探讨等效法在匀强电场中竖直面圆周运动的应用
王 强
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。那么，如何实现这一思想方法呢？
首先我们明确一下等效法，等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理现象、物理过程来研究和处理的一种科学思想方法。它是物理学研究的一种重要方法。在中学物理中，合力与分力、合运动与分运动、总电阻与分电阻、平均值、有效值等，都是根据等效概念引入的。常见的等效法有“分解”、“合成”、等效类比、等效替换、等效变换, 等效简化等，从而化繁为简、化难为易。匀强电场有许多性质与重力场非常相似，所以在有些电场问题解题的过程中，可以将电场与重力场加以比较，将匀强电场等效类比为重力场中熟悉的模型问题。今天我们将用此方法研究带电物体在匀强电场中的运动。
一、寻找竖直面内圆周运动“等效最低点”方法
1、在只有重力场的情况最低点是速度最大位置即动能最大，重力做正功最多，重力势能最小动能最大。当既有重力场和匀强电场时，合场也是恒定不变的，与重力场类似。所以可以把重力和电场力合成，求出合把这个合力等效成重力，我们把该合力称之为等效重力，此时相当于只有等效重力作用 ，那么运动过程中沿着等效重力的方向，合力做正功最多，则势能最少的地点则为等效最低点。
2、 受力平衡，最低点可以静止
在重力场中当物体处于静止和平衡时一点在最低点，且此时重力作用线与绳子拉力在一条线且沿半径背向圆心，如图1所示。当物体静止时，图
示位置即为最低点。带电粒子在复合场中做圆周运动的过程中与只有重力
场类似，由于电场重力场恒，所以合力是恒定的，因此当物体静止时一定
是平衡，此时等效重力的方向也应该和绳子的拉力在一条直线上，且也沿
半径背向圆心。把我以上特点在匀强电场中寻找等效最低点方便快捷，从图1 而使复杂问题简单化。
例 1 、如图2 在水平向左的匀强电场中，有一质量为m 带正电的小球， 用长为L 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球所受到的电场力与重力大小相等，现给小球一个垂直于细线的初速度，使小球恰能在竖直面内做圆周运动．试问：小球在做圆 周运动的过程中，哪一位置速度最大． 解析 由于已经知道了重力
与电场力大小相等， 又已知小球
带正电，根据小球在复合场中的特
点， 则可以根据平行四边形定则
( 如图3) 得出等效重力的方向，
与竖直方向成 4 5度角． 由此很
容易就知道速度最大的位置在绳 图 2 图 3 图 4 子与竖直方向成 4 5度角的位置． ( 如图4 )
二、寻找竖直面内圆周运动“物理最高点”方法
1、 在只有重力场的情况，最高点是速度最小的位置， 重力势能最大．当既有重力场和匀强电场时， 合场也是恒定不变的， 与重力场类似． 所以可以把重力和电场力合成， 求出合把这个合力等效成重力，我们把该合力称之为等效重力，此时相当于只有等效重力作用 ，那么运动过程中从最低点到最高点等效重力做负功最多且是能最大位置应为等效最高点。
2、最高点受力特点，最高点不能静止，在重力场中最高点重力与绳子作用力在一条直线且重力作用线沿半径指向圆心，类比重力场，带电粒子在复合场中做圆周运动的过程中与只有重力场类似，由于电场重力场恒，所以合力是恒定的，因此当物体在最高点是，等效重力的方向也应该和绳子的拉力在一条直线上，且也沿半径指向圆心。
例2、水平向右的匀强电场中，用长为R 的轻质细线在O 点悬挂
一质量为m 的带电小球，静止在A 处，AO 的连线与竖直方向夹角为370，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V 0小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初
速度V 0至少应为多大？
解析：解决此题首先要明白物理最高点和最低点以及能做完整周运动的条件，根据竖直面内圆周的条件是在最高点的速度V ≥g R ，在这里我们首先要找到等效重力加速度和物理做高点，然后用动能定理求解。根据受力特点和几何关系不难找出物理最高点
为B 点，物理最低点为A 点，等效重力方向与竖直方向成37度角如图5所示。
3
解：静止时对球受力分析如右图: 且F=mgtg370=4mg,
5 “等效”场力G ’
4mg 与T 反向
5
“等效”场加速度g ’=4g
