绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试
数学试题
本套试卷分试题卷和答题卷两部份，试题卷共6页，答题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上，并认真核对姓名与考号；
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效；
3．非选择题（主观题）用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0．5毫米黑色签字笔； 4．考试结束后，请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交．
第一卷 （选择题，共36分）
一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是（ ）
（A）a⋅a=a （B）(x+y)2=x2+y2 （C）(a3b)2=a6b2 （D）a2÷a3=a(a≠0)
2
3
6
2．方程组⎨
⎧|x+1|=4⎩x=2x+3
2
的解是（ ）
（A）－1 （B）3 （C）－1或3 （D）－5或3
3．如右图所示，图①表示正六棱柱形状的高大建筑物，图②中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域（各区域均不含边界），若小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（ ）
（A）P区域 （B）Q区域 （C）M区域 （D）N区域 N4．小李骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段P时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像
是（ ）
距学校的距离
距学校的距离
距学校的距离
①
第3题图
②
5．南山中学高一年级有四名学生A、B、C、D参加了校团委举办的“南山中学百佳、百杰学生”
O
（A）
时间O
（B）
时间O
（C）
时间
O
（D）
时间
的选举，已知候选人D得票比B得票多，候选人A、B得票之和超过C、D得票之和，候选人A、C得票之和与B、D得票之和相等，则这四人得票数由高到低的次序排列,他们依次为（ ） （A）A、D、C、B （B）D、B、A、C （C）D、A、B、C （D）A、D、B、C 6．南山中学数学建模小组的同学们在研究15、12、101111
-=-，12151012
他们就将具有这样性质的有序的三个数称之为调和数．若x、y、2 （x、y均为正整数）是一组调和数，则x、y的值（ ）
（A）有一组 （B）有两组 （C）有三组 （D）有无数组
7．如下图所示，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、F，当线段EF最小时，cos∠EFD的值等于（ ） （A）
343 （B） （C） （D
） 5544
BE
E
D
C
A
8．如上图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且使得△AEF为等边三角形，则△AEF与梯形ABCF的面积之比为（ ） （A
1 （B
FC第7题图
A
第8题图
B
2 （C） （D
）4-31
在同一直角坐标系内的图象如下图所示，给出下列结论： x
2
9．已知函数y=x，y=x和y=
1
>a>a2，那么0
12
②如果a>a>，那么a>1；
a
12
③如果>a>a，那么-1
a
12
④如果a>>a时，那么a
a
①如果
则其中正确结论的序号为（ ）
（A）①④ （B）②③ （C）①②③ （D）①②④
入口
12
34第10题图
56
10．上右图为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等边三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过五层净化后流入底部的六个出口中的一个．下列判断： ①六个出口的出水量相同；
②2号出口的出水量与5号出口的出水量相同； ③1，2，3号出水口的出水量之比约为1∶5∶10；
④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的16倍． 其中，正确的判断个数是（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 11．如下图所示，在Rt△ABC中，∠A=2∠B，CD为∠C的内角平分线，若AD=2，则CD等于（ ）
（A）
（B
（C）
（DC
B
D
第11题图
A
第12题图
12．如上图所示，点A、D在以BC为直径的半圆上，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若AE=3
，CD=BC等于（ ）
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
第二卷 （非选择题，共114分）
二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13．按下图程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个x”到“结果是否>10”为一次操作．若操作进行三次才停止，则x的取值范围是___________．
第13题图
14．如下图所示，直线l1、l2、l3、l4及m1、m2、m3、m4分别平行，且S四边形ABCD=100,S四边形EFGH=20，则S四边形PQRS=__________．
l1A
E
QB
第14题图HR
S
l2
l3
l4m4
m3m2
m1
15．如上图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为________________．
16．小明每天下午5点放学回家时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家．有一天，学校提前1小时放学，小明自己步行回家，在途中遇到开车接他的爸爸，结果比平时早了20分钟到家．则小明步行______________分钟遇到来接他的爸爸．
