风险与回报：银行业中的数学
保尔·柯林斯（Paul Collins）
1995年3月6日，在剑桥大学牛顿数学研究所的演讲
（1995年4月27日修改稿）
校译者：陈耀东、张尧庭
译者按：
今年8月，复旦大学中法数学研究所和北京大学金融数学系先后举办了两个暑期研讨会，主题分别为“‘99上海中法数学金融——理论与实践研讨会”和“’99北大金融数学系金融危机与对策”研讨会。在前一个会上，刘鸿儒同志做了专题报告、陈元同志做了书面致辞，国内学者和国外学者分别做了报告。目的是使理论数学工作者和金融、经济工作者一道，为解决我国经济建设面临的热点问题和难点问题做贡献，并由此去推动我国在当今国际金融市场上具有关键意义的精细风险管理这一金融高科技的相应发展，以便为21世纪全球市场的竞争作准备。
为了开阔眼界、启发思考，本着借鉴与参考的精神，会前陈耀东向花旗银行主管战略拓展的副总裁石·亨利先生提出了提供参考材料的请求。石·亨利先生精选了花旗公司副总裁保尔·柯林斯（Paul Collins）1995年在举世闻名的英国剑桥大学牛顿数学研究所的演讲稿“风险与回报：银行业中的数学”原文提供参考。
这篇演讲稿虽然是1995年亚洲金融危机之前发表的。但演讲传达的从管理风险而获取收益的基本思想，至今仍有重要参考价值。其精髓有，“始于了解和控制风险，终于获取收益回报”是现代商业银行生存的根本。“由简到繁再回归于简”的反复循环，是金融创新的一般规律，它与金融市场、规模经营、“靠学会管理风险而谋求回报”以及因应技术与产品创新的“机构制度与基础设施的创新”一道，构成了银行发展历史反复出现的五大论题。度量与控制风险需要数学工具。为此，要注重时间序列数据的收集、维护和分析利用；建立反映金融产品市场价格与风险特征的各种指数，开发用于金融创新产品的风险分析与定价工具。做到这些，就有能力源源不断地向市场投放利润丰厚的创新产品，并为高新技术创造有利的金融环境。
女士们、先生们，下午好！
很高兴在这里相见。我今天的目标是与诸位分享我的一些观察——数学是如何影响一个巨大的、多样化的商业银行所作的许多事情。
引言
远在1700年代早期，一个与艾萨克·牛顿爵士（1643-1727）同时代的人，约翰·贝努里（1667-1748，古典变分学的创始人）就曾声称：“一个从事物理学研究而不懂数学的人无非是在做无关紧要的小事。”尽管这句话当时对物理学也许正确，但对银行业务却不对。在18世纪，没有数学训练，仍可把银行业务做得很好。如今，在20蝶纪的最后三分之一时间里，那句对物理学曾经正确的话，对银行业也变得正确了。现在可以说：“一个从事银行业务而不懂数学的人无非是在做无关紧要的小事。”
今天下午我想同你们谈谈，如何把你们的学科-数学，运用于我们的学科——银行业。如果没有我们依靠数学而开发的工具和技肥，有许多事情我们根本就不能做。本质上，银行的业务就是承担风险。只有数学的语言能够最好地描述和度量风险。如果没有数学发挥作用，我们就无法生存。我们从未间断过运用数学演算去确定财务结果：为所售产品与服务定价，以及评价我们的资产负债表。新近发生的巴林银行投机倒闭案使大家明白了：我今天要告诉诸位的讯息是多么重要。
花旗银行
花旗银行是地域辽阔、业务多样的全球性商业银行，它广泛地参与消费、投资、与公司融资等各种市场活动。我们70%的收益来自消费者银行业务。我们世界上93个国家开展营业。我们是巨大的。资产负债表上有2,500亿美元的资产，这使我们成为美国最大的银行。这并没使我们进入世界最大20家银行之列。钽我们却进入了收益最好的前5位！与汽车制造、微处理器或操作系统等行业的市场相比，银行业更加具有竞争性。以银行资产来衡量，作为美国第一大银行的我们只占美国银行市场的2%。
我们的宗旨是向公司、消费者、政府等客户提供能赢利的产品。为了做到这一点，必须仍靠的效地融通资金来保持资产负债表达到收支平衡，同时又要极小化信贷、融资和资金流动性等风险。由于在大多数国家，我们依赖于当地的资金，因此，进入当地的资本市场是我们的
一个经营原则。我相信你们会把这些宗旨称之为我们的“目标函数”。
商业银行如今已不再是资产负债表中的放贷方。放贷原本是一种简单的工具，其功能是在短期内按不变的利率向借款方提供资金。以这种方式提供金融服务，只须考虑信用风险。随着时间的推移，这种简单的产品有了改变，期限延长导致流动性风险。期权的引入，增加了提前付款或延期偿债的可能，于是就产生了利率风险，而随着向客户提供异币种贷款的流行，又产生了汇率风险和主权风险5。原本是一种单一的贷款产品，现在却变成了一“束”属性各异的产品，其中，每一独特产品会克服有相应特定需求顾客所面临的特殊风险，每一独特产品对我们的管理也产生潜在的风险。我们不得不用一种能把被“捆”在一起的各种风险“解开”的方式去管理那些已经嵌入到我们产品之中的各种金融风险。
反复再现的论题
当你观察银行业的历史时，就会看到一些反复出现的论题。理解这些论题对理解如何把数学用于银行业，过去是怎样用的、将来又会怎样应用，有重要意义。
1、“简单——复杂——简单”
第一论题，我把它叫做“由简到繁再回归于简”的循环，即“简单——复杂——简单”。 面对一种接一种的产品、一个接一个的市场，你们会看到有三个活动阶段：首先是，新产品出现阶段，也就是基于简明原则的产品开始出现；其次是，产品与销售的精良定型阶段，也就是原本简单的产品，经过一段适应期，逐步精良化并定型，产品与销售方式两者都变得更加复杂；最后是，标准化批量上市阶段，在这最后的阶段，产品因得到标准简明的规范描述再次变得简洁明了，大规模销售的市场兴起，产品真正实现了市场化，迅速被消费者所接受，贸易与销售量显著增加。这就是“由简到繁再回归于简”的循环，简单——复杂——简单。 有时，孕育期会很长。有些事的发生是由于客户需求、我们的分销派送效率，或者我们进行计算的能力等有了突如其来的明显增长。实际例子是衍生产品（大约15年前这样的产品才开始出现，如今其名义价值已达20万亿美元，而5年前尚少于5万亿美元），抵押贷款交易，或在全球市场进行证券交易的能力的增长。最近，某种明显的“简化”迹象已经出现。只有当我们掌握了对复杂衍生产品和按揭证券进行大规模高速计算术后，才有了实现这种“简化”的可能。一旦一件产品被简化成一个方程，它就可以在一台计算机工作站，甚至一个手持计算器上完成运算操作。这样，这些产品的增长就会快得令人难以置信。而且，你们会看到，随着“由简到繁再回归于简”的反复循环，变革的步伐也会越来越快。
2、市场的重要性
第二个论题是金融市场的重要性。
金融市场始终是产品开发和增长的关键性因素，它依靠了、或者受益于我们对数学的运用。市场有许多形式。它们是人与人之间相互沟通的网络，其中大宗交昴是靠当面会唔、电话商定和其他形式的人际联络成交的。市场可以在交易室、交易大厦，以公开叫卖与叫买的形式进行交易。市场也可以通过计算机终端相联接，人们用敲击键盘进行交易。不论市场采用何种形式，都允许代表资产所有权和（金融）权益的金融工其自由买卖。
市场反映了参与者人数众多和类型多样的价值取向。从地理上说，在全球每个大陆上最大的城市都有资本市场。至少有2个股票和债券市场，交易着31,000家公司的证卷，代表了15万亿美元的资本市场价值。现金市场上的交易金额，每天大约有330亿美元，期货市场要大得多，。在纽约，所有外汇交易都是以美元结算的，每天大约175,000笔交易，金额价值1万亿美元，高峰日会接近2万亿美元。有100,000笔交易涉及美国政府证券，每天价值在5,000亿美元以上。按行业划分，入市交易者有公司、消费者、投资者、商业银行、保险公司、养老基金和工业企业。所有的入市者都不得不防备自己免遭流动性风险、信用风险、利率风险、外汇风险以及其他种种风险的损害。
由于市场的厚实程度及其多样性，我们感受到随着（金融）产品市场的日趋成熟，利润已越来越薄。每一种新的、高利润的产品很快就变成老化、低利润的商品。少数产品极易被竞争者作为金融服务产品仿效，不要多久就会成功地滋生出仿制品。于是，那些曾经要由我们为客户去做的事，正越来越多地被市场抢做了，尤其在世界发达国家。市场已经取代了许多银行的传统功能。
此刻，我们面临的挑战是，如何驾驭这个“由简到繁再回归于简”的循环：创新，把创新成果引入市场，扩展其用途，一次又一次地由此带来收益。
