初中数学竞赛专题选讲
中位线
一、内容提要
1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计
算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括
作出辅助线。
4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线
截比例线段定理及推论，
①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等
②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边
③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰
5. 有关线段中点的其他定理还有：
①直角三角形斜边中线等于斜边的一半
②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合
③对角线互相平分的四边形是平行四边形
④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等
因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
二、例题
例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM
和CAN ，P 是BC 的中点。求证：PM ＝PN
（1991年泉州市初二数学双基赛题）
证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F
∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形
∴AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，
根据三角形中位线性质
PE ＝11AC ＝NF ，PF ＝AB ＝ME P 22
PE ∥AC ，PF ∥AB
∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN
∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN
例2. 已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，
且N 是BC 的中点。求MN 的长。
分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点，
则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。 辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略） N 例3. 求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。
已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点
求证：MN ∥AB ∥CD ，MN ＝1（AB －CD ） 2
分析一：∵M 是AC 中点，构造一个三角形，使N 为另一边中点，以便运
用中位线的性质。
∴连结CN 并延长交AB 于E （如图1）证△BNE ≌△DNC 可得N 是CE 的
中点。（证明略）
分析二：图2与图1思路一样。
分析三：直接选择△ABC ，取BC 中点P 连结MP 和NP ，证明M ，N ，P
三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。
例4. 如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是
BC 和EF 的中点
求证：MN ∥AD
证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN
MP ∥AB ，MP ＝11AB ，NP ∥AC ，NP ＝AC 22
C ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP 180-∠MPN ∴∠3=∠4= 2 ∠MPN ＋∠BAC ＝180（两边分平行的两个角相等或互补）
180 -∠MPN ∴∠1=∠2=， ∠2=∠3 2
∴NP ∥AC ∴MN ∥AD
证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG
则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG
∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180
∠CAD ＝ C 1 （180－∠FCG ） 21 ∠CFG ＝
（180－∠FCG ）=∠CAD 2 ∴ MN ∥AD
例5. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC
于F ，GE ⊥CE 交CB 的延长线于G
1 求证：FD ＝CG 4
证明要点是：延长GE 交AC 于H ， 可证E 是GH 的中点
过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，
1则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝GC 2
11由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝EM ＝GC 24
三、练习 1. 已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点
则①四边形EFGH 是＿＿＿＿＿形 ②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是＿＿＿形 ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是＿＿形 ④当AC 和BD ＿＿＿＿＿＿＿＿时，四边形EFGH 是正方形形。
2. 求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。
3. 已知AD 是锐角三角形ABC 的高，E ，F ，G 分别是边BC ，CA ，AB 的中
点，证明顺次连结E ，F ，G ，H 所成的四边形是等腰梯形。
4. 已知：经过△ABC 顶点A 任作一直线a, 过B ，C 两点作直线a 的垂线段
，，BB 和CC ，设M 是BC 的中点，
，，求证：MB ＝MC
5. 如图已知△ABC 中，AD ＝BE ，DM ∥EN ∥BC
求证BC ＝DM ＋EN
6. 如图已知：从平行四边形ABCD 的各顶点向形外任一直线a 作垂线段AE ，
BF ，CG ，DH 。
求证AE ＋CG ＝BF ＋DH
7. 如图已知D 是AB 的中点，F 是DE 的中点，
求证BC ＝2CE
a E C
8. 平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC 、CD 的中点，求证AC 平分MN
9. 已知△ABC 中，D 是边BC 上的任一点，M ，N ，P ，Q 分别是BC ，AD ，
AC ，MN 的中点，求证直线PQ 平分BD 。
10. 等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，点O 是AC 和BD 的交点，
∠AOB ＝60，P ，Q ，R 分别是AO ，BC ，DO 的中点，求证△PQR 是等边
三角形。
B D C B 11. 已知：△ABC 中，AD 是高，AE 是中线，且AD ，AE 三等分∠BAC ，
求证：△ABC 是Rt △。
12. 已知：在锐角三角形ABC 中，高AD 和中线BE 相交于O ，
∠BOD ＝60，求证AD ＝BE 13. 如图 已知：四边形ABCD 中，AD ＝BC ， 点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，MN ⊥EF N 求证：∠DMN ＝∠CNM E
练习题参考答案
1. ①平行四边形②菱形③矩形④相等且互相垂直
2. 取一条对角线的中点，利用三角形两边差小于第三边
3. DG ＝EF ＝
4.
5.
6.
7.
8.