17．已知关于x的一元二次方程x2x+(m+1)=0对任意的实数a均有实数根，则实数m的取值范围是____________．
18．如右图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知∠DAC=60︒，边CD上有一点S，满足
第15题DSAD
=．线段OC上有一点M，OS与MB交于点L，联结CL、SM．给出以下结论： SCAC
L
①SM//BD与SM//CL等价；
CMAC
=，则点L在AD的延长线上； MOAOSM1
=，则AD=DL； ③若
CL3
②若④若
D
O
C
S∆SCM
=k，则方程x2-3kx+1=0无等根． S∆BCM
A
B
第18题图
其中，正确的结论有____________（填所有正确结论的序号）．
三．解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）解答下列各题： （1
）计算：()-1-|sin30︒-1|+(-1)106(2014-π)0；
1
3
20142-1201320142+2014-2
⋅+（2）计算：．
20142-4028+120152016
20．（本小题满分12分）做服装生意的唐老板经营甲、乙两个店铺．每个店铺在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获利润分别为30元和40元，乙店铺获利润分别为27元和36元．某日，唐老板进A款式服装35件，B款式服装25件，怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺获利润不小于950元的前提下，唐老板获取的总利润最大？最大总利润是多少？ 21．（本小题满分12分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“百”、“年”、“经”、“典”、“南”、“山”的六个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （Ⅰ）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“南”的概率；
（Ⅱ）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成 “经典”或“南山”的概率P1；
（Ⅲ）从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记取出的两个球上的汉字恰能组成 “经典”或“南山”的概率为P2，指出P1，P2的大小，并证明你的结论． 22．（本小题满分12分）如右图所示，已知点A（4，0），点By在y轴上，经过A、B两点的直线与反比例函数y=
k
(k≤-1)在x
OB
x
第四象限的图像只有一个公共点．又一次函数y=x-2k的图像与x轴、y轴分别交于点C、D两点．当四边形ABCD的面积最小时，求k的值及面积的最小值． 23．（本小题满分12分）如右图所示，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点分别为O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．已知直线l经过点M，分别与边OA、DE相交，且将多边形OABCDE分成面积相等的两部分． （Ⅰ）若点M(0,
第22题图
yA
BC
D
11
)，求直线l的函数表达式； 3
（Ⅱ）是否存在一点M，使得过点M有无数条直线l将多边形OABCDE分成面积相等的两部分？若存在，求出M的坐标；否则，说明理由．
O
第23题图
E
24．（本小题满分12分）如下图所示，O1与O2外切于点O，直线l分别与O1、O2外切
于点A、B，分别与x轴、y
轴交于点M、C(0,2)． （Ⅰ）求
O1的半径长；
（Ⅱ）在直线l上找一点P，使得∆MO1P与∆MOB相似，并求出点P的坐标．
25．（本小题满分14分）如下图所示，过y轴上一点M（0，1）作直线与二次函数y=
12
x的图4
像交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足为C、D，直线l过点M关于原点O的对称点N，且与y轴垂直．过点A作l的垂线，垂足为E． （Ⅰ）当A点的横坐标是－1时，证明AM=AE； （Ⅱ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），求OC⋅OD+AC⋅BD的值； （Ⅲ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），试判断直线l与以AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．
yDOE
B
C
l
N
第25题图
绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试
数学参考答案及评分标准
一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）
1．C．显然(a3b)2=a6b2正确，故选择C．
⎧|x+1|=4⎧x+1=4或x+1=-4⎧x=-5或x=32．B．⎨2⇒⎨⇒⎨⇒x=3，故选择B．
⎩x=-1或x=3⎩x=2x+3⎩(x-3)(x+1)=0
3．B．显然P、N区域只能给看到一面，M区域只能看到两面，Q区域可以看到三面，故选择B．
4．C．开始时匀速行驶，此时对应的图像为直线，函数的图像递减．途中因交通堵塞停留了一段时间，此时到学校的距离为常数，最后加快速度行驶对应的曲线为上凸曲线，故选择C．
⎧d>b⎪
5．D．用a、b、c、d依次表示A、B、C、D的得票，由条件可得⎨a+b>c+d，于是
⎪a+c=b+d⎩
(b+d-c)+b>c+d,∴b>c，a+b>(b
+d-a)+d,∴a>d，于是a>d>b>c，故选择D．
22112y
6．B．由已知得=+⇒x=．当y=1时，x=（舍去）；当y=2时，x=2；当
y=3
3yx
24-y
时，x=6，所以
x、y的值有两组，故选择B．
7．A．由EF=CD，于是当CD与AB垂直时，EF最小．
3
此时∠EFD=∠CDF=∠BDE=∠BAC，于是cos∠EFD=cos∠BAC=，故选择A．
5