3、规模
我们将从此进入第三个论题，大规模经营的重要性。
一些金融市场的参与者，象花旗银行，是大规模经营的。如果规模小，我们就不可能将量少而高收益的产品转变成量大而收益低的产品，并保持赢利。作为在金融市场中提供全面服务的参与者，花旗银行不得不保持足够大的规模。
许多参与者作为所谓的“行家”在市场中运作，他们寻求机会。炒作那些小规模、高收益的产品。象乔治·索罗斯、米歇尔·斯坦因哈特那样的对冲基金的经理，象长期资本会司那样的专门化企业，用虚张声势的宣传吸引多得不合比例的人们注意力，他们都是上述“行家”
的实例。有的成功了，保持精干小巧，并且利润丰厚。大多数不是这样，要么变大，扩展，要么被更大的企业所兼并。
行家是敏捷的，他们能抓住刚出现的机会，有时他们能吸引绝佳才干，不过，规模大的参与者总有优势。一方面，多样化既能减少资本的风险，又能降低资本的成本。另一方面，有了规模，大型机构就能以参与多种多样的市场，经营数量庞大而又品种繁多的产品。
因此，大机构有持久的威势。花旗银行总资本超过260亿美元。因为我们有本钱，所以我们能坚持自己“财到底”的意图。不管发生了金融动荡，还是交易伙伴倒闭，我们仍能按我们的意愿行事。巴林银行约有5亿美元的资本，这是不够的。巴林银行的倒闭会导致本行业向更加集中的方向发展。只有那些良好地资本化的商业银行和投资银行才能在更具投机性的金融市场上运营。
4、从风险到回报
第四个论题是，学会如何处理风险才能得到回报。
这个过程是这样的。数学方法帮助我们实现数量化、度量与控制我们自己的风险。然后用这些同样的数学方法去开发产品，帮助我们的客户去控制他们的风险。所以，一种风险首先出现在我们的面前，有时它并不是我们预期的，或者不是我们喜欢的形式。于是，我们发展一些方法来数量化、度量和控制它。我们将把这样的方法称为风险管理。接着，我们把同样的风险管理规则转用于解瘊我们客户的问题，作为可以卖给我们客户而赚得利润的新产品。这些新产品使我们与竞争对手拉大了差距，增加了我们的收益。最终，我们能够有意识地决定去承担可以用我们的风险管理技巧处理的一些特定风险。这就是所谓独家买卖的实质。
5、符合创新需要的基础设施与机构
我的第五个也是最后一个论题是，通常，基础设施与机构体制的变革往往追随于技术与产品创新之后而不是领先于那些创新之前。
这是一个有顺序的循环发展过程，它由持续不断的技术创新、产品进化和制度变革的循环周而复始从无休止地进行着。基础设施就是从事交易的场所。各种清算、结算系统、常规性控制，参与者的联络，基于计算机的运作系统，以及为新产品而建立的通信联系等。它们常常是在技术发明之后，而不是之前。常常发现，我们总是随着产品的成长来安排机构的设制。只有良好地完成了创新工作，或已有充分大的规模经营基础了，机构体制、基础设施，还有管理规章等调整才会不可避免地成为当务之急。因此，当你想影响新产品发展的途径时，就
不能徘徊犹豫地等待所有基础设施都备齐以后才开始。而是要确信自己能用现有的基础设施来理解与管理风险（巴林银行没能做到）。你们不要指望外来的帮助。
关于这类现象，本研讨系列的另一演讲人，哈佛商学院的罗伯特·莫顿先生，已经有相当详尽的著述。
风险管理与回报中的数学
我已指出，我们必须管理种类广泛的风险。风险可以用价格，也就是，借债或放贷的利率，买进或卖出外汇的汇率，来陈述。风险还可用本金来表述，比如，我们资产的价值（也就是本金）会随利率、商业周期、我们客户的信誉等因素的变动而变化。每一种风险，包括涉及流动性及时兑现能力，利率、收益曲线、货币、信贷、预先付款、甚至国家主权等的风险，统统都能作为产品在市场上交易。在这种环境下，我们的赢利能力，对我们的风险管理究竞多么有效的依赖，与对我们的产品究竟有多大盈利余地的依赖，会同样多。
我们公司、及其对消费者的业务的岁人有70%依赖于数学技术，我们的投资银行业务也大体一样。通常认为，这些数学技术在投资银行用得更多，对主要的价格变动风险和筹资引起的债务风险而言，消费者业务还要加上与消费者不可预测的行为有关的风险。利率和预先付款的模式决定了抵押资产的价值。实质上，你可以按自己意愿决定如何偿还抵押贷款，然而，你的利率会有个上限，这些都是你的银行要承担的风险。我们可以到衍生产品市场上去对冲这些风险。这正是对衍生产品的一种绝妙用法！银行卡的信贷和欺诈行为使花旗银行每年大约损失15亿美元（而该行业的全部损失，大约是一年90亿美元）。信贷和欺诈造成的损失受到以统计为基础的决策工具的强烈影响。因为，这些决策工具已被大量用于扩大信贷规模和摧收拖欠，自然，消费者业务的利润就依赖于我们如何有效地开发出这些工具。
因这这些开发任务的规模大、种类多，我们必须对庞大的数据进行加工，我们在各种数据处理系统已有巨额的投资，而且这些系统就是为采集、分析、和显示数据信息而设计的。花旗银行每年仅仅用于维护、开发基于计算机的系统的花费就超过了4亿美元。我们的计算机系统已有超过2亿行的程序代码。我们有一个实际问题，但也是一个机会，那就是，如何从原始数据获得有用的决策信息。
由于我们业务行动的每一方面都有其内在的风险。我们于度量和控制风险的数学也必须深入到我们业务行动的所有方面。我们用数学技术报告我们的判断，并从十分复杂的市场领域中提炼出某种程度的秩序。
时间序列分析
我们用以预测价格或信用风险的许多解析技术，都依赖于对时间序列数据资料所做的统计分析，我们试图用过去的信息预测将来，将信号从噪声中分离出来。我们花大量时间想预测短期利率和汇率的变动，它既基于线性和非线性的时序分析，同样也基于宏观经济变量的分析。我们试图从经济的状况和客户支付或采购的习惯来预测信用卡的亏损。在交易所，用统计方法来鉴别总的价格风险，考虑我们面临的广泛而多样的变理所隐含的风险，最后，对资产负债表作出全面评价，这涉及到所面临的每一种价格风险，其中包括，利率、外汇、主权以及其他种类的风险等。
随机过程和风险这样的词汇在争胜地界已随处可见我们经常会举行关联一些名词的讨论，诸名：期望损失，潜在亏损额、风险利润（即，一定风险下的利润）、事先结帐的风险、事先结帐贷款的风险等同度、违约亏损、最大亏损额和2？？？二西格马？等。这些都是用来描述我们风险管理的，通常大都来自数学的各种技术。我们正在开始用更高深技术的词汇去定量化地描述事件的概率分布。
不确定性的处理：资产组合理论和资本资产定价模型（CAPM ）
另一完整类型的活动起始于，当面对不确定性时，一旦能成功地识别它，我们该怎样理性地行动。我们已发展了系统的方法去处理不确定性，大部分是用效用偏好和收益最大化的工具来处理的。这两种工具是由资产组合理论和资本资产定价模型提供的。资本资产定价模型，简称为资产定价模型提供的，英文缩写为“CAPM“，由于创造了这个模型的智慧结构，马科维奇(Markowitz)、夏普(Sharpe)和米勒(Miller)获得了1990年经济科学的诺贝尔奖。 ）关系，有一个完整的附属学科，专门致力于对贝塔关系的分析，它是CAPM 技术的补充部分。b 资本资产定价模型CAPM 提供了一个清晰显露的方式去定量风险和回报。它给出一个框架，一方面，对给定风险，极大化报酬；另一方面，对给定报酬，极小化风险。它要求我们接受严格的训练，以便理解我们资产的风险的报酬所固有的特征。做到了这一点，就可以极小化我们金融活动中多样化的风险。要沿这条路线前进，我们就必须理解，个别证券或币种（或者说是你自己所持有的证券和现钞）的价格是如何随着包含所有证券与所有货币的完整大市场的价格波动而连带着波动的。这个关系就叫股票或其他资产的贝塔（
我们用CAPM 方法的变型构建不同类型煌资产组合我们的投资管理者针对通休基金、居富婆和摇滚歌星们设计了专门的投资组合。近来我们开发了两上杠杆债券基金，分别称为阿尔法和贝塔基金，显示了这种做法的可能性，它把AAA 风险等级的债务工具和商业票据组合在一起去融资。这是一种具有固定性收入的平均保持在AA 风险等级的债券资产组合。除了其中
所含债券的信用风险之外，所有其它的风险都已做了避险对冲。
户或产业部门承担潜在的风险。在为消费者服务的银行方面，我们要对产品规划作出决定，比如，对按客户需要而定型的抵押贷款或银行卡这样的产品。使用的方法则基本相同。b 对其他的商业决策也用类似的方法来平衡风险与报酬，在为公司服务的银行方面，基于对当前的风险威胁，预测的风险及潜在收益的分析，我们将决定，我们是否甘愿为一个客