与重力场相类比可知: 小球能在竖直面内完成圆周运动的临界
速度位置在AO 连线B 处, 且最小的V B =g ' R
11
从B 到A 运用动能定理: G’2R=2m V0 2-- 2m V B 2
5115
4mg2R=2m V0 2-- 2m 4gR
5
V0 =2gR
例3
如图，水平放置的平行金属板间有匀强电场，一根长
的绝缘细绳一端固定在点，另一端系有质量为
的带电小球，小球原来静止在点，当给小球一个水平速度后，它可以在竖直
面内绕点做匀速圆周运动。若将两板间的电压增大为原来的3倍，求：要使小球从点开始
在竖直面内绕点做圆周运动，至少要给小球多大的水平速度？在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大？
解析：只有当小球所受的合外力始终沿半径指向圆心时，它才可以在竖直面内做匀速圆周
运动，对小球经过最右端瞬间分析可知，小球所受电场力必须和重力平衡，即
竖直向上。
金属板间的电压增大为原来的3倍时，有
等效重力大小为小球自由时只有在最高点
，方向，方向仍竖直向上，则小球的，方向竖直向上，其中。
才可能处于稳定平衡状态，因此为等效“最低点”，相应地
为等效“最高点”。小球要完成竖直面内的圆周运动，应有
对小球从运动到的过程应用动能定理
解得：
小球运动到等效“最低点”
由向心力公式可得：
所以 时，绳中拉力最大。
通过例题分析进一步明确了等效最低点和几何最低点的区别。等效
“最低点”不一定是几何最低点，相反甚至可以出现在几何最高点，解题过程中一定要细心分析、仔细辨别。
总之由于恒定电场与重力场在性质上相似，运用等效法将电场、重力场等效为重力场，联想重力场中熟悉的模型，运用对应的规律，使电场问题得以简化。合理运用等效法解题，能将问题化繁为简、化生为熟、化难为易，这不仅能提高学生的解题速度，而且还有助于学生理解能力、应变能力和创造能力的培养。但要注意“等效”并非指事物的各个方面效果都相同，而是强调某一方面的效果。因此一定要明确不同事物在什么条件、什么范围、什么方面等效。通常可以考虑对下列因素进行等效替代：研究对象、物理模型、物理状态、物理过程、物理作用等。这里只介绍了物理模型等效替代，且局限于带电粒子在匀强电场中运动的问题。
探讨等效法在匀强电场中竖直面圆周运动的应用
王 强
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。那么，如何实现这一思想方法呢？
首先我们明确一下等效法，等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理现象、物理过程来研究和处理的一种科学思想方法。它是物理学研究的一种重要方法。在中学物理中，合力与分力、合运动与分运动、总电阻与分电阻、平均值、有效值等，都是根据等效概念引入的。常见的等效法有“分解”、“合成”、等效类比、等效替换、等效变换, 等效简化等，从而化繁为简、化难为易。匀强电场有许多性质与重力场非常相似，所以在有些电场问题解题的过程中，可以将电场与重力场加以比较，将匀强电场等效类比为重力场中熟悉的模型问题。今天我们将用此方法研究带电物体在匀强电场中的运动。
一、寻找竖直面内圆周运动“等效最低点”方法
1、在只有重力场的情况最低点是速度最大位置即动能最大，重力做正功最多，重力势能最小动能最大。当既有重力场和匀强电场时，合场也是恒定不变的，与重力场类似。所以可以把重力和电场力合成，求出合把这个合力等效成重力，我们把该合力称之为等效重力，此时相当于只有等效重力作用 ，那么运动过程中沿着等效重力的方向，合力做正功最多，则势能最少的地点则为等效最低点。
2、 受力平衡，最低点可以静止
在重力场中当物体处于静止和平衡时一点在最低点，且此时重力作用线与绳子拉力在一条线且沿半径背向圆心，如图1所示。当物体静止时，图
示位置即为最低点。带电粒子在复合场中做圆周运动的过程中与只有重力
场类似，由于电场重力场恒，所以合力是恒定的，因此当物体静止时一定
是平衡，此时等效重力的方向也应该和绳子的拉力在一条直线上，且也沿
半径背向圆心。把我以上特点在匀强电场中寻找等效最低点方便快捷，从图1 而使复杂问题简单化。
例 1 、如图2 在水平向左的匀强电场中，有一质量为m 带正电的小球， 用长为L 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球所受到的电场力与重力大小相等，现给小球一个垂直于细线的初速度，使小球恰能在竖直面内做圆周运动．试问：小球在做圆 周运动的过程中，哪一位置速度最大． 解析 由于已经知道了重力
