包饺子的学问
饺子是我们中华民族极具代表性的传统美食，你一定也喜欢吃，但你会包饺子吗？你是否会想到，包饺子里面也蕴含着数学知识呢？
当包饺子的过程将要进行到最后的时候，经常会遇到这样的问题，即和好的饺子面与拌好的饺子馅儿的量的比例不一致，不是面多一点，就是馅儿多一点。即剩余的饺子面不能恰好包完剩余的饺子馅。这时解决办法根据具体情况的不同而有所不同，比如，当面与馅这两者量的差距较大时，可将多余的面或馅暂时保存，以后再用。如果剩余的馅太多时，也可临时再和一块面继续包，但有时也会遇到这样的一种情况，当面和馅儿都还没有用完，而两者剩余的量也都不是太大时，假如根据经验，已经预测到和好的饺子面比拌好的饺子馅稍微少一点，这时，为了避免将馅剩下后的麻烦，有经验的人便会说：“将饺子剂儿做得稍微大一点儿，不然就会剩下馅了。”打从我会包饺子的时候起，每遇到此种情况，我的母亲便会这样说，并且把饺子剂儿做大了之后，多数情况下都能使面和馅的量恰好一致。我一直觉得很奇怪，为什么会有这样的效果呢？把饺子剂做大了之后，的确包的饺子个儿也大了，每个饺子包的馅当然也多了，可是包每个饺子的面用得也多了呀，怎么会用同样的面却包进了更多的馅儿呢？后来，还是在我成为了数学老师以后，我才终于弄明白了其中的道理，下面就请你和我一起来研究一下这个问题。
我们知道，饺子的形状是不规则的，为了更方便说明问题，我们从正方体说起。设有两个正方体A和B，正方体A的棱长为1，正方体B的棱长为2，又设正方体的表面积和体积分别为SA、VA；正方体B的表面积和体积分别为SB、VB，则SA=6，VA=1，SB=12，VB=22， SB：SA=12:6=2，而VB：VA=2：1=22>2，这个结论说明了什么道理呢？它说明了这样一个事实，当一个大正方体的表面积是另一个小正方体表面积的2倍时，大正方体的体积大于小正方体体积的2倍。
让我们来看一下一般性的结论，设小正方体的边长为a，大正方体的边长为ak（k>1），
23那么小正方体的表面积和体积分别为：S小=6a,V小=a；大正方体的表面积和体积分别为S大
[1**********]3=6ak，V大=ak。所以，S大：S小=6ak：6a=k，V大：V小=ak：a=k，即当一个正方体的棱
23长增大到原来的k倍时，其表面积增大到原来的k倍，而体积则增大到原来的k倍。
那么将正方体换成别的形状又如何呢？我们再以球体为例来研究一下同样的问题，首先我
43要告诉你的是，球体的表面积的计算公式为S球=4πr，球体的体积的计算公式为V球=πr，32
其中r为球体的半径。设A、B两个球体的半径分别为1和2，则A球体的表面积和体积
4422分别为SA=4π，VA=π；B球体的表面积和体积分别为SB=4π（）=8π，VB=π（2）33
382824=π，所以SB：SA=8π：4π=2，VB：VA=π：π=22，与正方体的情况相同，333
即当一个球体的表面积增大到原来的2倍时，球体的体积增大到原来的22倍，同理可得当一个大球的表面积是小球表面积的k2倍时，大球的体积是小球体积的k3倍。
事实上，对于大小不同的任意形状的两个相似物体（注意：“相似”这个条件很关键），都有下面的结论成立：若较大的物体的表面积是较小的物体的表面积的k2倍，则较大的物体的体积是较小物体的体积的k3倍。
