2014届高三应用、创新题
应用题
1．（数列型）某企业2012年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+
1
) 万元（n 为正整数）. n 2
（Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
解：（Ⅰ）依题设，A n =(500－20)+(500－40)+„+(500－20n)=490n－10n 2；
111500
B n =500[(1+)+(1+2)+„+(1+n )]－600=500n－n －100.
2222
500
（Ⅱ）B n －A n =(500n－n －100) －(490n－10n 2)
2
50500
=10n2+10n－n －100=10[n(n+1) － n －10].
22
50
因为函数y =x (x +1)-x -10在（0，+∞）上为增函数，
25050
当1≤n ≤3时，n(n+1) － n －10≤12－－10
82
5050
当n ≥4时，n(n+1) － n －10≥20－－10>0.
162
∴仅当n ≥4时，B n >A n .
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 2．（函数型）某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元． （Ⅰ）写出y 与x 之间的函数关系式；
（Ⅱ）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）
（III ）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（1）当年平均盈利额达到最大值时，以30万
元价格处理该机床；（2）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床． 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由． 解：（I ）依题得：y =50x -⎢12x +
⎡
⎣x (x -1) ⎤
⨯4⎥-98=-2x 2+40x -98.(x ∈N *) 2⎦
（II
）解不等式-2x 2+40x -98>0, 得:10x
（III ）（1
）
y 9898
=-2x +40-=40-(2x +) ≤40-12 x x x
98
当且仅当2x =时，即x =7时等号成立.
x
∴到第7年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元.
（2）y =-2x 2+40x -98=-(x -10) 2+102, 当x ＝10时，y max =102 故到第10年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元
因为盈利额达到的最大值相同，而方案（1）所用的时间较短，故方案（1）比较合理 3. （分段函数型）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一
⎧1
,1≤x ≤c , ⎪⎪6-x
些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间满足关系：P =⎨
⎪2, x >c ⎪⎩3
（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数／生产量）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量. （Ⅰ）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元）表示为日产量x （万件）的函数； （Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解：（Ⅰ）当x >c 时，P =
212
，∴T =x ⋅2-x ⋅1=0
333
119x -2x 21
) ⋅x ⋅2-() ⋅x ⋅1=当1≤x ≤c 时，P =，∴T =(1-
6-x 6-x 6-x 6-x
⎧9x -2x 2
,1≤x ≤c ⎪
综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：T =⎨6-x
⎪0, x >c ⎩
（Ⅱ）由（1）知，当x >c 时，每天的盈利额为0
9x -2x 29
=15-2[(6-x ) +]≤15-12=3，当且仅当x =3时取等号 当1≤x ≤c 时，T =
6-x 6-x
所以当3≤c
2x 2-24x +542(x -3)(x -9)
当1≤c
(6-x ) 2(6-x ) 2
9x -2x 29c -2c 2
∴T =在[1,3]上递增，∴T max =，此时x =c
6-x 6-c
综上，若3≤c
4. （解析几何型）在综合实践活动中, 因制作一个工艺品的需要, 某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形), 其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成, BC 边的长为2t 分米(1≤t ≤
3
) ；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线C 1是一段余弦曲线2
(在如图所示的平面直角坐标系中, 其解析式为y =cos x -1), 此时记门的最高点O 到BC 边的距离为h 1(t ) ；曲线C 2是一段抛物线, 其焦点到准线的距离为高点O 到BC 边的距离为h 2(t ) .
(Ⅰ) 试分别求出函数h 1(t ) 、h 2(t ) 的表达式；
(Ⅱ) 要使得点O 到BC 边的距离最大, 应选用哪一种曲线? 此时, 最大值是多少?