指数
为了完善生成和管理资产组合技术，金融行业开始建立一切种类的指数。在股票和债券市场已有反映各个方面的众多种指数、如，抵押贷款利率指数、贷款利率指数、外汇汇率指数等，而且，对每一个可以想象的市场板块均有其指数。
有些指数基于公众可用的信息，如股票价格、或消费品价格指数。有些是专用的，如花旗银行贷款利率指数，或摩根·斯坦利的EAFE 指数，后者跟踪国际股票市场的变化。拽数产生方式，有的靠简单平均，有的靠非常复杂的加权平均，或者靠相关分析。指数经常被用于对产品定价，如低押贷款指数；而且，还被用于考察某一特定投资组俣如何与某个市场的行情做比较，例如，与花旗银行发放的贷款指数相比较。
如果你想知道，你持有的普通股票的组合如何与特定市场的行情去比较，你可将你的投资组合按价值变换成按日经225指数，FTSE —100或道琼斯工业平均指数等折算的价值去做对比。我们就是用这样的方法来判断我们自己所发债券在资本市场上买卖情况是否良好，我们向公司发放的贷款和抵押贷款所定的价格是否合适，以及我们信贷亏损控制得是否恰当。
但要记住“由简到繁再回归于简”循环那个论题。一旦某些事被简化得象指数那样清晰，它就是被精细化了。实物资产的组合是由它的成分构成的，所以它的价格波动与指数变动相符合。凡是你能拥有的东西，都可被赋予一种指数，无论是股票、债券、外汇、不动产，一概可赋予一种指数。一种与指数匹配的资产组合，被分合成股份后，便可拿到市场去买卖。其实，买卖的已不再是那份资产，而是对应的“指数”，这对市场的参与者将更加方便。
期权定价模型
期权作为市场的证券在买卖。拥有一份期权就给予你在将来一个指定的日期前，按一个固定价格买或卖一种商品、证券或其他资产的权利。期权本质上并不是新的，自从17世纪以来，在商品市场上它一直被用来对冲市场的风险。新出现的是，针对形形色色的各种资产，形成了与之对应的种种期权市场，且是用数学来管理我们的期权交易活动。
最初，数学的分析需要极少。尽管期权的价格总随它依托的资产价格的波动而变化，这一点是明显的，但是，险了一些最肤浅的方法外，没有什么方法能解析地将期权价格和资产价格的联系建立起来。自然也就是无法预测期权的价格，因而也无法去量化它具有的风险。 这就提出了一个问题。投资者已开始在市场上买卖利率、汇率期权以便冲抵市场波动带来的风险，衍生产品市场就这样生长发展了，但是却没有分析的框架。
后来，当布莱克和休尔斯研究这个问题时，他们把注意力直接投向了描述热传导和布朗动运的数学。他们看清楚了那里所用的数学对描述期权价格波动的用途。他们二人采用了一个从物理学导出的现成数学体系，转而用于金融中相似的问题。布莱克休尔斯公式将资产价格的波动性、无风险利率与期权留存的时间联系在一起，用来预测期权本身的价格。
布莱克休尔斯公式首次发表于1`972年的《金融杂志》（应为1973年《政治经济学杂志》，译者注），这是革命性的。这是一个封闭形式的解。至少对服从随机游动的资产价格，它是经得起台式计算机实时演算检验的。交易者和投资者们，不仅能创造期权，给它定价、并能以解析地抵御风险的方式买卖这些期权，他们还可以用这种数学的方法论去大大扩展资产的集合。期权的价格现在可以从它依托的资产的价格波动性中导出。
衍生产品
商品期权交易出现几个世纪后，在本世纪的60年代到70年代初期，针对股票、债券、外汇的期权市场产生了。这些期权市场刚起步，就有了庞大的衍生产品市场。一种衍生产品是一种交易工具，它的价值基于它所依托的某种其他资产或某些指数。衍生产品是“假想”的，意思是它背后并无实物资产。
衍生产品可用于反映世界市场的全貌，或者该市场的任何一部分或一个侧面，其中包括，世界上绝大部分的股票、债券、货币和商品的市场。你可以买卖一种衍生产品，以抵消你希望抵消掉的任何风险。风险管理产品的定价是在衍生产品市场上进行的，而不是在货币市场上。衍生产品很流行，因为与所依托的资产比起来，它们更便宜且更容易交易，并且它提供了弥补复杂风险损失的机会。
然而，衍生产品容易交易的便利性，既是它的优点又是它的弱点。那些它能抵消的风险，也能以同样的效率被聚集到一起。就是这种集中风险的能力使得衍生产品背上了一个坏名声，但这并不是它的基本特性。巴林银行的交易员有获得2万股日经指数期权合同头寸的能力，本身就是对期权市场的效率与规模的一个注解。
请注意反复再现论题在衍生产品的历史中是如何表现的。
简单商品的期权已存在了几个世纪，早已被人们了解。后来，别的资产也开始被交易，但因没有分析的框架，事情变得越来越复杂。于是，出现了布莱克休尔斯公式，因而有了规则和秩序。简单——复杂——简单，“由简到繁再回归于简”。
其次，事情再次变简单后，市场发展了，规模变大了。更简单的衍生产品交易额是巨大的。正如我前面提到的，远期、期货、期权、掉期等类型的衍生产品在交易所场内外的交易合同未清偿金额名义总值现在（指1995年，译者注）已超过了20万亿美元，未清偿的已签合同任何时刻都保持在1亿份以上！
大量交易的衍生物的盈利余地薄如剃刀。资金少的小户只能让那些资金多的大户，去交易这些产品，这就是第三个论题谈的规模经营是必须的。
第四个论题在这里当然也又被阐明了。那些从解决自己的风险管理问题中学到的东西，正在变成获得回报的一个源泉。我们把先用于控制自己利率风险的办法转换成卖给我们客户的衍生产品和其他种类的产品。
最后，当市场走上正轨后，服务于高交易量衍生工具的机构和基础设施就随之建立起来。我们现在正面临着所谓的“产品性能风险”和“销售实施风险”。这两种风险，要么出自产品不能实现客户期望，要么出自交易本身错误地反映了客户的要求。金融行业通过80年代发生在英国的一桩有关一个地方政府的外汇掉期交易的实际案例懂得了这些事。而围绕加洲桔县（ORANGE ）最近那场灾难的法律诉讼也告诉我们历史在重复着自己。在美国，信孚银行的博彩与监督案是另一个实例。据报导，英国是电信卖给宝洁公司的掉期合同，已有33次影响了正常的掉期业务。在1份正规的5年期价值为1亿美元的利率互换协议上，一个百分点的利率变动，导致每次互换发生4百万美元的价值变化，这样总共的价值变化就是1亿3仟2百万美元（注：这份利率互换协议一共要进行33次互换，所以是4*33=132）。那么，客户是否理解？卖方真能说清其中的风险吗？
基于资产的证券
这种循环的另一个例子是资产证券市场的创立。资产证券是由消费者所持资产支持的证券（即，基于资产的证券），诸如，抵押贷款凭证、信用卡应收款凭证和各种商业资产凭证等，都被叫做基于资产的证券。
起先，并没有这种证券的市场。当我们支持某种产品的能力达到资产负债表所允许的极限时，我们不得不减缓或停止销售该种产品。它基于我们对价格风险和流动性风险的分析。后来，我们就开始把一些相对较少的个人资产，如抵押贷款，组合到一起，作为证券卖给投资者们。
开头只是私下进行的交易。这就成为一种新产品。那时我们不得不用给顾客颇高收益的方式来销售，从而降低了我们赢利的能力。
不久，一个崭新完整的资产证券市场便应运而生了，先是在美国，后来是世界其他有选择的一些国家。相应的旨数也被开发出来，使得生产、定价、交易都更加方便。十分复杂的数学模型也被建立了，它可以反映利率和预先付款率可能走过的不同途径。可上市交易的资产证券产生了按属性组装为“成篮子”的资产（即，通常所谓的“一揽子”交易，译者注），每个“篮子”里装有可以分“份儿”（Tranches ，出自法文，意思为“片”，译者注）的销售产品，刚好代表了所依托资产所含种种风险的不同侧面。例如，抵押贷款汇集在有担保的抵押贷款债务（即AMOs, Colllateralized Mortage Pbligations ）名目之下。这种“一揽子”销售的资产组合可以倒退成三类证券，一类主要代表本金风险，另一类将承担大部分利率风险，最后一类实质上是由提前付款合同产生的风险。风险曾经很高。量子炒作手占据过主导地位，导致判断失误，贪婪也曾起了太大的作用，使得许多资金因此而亏损了。
资产证券的市场也很大，且只有少量被买卖的资产证券被散布到其他形式的债务市场。在美国，约有1.7 万亿美元的抵押贷款证券可供使用，将近占抵押贷款全部未清偿金额的一半。有多于一千亿美元金额的信用卡应收款单据，差不多也是信用卡贷款全部未清偿金额的一半。