8．D．令BE=x，则AE=AF=EF=∴DF=x,CF=CE=1-x(0
2
2
2
+x2)
S∆AEF
于是==4-D．
2-xS梯形ABCF
2
1122
9．A．由图像知，当0a>a成立，当a>1时，a>a>，当-1
aa
1122
时，a>a>，当a>a，故选择A．
aa
15101051,,,,,，10．C．若进水量为1，则从左到右的六个出水口的出水量依次为：
[1**********]2
于是②③正确．水流量最大与最小的三角形分别是最上面的三角形与第五排最左（或最右）的三角形，流经最上面的三角形的水量为1，而流经第五排最左（或最右）的三角形的水量为
1，16
于是④正确．故选择C．
11．D．如图，令AB边的高线为CF，在CB上作一点E，使得CA=CE，联结DE，则△CAD≌
△CED，所以∠CED=∠CAD=2∠B,∴∠BDE=∠B,∴BE=DE=AD=2． 过E作EG⊥BD交BD于G，由∠ABC=30︒得EG=1，
于是BG=
GD=∴AB=2+CA=1
B
G
DF第11题图
AC
在△ACF
中可得CF=
31+3∴FD=． AF=
222
在△CDF
中可得CDD．
12．C．如图，延长BA、CD交于点F．由条件可得BD是等腰△BCF的角
平分线，可得CD=AD=DE=∆CDE∽∆CAF得
第12题图
CECD=⇒=,∴CE=
5,∴AF==4． CFCACE+3
BC2=AB2+CA2=(BF-AF)2+CA2，
BC2=(BC-4)2+82,∴BC=10，故选择C．
13⎧9x-8≤104
果为3(9x-8)-2=27x-26．由条件得⎨,∴
⎩27x-26>103
14．由图可知：S四边形ABCD=S四边形EFGH+2(S四边形PQRS-20),∴S四边形PQRS=60．
15．圆锥底面周长2π等于扇形的弧长，于是可得扇形的半径等于4cm，于是圆锥的高为
=．
16．由已知得，爸爸从接到他的位置A处开车到达学校B，则往返AB段开车用时为20分钟，单程AB段开车用时10分钟，于是小明步行了50分钟．
17．由条件得∆=a+2a+2-4(m+1)≥0对任意的实数a恒成立， 即(a+1)-(4m+3)≥0,∴4m+3≤0,∴m≤-18．设OS与AD交于点L'．由
2
2
3． 4
DSAD
=知AS为∠DAC的角平分线． SCAC
由∠DAC=60︒及OA=OD，知∆DAO为正三角形，有AD=AO．又由AS平分∠DAC，知 ∆ASO≌∆ASD⇒∠ASL'=∠ASC⇒∆ASO≌∆ASC．又∠DAC=60︒，则∆ACL'为正三
角形，且S为其中心．
设BM与
AD的延长线交于L''． 注意到SM//BD⇔
CMCSACACCM1BMBC1
====2⇔=⇔== MOSDADAOAM2ML''AL''2
⇔DL''=AD⇔∆ACL''为正三角形．
故SM//BD⇔点L'与点L''重合⇔点L在AD的延长线上⇔S为正∆ACL的中心
OSOM1SM1
==⇔SM//CL,且=，因此①②③正确． SLMC2CL3SSSSSCCMOCSCAC2注意到∆SCM=∆SCM⋅∆OCD⋅∆OCB=⋅⋅====k，
S∆BCMS∆OCDS∆OCBS∆BCMCDOCCMCDAC+AD3⇔
则方程x-3kx+1=0有等根1． 综上，正确的结论有①②③．
三．解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 19．（1）原式=3-|
2
1111
-1|+1-2-1=3--2=1-=．„„„„„„„„„„„„„„„8分 2222
a2-1a-1a2+a-2
⋅+（2）令a=2014，则原式=2
a-2a+1a+1a+2
(a-1)(a+1)a-1(a-1)(a+2)=⋅+=1+(a-1)=a=2014．„„„„„„„„„„„8分 2
(a-1)a+1a+2
20．分配给甲店铺A款式服装x件（x取整数，且5≤x≤30）， 则分配给甲B款式服装30－x件．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 分配给乙店铺A款式服装35－x件，
分配给乙B款式服装[25－（30－x）]=x－5件．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 甲店铺的利润为y甲，则有y甲=30x+40(30-x)=1200-10x，„„„„„„„„„„„6分 乙店铺的利润为y乙，则有y乙=27(35-x)+36(x-5)=9x+765，„„„„„„„„„„8分 于是总利润y总=y甲+y乙=(1200-10x)+(9x+765)=-x+1965． 由条件得y乙=9x+765≥950，解得x≥20
5
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 9
对于y总=-x+1965随着x的增大而减小，要使y总最大，则x必须最小． 又x≥20
5
，故取x=21，即分配给甲店铺A、B两种款式服装21件与9件，分配给乙店铺A、B9
两种款式服装14件与16件．此时，既保证乙店铺获利润不小于950元，又保证了在此前提下，唐老板获取的总利润最大，最大利润是y总=-21+1965=1944元．„„„„„„„„„12分 21．（Ⅰ）任取一球，共有6种不同结果，所以球上汉字刚好是“南”的概率P=（Ⅱ）由题知树状图如下：
百年 经 典 南 山
典百 年 经 南 山
年百 经 典 南 山
南百 年 经 典 山
经百 年 典 南 山
山百 年 经 典 南
1
„„„„„3分 6
„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 42
共有30种不同取法，能满足要求的有4种，所以P．„„„„„„„„„„„„7分 ==1
3015
（Ⅲ）P1>P2 ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 各种情况列表如下：
一共有36种结果，满足要求的结果有4种，于是P2==，所以P1>P2．„„„„„„12分
369
22．经过点A（4，0）的直线的函数表达式令为y=m(x-4)(m≠0)，„„„„„„„„„1分
k⎧⎪y=2由⎨可得：mx-4mx-k=0．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
3分 x⎪⎩y=m(x-4)
因为直线与反比例函数图像只有一个公共点，
