第21课 直角三角形
〖知识点〗
直角三角形的性质和判定、逆命题和逆定理、勾股定理及逆定理、角平分线的性质、线
段的中垂线及其性质
〖大纲要求〗
了解逆命题和逆定理的概念；掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的
一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质，掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它
们进行简单的论证和计算；掌握角平分线的性质定理及其逆定理，线段中垂线性质定理及其
逆定理。
〖考查重点与常见题型〗
直角三角形性质及其判定的应用，角平分线性质定理及其逆定理，线段中垂线的性质定
理及其逆定理的应用，逆命题的概念，中考题中多为选择题或填空题，有时也考查中档的解
答题，如：
（1） 在直角三角形中，已知一条直角边的长为6，斜边上的中线长为5，则另一条直角
边的长为
（2） 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是
（3） 在△ABC 中，如果∠A －∠B ＝90°，那么△ABC 是（ ）
(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形或钝角三角形
〖预习练习〗
1．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（ ）
（A ） 45° （B ）135° （C ）45°或135° （D ）以上答案都不对
2. 如图Rt △ABC ，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，CE 是AB 上的中线，
∠ACD ：∠BCD ＝3：1，若CD ＝4cm ，则ED 是（ ）
（A ） 2cm （B ）4cm （C ）3cm （D ）5cm
3．等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm ，则斜边长是 cm E D
4. 三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm ，则最小边长是 cm
A
5. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120度，AD ⊥AC ，
DC ＝5，则BD ＝
6.AD 是Rt △ABC 斜边上的高，已知AB ＝5cm ，BD ＝3cm ，那么BC ＝ cm
7. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的中垂线，△ BCE 的周长为14cm, BC＝5cm ，求AB 的长。
B C
考点训练：
1. 如果三角形中有一条边是另一条边是2倍, 并且有一个角是30°, 那么这个三角形是（ ）
(A) 直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D) 图形不能确定
2. 如图,Rt ΔABC 中, ∠BCA=90°, ∠A=30°CD ⊥AB 于D,DE ⊥BC 于E,
则AB:BE的值为( )
5(A) 8 (B) 4 (C) (D) 3.5 2
3. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
(A) 顶角的2倍 (B) 顶角的一半 (C) 顶角 (D) 底角的一半
4. 在直角三角形中, 两锐角的平分线相交成钝角的度数是 .
5. 直角三角形中, 一条直角边比斜边上的中线长1厘米, 如果斜
边长是10厘米, 则两直角边长是 .
6. 已知:如图, 在ΔABC 中,AB>AC, D点在AB 上,
AD=AC,AM⊥CD 于M,E 为BC 的中点, 若AB=16,AC=10,
则EM 的长为
7. 有一个角为30°的等腰三角形, 若腰长为4, 则腰上的高是 ,
面积是 .
8. 如图, 在RT ΔABC 中, 斜边AB 的中垂线DE 交BC 于D, 连结AD,
若∠1:∠2=2:5,求∠B 、∠BAC 的度数.
9. 如图, 在ΔABC 中, ∠BCA=90°, 且AC=BC,
直线L 过C 点,AE ⊥L 于E,
BF⊥L 于F. 求证:EF=AE+BF
解题指导
1. 如图, 在ΔABC 中, ∠ABC=2∠C,AD ⊥BC 于D,E 是AC 中点,ED 的
延长线与AB 的延长线交于点F, 求证:BF=BD
2．如图, 在ΔABC 中, ∠B=40°, ∠C=20°, AD⊥CA 于A, 交BC 于D,
求证:CD=2AB
3．如图,AB ⊥a 于B,DC ⊥a 于C, ∠BMA=75°, ∠DMC=45°,AM=DM,
求证:AB=CB
4．如图, 在四边形ABCD 中,BC=DC,AC平分∠BAD,CE ⊥AB,
CF ⊥AD,E 、F 为垂足, 若AB=21,AD=9,BC=DC=10,求AC 的长.
独立训练:
1. 如图, 在ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,DM ⊥AB 于M,DN ⊥AC 于N,
连接MN, 则图中等腰三角形有 个, 直角三角形有
个
2. 如图, 在RT ΔABC 中, ∠B=90°,
AD为BC 边中线,DE ⊥AC 于E,
22 2 则:AB+EC AE
3. 已知:如图,AD ∥BC,F 是AB 中点,DF 交CB 延长线于点E,CE=CD,则图中与∠ADE 相等的角有 , 与∠ADE 互余的角有 .
4. 已知:如图, 在四边形ABCD 中,M 、N 分别是CB 、CD 中点, 且AM ⊥BC 于M,AN ⊥CD 于N, ∠MAN=80°, 则∠B+∠D 的度数是
(3) (4) (5)
5．如图, 在ΔABC 中 , ∠B=2∠C,AD ⊥BC 于D,M 为AB 边中点,ME ∥AC 交BC 于E, 则AB 是DE 的 倍.
