习 题 3.1
1. 按函数极限的定义证明：
⑴ limx3
＝8； x→2
⑵lim
x→4
x = 2；
⑶ lim
x−1 ＝ 1
；
⑷lim
x+1x→3x+12
2x−1 = 1
2
；
x→∞⑸ xlim→0+
lnx=−∞； ⑹e−x＝0； xlim→+∞
⑺ lim2x
2
⑻x→2+x−4
=+∞；
xlimx2
→−∞x+1
=−∞。
2. 求下列函数极限：
⑴ lim
x2−1
x→1
2x2−x−1；
⑵limx2−1x→∞2x2
−x−1
⑶ lim
3x5−5x3+2x
x5−x3+3x；
⑷lim(1+2x)(1+3x)−1； x→0
x→0x
⑸ lim
(1+x)n−1
x
；
⑹x→0
lim(1+mx)n−(1+nx)m；x→0x2
⑺ lim
sinx−sina
x2
x−a
；
⑻x→a
lim； x→01−cosx
⑼ lim
cosx−cos3x
x2
；
⑽
limtanx−sinx。 x→0
x→0x3
3. 利用夹逼法求极限：
1
⑴ limx→0
x⎡⎢1⎤
⎣x⎥⎦
；
⑵
x
xlim
→+∞
x。4. 利用夹逼法证明：
xlimxk
(1) →+∞a
x = 0 (a＞1，k为任意正整数)；
(2) lnkx
xlim
→+∞x
= 0 (k为任意正整数); 5. 讨论单侧极限：
⎧⎪1
2x,0
,1
在x = 0,1,2三点；
⎪⎪2x2
1x
(2) f(x) =
2+11， 在x = 0点；
2x
−1
(3) Dirichlet函数
D (x) = ⎧⎨
1,x为有理数,
在任意点；
⎩0,x为无理数, (4) f(x) = 1⎡1⎤
1x−⎢⎣x⎥⎦
, 在 x = n（n=1,2,3,
。
6. 说明下列函数极限的情况： (1) lim
x→∞
sinxx
; (2) limesinx;
x→∞x
α
(3) limxsin
x→+∞
1⎛1⎞
; (4) lim⎜1+⎟;
x→∞xx⎠⎝
x
x2
⎛1⎡1⎤⎞1⎞⎛
(5) lim⎜1+2⎟; (6) lim⎜−⎢⎥⎟。 ⎜⎟x→∞x→0+x⎠⎝⎝x⎣x⎦⎠
7．设函数
1
⎛⎞⎜2+exsinx⎟f(x)=⎜+⎟。 4
|x|⎟⎜1+ex
⎝⎠
问当x→0时，f(x)的极限是否存在？
A（a≥0），证明：f(x) = A 。 8. 设limf(x) =
x→a
x→2
A，证明：limf(x) = A 。 9. (1) 设limf(x) =
x→0x→0
x→0
3
A，问是否成立limf(x) = A？ (2) 设limf(x) =
x→0
2
10. 写出下述命题的“否定命题”的分析表述：
(1) {xn}是无穷小量； (2) {xn}是正无穷大量； (3) f(x)在x0的右极限是A；
(4) f(x)在x0的左极限是正无穷大量； (5) 当x →−∞, f(x)的极限是A； (6) 当x→+∞，f(x)是负无穷大量。
对于任意从右方收敛于x0的数列{xn}（xn11. 证明limf(x)= +∞的充分必要条件是：
x→x0+
＞x0），成立
n→∞
x→+∞
limf(xn) = +∞。 limf(xn) = −∞。
12. 证明limf(x)= −∞的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{xn}, 成立
n→∞
x→+∞
对于任意正无穷大量{xn}，相应的函13. 证明limf(x)存在而且有限的充分必要条件是：
数值数列{f(xn)}收敛。
14．分别写出下述函数极限存在而且有限的Cauchy收敛原理，并加以证明：
（2）limf(x)；（3）limf(x)。 （1）limf(x)；
x→x0
x→x0+
x→−∞
15．设f(x)在(0,+∞)上满足函数方程f(2x)=f(x)，且limf(x)=A，证明
x→+∞
f(x)≡A,
x∈(0,+∞)。
习 题 3.2
1. 按定义证明下列函数在其定义域连续： (1) y =
1
x； (2) y = sin；
x
⎧sinx⎪,x≠0,
(3) y = ⎨x
⎪x=0.⎩1,
2. 确定下列函数的连续范围：
⑴ y = tanx + csc x ； ⑶ y =
⑵y =
1
； x
(x−1)(x−3)
⑷y = [x] ln (1+x)； ；
x+1⎡1⎤=⎢⎥； ⑸ y ⑹y = sgn (sin x)。 x⎣⎦
22
3. 若f(x)在点x0连续，证明f(x)与 |f(x)| 在点x0也连续。反之，若f(x)或 |f(x)| 在点x0连续，能否断言f(x)在点x0连续?