于是∆=16m+4mk=0,∴k=-4m．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 易得C(2k,0),D(0,-2k),B(0,k)，可得AC=4-2k,BD=-3k．„„„„„„„„„„7分
2
11
BD⨯AC=(-3k)(4-2k)=3k(k-2) 22
=3k2-6k=3(k-1)2-3(k≤-1)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 于是当k=-1时，S四边形ABCD有最小值，最小值等于9．„„„„„„„„„„„„„„„12分
于是S四边形ABCD=
23．（Ⅰ）如图1，延长BC交x轴于F，联结OB、AF交于P，联结DF、CE交于Q． 易知P（2，3），Q（5，2）是两个矩形的中心，过P的直线将矩形OABF的面积平分，过Q的直线将矩形CDEF的面积平分，于是直线PQ将多边形OABCDE的面积平分．„„„„„2分
yAG
PO
BDH
yAM
BC
DH
O
E
第23题解答图3
FE
第23题解答图1
第23题解答图2
111
x+．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 33
11111
显然M(0,)在y=-x+上，且M不是GH的中点，
333
111
故直线l的函数表达式为y=-x+．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
331111
另解 如图2，令过M(0,)的直线的表达式为y=kx+，与DE交于点H，
3311
则H的坐标为(6,6k+)，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
3
直线PQ的函数表达式为y=-
1111(+6k+)⨯6
则S梯形OMHE==18k+22．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 2
而S多边形OABCDE=6⨯4+2⨯4=32．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
1111
由题意得18k+22=16,∴k=-，于是直线l的表达式为y=-x+．„„„„„„„5分
333
111
（Ⅱ）如图3，由（Ⅰ）知直由线l的函数表达式为y=-x+，
33
115
可得G(0,),H(6,)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
33
8
令M为GH的中点，则M的坐标为(3,)，此即为满足条件的点M．„„„„„„„„„8分
3
证明如下：
另取一条过点M(3,)的直线分别与OA、DE交于G1、H1． 注意到线段G1H1的中点也为M(3,)， 则S∆MGG=S∆MHH⇒S四边形OGHE
11
11
8
3
83
=S多边形AG1H1DCB，故G1H1也是满足条件的直线．„„„10分
83
由G1H1的任意性，知满足条件的直线有无数条．
故存在满足条件的点M，其坐标为(3,)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 24．（Ⅰ）如图1
，易知tan∠AMO2=令
=
∴∠AMO2=30︒．„„„„„„„„„2分 O1与O2的半径分别是R与r，则
MO1=2R,MO2=2r,由2R=R+r+2r,得R=3r=O
1的半径R=5分
∠BO2M=60,∴∠OO2B=120︒,∴∠BOO2=30︒=∠O2MB，
于是得∆MOB是等腰三角形，且∠BOM=30︒．
若存在满足条件的点P，则∠MO1P=30︒或∠MPO1=30︒．„„„„„„„„„„„„„7分 如图2，当∠MO1P=30︒时，由∠MO1C=30︒知，
点P与点C重合，此时，P(0,2)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 当∠MPO1=30︒时，作PH⊥x轴于点H，则Rt△PO1A≌Rt△PO1H，
（Ⅱ）
绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第11 页 共 12 页
︒
第24题解答图2
于是O1H=O1A=
P(-．
综上，所求点P的坐标是P
(0,2)或P(-．„„„„„„„„„„„„„„„„„12分
115），又M（0，1），于是AE=+1=．„„„„„„„„1分 444
5在Rt△ACM
中，AM===，
4
5
于是AM=AE=，结论得证．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
4
（Ⅱ）令A(xA,yA),B(xB,yB)，令直线AB的函数表达式为y=kx+1，
25．（Ⅰ）由已知得A（－1，
12⎧
⎪y=x2由⎨可得x-4kx-4=0．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 4⎪⎩y=kx+1
此方程之两根为A、B两点的横坐标 xA、xB，
且xAxB=-4，xA+xB=4k．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 又OC⋅OD+AC⋅BD=yAyB-xAxB=
1
(xAxB)2-xAxB=1+4=5．„8分 16
（Ⅲ）如图，令AB的中点为P，过P、B作直线l的垂线，垂足分别为Q、F，则PQ为梯形AEFB的中位线，由（Ⅱ）知xAxB=-4，
xA+xB=4k，且yA=kxA+1,yB=kxB+1．
AE+BF(yA+1)+(yB+1)
=于是PQ= 22
y+yBk(xA+xB)=A+1=+2=2(k2+1)．„„„„„„10分
22
在Rt△ACM中可得：
第25题解答图
AM==
==-xA11分
于是AB=AM+BM=(xB-xA)，
同理，在Rt△BDM
中可得：BM=xB „„„„„„„„„„„„„„„„12分
所以AB=(1+k)[(xA+xB)-4xAxB]=(1+k)(16k+16),∴AB=4(1+k)，„„„13分 所以PQ=
222222
1
AB,又PQ⊥l，于是以AB为直径的圆与直线l相切．„„„„„„„„„„14分 2
绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第12 页 共 12 页
绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试
数学试题
本套试卷分试题卷和答题卷两部份，试题卷共6页，答题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上，并认真核对姓名与考号；
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效；
3．非选择题（主观题）用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0．5毫米黑色签字笔； 4．考试结束后，请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交．
第一卷 （选择题，共36分）
一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是（ ）
（A）a⋅a=a （B）(x+y)2=x2+y2 （C）(a3b)2=a6b2 （D）a2÷a3=a(a≠0)
2
3
6
2．方程组⎨
⎧|x+1|=4⎩x=2x+3
2
的解是（ ）
（A）－1 （B）3 （C）－1或3 （D）－5或3
3．如右图所示，图①表示正六棱柱形状的高大建筑物，图②中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域（各区域均不含边界），若小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（ ）
（A）P区域 （B）Q区域 （C）M区域 （D）N区域 N4．小李骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段P时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像
是（ ）
距学校的距离
距学校的距离
距学校的距离
①
第3题图
②
5．南山中学高一年级有四名学生A、B、C、D参加了校团委举办的“南山中学百佳、百杰学生”
O
（A）
时间O
（B）
时间O
（C）
时间
O
（D）
时间
的选举，已知候选人D得票比B得票多，候选人A、B得票之和超过C、D得票之和，候选人A、C得票之和与B、D得票之和相等，则这四人得票数由高到低的次序排列,他们依次为（ ） （A）A、D、C、B （B）D、B、A、C （C）D、A、B、C （D）A、D、B、C 6．南山中学数学建模小组的同学们在研究15、12、101111
-=-，12151012
他们就将具有这样性质的有序的三个数称之为调和数．若x、y、2 （x、y均为正整数）是一组调和数，则x、y的值（ ）
（A）有一组 （B）有两组 （C）有三组 （D）有无数组
7．如下图所示，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、F，当线段EF最小时，cos∠EFD的值等于（ ） （A）
343 （B） （C） （D
） 5544
BE
E
D
C
A
8．如上图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且使得△AEF为等边三角形，则△AEF与梯形ABCF的面积之比为（ ） （A
1 （B
FC第7题图
A
第8题图
B
2 （C） （D
）4-31
在同一直角坐标系内的图象如下图所示，给出下列结论： x
2
9．已知函数y=x，y=x和y=
1
>a>a2，那么0
12
②如果a>a>，那么a>1；
a
12
③如果>a>a，那么-1
a
12
④如果a>>a时，那么a
a
①如果
则其中正确结论的序号为（ ）
（A）①④ （B）②③ （C）①②③ （D）①②④
入口
12
34第10题图
56
10．上右图为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等边三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过五层净化后流入底部的六个出口中的一个．下列判断： ①六个出口的出水量相同；
②2号出口的出水量与5号出口的出水量相同； ③1，2，3号出水口的出水量之比约为1∶5∶10；
④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的16倍． 其中，正确的判断个数是（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 11．如下图所示，在Rt△ABC中，∠A=2∠B，CD为∠C的内角平分线，若AD=2，则CD等于（ ）
（A）
（B
（C）
（DC
B
D
第11题图
A
第12题图
12．如上图所示，点A、D在以BC为直径的半圆上，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若AE=3
，CD=BC等于（ ）
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
第二卷 （非选择题，共114分）
二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13．按下图程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个x”到“结果是否>10”为一次操作．若操作进行三次才停止，则x的取值范围是___________．
第13题图
14．如下图所示，直线l1、l2、l3、l4及m1、m2、m3、m4分别平行，且S四边形ABCD=100,S四边形EFGH=20，则S四边形PQRS=__________．
l1A
E
QB
第14题图HR
S
l2
l3
l4m4
m3m2
m1
15．如上图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为________________．
16．小明每天下午5点放学回家时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家．有一天，学校提前1小时放学，小明自己步行回家，在途中遇到开车接他的爸爸，结果比平时早了20分钟到家．则小明步行______________分钟遇到来接他的爸爸．