我们再回顾一下前面的五个论题：一、简单→复杂→简单的循环是，“由简到繁再回归于简”的循环：二、市场的兴起；三、规模；四、从我们自己的风险管理引出了新产品和收益回报是，始于风险管理终于收益回报，管理风险→创新产品→赢得回报；五、创新后的机构与基础设施改革也就是，体制改革。技术创新→产品创新→制度与基础设施创新。
IV 新的技术
现在我将转入讨论那些刚刚浮现的新技术。虽然诱人的布莱克休尔斯公式可以用于期权的快速定价，然而总存在着声称能更忠实地反映市场现实的新方法的“塞壬召唤”
（Siren-call ）。只要新办法比旧办法好，我们的交易员就会比竞争对手的交易员更聪明，至少在短时期内会增加我们的盈利余地。这样，我们就把更好的办法卖给了我们的客户，并因此拉开了我们与竞争对手在市场上的差距。
数值计算
首先，计算技术的进步使我们能采用比资本资产定价模型CAPM 更精细的资产组合模型。不
同证券之间相关性的识别系统正在开发，而这些相关性的预测工具则将是必需的。资产组合的构造与管理将变得更加精巧。
其次，布莱克休尔斯公式的分析假定了资产的回报服从正态分布，波动性和利率是常值。我们知道，现实并非如此。有太多的“6？”事件，我将它称作分布函数曲线有一个“肥厚的尾巴”。这就导致能处理有多个变量和未来波动性变化的数学方法的产生。我认为，这就是你们所说的ARCH 和GARCH 。有人告诉我，你们甚至有更复杂的词汇来描述它（广义自回归条件非齐性！）。就在上星期，花旗银行养老基金的投资委员会，采用了蒙特卡洛模拟方法来判定各种投资策略的影响。我们正在开发的新技术将依赖于多维的、确定性的抽样。这些方法会在许多种类衍生产品的蒙特卡洛方法的计算精度、置信度和计算速度（即，ACS ）方面胜过随机抽样。
跨学科的分析
另一个有前途的方法来自于我们花旗银行所支持的圣塔菲（SFI ）研究所的研究工作。上述论题有许多，都是从那里的研究整合得到的。在十年前开始时，圣塔菲研究所只是新墨西哥州洛斯·阿拉莫斯国家实验室的一个分支。在圣塔菲，数学的、物理学和社会科学的各种专家汇集在一起用计算机作为分析与表达的工具。他们用多学科的方式阐述相当复杂的问题，如经济的本性、自适应计算、免疫学等。在圣塔菲，基本而反复再现的主题有，复杂性、突破性、由简单规则所左右的成份相互作用而引发出复杂行为的系统。开始我们只是想把我们对全球经济的理解理出个头绪。这个在圣塔菲研究所进行的经济研究计划，是由阿瑟（Brian Athur ）教授领导的，他从前是斯坦福大学的教授，现在则是在圣塔菲的花旗银行的教授。他深深地影响了我们对创新和经济发展的思路，不过他并未影响了我们对创新和经济发展的思路，不过他并未影响我们的决策。我们还没找到使之可操作的途径。我们还同圣塔菲一道开发更好的技术，以便从大量杂乱无章的数据中发掘出有实质意义的信息。例如把各种类型的过滤方法有针对性地用于消费者银行的市场拓展。
在其他领域，如海洋学领域，所开发的信号处理工具，正在被用于金融分析。非线性预测、分形分析、神经网络和遗传算法正在被用于信用卡欺诈检测和交易模型之中。在信用卡亏损率预测中，用了非线性数学方示，获得了30%的改进，在交易结果中用遗传算法，据可信的报告，有了50%的改进。我们的消费者信用成本已接近25亿美元，若有30%改进，就会造成很大的改观。
最后，利用计算机功能进行模拟与可视化的新工具，将使我们能表现多维数据。在圣塔菲和
其他地方的研究暗示，复杂行为都是从遵循简单规则的大量参与者的相互作用造成的。这些研究工作暗示，我们可以通过用计算机对这些相互作用的对象进行模拟并使之显示于计算机屏幕上，从而使我们更好地理解金融市场。
未来的问题
现在，让我们转向未来。我们预料，某些近期的发展将来自更大、更好且更快类型的计算机。我们曾要在夜间以批处理方式运算的东西，如今已能移到桌面工作站上实时地完成。我们曾要送出去，让专门的程序编制部门帮助完成的工作，现在已能自己完成，而且也是实时的。越来越庞大的模型将推动建模艺术水平的不断提高。可提供有效的量子跃迁的新的数值技术将被开发。
借助于风险管理与建模，我们会看到，必须考虑不同市场之间的相互依赖关系。我们的模型将被整合到一起，并能包括更多的变量且能接触到最底层的交易。我们将能更聪明地抵消风险，以着眼全球的观点，审视我们的经营活动、我们的客户以及我们的风险。
再看远一些，无论如可，我们总会看到比我们的解析解不能奏效的挑战更多的人类行为不可预测性的挑战。我们宁愿能对下一次货币危机或市场“黑洞”提前作出预测，也不愿等到它发生后再被迫作出反应。我们喜欢依靠模型，也喜欢依靠经纪人的直觉和运作判断。
结论
到此，我希望已经使你们看到了数学在银行业中的作用。银行使用数学开发新产品，扩大他们对公司和消费者的业务，并且增加了资本市场的效率。重要的是，就我们每天做得最多的事情而论，我们赚取利润的能务，既来自我们管理这些风险的效率，又来自我们产品的盈利余地，两者的作用旗鼓相当。明确地说，数学给我们的训练是：
度量和控制风险；
给产品定价，评价资产负债表的收支平衡状况；
开发和完善产品；
通过拉大差距、创造新产品和全新的市场来对抗收益的被浸蚀；
创造一个振奋人心的环境吸引才华出众的人才。
期望我前面概述的五个反复出现的论题，会一直伴随着我们。我们将会看到，由简到繁再回归于简的循环，将在一个接一个的产品和一个接一个的市场上一再重现。随着市场成长，利润幅度将下降，规模经营是必须的。风险会造成更多的回报机会。机构体制和基础设施会奋
力跟上市场及其参与者的创新能力。
在这样的境况下，战略是重要的。在经济合作与发展组织成员国中，传统的银行业务并不是好业务。竞争优势很难取得。因此我们选择了（1）成为一个大型消费者银行；（2）积极参与新兴市场；（3）通过关注全球的客户和产品，拉大在经济合作与发展组织市场中与他人的差距。作为有效的经济合作与发展组织（OECD ）市场的参与者，我们必须参与分析并拥有技术。
在结束时，让我归纳一下，我们是怎样看待数学的。
我们是在人类行为的环境下，而不是在纯机械运动的环境下发挥作用的；诸如，直觉、贪欲、忧虑和畏惧等全都会发挥重要作用。我们行事的环境是复杂而不可再现的。
行为上重要的是直觉、整体观念和判断力，这些都难以用建模的办法处理。因此，纪律和管制就有必要。
金融产品是可以被建模的，但它仅是决策的一个要素。建模是用来支持决策的工具，它本身不是目的。
数学原理帮助我们做决策，整理数据，理解风险并从数据中分离出信息。
我们同时需要物理学与行为科学方面的科学家的参与才能取得成功。
我们必须在使用数学模型、人为判断以及用人方面维持平衡。我们所做的最重要的决策是让恰当的人在恰当的时间占据恰当的岗位。
明天，在银行业务和经济中，将会有许多激动人心的事，正象今天这样，也象昨天那样。我们乐于接受你们中的一些人去考虑你们的工作如何用于银行业，如何对我们面临的某些问题提供解答。谢谢！风险与回报：银行业中的数学保尔·柯林斯（Paul Collins ）1995年5月6日，在剑桥大学牛顿数学研究所的演讲。
注：
1、信用风险，即，借款方是否遵守还债信用的风险。
2、流动性风险，即，由于市场交易淡泊造成资金周转过缓的风险。
3、利率风险，即，因利率随时间变动而造成的风险。
4、汇率风险或异币种交易风险，即，异币种兑换时，因发生汇率变动造成的风险。
5、主权风险，即，一个负有债务的主权国家，因其影响外债的政策发生变动而造成的风险。
作者简介：保尔·柯林斯是花旗集团公司副主席，花旗集团公司与花旗银行的董事。他负责
专有投资业务并协调该集团公司的人事工作。此前，他曾负责花旗银行专有的与客户的投资活动和该公司新兴市场商务活动的战略管理，再早他还曾负责过公司的财务和行政管理工作。他于1961年参加花旗集团，并在投资管理组服务了14年，担任首席投资官5年。随后他还主管过公司的计划部、财务处、掌管过会计、控制以及金融市场组。从1989年4月起担任副主席，当时，他还是欧洲和中东地区负责公司战略规划和商务协调的公司资深官员。柯林斯先生出生于美国威斯康星州西奔德市，1958年毕业于威斯康星大学，1961年毕业于哈佛大学商业行政管理研究生院。他现在还是金博利、克拉克公司和诺基亚公司的董事，卡内基游说厅的理事，中央公园管理委员会和格林德波恩艺术信托公司的理事。