解:(Ⅰ) 对于曲线C 1, 因为曲线AOD 的解析式为y =cos x -1, 所以点D 的坐标为(t ,cos t -1) ，所以点O 到AD 的距离为1-cos t , 而AB =DC =3-t , 则h 1(t ) =(3-t ) +(1-cos t ) =-t -cos t +4(1≤t ≤对于曲线C 2, 因为抛物线的方程为x =-
2
9
, 此时记门的最8
3) 2
944
y , 即y =-x 2, 所以点D 的坐标为(t , -t 2) 499
42423
所以点O 到AD 的距离为t , 而AB =DC =3-t , 所以h 2(t ) =t -t +3(1≤t ≤
)
929
(Ⅱ) 因为h 1'(t ) =-1+sin t
32
4939335(t -) 2+, 而1≤t ≤, 所以当t =时, h 2(t ) 取得最大值为 9816222
π115
因为cos1>cos =, 所以3-cos1
3222
35
故选用曲线C 2, 当t =时, 点E 到BC 边的距离最大, 最大值为分米
22
又h 2(t ) =
5．（均值不等式型）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
（Ⅰ）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值； (Ⅱ) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？
H H H h
=tan β⇒AD =，同理：AB =，BD =。
tan αAD tan βtan β
AD—AB=DB，故得
H H h h tan α4⨯1.24
-===124。 ，解得：H =tan βtan αtan βtan β-tan α1.24-1.20
因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。
a n α= (Ⅱ) 由题设知d =AB ，得t
H H h H h -a c a -c
β=====）
d A D D B d b d b -d H H -h -
tan α-tan βhd h tan(α-β) ===2=
1+tan α⋅tan β1+H ⋅H -h d +H (H -h ) d +
H (H -h )
d d d
H (H -h ) d +≥，
（当且仅当d =
d
故当d =tan(α-β) 最大。 因为0
π
2
，则0
π
2
，
所以当d =故所求的d
是m 。
α-β最大。
6（三角函数型1
：三角函数定义）在足球场上，甲由A 处向北偏东45的方向作匀速直线奔跑，速度为0
米/秒，甲从A 处奔跑的同时，乙从A 处正东20米的B 处出发，朝北偏东θ的方向
10
, 0
作匀速直线奔跑（其中tan
θ=
（Ⅰ）建立如图所示的平面直角坐标系，当奔跑t
所处位置的相应坐标；
(Ⅱ) （Ⅰ）设奔跑t 秒后，求甲、乙两人所处位置分别为P,Q , 由
条
件
知
P (5t, 5t )
，由
tan θ=
10
, 0
sin θ=
θ=
55
00
则x Q =20+90-θ=20+3t ，y Q =90-θ=6t ，即Q (20+3t, 6t )
()
()
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知PQ =
==所以当t =8时，PQ 最小为
7．（三角函数型2：直角三角形）一位救生员站在边长为100米的正方形游泳池ABCD 的A 处，发现C 处有一位溺水者．他跑到E 处后，马上跳水沿直线EC 游到C 处，已知救生员跑步的速度为v 米／分，游泳的速度为达C 处，所用的最短时间是多少？ 解：设∠CEB =θ，则AE =100-
v
米／分． 试问，救生员选择在何处入水才能最快到2
100100
, CE =， tan θsin θ
100-
所以，时间T =
100
+200=100⎛1+2-cos θ
v v ⋅sin θv ⎝sin θ
π⎫π
(≤θ≤) ⎪42⎭
A E
1⎫⎛
-2 cos θ-⎪1002⎭T '=⋅⎝2
v sin θ
当θ∈⎢
11⎛ππ⎤⎡ππ⎫
, ⎪时，cos θ>,T '0
22⎝32⎦
⎣43⎭
所以θ=
π
3
时，T 取得极小值也为最小值
100
1+v
(
此时，AE =100
T =．
米处入水，所用的最短时间为T =分钟．
∴救生员应该在AB 边上距B
6．（三角函数型3：斜三角形）为了测量两山顶
M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。
解：方案一：①需要测量的数据有：
A 点到M ，N 点的俯角α1, β1；B 点到M ，N 的俯角α2, β2；A ，B 距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM . 由正弦定理AM =
d sin α2
；
sin(α1+α2)
第二步：计算AN .
由正弦定理AN =
d sin β2
；
sin(β2-β1)
.
