第20卷 第3期 桂林工学院学报 Vol. 20No. 32000年7月 JOURNAL OF GUILIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY Jul. 2000
文章编号:1006-544X (2000) 03-0249-03
滑动最小二乘法在加权残值法中的应用
王杰光
(桂林工学院土木工程系, 广西桂林 541004)
摘 要:利用滑动最小二乘法构造试函数, 加权残值方法求出试函数中的系数, 进而得到定解问题的数值解。该法简化了选择试函数的过程, 尤其适用于岩土工程中的各种数值计算。关键词:滑动最小二乘法; 加权残值法
中图分类号:O241 8; O343 1; T U476 4 文献标识码:A y
加权残值法是一门新兴的计算力学方法, 它简便易行、精确可靠、工作量少, 目前已在许多领域中得到较广泛应用。用加权残值法解微分方程时关键的一步就是选择作为方程近似解的试函数, 试函数选择得当与否会影响计算结果及解的收敛速度。文献[1]给出了目前常用的20多种试函数, 但对一些实际问题, 解的形式一般很难预想, 因此, 要想得到恰当的试函数比较困难。本文采用滑动最小二乘法构造形如有限单元法中的位移模式来作为试函数, 它适用于求解各种微分方程, 计算方法简便, 实例表明其精度也较高。
a (x) 为m 维系数向量, 它可通过求下式的极小值而得到
J =
w i (x ) [p
i=1
n
T
(x i ) a(x) -u i ]
2
(7)
T
式中w i (x) 为i 结点权函数在x =(x , y ) 的取值。
对(7) 式关于a (x) 求极值, 可得到
A(x) a(x) =B(x) u
或其中B(x)
a(x) =A -1(x) B(x) u A(x) =
i=1
点
(8) (9) (10)
w i (x ) p(x i ) p T (x i )
n
1 滑动最小二乘法
设场函数u (x) , 其中(x ) =(x , y ) 为场点。若给定u (x) 在n 个结点上的值
u (x i ) =u i , i =1, 2, 3, , n 则由滑动最小二乘法可确定的一个近似函数m u (x ) =
j =1
=[w 1(x) p(x 1) , w 2(x) p (x 2) , , w n (x) p(x n ) ]
(11)
u =(u 1, u 2, , u n ) T
于是, (2) 式可写为如下形式
u (x) =
m i=1
(12)
(1)
[2]
:(2) (3) (4) (5) (6)
p j (x ) a j (x ) =
p T (x ) a(x )
n i (x ) u i =
n
N (x) u (13)
n i (x ) 称为形函数,
n i (x ) =
j =1
其中, p (x) 为m 维基向量, 在一维情况下, 有
p (x) =(1, x ) T , m =2 p (x) =(1, x , x 2) T , m =3 在二维情况下, 有
p (x) =(1, x , y ) T , m =3
p (x) =(1, x , y , x , x y , y ) , m =6
2
2T
p j (x) [A -1(x) B(x) ]ji
(14)
N(x ) =(n 1(x ) , n 2(x ) , , n n (x ) ) 由(14) 式可得到形函数关于坐标的偏导数:n i , k =
{p j , k [A
j =1
m
-1
1-1
B ]j i +p j [A -B , k ]ji }, k B +A
(15)
y
收稿日期:1999-09-10; 修订日期:1999-10-28。
(, , ,
250桂 林 工 学 院 学 报 2000年
1-1A -A , k A -1, k =-A
其中(16)
求解u i , 把得到的u i 代回(13) 式中, 即得u 的近似解u 。
权函数w i (x ) 的选取是非常重要的, 它关系到计算结果的精度。本文采用的权函数形式如下:
w i (x ) =w i (x -x i ) =w i (d i ) =
1-(d i /d mi )
0 ,
2k
3 实例分析
例:求悬臂式支护桩的解。
(17)
采用嵌岩桩对基坑进行支护, 若不考虑基坑内侧被动土压力的作用, 则支护桩等价为一受三角形分布荷载作用的悬臂梁(图1) , 其挠度微分方程式及边界条件为:
q 04EJ -x =0
L d x 4W |
x =L
, d i ! d mi d i >d mi
其中, d i =∀x -x i ∀为x i 与x 的距离, d mi 为结点i 的影响半径, 它的取值应保证矩阵A 是非奇异的; k #1, 本文取k =2。
2 加权残值法
设某一科学问题中的控制微分方程式及边界条件分别为:
F u -f =0 (v 域内) G u -g =0 (s 边界面)
不含u 的项。