4. 若f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，能否断言f(x)⋅g(x)在点x0不连续? 又若f(x)与g(x)在点x0都不连续，则上面的断言是否成立?
5. 若f,g在[a,b]上连续，则max {f,g}与min{f,g}在[a,b]上连续，其中 max{f，g} = max {f(x)，g(x)}，x∈[a,b]； min {f，g} = min {f(x)，g(x)}，x∈[a,b]。 6. 若对任意δ>0，f 在［a +δ, b -δ］上连续，能否得出 (1) f 在(a,b)上连续? (2) f 在[a,b]上连续?
g(x)
= αβ；并求下列极限： 7. 设limf(x)=α＞0，limg(x)= β，证明：limf(x)
x→x0
x→x0
x→x0
x+1⎞⑴ lim⎛⎜⎟
x→∞
⎝x−1⎠sinx⎞⑶ lim⎛⎜⎟
x→a
2x−1
x+1
；
⎛x+1⎞⑵lim⎜⎟； x→∞
⎝x−1⎠⎛n+x⎞⑷lim⎜⎟； n→∞n−1⎝⎠
n
x
1
x−a
⎝sina⎠
1⎞n⎛π⑸ limtan⎜+⎟。
n→∞
⎝4n⎠
(sina≠0)；
8. 指出下列函数的不连续点，并确定其不连续的类型：
x2−1
⑴ y = 3
x−3x+2x
⑶ y = ；
sinx
1−x2
⑸ y = e；
xn
x2−x
⑺ y = ；
|x|(x2−1)
⑼ y = ⎨
1
⑵y = [x]sin
1； x
⑷y = [2x] - 2[x]； ⑹y = xlnn|x|；
⎧sinπx,x为有理数,
0，x为无理数;⎩
+3x−1
；
+2x−1
q⎧π
(p,q互质，p>0),⎪sin,x=
⑽y = ⎨pp
⎪x为无理数.⎩0，
⑻ y =
9．设f(x)在(0,+∞)上连续，且满足f(x)=f(x)，x∈(0,+∞)，证明f(x)在(0,+∞)上
为常数函数。
2
习 题 3.3
1. 确定a与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) axα：
543
(1) u(x) = x−3x+2x, (x→0，x→∞)；
x5+2x2
(2) u(x) = (x→0，x→∞）；
3x4−x3
(3) u(x) = u(x) = (4)
x3+
x2 (x→0+,x→+∞)；
x+x+x(x→0+,x→+∞)；
(5) u(x) = (6) u(x) = (7) u(x
) = u(x) = (8)
+3x - +2x (x→0,x→+∞)；
x (x→+∞)； x2+1 -
- x (x→0+)；
3
2
+xx - e2x (x→0+)；
2
u(x) = ln cos x - arctanx(x→0)； (9)
u(x) = +tanx - −sinx (x→0)。 (10)
2. (1) 当x→+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进行排列，并说明理由。
ax (a＞1), xx, xα (α＞0)， lnkx (k＞0)， [x]!；
(2) 当x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进行排列，并说明理由
xα (α＞0)，
3. 计算下列极限：
1
, a1⎡⎤!⎢⎥⎣x⎦
1
−x
(a＞1)，⎜⎟
⎛1⎞−k⎛1⎞, ln⎜⎟ (k＞0)。 ⎝x⎠⎝x⎠
−
1
x
+x−+2x2
⑴ lim；
x→0ln(1+3x)
⑶ lim(x+
x→+∞
⑵⑷
x→0+
lim
1−x
；
1−cosx
x+x-x)；
x→+∞
lim(+x+x2- −x+x2)；
ax−aα
⑸ lim (a＞0)；
x→αx−α
x ( ln (1+x) - ln x )； ⑺ xlim→+∞⑼ lim(x+e)；
x→0
x
1
x
xα−aα