第三步：计算MN. 由余弦定理MN =方案二：①需要测量的数据有：
A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 的距离 d.
②第一步：计算BM . 由正弦定理BM =
d sin α1
；
sin(α1+α2)
第二步：计算BN . 由正弦定理BN =
d sin β1
；
sin(β2-β1)
第三步：计算MN . 由余弦定理
MN =
创新题
题型一、定义型创新题
2a n +1
例1：若数列{a n }满足2，则称{a n }为“等方比数列”．甲：=p （p 为正常数，n ∈N *）
a n
数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2
a n +1a n
解：由等比数列的定义数列，若乙：{a n }是等比数列，公比为q ，即=q ⇒2+1=q 2，
a n a n +12
a n a +1
则甲命题成立；反之，若甲：数列{a n }是等方比数列，即2=q 2⇒n +1=±q 即公比不一定
a n a n
为q （如2，2，－2，2，－2，－2
）， 则命题乙不成立，故选B.
称数列{b n }为{a n }, a k 中的最大值，
例2对数列{a n }(n ∈N *,a n ∈N *)，令b k 为a 1, a 2, a 3,
的“峰值数列”，例如：数列2,1,3,7,5的峰值数列为2,2,3,7,7。由以上定义可计算出峰值数列为1,3,3,9,9的所有数列{a n }的个数是
39解：由条件可知所求数列必为 1
其中第3个位置为1或2或3，第5个位置为1～9中的任意一个，故有3⨯9=27个
点评：解答定义型创新题， 关键是掌握新定义的本质, 向熟悉的、已有的知识进行转化. 题型二、类比型创新题
友情提示：推理与证明，请大家详见选修2－2第二章（70～84页），关注“平面与空间、等差数列与等比数列的类比”以及第82页的阅读与思考，第83～84的习题A 、B 组，同时，清楚“数学归纳法”的两个步骤。
例1：同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，
使得某些项可以互相抵消，从而实现化简求和．如已知数列{a n }的通项为a n =
1
，则将
n n +1
其通项化为
a n =
11-
n n +1
，故数列
{a n }
的前
n
项和
11n 1⎛1⎫⎛1⎫1⎛⎫
．“斐波那契数列”是数学史上一个S n = 1-⎪+ -⎪++ -=1-=⎪
n +1n +1⎝2⎭⎝23⎭⎝n n +1⎭
*
著名的数列，在斐波那契数列{a n }中，a 1=1,a 2=1,a n +a n +1=a n +2(n ∈N )，若a 2013=a ，那
么斐波那契数列{a n }的前2011项的和是
解：本题的解题关键在于类比 “裂项相消求和”，把项与和很好地统一．
a n +a n +1=a n +2, ∴a n +2-a n +1=a n ， ∴a 1+a 2+
+a n -1+a n =(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+
+(a n +2-a n +1)=a n +2-a 2，
即S n =a n +2-a 2，∴S 2011=a 2013-a 2=a -1．
例2：双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点．”由此可得如下结论：如图7，过双曲线C ：
x 2y 2
-=1(a 、b >0) 右支上的点P 的切线l 平分∠F 1PF 2．现过原点作l 的平行线交PF 1于a 2b 2
M
，则|MP |等于( )
A ．a
B ．b
C
D ．与点P 的位置有关
解析：如图8：作F 2关于直线l 的对称点N ，则N 在线段PF 1上，设F 2N 与直线l 交于点A ，则A 为F 2N 的中点，连接OA ，则OA //PF 1，又OM //PA ，所以OAPM 为平行四边形，所以MP =OA ．因为OA 为∆F 1MF 2的中位线，所以MP =OA =
1
F 1N 2
=
11
PF 1-PN )=(PF 1-PF 2)=a ，故选A ． (22
x 2y 2
类比到椭圆，如图9，设过椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 上的点P 的切线l ．现过原点作
a b l 的平行线交直线PF 1于M ，则|MP |等于
解析：如图10，类比上述过程，得OAPM ，MP =OA =
1
F 1N =a 2
2014届高三应用、创新题
应用题
1．（数列型）某企业2012年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+
1
) 万元（n 为正整数）. n 2
（Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
解：（Ⅰ）依题设，A n =(500－20)+(500－40)+„+(500－20n)=490n－10n 2；
111500
B n =500[(1+)+(1+2)+„+(1+n )]－600=500n－n －100.
