勾股定理的证明

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做

8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11

a2b24abc24ab222

22， 整理得 abc.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角

1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点

在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

2

ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴

ab2

1

4abc2

222

2. ∴ abc.

【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

1

ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.

2

ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

12

4abbac2

2∴ .

222

∴ abc. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角

1ab

形的面积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

12

c

它的面积等于2.

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.

1

ab2

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.

1

ab221ab1c2

22. ∴ 2

222

∴ abc.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即 ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则

11

c2S2aba2b2S2ab,

2, 2

222

∴ abc.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法5】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点 L.

∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

12a

∵ ΔFAB的面积等于2， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，

2

∴ 矩形ADLM的面积 =a.

2

K

同理可证，矩形MLEB的面积 =b. ∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222

∴ cab ，即 abc.

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB，

2

即 ACADAB. 2

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BCBDAB.

222222ACBCADDBABAB∴ ，即 abc.

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，

∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形，

所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =

CA = b，AP= a，从而PH = b―a. ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

c2S1S2S3S4S5 ①

1

bbaabab21ab22， = 1

abS82

bS1S8 . ② 2=

∵

S8S3S4

S5S8S9， ∴

把②代入①，得

S3S4b2

c2S1S2b2S1S8S8S9

2bS2S9 = b2a2. = 222

∴ abc.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE.

R又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，

BT = BE = b，

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a.

又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠

∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b―a，

∠HGF = ∠BDC = 90º，

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7S2. 过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S8S5.

由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.

∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE，

∴ ∠FQM = ∠CAR.

又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a， ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S4S6.

222

∵ cS1S2S3S4S5，aS1S6，bS3S7S8， 又∵ S7S2，S8S5，S4S6，

22abS1S6S3S7S8 ∴

=S1S4S3S2S5

2

=c，

222

即 abc.

【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

AC2AEAD =ABBEABBD

caca=

22

= ca， 2

2

2

即bca，

222

∴ abc.

【证法12】（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

ABDCADBCACBD， ∵ AB = DC = c，AD = BC = a，

AC = BD = b，

222222

∴ ABBCAC，即 cab，

222abc∴ .

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE， ∴ ACBCABAECEBDCDAFBF

= CECD= r + r = 2r,

即 abc2r， ∴ ab2rc.

22

ab2rc∴ ，

2222ab2ab4rrcc即 ，



∵

SABC

1

ab2，

∴ 2ab4SABC，

又∵ SABCSAOBSBOC

1

2rccr22= = rrc，

2

∴ 4rrc4SABC，

24rrc2ab， ∴

222222∴ ab2ab2abc， ∴ abc. 【证法14】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

222222

假设abc，即假设 ACBCAB，则由

1111

abcrcrarbr

SAOC = 222 = 2





AB2ABAB=ABADBD=ABADABBD

22

可知 ACABAD，或者 BCABBD. 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠A = ∠A， ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则 ∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º，

∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

222

这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，ACBCAB的假设不能成立.

222

∴ abc. 【证法15】（辛卜松证明）

DD

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD

2

aba2b22ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为

部分，则正方形ABCD的面积为 222

∴ ab2ab2abc,

ab2

1

4abc2

2

2 =2abc.

222

∴ abc.

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，

则 AD = c.

∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，

∴ DM = EM―ED = ba―a = b.

又∵ ∠CMD = 90º，CM = a， ∠AED = 90º， AE = b， ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c. ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，

∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.

∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE， ∴ ΔABF ≌ ΔADE.

∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtΔABF和RtΔBCG中， ∵ AB = BC = c，BF = CG = a， ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.

222cSSSSbSSSa2345126∵ ， ， S3S7， S1S5S4S6S7， 22abS3S7S1S2S6 ∴

=S2S3S1S6S7

=S2S3S4S5

=c 222

∴ a

bc.

2

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做

8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11

a2b24abc24ab222

22， 整理得 abc.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角

1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点

在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

2

ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴

ab2

1

4abc2

222

2. ∴ abc.

【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

1

ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.

2

ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

12

4abbac2

2∴ .

222

∴ abc. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角

1ab

形的面积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

12

c

它的面积等于2.

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.

1

ab2

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.

1

ab221ab1c2

22. ∴ 2

222

∴ abc.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即 ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则

11

c2S2aba2b2S2ab,

2, 2

222

∴ abc.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法5】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点 L.

∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

12a

∵ ΔFAB的面积等于2， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，

2

∴ 矩形ADLM的面积 =a.

2

K

同理可证，矩形MLEB的面积 =b. ∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222

∴ cab ，即 abc.

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB，

2

即 ACADAB. 2

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BCBDAB.

222222ACBCADDBABAB∴ ，即 abc.

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，

∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形，

所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =

CA = b，AP= a，从而PH = b―a. ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

c2S1S2S3S4S5 ①

1

bbaabab21ab22， = 1

abS82

bS1S8 . ② 2=

∵

S8S3S4

S5S8S9， ∴

把②代入①，得

S3S4b2

c2S1S2b2S1S8S8S9

2bS2S9 = b2a2. = 222

∴ abc.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE.

R又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，

BT = BE = b，

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a.

又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠

∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b―a，

∠HGF = ∠BDC = 90º，

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7S2. 过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S8S5.

由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.

∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE，

∴ ∠FQM = ∠CAR.

又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a， ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S4S6.

222

∵ cS1S2S3S4S5，aS1S6，bS3S7S8， 又∵ S7S2，S8S5，S4S6，

22abS1S6S3S7S8 ∴

=S1S4S3S2S5

2

=c，

222

即 abc.

【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

AC2AEAD =ABBEABBD

caca=

22

= ca， 2

2

2

即bca，

222

∴ abc.

【证法12】（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

ABDCADBCACBD， ∵ AB = DC = c，AD = BC = a，

AC = BD = b，

222222

∴ ABBCAC，即 cab，

222abc∴ .

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE， ∴ ACBCABAECEBDCDAFBF

= CECD= r + r = 2r,

即 abc2r， ∴ ab2rc.

22

ab2rc∴ ，

2222ab2ab4rrcc即 ，



∵

SABC

1

ab2，

∴ 2ab4SABC，

又∵ SABCSAOBSBOC

1

2rccr22= = rrc，

2

∴ 4rrc4SABC，

24rrc2ab， ∴

222222∴ ab2ab2abc， ∴ abc. 【证法14】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

222222

假设abc，即假设 ACBCAB，则由

1111

abcrcrarbr

SAOC = 222 = 2





AB2ABAB=ABADBD=ABADABBD

22

可知 ACABAD，或者 BCABBD. 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠A = ∠A， ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则 ∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º，

∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

222

这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，ACBCAB的假设不能成立.

222

∴ abc. 【证法15】（辛卜松证明）

DD

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD

2

aba2b22ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为

部分，则正方形ABCD的面积为 222

∴ ab2ab2abc,

ab2

1

4abc2

2

2 =2abc.

222

∴ abc.

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，

则 AD = c.

∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，

∴ DM = EM―ED = ba―a = b.

又∵ ∠CMD = 90º，CM = a， ∠AED = 90º， AE = b， ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c. ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，

∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.

∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE， ∴ ΔABF ≌ ΔADE.

∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtΔABF和RtΔBCG中， ∵ AB = BC = c，BF = CG = a， ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.

222cSSSSbSSSa2345126∵ ， ， S3S7， S1S5S4S6S7， 22abS3S7S1S2S6 ∴

=S2S3S1S6S7

=S2S3S4S5

=c 222

∴ a

bc.

2