9. 1AB 2，，过点M 作a 的垂线, 必平分B C ，△ABC 的中位线也是梯形BCD D 中位线 同上，有公共中位线 取BC 中点G ，连结DG 连结BD 交AC 于O ，易证四边形MCNO 是平行四边形 证四边形MPNS 是平行四边形
10. ∵△COD 是等边三角形，CR ⊥DO ，RQ ＝
11. 作EF ⊥AC ，EF ＝ED ＝1BC ，…… 21 EC ，∠C ＝30，…… 2
12. 作EF ⊥BC 于F ，AD ，BE 都等于2EF
13. 过AC 的中点O 作MN 的平行线，则OE ＝OF ，……
初中数学竞赛专题选讲
中位线
一、内容提要
1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计
算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括
作出辅助线。
4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线
截比例线段定理及推论，
①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等
②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边
③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰
5. 有关线段中点的其他定理还有：
①直角三角形斜边中线等于斜边的一半
②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合
③对角线互相平分的四边形是平行四边形
④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等
因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
二、例题
例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM
和CAN ，P 是BC 的中点。求证：PM ＝PN
（1991年泉州市初二数学双基赛题）
证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F
∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形
∴AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，
根据三角形中位线性质
PE ＝11AC ＝NF ，PF ＝AB ＝ME P 22
PE ∥AC ，PF ∥AB
∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN
∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN
例2. 已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，
且N 是BC 的中点。求MN 的长。
分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点，
则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。 辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略） N 例3. 求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。
已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点
求证：MN ∥AB ∥CD ，MN ＝1（AB －CD ） 2
分析一：∵M 是AC 中点，构造一个三角形，使N 为另一边中点，以便运
用中位线的性质。
∴连结CN 并延长交AB 于E （如图1）证△BNE ≌△DNC 可得N 是CE 的
中点。（证明略）
分析二：图2与图1思路一样。
分析三：直接选择△ABC ，取BC 中点P 连结MP 和NP ，证明M ，N ，P
三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。
例4. 如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是
BC 和EF 的中点
求证：MN ∥AD
证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN
MP ∥AB ，MP ＝11AB ，NP ∥AC ，NP ＝AC 22
C ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP 180-∠MPN ∴∠3=∠4= 2 ∠MPN ＋∠BAC ＝180（两边分平行的两个角相等或互补）
180 -∠MPN ∴∠1=∠2=， ∠2=∠3 2
∴NP ∥AC ∴MN ∥AD
证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG
则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG
∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180
∠CAD ＝ C 1 （180－∠FCG ） 21 ∠CFG ＝
（180－∠FCG ）=∠CAD 2 ∴ MN ∥AD
例5. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC
于F ，GE ⊥CE 交CB 的延长线于G
1 求证：FD ＝CG 4
证明要点是：延长GE 交AC 于H ， 可证E 是GH 的中点
过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，
1则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝GC 2
11由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝EM ＝GC 24
三、练习 1. 已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点
则①四边形EFGH 是＿＿＿＿＿形 ②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是＿＿＿形 ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是＿＿形 ④当AC 和BD ＿＿＿＿＿＿＿＿时，四边形EFGH 是正方形形。
2. 求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。
3. 已知AD 是锐角三角形ABC 的高，E ，F ，G 分别是边BC ，CA ，AB 的中
点，证明顺次连结E ，F ，G ，H 所成的四边形是等腰梯形。
4. 已知：经过△ABC 顶点A 任作一直线a, 过B ，C 两点作直线a 的垂线段
，，BB 和CC ，设M 是BC 的中点，
，，求证：MB ＝MC
5. 如图已知△ABC 中，AD ＝BE ，DM ∥EN ∥BC
求证BC ＝DM ＋EN
6. 如图已知：从平行四边形ABCD 的各顶点向形外任一直线a 作垂线段AE ，
BF ，CG ，DH 。
求证AE ＋CG ＝BF ＋DH
7. 如图已知D 是AB 的中点，F 是DE 的中点，
求证BC ＝2CE
a E C
8. 平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC 、CD 的中点，求证AC 平分MN
9. 已知△ABC 中，D 是边BC 上的任一点，M ，N ，P ，Q 分别是BC ，AD ，
AC ，MN 的中点，求证直线PQ 平分BD 。
10. 等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，点O 是AC 和BD 的交点，
∠AOB ＝60，P ，Q ，R 分别是AO ，BC ，DO 的中点，求证△PQR 是等边
三角形。
B D C B 11. 已知：△ABC 中，AD 是高，AE 是中线，且AD ，AE 三等分∠BAC ，
求证：△ABC 是Rt △。
12. 已知：在锐角三角形ABC 中，高AD 和中线BE 相交于O ，
∠BOD ＝60，求证AD ＝BE 13. 如图 已知：四边形ABCD 中，AD ＝BC ， 点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，MN ⊥EF N 求证：∠DMN ＝∠CNM E
练习题参考答案
1. ①平行四边形②菱形③矩形④相等且互相垂直
2. 取一条对角线的中点，利用三角形两边差小于第三边
3. DG ＝EF ＝
4.
5.
6.
7.
8.
9. 1AB 2，，过点M 作a 的垂线, 必平分B C ，△ABC 的中位线也是梯形BCD D 中位线 同上，有公共中位线 取BC 中点G ，连结DG 连结BD 交AC 于O ，易证四边形MCNO 是平行四边形 证四边形MPNS 是平行四边形
10. ∵△COD 是等边三角形，CR ⊥DO ，RQ ＝
11. 作EF ⊥AC ，EF ＝ED ＝1BC ，…… 21 EC ，∠C ＝30，…… 2
12. 作EF ⊥BC 于F ，AD ，BE 都等于2EF
13. 过AC 的中点O 作MN 的平行线，则OE ＝OF ，……