与电场力大小相等， 又已知小球
带正电，根据小球在复合场中的特
点， 则可以根据平行四边形定则
( 如图3) 得出等效重力的方向，
与竖直方向成 4 5度角． 由此很
容易就知道速度最大的位置在绳 图 2 图 3 图 4 子与竖直方向成 4 5度角的位置． ( 如图4 )
二、寻找竖直面内圆周运动“物理最高点”方法
1、 在只有重力场的情况，最高点是速度最小的位置， 重力势能最大．当既有重力场和匀强电场时， 合场也是恒定不变的， 与重力场类似． 所以可以把重力和电场力合成， 求出合把这个合力等效成重力，我们把该合力称之为等效重力，此时相当于只有等效重力作用 ，那么运动过程中从最低点到最高点等效重力做负功最多且是能最大位置应为等效最高点。
2、最高点受力特点，最高点不能静止，在重力场中最高点重力与绳子作用力在一条直线且重力作用线沿半径指向圆心，类比重力场，带电粒子在复合场中做圆周运动的过程中与只有重力场类似，由于电场重力场恒，所以合力是恒定的，因此当物体在最高点是，等效重力的方向也应该和绳子的拉力在一条直线上，且也沿半径指向圆心。
例2、水平向右的匀强电场中，用长为R 的轻质细线在O 点悬挂
一质量为m 的带电小球，静止在A 处，AO 的连线与竖直方向夹角为370，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V 0小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初
速度V 0至少应为多大？
解析：解决此题首先要明白物理最高点和最低点以及能做完整周运动的条件，根据竖直面内圆周的条件是在最高点的速度V ≥g R ，在这里我们首先要找到等效重力加速度和物理做高点，然后用动能定理求解。根据受力特点和几何关系不难找出物理最高点
为B 点，物理最低点为A 点，等效重力方向与竖直方向成37度角如图5所示。
3
解：静止时对球受力分析如右图: 且F=mgtg370=4mg,
5 “等效”场力G ’
4mg 与T 反向
5
“等效”场加速度g ’=4g
与重力场相类比可知: 小球能在竖直面内完成圆周运动的临界
速度位置在AO 连线B 处, 且最小的V B =g ' R
11
从B 到A 运用动能定理: G’2R=2m V0 2-- 2m V B 2
5115
4mg2R=2m V0 2-- 2m 4gR
5
V0 =2gR
例3
如图，水平放置的平行金属板间有匀强电场，一根长
的绝缘细绳一端固定在点，另一端系有质量为
的带电小球，小球原来静止在点，当给小球一个水平速度后，它可以在竖直
面内绕点做匀速圆周运动。若将两板间的电压增大为原来的3倍，求：要使小球从点开始
在竖直面内绕点做圆周运动，至少要给小球多大的水平速度？在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大？
解析：只有当小球所受的合外力始终沿半径指向圆心时，它才可以在竖直面内做匀速圆周
运动，对小球经过最右端瞬间分析可知，小球所受电场力必须和重力平衡，即
竖直向上。
金属板间的电压增大为原来的3倍时，有
等效重力大小为小球自由时只有在最高点
，方向，方向仍竖直向上，则小球的，方向竖直向上，其中。
才可能处于稳定平衡状态，因此为等效“最低点”，相应地
为等效“最高点”。小球要完成竖直面内的圆周运动，应有
对小球从运动到的过程应用动能定理
解得：
小球运动到等效“最低点”
由向心力公式可得：
所以 时，绳中拉力最大。
通过例题分析进一步明确了等效最低点和几何最低点的区别。等效
“最低点”不一定是几何最低点，相反甚至可以出现在几何最高点，解题过程中一定要细心分析、仔细辨别。
总之由于恒定电场与重力场在性质上相似，运用等效法将电场、重力场等效为重力场，联想重力场中熟悉的模型，运用对应的规律，使电场问题得以简化。合理运用等效法解题，能将问题化繁为简、化生为熟、化难为易，这不仅能提高学生的解题速度，而且还有助于学生理解能力、应变能力和创造能力的培养。但要注意“等效”并非指事物的各个方面效果都相同，而是强调某一方面的效果。因此一定要明确不同事物在什么条件、什么范围、什么方面等效。通常可以考虑对下列因素进行等效替代：研究对象、物理模型、物理状态、物理过程、物理作用等。这里只介绍了物理模型等效替代，且局限于带电粒子在匀强电场中运动的问题。