⑹lim (a＞0)；
x→ax−a
lnx−lna
⑻lim (a＞0)；
x→ax−a
1
x2⎞⎛x⑽lim⎜cosx−⎟； ⎟x→0⎜2⎠⎝
2n⑿limn(x - x) (x＞0)。
n→∞
2
⑾ limn (x- 1) (x＞0)；
n→∞
习 题 3.4
1．证明：设函数f(x)在[a,+∞)上连续，且limf(x) = A（有限数），则f(x)在[a,+∞)
x→+∞
有界。
2．证明：若函数f(x)在开区间(a,b)上连续，且f(a+)和f(b-)存在，则它可取到介于f(a+)
和f(b-)之间的一切中间值。
3．证明：若闭区间[a,b]上的单调有界函数f(x)能取到 f(a)和f(b)之间的一切值，则f(x)是[a,b]上的连续函数。
4．应用Bolzano-Weierstrass定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。 5．应用闭区间套定理证明零点存在定理。
6. 证明方程x=asinx+b（a,b>0）至少有一个正根。
7．证明方程x+px+q=0（p>0）有且仅有一个实根。 8．证明： （1）sin
3
1
在（0,1）上不一致连续，但在(a,1)(a＞0)上一致连续； x2
（2）sinx在(−∞,+∞)上不一致连续，但在[0,A]上一致连续；
（3）x在[0,+∞)上一致连续； （4）ln x在[1,+∞)上一致连续； (5) cosx在[0,+∞)上一致连续。
9．证明：对椭圆内的任意一点P，存在椭圆过P的一条弦，使得P是该弦的中点。
10．设函数f(x)在[0,2]上连续，且f(0) = f(2)，证明：存在x，y∈[0, 2]，y - x = 1，使得f(x)
= f(y)。
11．若函数f(x)在有限开区间(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界。 12．证明：
（1）某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续； （2）某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续。
且f(x)≠0,x∈[a,b]，证明f(x)在[a,b]上恒正或恒负。 13. 设函数f(x)在[a,b]上连续，
14．设函数f(x)在[a,b]上连续，a≤x1
得
1
[f(x1)+f(x2)+
15．若函数f(x)在[a,+∞)上连续，且limf(x) = A (有限数)，则f(x)在[a,+∞)上一致
f(ξ)=
x→+∞
连续。
习 题 3.1
1. 按函数极限的定义证明：
⑴ limx3
＝8； x→2
⑵lim
x→4
x = 2；
⑶ lim
x−1 ＝ 1
；
⑷lim
x+1x→3x+12
2x−1 = 1
2
；
x→∞⑸ xlim→0+
lnx=−∞； ⑹e−x＝0； xlim→+∞
⑺ lim2x
2
⑻x→2+x−4
=+∞；
xlimx2
→−∞x+1
=−∞。
2. 求下列函数极限：
⑴ lim
x2−1
x→1
2x2−x−1；
⑵limx2−1x→∞2x2
−x−1
⑶ lim
3x5−5x3+2x
x5−x3+3x；
⑷lim(1+2x)(1+3x)−1； x→0
x→0x
⑸ lim
(1+x)n−1
x
；
⑹x→0
lim(1+mx)n−(1+nx)m；x→0x2
⑺ lim
sinx−sina
x2
x−a
；
⑻x→a
lim； x→01−cosx
⑼ lim
cosx−cos3x
x2
；
⑽
limtanx−sinx。 x→0
x→0x3
3. 利用夹逼法求极限：
1
⑴ limx→0
x⎡⎢1⎤
⎣x⎥⎦
；
⑵
x
xlim
→+∞
x。4. 利用夹逼法证明：
xlimxk
(1) →+∞a
x = 0 (a＞1，k为任意正整数)；
(2) lnkx
xlim
→+∞x
= 0 (k为任意正整数); 5. 讨论单侧极限：