风险与回报：银行业中的数学
保尔·柯林斯（Paul Collins）
1995年3月6日，在剑桥大学牛顿数学研究所的演讲
（1995年4月27日修改稿）
校译者：陈耀东、张尧庭
译者按：
今年8月，复旦大学中法数学研究所和北京大学金融数学系先后举办了两个暑期研讨会，主题分别为“‘99上海中法数学金融——理论与实践研讨会”和“’99北大金融数学系金融危机与对策”研讨会。在前一个会上，刘鸿儒同志做了专题报告、陈元同志做了书面致辞，国内学者和国外学者分别做了报告。目的是使理论数学工作者和金融、经济工作者一道，为解决我国经济建设面临的热点问题和难点问题做贡献，并由此去推动我国在当今国际金融市场上具有关键意义的精细风险管理这一金融高科技的相应发展，以便为21世纪全球市场的竞争作准备。
为了开阔眼界、启发思考，本着借鉴与参考的精神，会前陈耀东向花旗银行主管战略拓展的副总裁石·亨利先生提出了提供参考材料的请求。石·亨利先生精选了花旗公司副总裁保尔·柯林斯（Paul Collins）1995年在举世闻名的英国剑桥大学牛顿数学研究所的演讲稿“风险与回报：银行业中的数学”原文提供参考。
这篇演讲稿虽然是1995年亚洲金融危机之前发表的。但演讲传达的从管理风险而获取收益的基本思想，至今仍有重要参考价值。其精髓有，“始于了解和控制风险，终于获取收益回报”是现代商业银行生存的根本。“由简到繁再回归于简”的反复循环，是金融创新的一般规律，它与金融市场、规模经营、“靠学会管理风险而谋求回报”以及因应技术与产品创新的“机构制度与基础设施的创新”一道，构成了银行发展历史反复出现的五大论题。度量与控制风险需要数学工具。为此，要注重时间序列数据的收集、维护和分析利用；建立反映金融产品市场价格与风险特征的各种指数，开发用于金融创新产品的风险分析与定价工具。做到这些，就有能力源源不断地向市场投放利润丰厚的创新产品，并为高新技术创造有利的金融环境。
女士们、先生们，下午好！
很高兴在这里相见。我今天的目标是与诸位分享我的一些观察——数学是如何影响一个巨大的、多样化的商业银行所作的许多事情。
引言
远在1700年代早期，一个与艾萨克·牛顿爵士（1643-1727）同时代的人，约翰·贝努里（1667-1748，古典变分学的创始人）就曾声称：“一个从事物理学研究而不懂数学的人无非是在做无关紧要的小事。”尽管这句话当时对物理学也许正确，但对银行业务却不对。在18世纪，没有数学训练，仍可把银行业务做得很好。如今，在20蝶纪的最后三分之一时间里，那句对物理学曾经正确的话，对银行业也变得正确了。现在可以说：“一个从事银行业务而不懂数学的人无非是在做无关紧要的小事。”
今天下午我想同你们谈谈，如何把你们的学科-数学，运用于我们的学科——银行业。如果没有我们依靠数学而开发的工具和技肥，有许多事情我们根本就不能做。本质上，银行的业务就是承担风险。只有数学的语言能够最好地描述和度量风险。如果没有数学发挥作用，我们就无法生存。我们从未间断过运用数学演算去确定财务结果：为所售产品与服务定价，以及评价我们的资产负债表。新近发生的巴林银行投机倒闭案使大家明白了：我今天要告诉诸位的讯息是多么重要。
花旗银行
花旗银行是地域辽阔、业务多样的全球性商业银行，它广泛地参与消费、投资、与公司融资等各种市场活动。我们70%的收益来自消费者银行业务。我们世界上93个国家开展营业。我们是巨大的。资产负债表上有2,500亿美元的资产，这使我们成为美国最大的银行。这并没使我们进入世界最大20家银行之列。钽我们却进入了收益最好的前5位！与汽车制造、微处理器或操作系统等行业的市场相比，银行业更加具有竞争性。以银行资产来衡量，作为美国第一大银行的我们只占美国银行市场的2%。
我们的宗旨是向公司、消费者、政府等客户提供能赢利的产品。为了做到这一点，必须仍靠的效地融通资金来保持资产负债表达到收支平衡，同时又要极小化信贷、融资和资金流动性等风险。由于在大多数国家，我们依赖于当地的资金，因此，进入当地的资本市场是我们的
一个经营原则。我相信你们会把这些宗旨称之为我们的“目标函数”。
商业银行如今已不再是资产负债表中的放贷方。放贷原本是一种简单的工具，其功能是在短期内按不变的利率向借款方提供资金。以这种方式提供金融服务，只须考虑信用风险。随着时间的推移，这种简单的产品有了改变，期限延长导致流动性风险。期权的引入，增加了提前付款或延期偿债的可能，于是就产生了利率风险，而随着向客户提供异币种贷款的流行，又产生了汇率风险和主权风险5。原本是一种单一的贷款产品，现在却变成了一“束”属性各异的产品，其中，每一独特产品会克服有相应特定需求顾客所面临的特殊风险，每一独特产品对我们的管理也产生潜在的风险。我们不得不用一种能把被“捆”在一起的各种风险“解开”的方式去管理那些已经嵌入到我们产品之中的各种金融风险。
反复再现的论题
当你观察银行业的历史时，就会看到一些反复出现的论题。理解这些论题对理解如何把数学用于银行业，过去是怎样用的、将来又会怎样应用，有重要意义。
1、“简单——复杂——简单”
第一论题，我把它叫做“由简到繁再回归于简”的循环，即“简单——复杂——简单”。 面对一种接一种的产品、一个接一个的市场，你们会看到有三个活动阶段：首先是，新产品出现阶段，也就是基于简明原则的产品开始出现；其次是，产品与销售的精良定型阶段，也就是原本简单的产品，经过一段适应期，逐步精良化并定型，产品与销售方式两者都变得更加复杂；最后是，标准化批量上市阶段，在这最后的阶段，产品因得到标准简明的规范描述再次变得简洁明了，大规模销售的市场兴起，产品真正实现了市场化，迅速被消费者所接受，贸易与销售量显著增加。这就是“由简到繁再回归于简”的循环，简单——复杂——简单。 有时，孕育期会很长。有些事的发生是由于客户需求、我们的分销派送效率，或者我们进行计算的能力等有了突如其来的明显增长。实际例子是衍生产品（大约15年前这样的产品才开始出现，如今其名义价值已达20万亿美元，而5年前尚少于5万亿美元），抵押贷款交易，或在全球市场进行证券交易的能力的增长。最近，某种明显的“简化”迹象已经出现。只有当我们掌握了对复杂衍生产品和按揭证券进行大规模高速计算术后，才有了实现这种“简化”的可能。一旦一件产品被简化成一个方程，它就可以在一台计算机工作站，甚至一个手持计算器上完成运算操作。这样，这些产品的增长就会快得令人难以置信。而且，你们会看到，随着“由简到繁再回归于简”的反复循环，变革的步伐也会越来越快。
2、市场的重要性
第二个论题是金融市场的重要性。
金融市场始终是产品开发和增长的关键性因素，它依靠了、或者受益于我们对数学的运用。市场有许多形式。它们是人与人之间相互沟通的网络，其中大宗交昴是靠当面会唔、电话商定和其他形式的人际联络成交的。市场可以在交易室、交易大厦，以公开叫卖与叫买的形式进行交易。市场也可以通过计算机终端相联接，人们用敲击键盘进行交易。不论市场采用何种形式，都允许代表资产所有权和（金融）权益的金融工其自由买卖。
市场反映了参与者人数众多和类型多样的价值取向。从地理上说，在全球每个大陆上最大的城市都有资本市场。至少有2个股票和债券市场，交易着31,000家公司的证卷，代表了15万亿美元的资本市场价值。现金市场上的交易金额，每天大约有330亿美元，期货市场要大得多，。在纽约，所有外汇交易都是以美元结算的，每天大约175,000笔交易，金额价值1万亿美元，高峰日会接近2万亿美元。有100,000笔交易涉及美国政府证券，每天价值在5,000亿美元以上。按行业划分，入市交易者有公司、消费者、投资者、商业银行、保险公司、养老基金和工业企业。所有的入市者都不得不防备自己免遭流动性风险、信用风险、利率风险、外汇风险以及其他种种风险的损害。
由于市场的厚实程度及其多样性，我们感受到随着（金融）产品市场的日趋成熟，利润已越来越薄。每一种新的、高利润的产品很快就变成老化、低利润的商品。少数产品极易被竞争者作为金融服务产品仿效，不要多久就会成功地滋生出仿制品。于是，那些曾经要由我们为客户去做的事，正越来越多地被市场抢做了，尤其在世界发达国家。市场已经取代了许多银行的传统功能。
此刻，我们面临的挑战是，如何驾驭这个“由简到繁再回归于简”的循环：创新，把创新成果引入市场，扩展其用途，一次又一次地由此带来收益。