17．已知关于x的一元二次方程x2x+(m+1)=0对任意的实数a均有实数根，则实数m的取值范围是____________．
18．如右图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知∠DAC=60︒，边CD上有一点S，满足
第15题DSAD
=．线段OC上有一点M，OS与MB交于点L，联结CL、SM．给出以下结论： SCAC
L
①SM//BD与SM//CL等价；
CMAC
=，则点L在AD的延长线上； MOAOSM1
=，则AD=DL； ③若
CL3
②若④若
D
O
C
S∆SCM
=k，则方程x2-3kx+1=0无等根． S∆BCM
A
B
第18题图
其中，正确的结论有____________（填所有正确结论的序号）．
三．解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）解答下列各题： （1
）计算：()-1-|sin30︒-1|+(-1)106(2014-π)0；
1
3
20142-1201320142+2014-2
⋅+（2）计算：．
20142-4028+120152016
20．（本小题满分12分）做服装生意的唐老板经营甲、乙两个店铺．每个店铺在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获利润分别为30元和40元，乙店铺获利润分别为27元和36元．某日，唐老板进A款式服装35件，B款式服装25件，怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺获利润不小于950元的前提下，唐老板获取的总利润最大？最大总利润是多少？ 21．（本小题满分12分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“百”、“年”、“经”、“典”、“南”、“山”的六个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （Ⅰ）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“南”的概率；
（Ⅱ）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成 “经典”或“南山”的概率P1；
（Ⅲ）从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记取出的两个球上的汉字恰能组成 “经典”或“南山”的概率为P2，指出P1，P2的大小，并证明你的结论． 22．（本小题满分12分）如右图所示，已知点A（4，0），点By在y轴上，经过A、B两点的直线与反比例函数y=
k
(k≤-1)在x
OB
x
第四象限的图像只有一个公共点．又一次函数y=x-2k的图像与x轴、y轴分别交于点C、D两点．当四边形ABCD的面积最小时，求k的值及面积的最小值． 23．（本小题满分12分）如右图所示，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点分别为O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．已知直线l经过点M，分别与边OA、DE相交，且将多边形OABCDE分成面积相等的两部分． （Ⅰ）若点M(0,
第22题图
yA
BC
D
11
)，求直线l的函数表达式； 3
（Ⅱ）是否存在一点M，使得过点M有无数条直线l将多边形OABCDE分成面积相等的两部分？若存在，求出M的坐标；否则，说明理由．
O
第23题图
E
24．（本小题满分12分）如下图所示，O1与O2外切于点O，直线l分别与O1、O2外切
于点A、B，分别与x轴、y
轴交于点M、C(0,2)． （Ⅰ）求
O1的半径长；
（Ⅱ）在直线l上找一点P，使得∆MO1P与∆MOB相似，并求出点P的坐标．
25．（本小题满分14分）如下图所示，过y轴上一点M（0，1）作直线与二次函数y=
12
x的图4
像交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足为C、D，直线l过点M关于原点O的对称点N，且与y轴垂直．过点A作l的垂线，垂足为E． （Ⅰ）当A点的横坐标是－1时，证明AM=AE； （Ⅱ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），求OC⋅OD+AC⋅BD的值； （Ⅲ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），试判断直线l与以AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．
yDOE
B
C
l
N
第25题图
绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试
数学参考答案及评分标准
一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）
1．C．显然(a3b)2=a6b2正确，故选择C．
⎧|x+1|=4⎧x+1=4或x+1=-4⎧x=-5或x=32．B．⎨2⇒⎨⇒⎨⇒x=3，故选择B．
⎩x=-1或x=3⎩x=2x+3⎩(x-3)(x+1)=0
3．B．显然P、N区域只能给看到一面，M区域只能看到两面，Q区域可以看到三面，故选择B．
4．C．开始时匀速行驶，此时对应的图像为直线，函数的图像递减．途中因交通堵塞停留了一段时间，此时到学校的距离为常数，最后加快速度行驶对应的曲线为上凸曲线，故选择C．
⎧d>b⎪
5．D．用a、b、c、d依次表示A、B、C、D的得票，由条件可得⎨a+b>c+d，于是
⎪a+c=b+d⎩
(b+d-c)+b>c+d,∴b>c，a+b>(b
+d-a)+d,∴a>d，于是a>d>b>c，故选择D．
22112y
6．B．由已知得=+⇒x=．当y=1时，x=（舍去）；当y=2时，x=2；当
y=3
3yx
24-y
时，x=6，所以
x、y的值有两组，故选择B．
7．A．由EF=CD，于是当CD与AB垂直时，EF最小．
3
此时∠EFD=∠CDF=∠BDE=∠BAC，于是cos∠EFD=cos∠BAC=，故选择A．
5
