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专题 函数图象及其变换
考点精要
1．理解指数函数的概念、图象及性质． 2．理解对数函数的概念图象和性质．
1
1
3．理解幂函数y=x，y=x，y=x，y =，y =x 2的图象及其性质．
x
23
4．掌握一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数的图象及其性质． 5．理解图象的平移变换、伸缩变换、对称变换．
热点分析
函数的图象是函数的一种重要表示方法，利用函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的重要性质. 基本初等函数的图像及其变换，是考查的热点；利用变换作图，也是考查的重点，利用形数结合的数学思想解题，看图想性质，数形转化灵活解题．
知识梳理
函数的图象及其变换 基础知识：
1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系 优点：能直观形象地表示出函数的变化情况． 体现：映射与反演、形数结合的数学思想． 2．基本初等函数图象
y=xn y=ax y=log a x y=sin x y=cos x y=tan x 初等函数图像：
y=kx y=kx+b y=ax2+bx+c y = y =ax +
3．作图基本方法
（1）利用描点法作图：
①确定函数的定义域：图象沿x 轴展布范围及渐近线； ②化简函数解析式：等价变形； ③讨论函数的性质： 奇偶性：关于图象对称性 单调性：关于图象升降性 周期性：关于图象重要性
极值、最值：关于图象最高点、最低点 截距：与x 轴、y 轴交点坐标
④画出函数的图象
（2）利用基本初等函数的图象的变换作图：
①平移变换
h >0, 右移h
y =f (x ) −−−−→y=f（x -h ） h 0, 上移k y =f (x ) −−−−−→ y=f（x ）+k k
k
x b x
②伸（放）缩变换：
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沿x 轴： y =f (ωx )
(ω>0)
沿y 轴： y = A f（x ） （A >0）
③对称变换： y=f（x ） y= -f （x ） y=f（x ） y= f （-x ）
y=f（x ） y=f（2a -x ） y=f（x ） y=f-1（x ） y=f（x ） y= -f （-x ）
y=f（x ） y=f（|x |） y=f（x ）
y=|f （x ）|
④几种基本变换的合成. y=f（x ）−−−−
→y =A f (ωx +φ) +k 待三角函数的复习中再集中进行研究．
例题精讲: 例1 作出函数y =
2x +1
x +1
的图像，并指出函数的单调区间，图象的对称中心．
例2 作出函数的图像：
|x -1|
（1）y =x 2-2x -3 （2）y =⎛ 1⎫
⎝2⎪
⎭
x 3
（3）y =x +2x
（4）y =x -1 （5）y =log 2x - （6）y =lg x （7）y =2x +2
例3 已知函数f （x ）和g （x ）的图像关于原点对称、且f （x ）=x 2+2x ． （1）求函数g （x ）的解析式； （2）解不等式g (x ) ≥f (x ) -|x -1|．
例4、若不等式x 2-log 1
a x
) 恒成立，则实数a 的取值范围是
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A 、0
11
≤a
例6、若直线y =x -m 与曲线y =-x 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是___________。
针对训练
1．函数f (x ) =-x 的图像关于 A．y 轴对称 C ．坐标原点对称 2．函数y=1+cosx 的图像 A ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称
称
3．设a
B ．直线y= -x 对称 D ．直线y=x对称
B ．关于y 轴对称 D ．关于直线x =对
π
2
1x
4．与曲线y =
1
关于原点对称的曲线为 x -111
A．y = B ．y =-
1+x 1+x
1
1-x
-1
1-x
C ．y =D ．y =
5．函数y=lg|x |
A．是偶函数，在区间(-∞, 0) 上单调递增 B ．是偶函数，在区间(-∞, 0) 上单调递减
C．是奇函数，在区间(0,+∞) 上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0,+∞) 上单调递减
6．当a >1时，在同一坐标系中，函数y=a-x 与y=log a x 的图像是
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7．函数y =1-
1
的图像是 x -1
8．“a=1”是函数f （x ）=|x -a |在区间[1, +∞)上为增函数的
A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
9．已知定义域为R 的函数f （x ）在区间(8,+∞) 上为减函数，且函数y=f（x +8）为偶函数，则