3、规模
我们将从此进入第三个论题，大规模经营的重要性。
一些金融市场的参与者，象花旗银行，是大规模经营的。如果规模小，我们就不可能将量少而高收益的产品转变成量大而收益低的产品，并保持赢利。作为在金融市场中提供全面服务的参与者，花旗银行不得不保持足够大的规模。
许多参与者作为所谓的“行家”在市场中运作，他们寻求机会。炒作那些小规模、高收益的产品。象乔治·索罗斯、米歇尔·斯坦因哈特那样的对冲基金的经理，象长期资本会司那样的专门化企业，用虚张声势的宣传吸引多得不合比例的人们注意力，他们都是上述“行家”
的实例。有的成功了，保持精干小巧，并且利润丰厚。大多数不是这样，要么变大，扩展，要么被更大的企业所兼并。
行家是敏捷的，他们能抓住刚出现的机会，有时他们能吸引绝佳才干，不过，规模大的参与者总有优势。一方面，多样化既能减少资本的风险，又能降低资本的成本。另一方面，有了规模，大型机构就能以参与多种多样的市场，经营数量庞大而又品种繁多的产品。
因此，大机构有持久的威势。花旗银行总资本超过260亿美元。因为我们有本钱，所以我们能坚持自己“财到底”的意图。不管发生了金融动荡，还是交易伙伴倒闭，我们仍能按我们的意愿行事。巴林银行约有5亿美元的资本，这是不够的。巴林银行的倒闭会导致本行业向更加集中的方向发展。只有那些良好地资本化的商业银行和投资银行才能在更具投机性的金融市场上运营。
4、从风险到回报
第四个论题是，学会如何处理风险才能得到回报。
这个过程是这样的。数学方法帮助我们实现数量化、度量与控制我们自己的风险。然后用这些同样的数学方法去开发产品，帮助我们的客户去控制他们的风险。所以，一种风险首先出现在我们的面前，有时它并不是我们预期的，或者不是我们喜欢的形式。于是，我们发展一些方法来数量化、度量和控制它。我们将把这样的方法称为风险管理。接着，我们把同样的风险管理规则转用于解瘊我们客户的问题，作为可以卖给我们客户而赚得利润的新产品。这些新产品使我们与竞争对手拉大了差距，增加了我们的收益。最终，我们能够有意识地决定去承担可以用我们的风险管理技巧处理的一些特定风险。这就是所谓独家买卖的实质。
5、符合创新需要的基础设施与机构
我的第五个也是最后一个论题是，通常，基础设施与机构体制的变革往往追随于技术与产品创新之后而不是领先于那些创新之前。
这是一个有顺序的循环发展过程，它由持续不断的技术创新、产品进化和制度变革的循环周而复始从无休止地进行着。基础设施就是从事交易的场所。各种清算、结算系统、常规性控制，参与者的联络，基于计算机的运作系统，以及为新产品而建立的通信联系等。它们常常是在技术发明之后，而不是之前。常常发现，我们总是随着产品的成长来安排机构的设制。只有良好地完成了创新工作，或已有充分大的规模经营基础了，机构体制、基础设施，还有管理规章等调整才会不可避免地成为当务之急。因此，当你想影响新产品发展的途径时，就
不能徘徊犹豫地等待所有基础设施都备齐以后才开始。而是要确信自己能用现有的基础设施来理解与管理风险（巴林银行没能做到）。你们不要指望外来的帮助。
关于这类现象，本研讨系列的另一演讲人，哈佛商学院的罗伯特·莫顿先生，已经有相当详尽的著述。
风险管理与回报中的数学
我已指出，我们必须管理种类广泛的风险。风险可以用价格，也就是，借债或放贷的利率，买进或卖出外汇的汇率，来陈述。风险还可用本金来表述，比如，我们资产的价值（也就是本金）会随利率、商业周期、我们客户的信誉等因素的变动而变化。每一种风险，包括涉及流动性及时兑现能力，利率、收益曲线、货币、信贷、预先付款、甚至国家主权等的风险，统统都能作为产品在市场上交易。在这种环境下，我们的赢利能力，对我们的风险管理究竞多么有效的依赖，与对我们的产品究竟有多大盈利余地的依赖，会同样多。
我们公司、及其对消费者的业务的岁人有70%依赖于数学技术，我们的投资银行业务也大体一样。通常认为，这些数学技术在投资银行用得更多，对主要的价格变动风险和筹资引起的债务风险而言，消费者业务还要加上与消费者不可预测的行为有关的风险。利率和预先付款的模式决定了抵押资产的价值。实质上，你可以按自己意愿决定如何偿还抵押贷款，然而，你的利率会有个上限，这些都是你的银行要承担的风险。我们可以到衍生产品市场上去对冲这些风险。这正是对衍生产品的一种绝妙用法！银行卡的信贷和欺诈行为使花旗银行每年大约损失15亿美元（而该行业的全部损失，大约是一年90亿美元）。信贷和欺诈造成的损失受到以统计为基础的决策工具的强烈影响。因为，这些决策工具已被大量用于扩大信贷规模和摧收拖欠，自然，消费者业务的利润就依赖于我们如何有效地开发出这些工具。
因这这些开发任务的规模大、种类多，我们必须对庞大的数据进行加工，我们在各种数据处理系统已有巨额的投资，而且这些系统就是为采集、分析、和显示数据信息而设计的。花旗银行每年仅仅用于维护、开发基于计算机的系统的花费就超过了4亿美元。我们的计算机系统已有超过2亿行的程序代码。我们有一个实际问题，但也是一个机会，那就是，如何从原始数据获得有用的决策信息。
由于我们业务行动的每一方面都有其内在的风险。我们于度量和控制风险的数学也必须深入到我们业务行动的所有方面。我们用数学技术报告我们的判断，并从十分复杂的市场领域中提炼出某种程度的秩序。
时间序列分析
我们用以预测价格或信用风险的许多解析技术，都依赖于对时间序列数据资料所做的统计分析，我们试图用过去的信息预测将来，将信号从噪声中分离出来。我们花大量时间想预测短期利率和汇率的变动，它既基于线性和非线性的时序分析，同样也基于宏观经济变量的分析。我们试图从经济的状况和客户支付或采购的习惯来预测信用卡的亏损。在交易所，用统计方法来鉴别总的价格风险，考虑我们面临的广泛而多样的变理所隐含的风险，最后，对资产负债表作出全面评价，这涉及到所面临的每一种价格风险，其中包括，利率、外汇、主权以及其他种类的风险等。
随机过程和风险这样的词汇在争胜地界已随处可见我们经常会举行关联一些名词的讨论，诸名：期望损失，潜在亏损额、风险利润（即，一定风险下的利润）、事先结帐的风险、事先结帐贷款的风险等同度、违约亏损、最大亏损额和2？？？二西格马？等。这些都是用来描述我们风险管理的，通常大都来自数学的各种技术。我们正在开始用更高深技术的词汇去定量化地描述事件的概率分布。
不确定性的处理：资产组合理论和资本资产定价模型（CAPM ）
另一完整类型的活动起始于，当面对不确定性时，一旦能成功地识别它，我们该怎样理性地行动。我们已发展了系统的方法去处理不确定性，大部分是用效用偏好和收益最大化的工具来处理的。这两种工具是由资产组合理论和资本资产定价模型提供的。资本资产定价模型，简称为资产定价模型提供的，英文缩写为“CAPM“，由于创造了这个模型的智慧结构，马科维奇(Markowitz)、夏普(Sharpe)和米勒(Miller)获得了1990年经济科学的诺贝尔奖。 ）关系，有一个完整的附属学科，专门致力于对贝塔关系的分析，它是CAPM 技术的补充部分。b 资本资产定价模型CAPM 提供了一个清晰显露的方式去定量风险和回报。它给出一个框架，一方面，对给定风险，极大化报酬；另一方面，对给定报酬，极小化风险。它要求我们接受严格的训练，以便理解我们资产的风险的报酬所固有的特征。做到了这一点，就可以极小化我们金融活动中多样化的风险。要沿这条路线前进，我们就必须理解，个别证券或币种（或者说是你自己所持有的证券和现钞）的价格是如何随着包含所有证券与所有货币的完整大市场的价格波动而连带着波动的。这个关系就叫股票或其他资产的贝塔（
我们用CAPM 方法的变型构建不同类型煌资产组合我们的投资管理者针对通休基金、居富婆和摇滚歌星们设计了专门的投资组合。近来我们开发了两上杠杆债券基金，分别称为阿尔法和贝塔基金，显示了这种做法的可能性，它把AAA 风险等级的债务工具和商业票据组合在一起去融资。这是一种具有固定性收入的平均保持在AA 风险等级的债券资产组合。除了其中
所含债券的信用风险之外，所有其它的风险都已做了避险对冲。
户或产业部门承担潜在的风险。在为消费者服务的银行方面，我们要对产品规划作出决定，比如，对按客户需要而定型的抵押贷款或银行卡这样的产品。使用的方法则基本相同。b 对其他的商业决策也用类似的方法来平衡风险与报酬，在为公司服务的银行方面，基于对当前的风险威胁，预测的风险及潜在收益的分析，我们将决定，我们是否甘愿为一个客
