线性规划题型及解法
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
⎧2x -y ≤2⎪
例1、设变量x 、y 满足约束条件⎨x -y ≥-1，则z =2x +3y 的最大值为 。
⎪x +y ≥1⎩
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
⎧x ≥1, ⎪22
例2、已知⎨x -y +1≤0, 则x 2+y 2的最小值是“(x -1)+(y +2)”值域？
⎪2x -y -2≤0⎩
三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
⎧x ≥0
例3、在约束条件⎪下，当3≤s ≤5时，目标函数z ⎪y ≥0
⎨
⎪y +x ≤s ⎪⎩y +2x ≤4
=3x +2y 的最大值的变化范围是（）
A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]
四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线x 2-y 2=4的两条渐近线与直线x =3围成一个三角形区域, 表示该区域的不等式组是（）
⎧x -y ≥0⎧x -y ≥0⎪⎪
(A)⎨x +y ≥0 (B)⎨x +y ≤0 (C)
⎪0≤x ≤3⎪0≤x ≤3⎩⎩
例5已知变量x ，y 满足约束条件⎨
⎧x -y ≤0
⎪
⎨x +y ≤0 (D) ⎪0≤x ≤3⎩⎧x -y ≤0⎪
⎨x +y ≥0 ⎪0≤x ≤3⎩
五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
⎧1≤x +y ≤4
若目标函数z =ax +y （其中a >0）仅在点(3,1)处取得最大值，
-2≤x -y ≤2⎩
则a 的取值范围为 。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
⎧x +y -2≤0
例６在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎨x -y +2≥0表示的平面区域的面积是（）
(A)
(B)4 (C) (D)2
⎪y ≥0⎩
七、研究线性规划中的整点最优解问题
⎧5x -11y ≥-22, ⎪
例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎨2x +3y ≥9, 则z =10x +10y 的最大值是(A)80
⎪2x ≤11. ⎩
(B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如z =
y -a
时, 可把z 看作是动点P (x , y )与定点Q (b , a )连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为x -b
PQ 连线斜率的最值。
⎧⎪x －y ＋2≤0，y
例8、已知变量x ，y 满足约束条件⎨x ≥1，则的取值范围是（ ）.
x ⎪⎩x ＋y －7≤0，
99
（A ）[，6] （B ）∪[6，＋∞）（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6]
55
九、求可行域中整点个数
例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）个。A 、9 B 、10 C 、13 D 、14 十、求线性目标函数中参数的取值范围
⎧x +y ≥5⎪
例10、已知x 、y 满足以下约束条件⎨x -y +5≤0，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）
⎪x ≤3⎩
A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1
十一、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x－y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）
1 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18
2 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而x 2+y 2表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。x 2+y 2的最小值是为5。
3 解析：画出可行域如图3所示, 当3≤s
处取得最大值, 即z max =3(4-s ) +2(2s -4) =s +4∈[7,8); 当4≤s ≤5时, 目标函数z =3x +2y 在点E (0, 4)
z max =3⨯0+2⨯4=8, 故z ∈[7,8], 从而选D;
4 解析：双曲线x 2-y 2=4的两条渐近线方程为y =±x ，与直线x =3围成一个三角形区域（如图4所示）时有
⎧x -y ≥0
⎪
⎨x +y ≥0⎪0≤x ≤3⎩
5 解析：如图5作出可行域，由z =ax +y ⇒y =-ax +z 其表示为斜率为-a ，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目
标函数z =ax +y （其中a >0）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y =-ax +z 过Ａ点且在直线
x +y =4, x =3（不含界线）之间。即-a 1. 则a 的取值范围为(1,+∞) 。
⎧x +y -2≤0
6 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组⎪⎨x -y +2≥0表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶
⎪y ≥0⎩
11
点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：S =|BC |⋅|AO |=⨯4⨯2=4. 从而选Ｂ。
22
z z
7 解析：如图７，作出可行域，由z =10x +10y ⇒y =-x +，它表示为斜率为-1，纵截距为的平行直线系, 要使
1010
119
z =10x +10y 最得最大值。当直线z =10x +10y 通过A (, ) z 取得最大值。因为x , y ∈N ，故Ａ点不是最优
22
整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，Z max =90.