利用这一结论，我们就可以解释，在包饺子时，对于体积一定的一大块面，为什么把饺子剂做得大一些，便可以包更多的馅儿了。假如两个大小不同的饺子剂中，大饺子剂是小饺子剂体积的2倍，在饺子皮擀得厚薄程度相同的前提下，用大饺子剂所擀的饺子皮的面积是用小饺子剂所擀的饺子皮面积的2倍，而当把它们都包成形状相同的饺子时，显然，大饺子的表面积是小饺子表面积的2倍。由上面所研究的结论可知，大饺子的体积是小饺子体积的22倍，即包大饺子所用的面虽然比包小饺子的面多用了一倍，但它包住的饺子馅却多了一倍以上！原来如此！这时我忽然对母亲能有这样的经验感到非常敬佩！虽然她并没有也不会像我这样进行理论上的推导和证明，但在多年的实践中，她早已认识和掌握了这其中的规律。
其实我再给你打个比方，可以让你更加直观地理
解包大个饺子省面的道理。假如我们包的饺子都是正
方体的形状，我们可以将8个同样大小的正方体饺子
摆成一个较大的正方体，如图（a），若再包一个和图
（a）中的大正方体的形状、大小都一样的饺子，如
图（b），如果饺子皮的厚度忽略不计的话，显然，图（a）和图（b）中的两个大正方体饺子都包了同样多的馅，但由于图（a）中这个大正方体饺子的内部还包含了一些饺子皮，所以可知，包的饺子个越大，则越省饺子皮。由此我们还可以解释包子铺里卖的包子，为什么不肯做得更大一些。我认为，除了其他因素外，最重要的原因是，包子个儿越小，则越省包子馅儿，而一般来说，包子馅儿的单价远远超过包子皮的单价，这样可以最大限度地提高利润。
接下来我们再来说说买西瓜的问题。买西瓜时，我们当然希望在重量一定的前提下，西瓜皮越少越好。由上面研究得出的结论不难推出，若不考虑其他因素，且西瓜皮厚度相同的前提下，大个西瓜比小个西瓜中西瓜皮所占的比例会更少一些。假如我们把西瓜看作是标准的球形，若大小两个西瓜的半径分别为20cm和10cm，因为大西瓜的半径是小西瓜半径的2倍，由球体的表面积和体积的计算公式可知，大西瓜的表面积是小西瓜表面积的4倍，而大西瓜的体积却是小西瓜体积的8倍。设一个小西瓜的表面积为S，则一个大西瓜的表面积为4S，但总重量与其相同的8个小西瓜的表面积之和却是8S，是一个大西瓜表面积的2倍！
其实，在上面的计算中，我们还把西瓜皮的厚度忽略不计了。如果要再考虑上西瓜皮的厚度，那么买大西瓜就更合算了。设上面所说的大小两个西瓜皮的厚度均为1cm，西瓜皮和
4193d193()；而小西瓜西瓜瓤的比重均为d，则大西瓜中西瓜瓤所占的比例为：420320d3
493d9319393()()>()，即大西瓜中西瓜瓤中西瓜瓤所占的比例为：，显然，102010103d3
所占的比例较大。
一般情况下，设西瓜的半径为r，西瓜皮的厚度为a，易知，西瓜瓤占整个西瓜的重量
ra3a3aa311比为：（）=（）。当西瓜皮的厚度a一定时，r越大，则越小，（）
rrrr
aa31就越大；而当西瓜的半径r一定时，a越大，越大，（）就越小。这回你知道我为rr
什么在买西瓜的时候，在其他条件相同的条件下，专拣大个西瓜买了吧。玩数学的就是会精打细算，只要条件允许和可能，干什么事情都要追求利益的最大化。
利用上面研究得出的结论，我们还可以解释灰尘漂浮在空中的现象。我们知道，灰尘就是土或沙子的微小颗粒。虽然它们的个头很小，但其实它们的比重与大的土块或沙子的比重是相同的，也远大于空气的比重，但为什么较大的沙子等不会在空中停留太久，而灰尘却能够在空中停留较长的时间呢？下面我们通过计算来说明这其中的道理，为方便计算起见，我们不妨仍假设每一粒灰尘的形状均为球形，那么每个在空中的小灰尘球在地面上的正投影都是一个与灰尘球的半径大小一样的圆。设这个圆的面积为S，我们可以想象成这个灰尘球压在面积为S的空气面上。显然，这个灰尘球在这个空气面上的压强越大，则这个灰尘球越