2222
500
（Ⅱ）B n －A n =(500n－n －100) －(490n－10n 2)
2
50500
=10n2+10n－n －100=10[n(n+1) － n －10].
22
50
因为函数y =x (x +1)-x -10在（0，+∞）上为增函数，
25050
当1≤n ≤3时，n(n+1) － n －10≤12－－10
82
5050
当n ≥4时，n(n+1) － n －10≥20－－10>0.
162
∴仅当n ≥4时，B n >A n .
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 2．（函数型）某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元． （Ⅰ）写出y 与x 之间的函数关系式；
（Ⅱ）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）
（III ）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（1）当年平均盈利额达到最大值时，以30万
元价格处理该机床；（2）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床． 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由． 解：（I ）依题得：y =50x -⎢12x +
⎡
⎣x (x -1) ⎤
⨯4⎥-98=-2x 2+40x -98.(x ∈N *) 2⎦
（II
）解不等式-2x 2+40x -98>0, 得:10x
（III ）（1
）
y 9898
=-2x +40-=40-(2x +) ≤40-12 x x x
98
当且仅当2x =时，即x =7时等号成立.
x
∴到第7年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元.
（2）y =-2x 2+40x -98=-(x -10) 2+102, 当x ＝10时，y max =102 故到第10年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元
因为盈利额达到的最大值相同，而方案（1）所用的时间较短，故方案（1）比较合理 3. （分段函数型）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一
⎧1
,1≤x ≤c , ⎪⎪6-x
些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间满足关系：P =⎨
⎪2, x >c ⎪⎩3
（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数／生产量）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量. （Ⅰ）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元）表示为日产量x （万件）的函数； （Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解：（Ⅰ）当x >c 时，P =
212
，∴T =x ⋅2-x ⋅1=0
333
119x -2x 21
) ⋅x ⋅2-() ⋅x ⋅1=当1≤x ≤c 时，P =，∴T =(1-
6-x 6-x 6-x 6-x
⎧9x -2x 2
,1≤x ≤c ⎪
综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：T =⎨6-x
⎪0, x >c ⎩
（Ⅱ）由（1）知，当x >c 时，每天的盈利额为0
9x -2x 29
=15-2[(6-x ) +]≤15-12=3，当且仅当x =3时取等号 当1≤x ≤c 时，T =
6-x 6-x
所以当3≤c
2x 2-24x +542(x -3)(x -9)
当1≤c
(6-x ) 2(6-x ) 2
9x -2x 29c -2c 2
∴T =在[1,3]上递增，∴T max =，此时x =c
6-x 6-c
综上，若3≤c
4. （解析几何型）在综合实践活动中, 因制作一个工艺品的需要, 某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形), 其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成, BC 边的长为2t 分米(1≤t ≤
3
) ；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线C 1是一段余弦曲线2
(在如图所示的平面直角坐标系中, 其解析式为y =cos x -1), 此时记门的最高点O 到BC 边的距离为h 1(t ) ；曲线C 2是一段抛物线, 其焦点到准线的距离为高点O 到BC 边的距离为h 2(t ) .
(Ⅰ) 试分别求出函数h 1(t ) 、h 2(t ) 的表达式；
(Ⅱ) 要使得点O 到BC 边的距离最大, 应选用哪一种曲线? 此时, 最大值是多少?