⎧⎪1
2x,0
,1
在x = 0,1,2三点；
⎪⎪2x2
1x
(2) f(x) =
2+11， 在x = 0点；
2x
−1
(3) Dirichlet函数
D (x) = ⎧⎨
1,x为有理数,
在任意点；
⎩0,x为无理数, (4) f(x) = 1⎡1⎤
1x−⎢⎣x⎥⎦
, 在 x = n（n=1,2,3,
。
6. 说明下列函数极限的情况： (1) lim
x→∞
sinxx
; (2) limesinx;
x→∞x
α
(3) limxsin
x→+∞
1⎛1⎞
; (4) lim⎜1+⎟;
x→∞xx⎠⎝
x
x2
⎛1⎡1⎤⎞1⎞⎛
(5) lim⎜1+2⎟; (6) lim⎜−⎢⎥⎟。 ⎜⎟x→∞x→0+x⎠⎝⎝x⎣x⎦⎠
7．设函数
1
⎛⎞⎜2+exsinx⎟f(x)=⎜+⎟。 4
|x|⎟⎜1+ex
⎝⎠
问当x→0时，f(x)的极限是否存在？
A（a≥0），证明：f(x) = A 。 8. 设limf(x) =
x→a
x→2
A，证明：limf(x) = A 。 9. (1) 设limf(x) =
x→0x→0
x→0
3
A，问是否成立limf(x) = A？ (2) 设limf(x) =
x→0
2
10. 写出下述命题的“否定命题”的分析表述：
(1) {xn}是无穷小量； (2) {xn}是正无穷大量； (3) f(x)在x0的右极限是A；
(4) f(x)在x0的左极限是正无穷大量； (5) 当x →−∞, f(x)的极限是A； (6) 当x→+∞，f(x)是负无穷大量。
对于任意从右方收敛于x0的数列{xn}（xn11. 证明limf(x)= +∞的充分必要条件是：
x→x0+
＞x0），成立
n→∞
x→+∞
limf(xn) = +∞。 limf(xn) = −∞。
12. 证明limf(x)= −∞的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{xn}, 成立
n→∞
x→+∞
对于任意正无穷大量{xn}，相应的函13. 证明limf(x)存在而且有限的充分必要条件是：
数值数列{f(xn)}收敛。
14．分别写出下述函数极限存在而且有限的Cauchy收敛原理，并加以证明：
（2）limf(x)；（3）limf(x)。 （1）limf(x)；
x→x0
x→x0+
x→−∞
15．设f(x)在(0,+∞)上满足函数方程f(2x)=f(x)，且limf(x)=A，证明
x→+∞
f(x)≡A,
x∈(0,+∞)。
习 题 3.2
1. 按定义证明下列函数在其定义域连续： (1) y =
1
x； (2) y = sin；
x
⎧sinx⎪,x≠0,
(3) y = ⎨x
⎪x=0.⎩1,
2. 确定下列函数的连续范围：
⑴ y = tanx + csc x ； ⑶ y =
⑵y =
1
； x
(x−1)(x−3)
⑷y = [x] ln (1+x)； ；
x+1⎡1⎤=⎢⎥； ⑸ y ⑹y = sgn (sin x)。 x⎣⎦
22
3. 若f(x)在点x0连续，证明f(x)与 |f(x)| 在点x0也连续。反之，若f(x)或 |f(x)| 在点x0连续，能否断言f(x)在点x0连续?
4. 若f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，能否断言f(x)⋅g(x)在点x0不连续? 又若f(x)与g(x)在点x0都不连续，则上面的断言是否成立?
5. 若f,g在[a,b]上连续，则max {f,g}与min{f,g}在[a,b]上连续，其中 max{f，g} = max {f(x)，g(x)}，x∈[a,b]； min {f，g} = min {f(x)，g(x)}，x∈[a,b]。 6. 若对任意δ>0，f 在［a +δ, b -δ］上连续，能否得出 (1) f 在(a,b)上连续? (2) f 在[a,b]上连续?