43容易掉下来。假设灰尘球的半径为r，比重为d，则它的重量为：W=πrd，而托住这个灰3
4r3d42尘球的空气面的面积为：S=πr，所以，灰尘球对这个空气面的压强为：=rd，2r3
4这里的、d都是常数，显然，r越大，压强也越大，即当r越大时，空气越不容易托住这3
个小球。正是因为有了空气的阻力，才使得半径越小的灰尘球越不容易掉下来。再加上空气的流动，显得很轻的灰尘便会四处漂浮，不易落到地面。
由此，我们还可以讨论一下伽利略在比萨斜塔上所做的那个举世闻名的物理实验。十七世纪意大利伟大的科学家伽利略，站在比萨斜塔上，让两个大小不同的铁球从同一个高度同时落下，两个铁球同时着地的事实，推翻了古希腊哲学家亚里士多德所做出的错误结论。伽利略的这种不迷信权威、勇敢挑战，捍卫真理，认真求实的精神，成为了后人学习的榜样。这次试验也成为人们广为传颂的一段佳话。但我现在要说的是，伽利略当时的试验当中，那两个铁球肯定没有同时着地。因为根据物理学原理，这两个铁球同时着地的现象，只有在真空的状态下才会出现，但据我所知，他那次试验是在空气中做的，根据我们前面的计算，由于大小不同的两个铁球在下落的过程中，单位体积的铁球所受到的空气阻力不同，所以它们是不会同时着地的。大球应该稍快一点，只不过由于两个铁球大小的差距不是太大，下落的高度又不是太高，另外空气对它们的阻力与它们的重量相比又实在是微乎其微，而且又没有用精密的仪器来测量，所以两个铁球先后落地的那一点点简直可以忽略不计的差距，仅凭人的肉眼是根本看不出来的罢了。
你看，咱们从包饺子的过程中所引发出来的一个小问题，不但解释了生活中的许多现象，而且还和大科学家联系上了！看来，遇到问题要多问几个为什么，没准儿你也许会成为人类历史上伟大的科学家呢。
包饺子的学问
饺子是我们中华民族极具代表性的传统美食，你一定也喜欢吃，但你会包饺子吗？你是否会想到，包饺子里面也蕴含着数学知识呢？
当包饺子的过程将要进行到最后的时候，经常会遇到这样的问题，即和好的饺子面与拌好的饺子馅儿的量的比例不一致，不是面多一点，就是馅儿多一点。即剩余的饺子面不能恰好包完剩余的饺子馅。这时解决办法根据具体情况的不同而有所不同，比如，当面与馅这两者量的差距较大时，可将多余的面或馅暂时保存，以后再用。如果剩余的馅太多时，也可临时再和一块面继续包，但有时也会遇到这样的一种情况，当面和馅儿都还没有用完，而两者剩余的量也都不是太大时，假如根据经验，已经预测到和好的饺子面比拌好的饺子馅稍微少一点，这时，为了避免将馅剩下后的麻烦，有经验的人便会说：“将饺子剂儿做得稍微大一点儿，不然就会剩下馅了。”打从我会包饺子的时候起，每遇到此种情况，我的母亲便会这样说，并且把饺子剂儿做大了之后，多数情况下都能使面和馅的量恰好一致。我一直觉得很奇怪，为什么会有这样的效果呢？把饺子剂做大了之后，的确包的饺子个儿也大了，每个饺子包的馅当然也多了，可是包每个饺子的面用得也多了呀，怎么会用同样的面却包进了更多的馅儿呢？后来，还是在我成为了数学老师以后，我才终于弄明白了其中的道理，下面就请你和我一起来研究一下这个问题。
我们知道，饺子的形状是不规则的，为了更方便说明问题，我们从正方体说起。设有两个正方体A和B，正方体A的棱长为1，正方体B的棱长为2，又设正方体的表面积和体积分别为SA、VA；正方体B的表面积和体积分别为SB、VB，则SA=6，VA=1，SB=12，VB=22， SB：SA=12:6=2，而VB：VA=2：1=22>2，这个结论说明了什么道理呢？它说明了这样一个事实，当一个大正方体的表面积是另一个小正方体表面积的2倍时，大正方体的体积大于小正方体体积的2倍。