A．f （6）>f （7） B ．f （6）>f （9） C ．f （7）>f （9） D ．（f 7）>（f 10） 10．函数f （x ）=a x -b 的图象如右图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是 A．a >1，b 1，b >0 C．00 D ．0
11．若00）的图象关于原点对称，则f （x ）的表达式为 A．f (x ) =
1
(x >0) log 2x
B ．f (x ) =log 2(-x ) (x
C．f (x ) =-log 2x (x >0) D ．f (x ) =-log 2(-x ) (x
13．向高为h 的水瓶注水，注满为止，若注水量v 与水深h 的函数关系如右图所示，那么水瓶的形状是
14．函数y=e
|lnx |
-|x -1|的图像大致是
15．函数f (x ) =⎨_________
答案: 例1 ．
⎧4x -4x ≤1
2
⎩x -4x +3x >1
的图像和函数g （x ）=log2x 的图象的交点个数是
对称中心(-1, 2) 增区间(-∞, -1), (-1, +∞)
例2 ．（1）（2）
1⎫例3 ．（1）g (x )= -x 2+2x （2）⎧⎨x |-1≤x ≤⎬
⎩
2⎭
针对训练
1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．A 7．B 8．A 9．D 10．D 11．A 12．D 13．B 14．D 15．3
高考链接
1（06北京理）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2) 上的任意
x 1, x 2(x 1≠x 2) ，|f (x 1) -f (x 2) |
（A ）f (x ) =
1
x
（B ）f (x )=|x | （D ）f (x ) =x 2
（C ）f (x ) =2x
2（全国）若0
3（08北京）如图，函数f (x ) 的图象是折线段ABC , 其中A , B , C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f (f (0))= ;
4（全国）函数y=lg|x |
A．是偶函数，在区间(-∞, 0) 上单调递增 B ．是偶函数，在区间(-∞, 0) 上单调递减
C．是奇函数，在区间(0,+∞) 上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0,+∞) 上单调递减
5（08山东）函数f （x ）=a x -b 的图象如右图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是
A．a >1，b 1，b >0 C．00 D ．0
答案1 A 2 A 3 2 4 B 5 D
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专题 函数图象及其变换
考点精要
1．理解指数函数的概念、图象及性质． 2．理解对数函数的概念图象和性质．
1
1
3．理解幂函数y=x，y=x，y=x，y =，y =x 2的图象及其性质．
x
23
4．掌握一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数的图象及其性质． 5．理解图象的平移变换、伸缩变换、对称变换．
热点分析
函数的图象是函数的一种重要表示方法，利用函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的重要性质. 基本初等函数的图像及其变换，是考查的热点；利用变换作图，也是考查的重点，利用形数结合的数学思想解题，看图想性质，数形转化灵活解题．
知识梳理
函数的图象及其变换 基础知识：
1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系 优点：能直观形象地表示出函数的变化情况． 体现：映射与反演、形数结合的数学思想． 2．基本初等函数图象
y=xn y=ax y=log a x y=sin x y=cos x y=tan x 初等函数图像：
y=kx y=kx+b y=ax2+bx+c y = y =ax +
3．作图基本方法
（1）利用描点法作图：
①确定函数的定义域：图象沿x 轴展布范围及渐近线； ②化简函数解析式：等价变形； ③讨论函数的性质： 奇偶性：关于图象对称性 单调性：关于图象升降性 周期性：关于图象重要性
极值、最值：关于图象最高点、最低点 截距：与x 轴、y 轴交点坐标
④画出函数的图象
（2）利用基本初等函数的图象的变换作图：
①平移变换
h >0, 右移h
y =f (x ) −−−−→y=f（x -h ） h 0, 上移k y =f (x ) −−−−−→ y=f（x ）+k k
k
x b x
②伸（放）缩变换：
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沿x 轴： y =f (ωx )
(ω>0)
沿y 轴： y = A f（x ） （A >0）
③对称变换： y=f（x ） y= -f （x ） y=f（x ） y= f （-x ）
y=f（x ） y=f（2a -x ） y=f（x ） y=f-1（x ） y=f（x ） y= -f （-x ）
y=f（x ） y=f（|x |） y=f（x ）
y=|f （x ）|
④几种基本变换的合成. y=f（x ）−−−−
→y =A f (ωx +φ) +k 待三角函数的复习中再集中进行研究．
例题精讲: 例1 作出函数y =
2x +1
x +1