为解该定解问题, 用(13) 式所确定的作为待定函数u 的一个近似解, u i 作为待定系数, 将(13) 式代入(18) 式及(19) 式, 得到内部残值R V 及边界残值R S
R V =F u -f %0R S =G u -g %0
(20) (21) (18) (19)
=0, W &|
x =L x =L
=0=0
(23)
W ∋|x =0=0, W |
式中:u ∃待定函数; F, G ∃微分算子; f , g ∃
图1 悬臂梁受三角形荷载作用
Fig 1 Cantilever beam acted with tr iangular load
其材料力学解为
W (x ) =
q 0
(x 5-5xL 4+4L 5)
120EJL
(24)
通过适当的方法选择待定系数u i , 则可使残值最小。本文采用最小二乘配点法求解系数u i , 即由下列方程
用11个结点把梁十等分, 即n=11, 由本文方法得到的结果与理论结果的比较见图2。由图2中曲线可见, 本文方法得到的挠度和弯矩与精确解非常接近。图中W 0=q 0L 4/EJ, M 0=q 0L 2。
R u i
i=1
r
=0 (i =1, , n; r #n ) (22)
图2 三角形分布荷载作用的悬臂梁挠度(a) 和弯矩解(b) 的比较曲线
Fig 2 Curves of bend (a) and momentum (b) of a cantilever
1∃理论解; 2∃本文解
第20卷 第3期 王杰光:滑动最小二乘法在加权残值法中的应用251
4 结束语
采用滑动最小二乘法构造加权残值法中的试函数, 方法简便, 适用性强, 精度较高。实例中虽然只讨论了一维的简单问题, 但其方法在二维、三维问题上也是可行的。
参考文献:
[1] 徐次达, 陈学朝, 郑瑞芬, 等. 新计算力学加权残值法
∃∃∃原理、方法及应用[M ].上海:同济大学出版社, 1997. 19~21.
[2] Bely tschko T , Lu Y Y, Gu L. Element -f ree galer kin
methods [J ].I nternational Journal f or N umer ical Meth ods in Engineering, 1994, 37:229~256.
The application of moving least squares method
interpolant to weighted residuals
WANG Jie guang
(Dep ar tment of Civil Engineer ing , Guilin I nstitute o f Technology , Guilin 541004, China) Abstract:Moving least squares method is applied to constructing trial functions . The coefficients in trial function are obtained by the method of w eighted residuals , and therefore the numerical results of the bound ary value problems are given. The procedure in selecting trial function is simplified by this method, w hich is especially adopted to numerical calculations in geotechnique engineering. Key words:moving least squares method; w eighted residuals method
袁奎荣、邓燕华教授应邀赴美讲学
应美国科罗拉多大学邀请, 2000年2月桂林工学院博士生导师袁奎荣教授和副导师邓燕华教授在科罗拉多大学丹佛校本部作了有关(翡翠) 的专题学术报告。报告中扼要介绍了翡翠矿床的成因、中国翡翠矿床的找矿前景、翡翠质量评价等, 重点介绍了赌石地质预测的研究成果。听讲者除科罗拉多地学系师生外, 还有科罗拉多大学原副校长J G 韦尔霍普教授夫妇及莱马索里教授等, 不少中国留学生也参加听讲。会后还进行了讨论和座谈, 大家提出了许多很有意义的问题, 对报告给予了极高的评价。此行, 两位教授参观了美国一些著名的自然博物馆, 还去美国图森参加了世界上规模最大的珠宝、矿物和化石展销会。 袁、邓教授多年来一直从事翡翠研究, 已指导博士和硕士研究生4届, 对翡翠的成矿条件、翡翠质量评价、翡翠矿床在我国的找矿远景, 特别在优质翡翠成因与显微构造关系和赌石地质预测方面进行了深入研究并有独到的见解。曾先后在北京、杭州、上海、天津、南京、长沙、成都、昆明、广西和西安等地作过学术报告, 受到与会者普遍好评。