让我们来看一下一般性的结论，设小正方体的边长为a，大正方体的边长为ak（k>1），
23那么小正方体的表面积和体积分别为：S小=6a,V小=a；大正方体的表面积和体积分别为S大
[1**********]3=6ak，V大=ak。所以，S大：S小=6ak：6a=k，V大：V小=ak：a=k，即当一个正方体的棱
23长增大到原来的k倍时，其表面积增大到原来的k倍，而体积则增大到原来的k倍。
那么将正方体换成别的形状又如何呢？我们再以球体为例来研究一下同样的问题，首先我
43要告诉你的是，球体的表面积的计算公式为S球=4πr，球体的体积的计算公式为V球=πr，32
其中r为球体的半径。设A、B两个球体的半径分别为1和2，则A球体的表面积和体积
4422分别为SA=4π，VA=π；B球体的表面积和体积分别为SB=4π（）=8π，VB=π（2）33
382824=π，所以SB：SA=8π：4π=2，VB：VA=π：π=22，与正方体的情况相同，333
即当一个球体的表面积增大到原来的2倍时，球体的体积增大到原来的22倍，同理可得当一个大球的表面积是小球表面积的k2倍时，大球的体积是小球体积的k3倍。
事实上，对于大小不同的任意形状的两个相似物体（注意：“相似”这个条件很关键），都有下面的结论成立：若较大的物体的表面积是较小的物体的表面积的k2倍，则较大的物体的体积是较小物体的体积的k3倍。
利用这一结论，我们就可以解释，在包饺子时，对于体积一定的一大块面，为什么把饺子剂做得大一些，便可以包更多的馅儿了。假如两个大小不同的饺子剂中，大饺子剂是小饺子剂体积的2倍，在饺子皮擀得厚薄程度相同的前提下，用大饺子剂所擀的饺子皮的面积是用小饺子剂所擀的饺子皮面积的2倍，而当把它们都包成形状相同的饺子时，显然，大饺子的表面积是小饺子表面积的2倍。由上面所研究的结论可知，大饺子的体积是小饺子体积的22倍，即包大饺子所用的面虽然比包小饺子的面多用了一倍，但它包住的饺子馅却多了一倍以上！原来如此！这时我忽然对母亲能有这样的经验感到非常敬佩！虽然她并没有也不会像我这样进行理论上的推导和证明，但在多年的实践中，她早已认识和掌握了这其中的规律。
其实我再给你打个比方，可以让你更加直观地理
解包大个饺子省面的道理。假如我们包的饺子都是正
方体的形状，我们可以将8个同样大小的正方体饺子
摆成一个较大的正方体，如图（a），若再包一个和图
（a）中的大正方体的形状、大小都一样的饺子，如
图（b），如果饺子皮的厚度忽略不计的话，显然，图（a）和图（b）中的两个大正方体饺子都包了同样多的馅，但由于图（a）中这个大正方体饺子的内部还包含了一些饺子皮，所以可知，包的饺子个越大，则越省饺子皮。由此我们还可以解释包子铺里卖的包子，为什么不肯做得更大一些。我认为，除了其他因素外，最重要的原因是，包子个儿越小，则越省包子馅儿，而一般来说，包子馅儿的单价远远超过包子皮的单价，这样可以最大限度地提高利润。
接下来我们再来说说买西瓜的问题。买西瓜时，我们当然希望在重量一定的前提下，西瓜皮越少越好。由上面研究得出的结论不难推出，若不考虑其他因素，且西瓜皮厚度相同的前提下，大个西瓜比小个西瓜中西瓜皮所占的比例会更少一些。假如我们把西瓜看作是标准的球形，若大小两个西瓜的半径分别为20cm和10cm，因为大西瓜的半径是小西瓜半径的2倍，由球体的表面积和体积的计算公式可知，大西瓜的表面积是小西瓜表面积的4倍，而大西瓜的体积却是小西瓜体积的8倍。设一个小西瓜的表面积为S，则一个大西瓜的表面积为4S，但总重量与其相同的8个小西瓜的表面积之和却是8S，是一个大西瓜表面积的2倍！