指数
为了完善生成和管理资产组合技术，金融行业开始建立一切种类的指数。在股票和债券市场已有反映各个方面的众多种指数、如，抵押贷款利率指数、贷款利率指数、外汇汇率指数等，而且，对每一个可以想象的市场板块均有其指数。
有些指数基于公众可用的信息，如股票价格、或消费品价格指数。有些是专用的，如花旗银行贷款利率指数，或摩根·斯坦利的EAFE 指数，后者跟踪国际股票市场的变化。拽数产生方式，有的靠简单平均，有的靠非常复杂的加权平均，或者靠相关分析。指数经常被用于对产品定价，如低押贷款指数；而且，还被用于考察某一特定投资组俣如何与某个市场的行情做比较，例如，与花旗银行发放的贷款指数相比较。
如果你想知道，你持有的普通股票的组合如何与特定市场的行情去比较，你可将你的投资组合按价值变换成按日经225指数，FTSE —100或道琼斯工业平均指数等折算的价值去做对比。我们就是用这样的方法来判断我们自己所发债券在资本市场上买卖情况是否良好，我们向公司发放的贷款和抵押贷款所定的价格是否合适，以及我们信贷亏损控制得是否恰当。
但要记住“由简到繁再回归于简”循环那个论题。一旦某些事被简化得象指数那样清晰，它就是被精细化了。实物资产的组合是由它的成分构成的，所以它的价格波动与指数变动相符合。凡是你能拥有的东西，都可被赋予一种指数，无论是股票、债券、外汇、不动产，一概可赋予一种指数。一种与指数匹配的资产组合，被分合成股份后，便可拿到市场去买卖。其实，买卖的已不再是那份资产，而是对应的“指数”，这对市场的参与者将更加方便。
期权定价模型
期权作为市场的证券在买卖。拥有一份期权就给予你在将来一个指定的日期前，按一个固定价格买或卖一种商品、证券或其他资产的权利。期权本质上并不是新的，自从17世纪以来，在商品市场上它一直被用来对冲市场的风险。新出现的是，针对形形色色的各种资产，形成了与之对应的种种期权市场，且是用数学来管理我们的期权交易活动。
最初，数学的分析需要极少。尽管期权的价格总随它依托的资产价格的波动而变化，这一点是明显的，但是，险了一些最肤浅的方法外，没有什么方法能解析地将期权价格和资产价格的联系建立起来。自然也就是无法预测期权的价格，因而也无法去量化它具有的风险。 这就提出了一个问题。投资者已开始在市场上买卖利率、汇率期权以便冲抵市场波动带来的风险，衍生产品市场就这样生长发展了，但是却没有分析的框架。
后来，当布莱克和休尔斯研究这个问题时，他们把注意力直接投向了描述热传导和布朗动运的数学。他们看清楚了那里所用的数学对描述期权价格波动的用途。他们二人采用了一个从物理学导出的现成数学体系，转而用于金融中相似的问题。布莱克休尔斯公式将资产价格的波动性、无风险利率与期权留存的时间联系在一起，用来预测期权本身的价格。
布莱克休尔斯公式首次发表于1`972年的《金融杂志》（应为1973年《政治经济学杂志》，译者注），这是革命性的。这是一个封闭形式的解。至少对服从随机游动的资产价格，它是经得起台式计算机实时演算检验的。交易者和投资者们，不仅能创造期权，给它定价、并能以解析地抵御风险的方式买卖这些期权，他们还可以用这种数学的方法论去大大扩展资产的集合。期权的价格现在可以从它依托的资产的价格波动性中导出。
衍生产品
商品期权交易出现几个世纪后，在本世纪的60年代到70年代初期，针对股票、债券、外汇的期权市场产生了。这些期权市场刚起步，就有了庞大的衍生产品市场。一种衍生产品是一种交易工具，它的价值基于它所依托的某种其他资产或某些指数。衍生产品是“假想”的，意思是它背后并无实物资产。
衍生产品可用于反映世界市场的全貌，或者该市场的任何一部分或一个侧面，其中包括，世界上绝大部分的股票、债券、货币和商品的市场。你可以买卖一种衍生产品，以抵消你希望抵消掉的任何风险。风险管理产品的定价是在衍生产品市场上进行的，而不是在货币市场上。衍生产品很流行，因为与所依托的资产比起来，它们更便宜且更容易交易，并且它提供了弥补复杂风险损失的机会。
然而，衍生产品容易交易的便利性，既是它的优点又是它的弱点。那些它能抵消的风险，也能以同样的效率被聚集到一起。就是这种集中风险的能力使得衍生产品背上了一个坏名声，但这并不是它的基本特性。巴林银行的交易员有获得2万股日经指数期权合同头寸的能力，本身就是对期权市场的效率与规模的一个注解。
请注意反复再现论题在衍生产品的历史中是如何表现的。
简单商品的期权已存在了几个世纪，早已被人们了解。后来，别的资产也开始被交易，但因没有分析的框架，事情变得越来越复杂。于是，出现了布莱克休尔斯公式，因而有了规则和秩序。简单——复杂——简单，“由简到繁再回归于简”。
其次，事情再次变简单后，市场发展了，规模变大了。更简单的衍生产品交易额是巨大的。正如我前面提到的，远期、期货、期权、掉期等类型的衍生产品在交易所场内外的交易合同未清偿金额名义总值现在（指1995年，译者注）已超过了20万亿美元，未清偿的已签合同任何时刻都保持在1亿份以上！
大量交易的衍生物的盈利余地薄如剃刀。资金少的小户只能让那些资金多的大户，去交易这些产品，这就是第三个论题谈的规模经营是必须的。
第四个论题在这里当然也又被阐明了。那些从解决自己的风险管理问题中学到的东西，正在变成获得回报的一个源泉。我们把先用于控制自己利率风险的办法转换成卖给我们客户的衍生产品和其他种类的产品。
最后，当市场走上正轨后，服务于高交易量衍生工具的机构和基础设施就随之建立起来。我们现在正面临着所谓的“产品性能风险”和“销售实施风险”。这两种风险，要么出自产品不能实现客户期望，要么出自交易本身错误地反映了客户的要求。金融行业通过80年代发生在英国的一桩有关一个地方政府的外汇掉期交易的实际案例懂得了这些事。而围绕加洲桔县（ORANGE ）最近那场灾难的法律诉讼也告诉我们历史在重复着自己。在美国，信孚银行的博彩与监督案是另一个实例。据报导，英国是电信卖给宝洁公司的掉期合同，已有33次影响了正常的掉期业务。在1份正规的5年期价值为1亿美元的利率互换协议上，一个百分点的利率变动，导致每次互换发生4百万美元的价值变化，这样总共的价值变化就是1亿3仟2百万美元（注：这份利率互换协议一共要进行33次互换，所以是4*33=132）。那么，客户是否理解？卖方真能说清其中的风险吗？
基于资产的证券
这种循环的另一个例子是资产证券市场的创立。资产证券是由消费者所持资产支持的证券（即，基于资产的证券），诸如，抵押贷款凭证、信用卡应收款凭证和各种商业资产凭证等，都被叫做基于资产的证券。
起先，并没有这种证券的市场。当我们支持某种产品的能力达到资产负债表所允许的极限时，我们不得不减缓或停止销售该种产品。它基于我们对价格风险和流动性风险的分析。后来，我们就开始把一些相对较少的个人资产，如抵押贷款，组合到一起，作为证券卖给投资者们。
开头只是私下进行的交易。这就成为一种新产品。那时我们不得不用给顾客颇高收益的方式来销售，从而降低了我们赢利的能力。
不久，一个崭新完整的资产证券市场便应运而生了，先是在美国，后来是世界其他有选择的一些国家。相应的旨数也被开发出来，使得生产、定价、交易都更加方便。十分复杂的数学模型也被建立了，它可以反映利率和预先付款率可能走过的不同途径。可上市交易的资产证券产生了按属性组装为“成篮子”的资产（即，通常所谓的“一揽子”交易，译者注），每个“篮子”里装有可以分“份儿”（Tranches ，出自法文，意思为“片”，译者注）的销售产品，刚好代表了所依托资产所含种种风险的不同侧面。例如，抵押贷款汇集在有担保的抵押贷款债务（即AMOs, Colllateralized Mortage Pbligations ）名目之下。这种“一揽子”销售的资产组合可以倒退成三类证券，一类主要代表本金风险，另一类将承担大部分利率风险，最后一类实质上是由提前付款合同产生的风险。风险曾经很高。量子炒作手占据过主导地位，导致判断失误，贪婪也曾起了太大的作用，使得许多资金因此而亏损了。
资产证券的市场也很大，且只有少量被买卖的资产证券被散布到其他形式的债务市场。在美国，约有1.7 万亿美元的抵押贷款证券可供使用，将近占抵押贷款全部未清偿金额的一半。有多于一千亿美元金额的信用卡应收款单据，差不多也是信用卡贷款全部未清偿金额的一半。