第20卷 第3期 桂林工学院学报 Vol. 20No. 32000年7月 JOURNAL OF GUILIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY Jul. 2000
文章编号:1006-544X (2000) 03-0249-03
滑动最小二乘法在加权残值法中的应用
王杰光
(桂林工学院土木工程系, 广西桂林 541004)
摘 要:利用滑动最小二乘法构造试函数, 加权残值方法求出试函数中的系数, 进而得到定解问题的数值解。该法简化了选择试函数的过程, 尤其适用于岩土工程中的各种数值计算。关键词:滑动最小二乘法; 加权残值法
中图分类号:O241 8; O343 1; T U476 4 文献标识码:A y
加权残值法是一门新兴的计算力学方法, 它简便易行、精确可靠、工作量少, 目前已在许多领域中得到较广泛应用。用加权残值法解微分方程时关键的一步就是选择作为方程近似解的试函数, 试函数选择得当与否会影响计算结果及解的收敛速度。文献[1]给出了目前常用的20多种试函数, 但对一些实际问题, 解的形式一般很难预想, 因此, 要想得到恰当的试函数比较困难。本文采用滑动最小二乘法构造形如有限单元法中的位移模式来作为试函数, 它适用于求解各种微分方程, 计算方法简便, 实例表明其精度也较高。
a (x) 为m 维系数向量, 它可通过求下式的极小值而得到
J =
w i (x ) [p
i=1
n
T
(x i ) a(x) -u i ]
2
(7)
T
式中w i (x) 为i 结点权函数在x =(x , y ) 的取值。
对(7) 式关于a (x) 求极值, 可得到
A(x) a(x) =B(x) u
或其中B(x)
a(x) =A -1(x) B(x) u A(x) =
i=1
点
(8) (9) (10)
w i (x ) p(x i ) p T (x i )
n
1 滑动最小二乘法
设场函数u (x) , 其中(x ) =(x , y ) 为场点。若给定u (x) 在n 个结点上的值
u (x i ) =u i , i =1, 2, 3, , n 则由滑动最小二乘法可确定的一个近似函数m u (x ) =
j =1
=[w 1(x) p(x 1) , w 2(x) p (x 2) , , w n (x) p(x n ) ]
(11)
u =(u 1, u 2, , u n ) T
于是, (2) 式可写为如下形式
u (x) =
m i=1
(12)
(1)
[2]
:(2) (3) (4) (5) (6)
p j (x ) a j (x ) =
p T (x ) a(x )
n i (x ) u i =
n
N (x) u (13)
n i (x ) 称为形函数,
n i (x ) =
j =1
其中, p (x) 为m 维基向量, 在一维情况下, 有
p (x) =(1, x ) T , m =2 p (x) =(1, x , x 2) T , m =3 在二维情况下, 有
p (x) =(1, x , y ) T , m =3
p (x) =(1, x , y , x , x y , y ) , m =6
2
2T
p j (x) [A -1(x) B(x) ]ji
(14)
N(x ) =(n 1(x ) , n 2(x ) , , n n (x ) ) 由(14) 式可得到形函数关于坐标的偏导数:n i , k =
{p j , k [A
j =1
m
-1
1-1
B ]j i +p j [A -B , k ]ji }, k B +A
(15)
y
收稿日期:1999-09-10; 修订日期:1999-10-28。
(, , ,
250桂 林 工 学 院 学 报 2000年
1-1A -A , k A -1, k =-A
其中(16)
求解u i , 把得到的u i 代回(13) 式中, 即得u 的近似解u 。
权函数w i (x ) 的选取是非常重要的, 它关系到计算结果的精度。本文采用的权函数形式如下:
w i (x ) =w i (x -x i ) =w i (d i ) =
1-(d i /d mi )
0 ,
2k
3 实例分析
例:求悬臂式支护桩的解。
(17)
采用嵌岩桩对基坑进行支护, 若不考虑基坑内侧被动土压力的作用, 则支护桩等价为一受三角形分布荷载作用的悬臂梁(图1) , 其挠度微分方程式及边界条件为:
q 04EJ -x =0
L d x 4W |
x =L
, d i ! d mi d i >d mi
其中, d i =∀x -x i ∀为x i 与x 的距离, d mi 为结点i 的影响半径, 它的取值应保证矩阵A 是非奇异的; k #1, 本文取k =2。
2 加权残值法
设某一科学问题中的控制微分方程式及边界条件分别为:
F u -f =0 (v 域内) G u -g =0 (s 边界面)
不含u 的项。