8．D．令BE=x，则AE=AF=EF=∴DF=x,CF=CE=1-x(0
2
2
2
+x2)
S∆AEF
于是==4-D．
2-xS梯形ABCF
2
1122
9．A．由图像知，当0a>a成立，当a>1时，a>a>，当-1
aa
1122
时，a>a>，当a>a，故选择A．
aa
15101051,,,,,，10．C．若进水量为1，则从左到右的六个出水口的出水量依次为：
[1**********]2
于是②③正确．水流量最大与最小的三角形分别是最上面的三角形与第五排最左（或最右）的三角形，流经最上面的三角形的水量为1，而流经第五排最左（或最右）的三角形的水量为
1，16
于是④正确．故选择C．
11．D．如图，令AB边的高线为CF，在CB上作一点E，使得CA=CE，联结DE，则△CAD≌
△CED，所以∠CED=∠CAD=2∠B,∴∠BDE=∠B,∴BE=DE=AD=2． 过E作EG⊥BD交BD于G，由∠ABC=30︒得EG=1，
于是BG=
GD=∴AB=2+CA=1
B
G
DF第11题图
AC
在△ACF
中可得CF=
31+3∴FD=． AF=
222
在△CDF
中可得CDD．
12．C．如图，延长BA、CD交于点F．由条件可得BD是等腰△BCF的角
平分线，可得CD=AD=DE=∆CDE∽∆CAF得
第12题图
CECD=⇒=,∴CE=
5,∴AF==4． CFCACE+3
BC2=AB2+CA2=(BF-AF)2+CA2，
BC2=(BC-4)2+82,∴BC=10，故选择C．
13⎧9x-8≤104
果为3(9x-8)-2=27x-26．由条件得⎨,∴
⎩27x-26>103
14．由图可知：S四边形ABCD=S四边形EFGH+2(S四边形PQRS-20),∴S四边形PQRS=60．
15．圆锥底面周长2π等于扇形的弧长，于是可得扇形的半径等于4cm，于是圆锥的高为
=．
16．由已知得，爸爸从接到他的位置A处开车到达学校B，则往返AB段开车用时为20分钟，单程AB段开车用时10分钟，于是小明步行了50分钟．
17．由条件得∆=a+2a+2-4(m+1)≥0对任意的实数a恒成立， 即(a+1)-(4m+3)≥0,∴4m+3≤0,∴m≤-18．设OS与AD交于点L'．由
2
2
3． 4
DSAD
=知AS为∠DAC的角平分线． SCAC
由∠DAC=60︒及OA=OD，知∆DAO为正三角形，有AD=AO．又由AS平分∠DAC，知 ∆ASO≌∆ASD⇒∠ASL'=∠ASC⇒∆ASO≌∆ASC．又∠DAC=60︒，则∆ACL'为正三
角形，且S为其中心．
设BM与
AD的延长线交于L''． 注意到SM//BD⇔
CMCSACACCM1BMBC1
====2⇔=⇔== MOSDADAOAM2ML''AL''2
⇔DL''=AD⇔∆ACL''为正三角形．
故SM//BD⇔点L'与点L''重合⇔点L在AD的延长线上⇔S为正∆ACL的中心
OSOM1SM1
==⇔SM//CL,且=，因此①②③正确． SLMC2CL3SSSSSCCMOCSCAC2注意到∆SCM=∆SCM⋅∆OCD⋅∆OCB=⋅⋅====k，
S∆BCMS∆OCDS∆OCBS∆BCMCDOCCMCDAC+AD3⇔
则方程x-3kx+1=0有等根1． 综上，正确的结论有①②③．
三．解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 19．（1）原式=3-|
2
1111
-1|+1-2-1=3--2=1-=．„„„„„„„„„„„„„„„8分 2222
a2-1a-1a2+a-2
⋅+（2）令a=2014，则原式=2
a-2a+1a+1a+2
(a-1)(a+1)a-1(a-1)(a+2)=⋅+=1+(a-1)=a=2014．„„„„„„„„„„„8分 2
(a-1)a+1a+2
20．分配给甲店铺A款式服装x件（x取整数，且5≤x≤30）， 则分配给甲B款式服装30－x件．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 分配给乙店铺A款式服装35－x件，
分配给乙B款式服装[25－（30－x）]=x－5件．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 甲店铺的利润为y甲，则有y甲=30x+40(30-x)=1200-10x，„„„„„„„„„„„6分 乙店铺的利润为y乙，则有y乙=27(35-x)+36(x-5)=9x+765，„„„„„„„„„„8分 于是总利润y总=y甲+y乙=(1200-10x)+(9x+765)=-x+1965． 由条件得y乙=9x+765≥950，解得x≥20
5
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 9
对于y总=-x+1965随着x的增大而减小，要使y总最大，则x必须最小． 又x≥20
5
，故取x=21，即分配给甲店铺A、B两种款式服装21件与9件，分配给乙店铺A、B9
两种款式服装14件与16件．此时，既保证乙店铺获利润不小于950元，又保证了在此前提下，唐老板获取的总利润最大，最大利润是y总=-21+1965=1944元．„„„„„„„„„12分 21．（Ⅰ）任取一球，共有6种不同结果，所以球上汉字刚好是“南”的概率P=（Ⅱ）由题知树状图如下：
百年 经 典 南 山
典百 年 经 南 山
年百 经 典 南 山
南百 年 经 典 山
经百 年 典 南 山
山百 年 经 典 南
1
„„„„„3分 6
„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 42
共有30种不同取法，能满足要求的有4种，所以P．„„„„„„„„„„„„7分 ==1
3015
（Ⅲ）P1>P2 ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 各种情况列表如下：
一共有36种结果，满足要求的结果有4种，于是P2==，所以P1>P2．„„„„„„12分
369
22．经过点A（4，0）的直线的函数表达式令为y=m(x-4)(m≠0)，„„„„„„„„„1分
k⎧⎪y=2由⎨可得：mx-4mx-k=0．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
3分 x⎪⎩y=m(x-4)
因为直线与反比例函数图像只有一个公共点，