图2
图
1
线性规划题型及解法
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
⎧2x -y ≤2⎪
例1、设变量x 、y 满足约束条件⎨x -y ≥-1，则z =2x +3y 的最大值为 。
⎪x +y ≥1⎩
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
⎧x ≥1, ⎪22
例2、已知⎨x -y +1≤0, 则x 2+y 2的最小值是“(x -1)+(y +2)”值域？
⎪2x -y -2≤0⎩
三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
⎧x ≥0
例3、在约束条件⎪下，当3≤s ≤5时，目标函数z ⎪y ≥0
⎨
⎪y +x ≤s ⎪⎩y +2x ≤4
=3x +2y 的最大值的变化范围是（）
A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]
四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线x 2-y 2=4的两条渐近线与直线x =3围成一个三角形区域, 表示该区域的不等式组是（）
⎧x -y ≥0⎧x -y ≥0⎪⎪
(A)⎨x +y ≥0 (B)⎨x +y ≤0 (C)
⎪0≤x ≤3⎪0≤x ≤3⎩⎩
例5已知变量x ，y 满足约束条件⎨
⎧x -y ≤0
⎪
⎨x +y ≤0 (D) ⎪0≤x ≤3⎩⎧x -y ≤0⎪
⎨x +y ≥0 ⎪0≤x ≤3⎩
五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
⎧1≤x +y ≤4
若目标函数z =ax +y （其中a >0）仅在点(3,1)处取得最大值，
-2≤x -y ≤2⎩
则a 的取值范围为 。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
⎧x +y -2≤0
例６在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎨x -y +2≥0表示的平面区域的面积是（）
(A)
(B)4 (C) (D)2
⎪y ≥0⎩
七、研究线性规划中的整点最优解问题
⎧5x -11y ≥-22, ⎪
例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎨2x +3y ≥9, 则z =10x +10y 的最大值是(A)80
⎪2x ≤11. ⎩
(B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如z =
y -a
时, 可把z 看作是动点P (x , y )与定点Q (b , a )连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为x -b
PQ 连线斜率的最值。
⎧⎪x －y ＋2≤0，y
例8、已知变量x ，y 满足约束条件⎨x ≥1，则的取值范围是（ ）.
x ⎪⎩x ＋y －7≤0，
99
（A ）[，6] （B ）∪[6，＋∞）（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6]
55
九、求可行域中整点个数
例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）个。A 、9 B 、10 C 、13 D 、14 十、求线性目标函数中参数的取值范围
⎧x +y ≥5⎪
例10、已知x 、y 满足以下约束条件⎨x -y +5≤0，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）
⎪x ≤3⎩
A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1
十一、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x－y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）
1 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18
2 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而x 2+y 2表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。x 2+y 2的最小值是为5。
3 解析：画出可行域如图3所示, 当3≤s
处取得最大值, 即z max =3(4-s ) +2(2s -4) =s +4∈[7,8); 当4≤s ≤5时, 目标函数z =3x +2y 在点E (0, 4)
z max =3⨯0+2⨯4=8, 故z ∈[7,8], 从而选D;
4 解析：双曲线x 2-y 2=4的两条渐近线方程为y =±x ，与直线x =3围成一个三角形区域（如图4所示）时有
⎧x -y ≥0
⎪
⎨x +y ≥0⎪0≤x ≤3⎩
5 解析：如图5作出可行域，由z =ax +y ⇒y =-ax +z 其表示为斜率为-a ，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目
标函数z =ax +y （其中a >0）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y =-ax +z 过Ａ点且在直线
x +y =4, x =3（不含界线）之间。即-a 1. 则a 的取值范围为(1,+∞) 。
⎧x +y -2≤0
6 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组⎪⎨x -y +2≥0表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶
⎪y ≥0⎩
11
点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：S =|BC |⋅|AO |=⨯4⨯2=4. 从而选Ｂ。
22
z z
7 解析：如图７，作出可行域，由z =10x +10y ⇒y =-x +，它表示为斜率为-1，纵截距为的平行直线系, 要使
1010
119
z =10x +10y 最得最大值。当直线z =10x +10y 通过A (, ) z 取得最大值。因为x , y ∈N ，故Ａ点不是最优
22
整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，Z max =90.
图2
图
1