为解该定解问题, 用(13) 式所确定的作为待定函数u 的一个近似解, u i 作为待定系数, 将(13) 式代入(18) 式及(19) 式, 得到内部残值R V 及边界残值R S
R V =F u -f %0R S =G u -g %0
(20) (21) (18) (19)
=0, W &|
x =L x =L
=0=0
(23)
W ∋|x =0=0, W |
式中:u ∃待定函数; F, G ∃微分算子; f , g ∃
图1 悬臂梁受三角形荷载作用
Fig 1 Cantilever beam acted with tr iangular load
其材料力学解为
W (x ) =
q 0
(x 5-5xL 4+4L 5)
120EJL
(24)
通过适当的方法选择待定系数u i , 则可使残值最小。本文采用最小二乘配点法求解系数u i , 即由下列方程
用11个结点把梁十等分, 即n=11, 由本文方法得到的结果与理论结果的比较见图2。由图2中曲线可见, 本文方法得到的挠度和弯矩与精确解非常接近。图中W 0=q 0L 4/EJ, M 0=q 0L 2。
R u i
i=1
r
=0 (i =1, , n; r #n ) (22)
图2 三角形分布荷载作用的悬臂梁挠度(a) 和弯矩解(b) 的比较曲线
Fig 2 Curves of bend (a) and momentum (b) of a cantilever
1∃理论解; 2∃本文解
第20卷 第3期 王杰光:滑动最小二乘法在加权残值法中的应用251
4 结束语
采用滑动最小二乘法构造加权残值法中的试函数, 方法简便, 适用性强, 精度较高。实例中虽然只讨论了一维的简单问题, 但其方法在二维、三维问题上也是可行的。
参考文献:
[1] 徐次达, 陈学朝, 郑瑞芬, 等. 新计算力学加权残值法
∃∃∃原理、方法及应用[M ].上海:同济大学出版社, 1997. 19~21.
[2] Bely tschko T , Lu Y Y, Gu L. Element -f ree galer kin
methods [J ].I nternational Journal f or N umer ical Meth ods in Engineering, 1994, 37:229~256.
The application of moving least squares method
interpolant to weighted residuals
WANG Jie guang
(Dep ar tment of Civil Engineer ing , Guilin I nstitute o f Technology , Guilin 541004, China) Abstract:Moving least squares method is applied to constructing trial functions . The coefficients in trial function are obtained by the method of w eighted residuals , and therefore the numerical results of the bound ary value problems are given. The procedure in selecting trial function is simplified by this method, w hich is especially adopted to numerical calculations in geotechnique engineering. Key words:moving least squares method; w eighted residuals method
袁奎荣、邓燕华教授应邀赴美讲学
应美国科罗拉多大学邀请, 2000年2月桂林工学院博士生导师袁奎荣教授和副导师邓燕华教授在科罗拉多大学丹佛校本部作了有关(翡翠) 的专题学术报告。报告中扼要介绍了翡翠矿床的成因、中国翡翠矿床的找矿前景、翡翠质量评价等, 重点介绍了赌石地质预测的研究成果。听讲者除科罗拉多地学系师生外, 还有科罗拉多大学原副校长J G 韦尔霍普教授夫妇及莱马索里教授等, 不少中国留学生也参加听讲。会后还进行了讨论和座谈, 大家提出了许多很有意义的问题, 对报告给予了极高的评价。此行, 两位教授参观了美国一些著名的自然博物馆, 还去美国图森参加了世界上规模最大的珠宝、矿物和化石展销会。 袁、邓教授多年来一直从事翡翠研究, 已指导博士和硕士研究生4届, 对翡翠的成矿条件、翡翠质量评价、翡翠矿床在我国的找矿远景, 特别在优质翡翠成因与显微构造关系和赌石地质预测方面进行了深入研究并有独到的见解。曾先后在北京、杭州、上海、天津、南京、长沙、成都、昆明、广西和西安等地作过学术报告, 受到与会者普遍好评。