于是∆=16m+4mk=0,∴k=-4m．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 易得C(2k,0),D(0,-2k),B(0,k)，可得AC=4-2k,BD=-3k．„„„„„„„„„„7分
2
11
BD⨯AC=(-3k)(4-2k)=3k(k-2) 22
=3k2-6k=3(k-1)2-3(k≤-1)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 于是当k=-1时，S四边形ABCD有最小值，最小值等于9．„„„„„„„„„„„„„„„12分
于是S四边形ABCD=
23．（Ⅰ）如图1，延长BC交x轴于F，联结OB、AF交于P，联结DF、CE交于Q． 易知P（2，3），Q（5，2）是两个矩形的中心，过P的直线将矩形OABF的面积平分，过Q的直线将矩形CDEF的面积平分，于是直线PQ将多边形OABCDE的面积平分．„„„„„2分
yAG
PO
BDH
yAM
BC
DH
O
E
第23题解答图3
FE
第23题解答图1
第23题解答图2
111
x+．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 33
11111
显然M(0,)在y=-x+上，且M不是GH的中点，
333
111
故直线l的函数表达式为y=-x+．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
331111
另解 如图2，令过M(0,)的直线的表达式为y=kx+，与DE交于点H，
3311
则H的坐标为(6,6k+)，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
3
直线PQ的函数表达式为y=-
1111(+6k+)⨯6
则S梯形OMHE==18k+22．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 2
而S多边形OABCDE=6⨯4+2⨯4=32．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
1111
由题意得18k+22=16,∴k=-，于是直线l的表达式为y=-x+．„„„„„„„5分
333
111
（Ⅱ）如图3，由（Ⅰ）知直由线l的函数表达式为y=-x+，
33
115
可得G(0,),H(6,)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
33
8
令M为GH的中点，则M的坐标为(3,)，此即为满足条件的点M．„„„„„„„„„8分
3
证明如下：
另取一条过点M(3,)的直线分别与OA、DE交于G1、H1． 注意到线段G1H1的中点也为M(3,)， 则S∆MGG=S∆MHH⇒S四边形OGHE
11
11
8
3
83
=S多边形AG1H1DCB，故G1H1也是满足条件的直线．„„„10分
83
由G1H1的任意性，知满足条件的直线有无数条．
故存在满足条件的点M，其坐标为(3,)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 24．（Ⅰ）如图1
，易知tan∠AMO2=令
=
∴∠AMO2=30︒．„„„„„„„„„2分 O1与O2的半径分别是R与r，则
MO1=2R,MO2=2r,由2R=R+r+2r,得R=3r=O
1的半径R=5分
∠BO2M=60,∴∠OO2B=120︒,∴∠BOO2=30︒=∠O2MB，
于是得∆MOB是等腰三角形，且∠BOM=30︒．
若存在满足条件的点P，则∠MO1P=30︒或∠MPO1=30︒．„„„„„„„„„„„„„7分 如图2，当∠MO1P=30︒时，由∠MO1C=30︒知，
点P与点C重合，此时，P(0,2)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 当∠MPO1=30︒时，作PH⊥x轴于点H，则Rt△PO1A≌Rt△PO1H，
（Ⅱ）
绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第11 页 共 12 页
︒
第24题解答图2
于是O1H=O1A=
P(-．
综上，所求点P的坐标是P
(0,2)或P(-．„„„„„„„„„„„„„„„„„12分
115），又M（0，1），于是AE=+1=．„„„„„„„„1分 444
5在Rt△ACM
中，AM===，
4
5
于是AM=AE=，结论得证．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
4
（Ⅱ）令A(xA,yA),B(xB,yB)，令直线AB的函数表达式为y=kx+1，
25．（Ⅰ）由已知得A（－1，
12⎧
⎪y=x2由⎨可得x-4kx-4=0．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 4⎪⎩y=kx+1
此方程之两根为A、B两点的横坐标 xA、xB，
且xAxB=-4，xA+xB=4k．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 又OC⋅OD+AC⋅BD=yAyB-xAxB=
1
(xAxB)2-xAxB=1+4=5．„8分 16
（Ⅲ）如图，令AB的中点为P，过P、B作直线l的垂线，垂足分别为Q、F，则PQ为梯形AEFB的中位线，由（Ⅱ）知xAxB=-4，
xA+xB=4k，且yA=kxA+1,yB=kxB+1．
AE+BF(yA+1)+(yB+1)
=于是PQ= 22
y+yBk(xA+xB)=A+1=+2=2(k2+1)．„„„„„„10分
22
在Rt△ACM中可得：
第25题解答图
AM==
==-xA11分
于是AB=AM+BM=(xB-xA)，
同理，在Rt△BDM
中可得：BM=xB „„„„„„„„„„„„„„„„12分
所以AB=(1+k)[(xA+xB)-4xAxB]=(1+k)(16k+16),∴AB=4(1+k)，„„„13分 所以PQ=
222222
1
AB,又PQ⊥l，于是以AB为直径的圆与直线l相切．„„„„„„„„„„14分 2
绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第12 页 共 12 页