g(x)
= αβ；并求下列极限： 7. 设limf(x)=α＞0，limg(x)= β，证明：limf(x)
x→x0
x→x0
x→x0
x+1⎞⑴ lim⎛⎜⎟
x→∞
⎝x−1⎠sinx⎞⑶ lim⎛⎜⎟
x→a
2x−1
x+1
；
⎛x+1⎞⑵lim⎜⎟； x→∞
⎝x−1⎠⎛n+x⎞⑷lim⎜⎟； n→∞n−1⎝⎠
n
x
1
x−a
⎝sina⎠
1⎞n⎛π⑸ limtan⎜+⎟。
n→∞
⎝4n⎠
(sina≠0)；
8. 指出下列函数的不连续点，并确定其不连续的类型：
x2−1
⑴ y = 3
x−3x+2x
⑶ y = ；
sinx
1−x2
⑸ y = e；
xn
x2−x
⑺ y = ；
|x|(x2−1)
⑼ y = ⎨
1
⑵y = [x]sin
1； x
⑷y = [2x] - 2[x]； ⑹y = xlnn|x|；
⎧sinπx,x为有理数,
0，x为无理数;⎩
+3x−1
；
+2x−1
q⎧π
(p,q互质，p>0),⎪sin,x=
⑽y = ⎨pp
⎪x为无理数.⎩0，
⑻ y =
9．设f(x)在(0,+∞)上连续，且满足f(x)=f(x)，x∈(0,+∞)，证明f(x)在(0,+∞)上
为常数函数。
2
习 题 3.3
1. 确定a与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) axα：
543
(1) u(x) = x−3x+2x, (x→0，x→∞)；
x5+2x2
(2) u(x) = (x→0，x→∞）；
3x4−x3
(3) u(x) = u(x) = (4)
x3+
x2 (x→0+,x→+∞)；
x+x+x(x→0+,x→+∞)；
(5) u(x) = (6) u(x) = (7) u(x
) = u(x) = (8)
+3x - +2x (x→0,x→+∞)；
x (x→+∞)； x2+1 -
- x (x→0+)；
3
2
+xx - e2x (x→0+)；
2
u(x) = ln cos x - arctanx(x→0)； (9)
u(x) = +tanx - −sinx (x→0)。 (10)
2. (1) 当x→+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进行排列，并说明理由。
ax (a＞1), xx, xα (α＞0)， lnkx (k＞0)， [x]!；
(2) 当x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进行排列，并说明理由
xα (α＞0)，
3. 计算下列极限：
1
, a1⎡⎤!⎢⎥⎣x⎦
1
−x
(a＞1)，⎜⎟
⎛1⎞−k⎛1⎞, ln⎜⎟ (k＞0)。 ⎝x⎠⎝x⎠
−
1
x
+x−+2x2
⑴ lim；
x→0ln(1+3x)
⑶ lim(x+
x→+∞
⑵⑷
x→0+
lim
1−x
；
1−cosx
x+x-x)；
x→+∞
lim(+x+x2- −x+x2)；
ax−aα
⑸ lim (a＞0)；
x→αx−α
x ( ln (1+x) - ln x )； ⑺ xlim→+∞⑼ lim(x+e)；
x→0
x
1
x
xα−aα
⑹lim (a＞0)；
x→ax−a
lnx−lna
⑻lim (a＞0)；
x→ax−a
1
x2⎞⎛x⑽lim⎜cosx−⎟； ⎟x→0⎜2⎠⎝
2n⑿limn(x - x) (x＞0)。
n→∞
2
⑾ limn (x- 1) (x＞0)；
n→∞
习 题 3.4
1．证明：设函数f(x)在[a,+∞)上连续，且limf(x) = A（有限数），则f(x)在[a,+∞)
x→+∞
有界。
2．证明：若函数f(x)在开区间(a,b)上连续，且f(a+)和f(b-)存在，则它可取到介于f(a+)
和f(b-)之间的一切中间值。
3．证明：若闭区间[a,b]上的单调有界函数f(x)能取到 f(a)和f(b)之间的一切值，则f(x)是[a,b]上的连续函数。
4．应用Bolzano-Weierstrass定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。 5．应用闭区间套定理证明零点存在定理。
6. 证明方程x=asinx+b（a,b>0）至少有一个正根。
7．证明方程x+px+q=0（p>0）有且仅有一个实根。 8．证明： （1）sin
3
1
在（0,1）上不一致连续，但在(a,1)(a＞0)上一致连续； x2
（2）sinx在(−∞,+∞)上不一致连续，但在[0,A]上一致连续；
（3）x在[0,+∞)上一致连续； （4）ln x在[1,+∞)上一致连续； (5) cosx在[0,+∞)上一致连续。
9．证明：对椭圆内的任意一点P，存在椭圆过P的一条弦，使得P是该弦的中点。
10．设函数f(x)在[0,2]上连续，且f(0) = f(2)，证明：存在x，y∈[0, 2]，y - x = 1，使得f(x)
= f(y)。
11．若函数f(x)在有限开区间(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界。 12．证明：
（1）某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续； （2）某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续。
且f(x)≠0,x∈[a,b]，证明f(x)在[a,b]上恒正或恒负。 13. 设函数f(x)在[a,b]上连续，
14．设函数f(x)在[a,b]上连续，a≤x1
得
1
[f(x1)+f(x2)+
15．若函数f(x)在[a,+∞)上连续，且limf(x) = A (有限数)，则f(x)在[a,+∞)上一致
f(ξ)=
x→+∞
连续。