其实，在上面的计算中，我们还把西瓜皮的厚度忽略不计了。如果要再考虑上西瓜皮的厚度，那么买大西瓜就更合算了。设上面所说的大小两个西瓜皮的厚度均为1cm，西瓜皮和
4193d193()；而小西瓜西瓜瓤的比重均为d，则大西瓜中西瓜瓤所占的比例为：420320d3
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所占的比例较大。
一般情况下，设西瓜的半径为r，西瓜皮的厚度为a，易知，西瓜瓤占整个西瓜的重量
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什么在买西瓜的时候，在其他条件相同的条件下，专拣大个西瓜买了吧。玩数学的就是会精打细算，只要条件允许和可能，干什么事情都要追求利益的最大化。
利用上面研究得出的结论，我们还可以解释灰尘漂浮在空中的现象。我们知道，灰尘就是土或沙子的微小颗粒。虽然它们的个头很小，但其实它们的比重与大的土块或沙子的比重是相同的，也远大于空气的比重，但为什么较大的沙子等不会在空中停留太久，而灰尘却能够在空中停留较长的时间呢？下面我们通过计算来说明这其中的道理，为方便计算起见，我们不妨仍假设每一粒灰尘的形状均为球形，那么每个在空中的小灰尘球在地面上的正投影都是一个与灰尘球的半径大小一样的圆。设这个圆的面积为S，我们可以想象成这个灰尘球压在面积为S的空气面上。显然，这个灰尘球在这个空气面上的压强越大，则这个灰尘球越
43容易掉下来。假设灰尘球的半径为r，比重为d，则它的重量为：W=πrd，而托住这个灰3
4r3d42尘球的空气面的面积为：S=πr，所以，灰尘球对这个空气面的压强为：=rd，2r3
4这里的、d都是常数，显然，r越大，压强也越大，即当r越大时，空气越不容易托住这3
个小球。正是因为有了空气的阻力，才使得半径越小的灰尘球越不容易掉下来。再加上空气的流动，显得很轻的灰尘便会四处漂浮，不易落到地面。
由此，我们还可以讨论一下伽利略在比萨斜塔上所做的那个举世闻名的物理实验。十七世纪意大利伟大的科学家伽利略，站在比萨斜塔上，让两个大小不同的铁球从同一个高度同时落下，两个铁球同时着地的事实，推翻了古希腊哲学家亚里士多德所做出的错误结论。伽利略的这种不迷信权威、勇敢挑战，捍卫真理，认真求实的精神，成为了后人学习的榜样。这次试验也成为人们广为传颂的一段佳话。但我现在要说的是，伽利略当时的试验当中，那两个铁球肯定没有同时着地。因为根据物理学原理，这两个铁球同时着地的现象，只有在真空的状态下才会出现，但据我所知，他那次试验是在空气中做的，根据我们前面的计算，由于大小不同的两个铁球在下落的过程中，单位体积的铁球所受到的空气阻力不同，所以它们是不会同时着地的。大球应该稍快一点，只不过由于两个铁球大小的差距不是太大，下落的高度又不是太高，另外空气对它们的阻力与它们的重量相比又实在是微乎其微，而且又没有用精密的仪器来测量，所以两个铁球先后落地的那一点点简直可以忽略不计的差距，仅凭人的肉眼是根本看不出来的罢了。
你看，咱们从包饺子的过程中所引发出来的一个小问题，不但解释了生活中的许多现象，而且还和大科学家联系上了！看来，遇到问题要多问几个为什么，没准儿你也许会成为人类历史上伟大的科学家呢。