的图像，并指出函数的单调区间，图象的对称中心．
例2 作出函数的图像：
|x -1|
（1）y =x 2-2x -3 （2）y =⎛ 1⎫
⎝2⎪
⎭
x 3
（3）y =x +2x
（4）y =x -1 （5）y =log 2x - （6）y =lg x （7）y =2x +2
例3 已知函数f （x ）和g （x ）的图像关于原点对称、且f （x ）=x 2+2x ． （1）求函数g （x ）的解析式； （2）解不等式g (x ) ≥f (x ) -|x -1|．
例4、若不等式x 2-log 1
a x
) 恒成立，则实数a 的取值范围是
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A 、0
11
≤a
例6、若直线y =x -m 与曲线y =-x 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是___________。
针对训练
1．函数f (x ) =-x 的图像关于 A．y 轴对称 C ．坐标原点对称 2．函数y=1+cosx 的图像 A ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称
称
3．设a
B ．直线y= -x 对称 D ．直线y=x对称
B ．关于y 轴对称 D ．关于直线x =对
π
2
1x
4．与曲线y =
1
关于原点对称的曲线为 x -111
A．y = B ．y =-
1+x 1+x
1
1-x
-1
1-x
C ．y =D ．y =
5．函数y=lg|x |
A．是偶函数，在区间(-∞, 0) 上单调递增 B ．是偶函数，在区间(-∞, 0) 上单调递减
C．是奇函数，在区间(0,+∞) 上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0,+∞) 上单调递减
6．当a >1时，在同一坐标系中，函数y=a-x 与y=log a x 的图像是
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7．函数y =1-
1
的图像是 x -1
8．“a=1”是函数f （x ）=|x -a |在区间[1, +∞)上为增函数的
A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
9．已知定义域为R 的函数f （x ）在区间(8,+∞) 上为减函数，且函数y=f（x +8）为偶函数，则
A．f （6）>f （7） B ．f （6）>f （9） C ．f （7）>f （9） D ．（f 7）>（f 10） 10．函数f （x ）=a x -b 的图象如右图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是 A．a >1，b 1，b >0 C．00 D ．0
11．若00）的图象关于原点对称，则f （x ）的表达式为 A．f (x ) =
1
(x >0) log 2x
B ．f (x ) =log 2(-x ) (x
C．f (x ) =-log 2x (x >0) D ．f (x ) =-log 2(-x ) (x
13．向高为h 的水瓶注水，注满为止，若注水量v 与水深h 的函数关系如右图所示，那么水瓶的形状是
14．函数y=e
|lnx |
-|x -1|的图像大致是
15．函数f (x ) =⎨_________
答案: 例1 ．
⎧4x -4x ≤1
2
⎩x -4x +3x >1
的图像和函数g （x ）=log2x 的图象的交点个数是
对称中心(-1, 2) 增区间(-∞, -1), (-1, +∞)
例2 ．（1）（2）
1⎫例3 ．（1）g (x )= -x 2+2x （2）⎧⎨x |-1≤x ≤⎬
⎩
2⎭
针对训练
1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．A 7．B 8．A 9．D 10．D 11．A 12．D 13．B 14．D 15．3
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1（06北京理）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2) 上的任意
x 1, x 2(x 1≠x 2) ，|f (x 1) -f (x 2) |
（A ）f (x ) =
1
x
（B ）f (x )=|x | （D ）f (x ) =x 2
（C ）f (x ) =2x
2（全国）若0
3（08北京）如图，函数f (x ) 的图象是折线段ABC , 其中A , B , C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f (f (0))= ;
4（全国）函数y=lg|x |
A．是偶函数，在区间(-∞, 0) 上单调递增 B ．是偶函数，在区间(-∞, 0) 上单调递减
C．是奇函数，在区间(0,+∞) 上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0,+∞) 上单调递减
5（08山东）函数f （x ）=a x -b 的图象如右图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是
A．a >1，b 1，b >0 C．00 D ．0
答案1 A 2 A 3 2 4 B 5 D