解:(Ⅰ) 对于曲线C 1, 因为曲线AOD 的解析式为y =cos x -1, 所以点D 的坐标为(t ,cos t -1) ，所以点O 到AD 的距离为1-cos t , 而AB =DC =3-t , 则h 1(t ) =(3-t ) +(1-cos t ) =-t -cos t +4(1≤t ≤对于曲线C 2, 因为抛物线的方程为x =-
2
9
, 此时记门的最8
3) 2
944
y , 即y =-x 2, 所以点D 的坐标为(t , -t 2) 499
42423
所以点O 到AD 的距离为t , 而AB =DC =3-t , 所以h 2(t ) =t -t +3(1≤t ≤
)
929
(Ⅱ) 因为h 1'(t ) =-1+sin t
32
4939335(t -) 2+, 而1≤t ≤, 所以当t =时, h 2(t ) 取得最大值为 9816222
π115
因为cos1>cos =, 所以3-cos1
3222
35
故选用曲线C 2, 当t =时, 点E 到BC 边的距离最大, 最大值为分米
22
又h 2(t ) =
5．（均值不等式型）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
（Ⅰ）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值； (Ⅱ) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？
H H H h
=tan β⇒AD =，同理：AB =，BD =。
tan αAD tan βtan β
AD—AB=DB，故得
H H h h tan α4⨯1.24
-===124。 ，解得：H =tan βtan αtan βtan β-tan α1.24-1.20
因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。
a n α= (Ⅱ) 由题设知d =AB ，得t
H H h H h -a c a -c
β=====）
d A D D B d b d b -d H H -h -
tan α-tan βhd h tan(α-β) ===2=
1+tan α⋅tan β1+H ⋅H -h d +H (H -h ) d +
H (H -h )
d d d
H (H -h ) d +≥，
（当且仅当d =
d
故当d =tan(α-β) 最大。 因为0
π
2
，则0
π
2
，
所以当d =故所求的d
是m 。
α-β最大。
6（三角函数型1
：三角函数定义）在足球场上，甲由A 处向北偏东45的方向作匀速直线奔跑，速度为0
米/秒，甲从A 处奔跑的同时，乙从A 处正东20米的B 处出发，朝北偏东θ的方向
10
, 0
作匀速直线奔跑（其中tan
θ=
（Ⅰ）建立如图所示的平面直角坐标系，当奔跑t
所处位置的相应坐标；
(Ⅱ) （Ⅰ）设奔跑t 秒后，求甲、乙两人所处位置分别为P,Q , 由
条
件
知
P (5t, 5t )
，由
tan θ=
10
, 0
sin θ=
θ=
55
00
则x Q =20+90-θ=20+3t ，y Q =90-θ=6t ，即Q (20+3t, 6t )
()
()
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知PQ =
==所以当t =8时，PQ 最小为
7．（三角函数型2：直角三角形）一位救生员站在边长为100米的正方形游泳池ABCD 的A 处，发现C 处有一位溺水者．他跑到E 处后，马上跳水沿直线EC 游到C 处，已知救生员跑步的速度为v 米／分，游泳的速度为达C 处，所用的最短时间是多少？ 解：设∠CEB =θ，则AE =100-
v
米／分． 试问，救生员选择在何处入水才能最快到2
100100
, CE =， tan θsin θ
100-
所以，时间T =
100
+200=100⎛1+2-cos θ
v v ⋅sin θv ⎝sin θ
π⎫π
(≤θ≤) ⎪42⎭
A E
1⎫⎛
-2 cos θ-⎪1002⎭T '=⋅⎝2
v sin θ
当θ∈⎢
11⎛ππ⎤⎡ππ⎫
, ⎪时，cos θ>,T '0
22⎝32⎦
⎣43⎭
所以θ=
π
3
时，T 取得极小值也为最小值
100
1+v
(
此时，AE =100
T =．
米处入水，所用的最短时间为T =分钟．
∴救生员应该在AB 边上距B
6．（三角函数型3：斜三角形）为了测量两山顶
M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。
解：方案一：①需要测量的数据有：
A 点到M ，N 点的俯角α1, β1；B 点到M ，N 的俯角α2, β2；A ，B 距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM . 由正弦定理AM =
d sin α2
；
sin(α1+α2)
第二步：计算AN .
由正弦定理AN =
d sin β2
；
sin(β2-β1)
.