我们再回顾一下前面的五个论题：一、简单→复杂→简单的循环是，“由简到繁再回归于简”的循环：二、市场的兴起；三、规模；四、从我们自己的风险管理引出了新产品和收益回报是，始于风险管理终于收益回报，管理风险→创新产品→赢得回报；五、创新后的机构与基础设施改革也就是，体制改革。技术创新→产品创新→制度与基础设施创新。
IV 新的技术
现在我将转入讨论那些刚刚浮现的新技术。虽然诱人的布莱克休尔斯公式可以用于期权的快速定价，然而总存在着声称能更忠实地反映市场现实的新方法的“塞壬召唤”
（Siren-call ）。只要新办法比旧办法好，我们的交易员就会比竞争对手的交易员更聪明，至少在短时期内会增加我们的盈利余地。这样，我们就把更好的办法卖给了我们的客户，并因此拉开了我们与竞争对手在市场上的差距。
数值计算
首先，计算技术的进步使我们能采用比资本资产定价模型CAPM 更精细的资产组合模型。不
同证券之间相关性的识别系统正在开发，而这些相关性的预测工具则将是必需的。资产组合的构造与管理将变得更加精巧。
其次，布莱克休尔斯公式的分析假定了资产的回报服从正态分布，波动性和利率是常值。我们知道，现实并非如此。有太多的“6？”事件，我将它称作分布函数曲线有一个“肥厚的尾巴”。这就导致能处理有多个变量和未来波动性变化的数学方法的产生。我认为，这就是你们所说的ARCH 和GARCH 。有人告诉我，你们甚至有更复杂的词汇来描述它（广义自回归条件非齐性！）。就在上星期，花旗银行养老基金的投资委员会，采用了蒙特卡洛模拟方法来判定各种投资策略的影响。我们正在开发的新技术将依赖于多维的、确定性的抽样。这些方法会在许多种类衍生产品的蒙特卡洛方法的计算精度、置信度和计算速度（即，ACS ）方面胜过随机抽样。
跨学科的分析
另一个有前途的方法来自于我们花旗银行所支持的圣塔菲（SFI ）研究所的研究工作。上述论题有许多，都是从那里的研究整合得到的。在十年前开始时，圣塔菲研究所只是新墨西哥州洛斯·阿拉莫斯国家实验室的一个分支。在圣塔菲，数学的、物理学和社会科学的各种专家汇集在一起用计算机作为分析与表达的工具。他们用多学科的方式阐述相当复杂的问题，如经济的本性、自适应计算、免疫学等。在圣塔菲，基本而反复再现的主题有，复杂性、突破性、由简单规则所左右的成份相互作用而引发出复杂行为的系统。开始我们只是想把我们对全球经济的理解理出个头绪。这个在圣塔菲研究所进行的经济研究计划，是由阿瑟（Brian Athur ）教授领导的，他从前是斯坦福大学的教授，现在则是在圣塔菲的花旗银行的教授。他深深地影响了我们对创新和经济发展的思路，不过他并未影响了我们对创新和经济发展的思路，不过他并未影响我们的决策。我们还没找到使之可操作的途径。我们还同圣塔菲一道开发更好的技术，以便从大量杂乱无章的数据中发掘出有实质意义的信息。例如把各种类型的过滤方法有针对性地用于消费者银行的市场拓展。
在其他领域，如海洋学领域，所开发的信号处理工具，正在被用于金融分析。非线性预测、分形分析、神经网络和遗传算法正在被用于信用卡欺诈检测和交易模型之中。在信用卡亏损率预测中，用了非线性数学方示，获得了30%的改进，在交易结果中用遗传算法，据可信的报告，有了50%的改进。我们的消费者信用成本已接近25亿美元，若有30%改进，就会造成很大的改观。
最后，利用计算机功能进行模拟与可视化的新工具，将使我们能表现多维数据。在圣塔菲和
其他地方的研究暗示，复杂行为都是从遵循简单规则的大量参与者的相互作用造成的。这些研究工作暗示，我们可以通过用计算机对这些相互作用的对象进行模拟并使之显示于计算机屏幕上，从而使我们更好地理解金融市场。
未来的问题
现在，让我们转向未来。我们预料，某些近期的发展将来自更大、更好且更快类型的计算机。我们曾要在夜间以批处理方式运算的东西，如今已能移到桌面工作站上实时地完成。我们曾要送出去，让专门的程序编制部门帮助完成的工作，现在已能自己完成，而且也是实时的。越来越庞大的模型将推动建模艺术水平的不断提高。可提供有效的量子跃迁的新的数值技术将被开发。
借助于风险管理与建模，我们会看到，必须考虑不同市场之间的相互依赖关系。我们的模型将被整合到一起，并能包括更多的变量且能接触到最底层的交易。我们将能更聪明地抵消风险，以着眼全球的观点，审视我们的经营活动、我们的客户以及我们的风险。
再看远一些，无论如可，我们总会看到比我们的解析解不能奏效的挑战更多的人类行为不可预测性的挑战。我们宁愿能对下一次货币危机或市场“黑洞”提前作出预测，也不愿等到它发生后再被迫作出反应。我们喜欢依靠模型，也喜欢依靠经纪人的直觉和运作判断。
结论
到此，我希望已经使你们看到了数学在银行业中的作用。银行使用数学开发新产品，扩大他们对公司和消费者的业务，并且增加了资本市场的效率。重要的是，就我们每天做得最多的事情而论，我们赚取利润的能务，既来自我们管理这些风险的效率，又来自我们产品的盈利余地，两者的作用旗鼓相当。明确地说，数学给我们的训练是：
度量和控制风险；
给产品定价，评价资产负债表的收支平衡状况；
开发和完善产品；
通过拉大差距、创造新产品和全新的市场来对抗收益的被浸蚀；
创造一个振奋人心的环境吸引才华出众的人才。
期望我前面概述的五个反复出现的论题，会一直伴随着我们。我们将会看到，由简到繁再回归于简的循环，将在一个接一个的产品和一个接一个的市场上一再重现。随着市场成长，利润幅度将下降，规模经营是必须的。风险会造成更多的回报机会。机构体制和基础设施会奋
力跟上市场及其参与者的创新能力。
在这样的境况下，战略是重要的。在经济合作与发展组织成员国中，传统的银行业务并不是好业务。竞争优势很难取得。因此我们选择了（1）成为一个大型消费者银行；（2）积极参与新兴市场；（3）通过关注全球的客户和产品，拉大在经济合作与发展组织市场中与他人的差距。作为有效的经济合作与发展组织（OECD ）市场的参与者，我们必须参与分析并拥有技术。
在结束时，让我归纳一下，我们是怎样看待数学的。
我们是在人类行为的环境下，而不是在纯机械运动的环境下发挥作用的；诸如，直觉、贪欲、忧虑和畏惧等全都会发挥重要作用。我们行事的环境是复杂而不可再现的。
行为上重要的是直觉、整体观念和判断力，这些都难以用建模的办法处理。因此，纪律和管制就有必要。
金融产品是可以被建模的，但它仅是决策的一个要素。建模是用来支持决策的工具，它本身不是目的。
数学原理帮助我们做决策，整理数据，理解风险并从数据中分离出信息。
我们同时需要物理学与行为科学方面的科学家的参与才能取得成功。
我们必须在使用数学模型、人为判断以及用人方面维持平衡。我们所做的最重要的决策是让恰当的人在恰当的时间占据恰当的岗位。
明天，在银行业务和经济中，将会有许多激动人心的事，正象今天这样，也象昨天那样。我们乐于接受你们中的一些人去考虑你们的工作如何用于银行业，如何对我们面临的某些问题提供解答。谢谢！风险与回报：银行业中的数学保尔·柯林斯（Paul Collins ）1995年5月6日，在剑桥大学牛顿数学研究所的演讲。
注：
1、信用风险，即，借款方是否遵守还债信用的风险。
2、流动性风险，即，由于市场交易淡泊造成资金周转过缓的风险。
3、利率风险，即，因利率随时间变动而造成的风险。
4、汇率风险或异币种交易风险，即，异币种兑换时，因发生汇率变动造成的风险。
5、主权风险，即，一个负有债务的主权国家，因其影响外债的政策发生变动而造成的风险。
作者简介：保尔·柯林斯是花旗集团公司副主席，花旗集团公司与花旗银行的董事。他负责
专有投资业务并协调该集团公司的人事工作。此前，他曾负责花旗银行专有的与客户的投资活动和该公司新兴市场商务活动的战略管理，再早他还曾负责过公司的财务和行政管理工作。他于1961年参加花旗集团，并在投资管理组服务了14年，担任首席投资官5年。随后他还主管过公司的计划部、财务处、掌管过会计、控制以及金融市场组。从1989年4月起担任副主席，当时，他还是欧洲和中东地区负责公司战略规划和商务协调的公司资深官员。柯林斯先生出生于美国威斯康星州西奔德市，1958年毕业于威斯康星大学，1961年毕业于哈佛大学商业行政管理研究生院。他现在还是金博利、克拉克公司和诺基亚公司的董事，卡内基游说厅的理事，中央公园管理委员会和格林德波恩艺术信托公司的理事。