6．如图,AB ∥CD,E 是AD 中点,CF ⊥AB 于F 。求证:CE=EF
7．如图,A 、C 是∠MON 的OM 边上两点,AB ⊥ON 于B,CD ⊥ON 于D,
1若OA=且OD+AB=1.求∠MON 的度数 2
第21课 直角三角形
〖知识点〗
直角三角形的性质和判定、逆命题和逆定理、勾股定理及逆定理、角平分线的性质、线
段的中垂线及其性质
〖大纲要求〗
了解逆命题和逆定理的概念；掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的
一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质，掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它
们进行简单的论证和计算；掌握角平分线的性质定理及其逆定理，线段中垂线性质定理及其
逆定理。
〖考查重点与常见题型〗
直角三角形性质及其判定的应用，角平分线性质定理及其逆定理，线段中垂线的性质定
理及其逆定理的应用，逆命题的概念，中考题中多为选择题或填空题，有时也考查中档的解
答题，如：
（1） 在直角三角形中，已知一条直角边的长为6，斜边上的中线长为5，则另一条直角
边的长为
（2） 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是
（3） 在△ABC 中，如果∠A －∠B ＝90°，那么△ABC 是（ ）
(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形或钝角三角形
〖预习练习〗
1．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（ ）
（A ） 45° （B ）135° （C ）45°或135° （D ）以上答案都不对
2. 如图Rt △ABC ，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，CE 是AB 上的中线，
∠ACD ：∠BCD ＝3：1，若CD ＝4cm ，则ED 是（ ）
（A ） 2cm （B ）4cm （C ）3cm （D ）5cm
3．等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm ，则斜边长是 cm E D
4. 三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm ，则最小边长是 cm
A
5. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120度，AD ⊥AC ，
DC ＝5，则BD ＝
6.AD 是Rt △ABC 斜边上的高，已知AB ＝5cm ，BD ＝3cm ，那么BC ＝ cm
7. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的中垂线，△ BCE 的周长为14cm, BC＝5cm ，求AB 的长。
B C
考点训练：
1. 如果三角形中有一条边是另一条边是2倍, 并且有一个角是30°, 那么这个三角形是（ ）
(A) 直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D) 图形不能确定
2. 如图,Rt ΔABC 中, ∠BCA=90°, ∠A=30°CD ⊥AB 于D,DE ⊥BC 于E,
则AB:BE的值为( )
5(A) 8 (B) 4 (C) (D) 3.5 2
3. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
(A) 顶角的2倍 (B) 顶角的一半 (C) 顶角 (D) 底角的一半
4. 在直角三角形中, 两锐角的平分线相交成钝角的度数是 .
5. 直角三角形中, 一条直角边比斜边上的中线长1厘米, 如果斜
边长是10厘米, 则两直角边长是 .
6. 已知:如图, 在ΔABC 中,AB>AC, D点在AB 上,
AD=AC,AM⊥CD 于M,E 为BC 的中点, 若AB=16,AC=10,
则EM 的长为
7. 有一个角为30°的等腰三角形, 若腰长为4, 则腰上的高是 ,
面积是 .
8. 如图, 在RT ΔABC 中, 斜边AB 的中垂线DE 交BC 于D, 连结AD,
若∠1:∠2=2:5,求∠B 、∠BAC 的度数.
9. 如图, 在ΔABC 中, ∠BCA=90°, 且AC=BC,
直线L 过C 点,AE ⊥L 于E,
BF⊥L 于F. 求证:EF=AE+BF
解题指导
1. 如图, 在ΔABC 中, ∠ABC=2∠C,AD ⊥BC 于D,E 是AC 中点,ED 的
延长线与AB 的延长线交于点F, 求证:BF=BD
2．如图, 在ΔABC 中, ∠B=40°, ∠C=20°, AD⊥CA 于A, 交BC 于D,
求证:CD=2AB
3．如图,AB ⊥a 于B,DC ⊥a 于C, ∠BMA=75°, ∠DMC=45°,AM=DM,
求证:AB=CB
4．如图, 在四边形ABCD 中,BC=DC,AC平分∠BAD,CE ⊥AB,
CF ⊥AD,E 、F 为垂足, 若AB=21,AD=9,BC=DC=10,求AC 的长.
独立训练:
1. 如图, 在ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,DM ⊥AB 于M,DN ⊥AC 于N,
连接MN, 则图中等腰三角形有 个, 直角三角形有
个
2. 如图, 在RT ΔABC 中, ∠B=90°,
AD为BC 边中线,DE ⊥AC 于E,
22 2 则:AB+EC AE
3. 已知:如图,AD ∥BC,F 是AB 中点,DF 交CB 延长线于点E,CE=CD,则图中与∠ADE 相等的角有 , 与∠ADE 互余的角有 .
4. 已知:如图, 在四边形ABCD 中,M 、N 分别是CB 、CD 中点, 且AM ⊥BC 于M,AN ⊥CD 于N, ∠MAN=80°, 则∠B+∠D 的度数是
(3) (4) (5)
5．如图, 在ΔABC 中 , ∠B=2∠C,AD ⊥BC 于D,M 为AB 边中点,ME ∥AC 交BC 于E, 则AB 是DE 的 倍.
6．如图,AB ∥CD,E 是AD 中点,CF ⊥AB 于F 。求证:CE=EF
7．如图,A 、C 是∠MON 的OM 边上两点,AB ⊥ON 于B,CD ⊥ON 于D,
1若OA=且OD+AB=1.求∠MON 的度数 2