I ) =(1, 0) 是方程的稳定平稳解。因此, 当βγ时, 系统稳定于解
1, 。
情形2 (S , I ) =β, 对应的矩阵为γ+
-γ+δJ =
+0
当J >0, k k >tr J γ
还取决于随机感染的概率ω, 与一般的不带随机远程感染的SIRS 模型相比, 传播临界值将减小γ, 而
γ时, λ且当ω→0。当ω=0时, 对应于文献[14]的SIRS 模型。c →
λ当λ
γωγγ, , 这时I =βγ+γ+, 与文献[14]中不带随机远程感染的
SIRS 模型相比, 稳态密度高了γ+。小世界网上的SIRS 模型的疾病传播阈值为λc =γ=
3 仿真实验
3. 1 仿真结果
取定参数γ=1, δ=0. 3, ω=0. 1, β=0. 5, 利用计算机可求得系
统(1) 的数值解如图2所示。
由图2可知, 随着时间的增加, 易感节点所占的比例先是逐渐减
小, 然后又逐渐增大, 最后趋于稳定, 而感染节点以及免疫节点所占的
比例均是先增大再减小然后趋于稳定, 这说明随着时间的发展, 疾病
的传播逐渐被控制。
取定参数N =5000, m =3, p =0. 5, 构造一个小世界网, 并在此
网络上来模拟L 2SIRS 类疾病的传播过程, 另外, 取定参数γ=1, δ=
0. 3, 取10个网络现实, 每个现实做25次传播, 然后取平均, 图3是将
ω=0. 1时由平均场理论所得出的结果与计算机所模拟的结果进行比较。图4表示ω取不同值时I 随λ的
) 。变化情况(因为γ=1, 所以λ=β
3. 2 仿真分析
图3对ω=0. 1时的理论值与仿真值进行了比较, 从图3上可以看出, 理论曲线与仿真曲线拟合得较好, 证明了理论结果的正确性。图4则描述了当ω取不同值时稳态密度随传染率的变化曲线, 由图4可知, 随着ω的增大, 疾病的传播临界值逐渐减小, 甚至消失, 说明远程感染的概率对疾病的传播具有重要作用, 控制远程感染概率是控制该类疾病传播的有效措施之一。当ω=0时即为不考虑远程感染的标准的SIRS 模型, 此时的临界值为1/6。
武 汉 理 工 大 学 学 报 2010年6月136
4 结 语
在传统的SIRS , , 对该类模型的性质进行了讨论:当ω=0时,
; 当ω∈(0, 1) 时, 其传播的临界阈值比传统模型小γ, 稳态密度比传统模型提高了γ。因此对于该类型的疾病传播, 控制其远程感染对控制疾病的传播具有重要影响; 推+
广到信息传播的类似网络, 提高其远程感染率可以提高信息传播的效率。
参考文献
[1] Watts D J ,Strogatz S H. Collective Dynamics of Small 2world Networks[J].Nature , 1998, 393(6684) :4402442.
[2] K ermack W O ,Mc K endrick A G. Contributions to the Mathematical Theory of Epidemics[J].Proc Roy S oc ,1927(A115) :
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2009,384(2) :6562662.
[7] Pastor 2Satorras R , Vespignani A. Epidemic Dynamics and Endemic States in Complex Networks [J].Phys Rev E , 2001,
63(6) :662117.
[8] Ramani A , Carstea A S , Willox R , et al. Oscillating Epidemics :A Discrete 2time Model[J].Physica A ,2004,333(15) :2782
292.
[9] Parham P E , Singh B K , Ferguson N M . Analytic Approximation of Spatial Epidemic Models of Foot and Mouth Disease[J].
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Science ,2008,18(6) :7632768.
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2006,243(1) :64275.
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[14] 夏承遗, 刘忠信, 陈增强, 等. 复杂网络上带有直接免疫的SIRS 类传染模型研究[J].控制与决策,2007,23(4) :4682
472.
[15] 吕 欣, 邓宏钟, 李 勇, 等. 一种具有随机远程感染机制的复杂网络SIS 传播模型[C]//第三届全国复杂网络会议论
文集. 上海:上海系统科学出版社,2006:2462251.