第三步：计算MN. 由余弦定理MN =方案二：①需要测量的数据有：
A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 的距离 d.
②第一步：计算BM . 由正弦定理BM =
d sin α1
；
sin(α1+α2)
第二步：计算BN . 由正弦定理BN =
d sin β1
；
sin(β2-β1)
第三步：计算MN . 由余弦定理
MN =
创新题
题型一、定义型创新题
2a n +1
例1：若数列{a n }满足2，则称{a n }为“等方比数列”．甲：=p （p 为正常数，n ∈N *）
a n
数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2
a n +1a n
解：由等比数列的定义数列，若乙：{a n }是等比数列，公比为q ，即=q ⇒2+1=q 2，
a n a n +12
a n a +1
则甲命题成立；反之，若甲：数列{a n }是等方比数列，即2=q 2⇒n +1=±q 即公比不一定
a n a n
为q （如2，2，－2，2，－2，－2
）， 则命题乙不成立，故选B.
称数列{b n }为{a n }, a k 中的最大值，
例2对数列{a n }(n ∈N *,a n ∈N *)，令b k 为a 1, a 2, a 3,
的“峰值数列”，例如：数列2,1,3,7,5的峰值数列为2,2,3,7,7。由以上定义可计算出峰值数列为1,3,3,9,9的所有数列{a n }的个数是
39解：由条件可知所求数列必为 1
其中第3个位置为1或2或3，第5个位置为1～9中的任意一个，故有3⨯9=27个
点评：解答定义型创新题， 关键是掌握新定义的本质, 向熟悉的、已有的知识进行转化. 题型二、类比型创新题
友情提示：推理与证明，请大家详见选修2－2第二章（70～84页），关注“平面与空间、等差数列与等比数列的类比”以及第82页的阅读与思考，第83～84的习题A 、B 组，同时，清楚“数学归纳法”的两个步骤。
例1：同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，
使得某些项可以互相抵消，从而实现化简求和．如已知数列{a n }的通项为a n =
1
，则将
n n +1
其通项化为
a n =
11-
n n +1
，故数列
{a n }
的前
n
项和
11n 1⎛1⎫⎛1⎫1⎛⎫
．“斐波那契数列”是数学史上一个S n = 1-⎪+ -⎪++ -=1-=⎪
n +1n +1⎝2⎭⎝23⎭⎝n n +1⎭
*
著名的数列，在斐波那契数列{a n }中，a 1=1,a 2=1,a n +a n +1=a n +2(n ∈N )，若a 2013=a ，那
么斐波那契数列{a n }的前2011项的和是
解：本题的解题关键在于类比 “裂项相消求和”，把项与和很好地统一．
a n +a n +1=a n +2, ∴a n +2-a n +1=a n ， ∴a 1+a 2+
+a n -1+a n =(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+
+(a n +2-a n +1)=a n +2-a 2，
即S n =a n +2-a 2，∴S 2011=a 2013-a 2=a -1．
例2：双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点．”由此可得如下结论：如图7，过双曲线C ：
x 2y 2
-=1(a 、b >0) 右支上的点P 的切线l 平分∠F 1PF 2．现过原点作l 的平行线交PF 1于a 2b 2
M
，则|MP |等于( )
A ．a
B ．b
C
D ．与点P 的位置有关
解析：如图8：作F 2关于直线l 的对称点N ，则N 在线段PF 1上，设F 2N 与直线l 交于点A ，则A 为F 2N 的中点，连接OA ，则OA //PF 1，又OM //PA ，所以OAPM 为平行四边形，所以MP =OA ．因为OA 为∆F 1MF 2的中位线，所以MP =OA =
1
F 1N 2
=
11
PF 1-PN )=(PF 1-PF 2)=a ，故选A ． (22
x 2y 2
类比到椭圆，如图9，设过椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 上的点P 的切线l ．现过原点作
a b l 的平行线交直线PF 1于M ，则|MP |等于
解析：如图10，类比上述过程，得OAPM ，MP =OA =
1
F 1N =a 2