第!&卷!
岩土工程学报
B?;6C5C:3
L3MA!&/3A):26A，!
饱和土体应变局部化的复合体理论
!
黄茂松，钱建固，吴世明
（同济大学地下建筑与工程系，上海
!
摘要：有限元法求解应变局部化问题时经常受到单元尺寸敏感性问题的困扰。为克服这一难题，给出一种基于整体坐标的应变
局部化的复合体理论，通过对剪切带内外土体力学特性进行均一化处理来描述含剪切带土体的宏观力学特性。首先从理论上分析了饱和土体应变局部化的产生条件，随后通过复合体理论给出了描述在排水条件和不排水条件下饱和土体应变局部化的本构方程，最后对平面应变条件下的饱和密砂试样进行了分析，通过与室内平面应变试验结果的对比，验证了本文理论的合理性。关键词：饱和土体；应变局部化；剪切带；平面应变试验；复合体理论中图分类号：$%&’
文献标识码：(
文章编号：（!
作者简介：黄茂松（)#-+*），男，浙江玉环人，研究员，博导，获英国威尔士大学博士学位，现从事计算土力学与土动力学的研究工作。
.%(/012345367，89(/:;2647?;4@;67
（!
!42+-*.+：2-.6#$#
’$&
5&67#-02：6$&
明确的物理意义，故很难通过试验来确定的。粘弹塑性
!前言!
本构关系的引入也取决于所分析的材料是否具有粘性效应。笔者认为一个合理的应变局部化理论框架，应该具有以下两方面的能力：其一，它能描述含剪切带土体的宏观力学性质，模型参数可以通过室内试验来确定；其二，它能消除应变局部化有限元分析时的单元尺寸敏感性。而本文将采用的复合体理论正是这一类模型的代表。应变局部化的复合体理论首先是由加拿大1H4
［］
之后又进一步推125ECD大学I;CED
［)’］
广到不排水饱和土体中，此理论可用于描述剪切带出
岩土体、混凝土和砌体等常用的土木工程材料，在其渐进破坏的过程中往往伴随着应变局部化现象的发岩土体的应变局部化问题一直是生。自,
岩土工程界研究的焦点问题之一。应该说应变局部化分析涉及到的问题很多，其中一个最主要也是国内外学者研究得最多的问题是所谓的单元尺寸敏感性问题。从边值问题的应变局部化数值模拟来看，大量研究工作已表明基于经典连续介质力学理论的应变局部化数值分析结果是不能令人满意的，原因是当应变局部化产生时拟静力荷载下的控制方程将失去其椭圆性，这种椭圆性的丧失将直接导致数值分析结果病态地依赖于有限元单元尺寸。为克服这一难题，目前国内外学者主要采用以下几条途径：!采用引入了高阶连续结构的B355CD4
［］
2E连续体理论)F!；
［’］［&F+］量；；#采用非局部应变理论$采用梯度塑性理［-F))］论；%采用描述含剪切带土体平均力学特性的复合［)!F)+］［)-］体理论；&采用广义孔隙压力理论；’采用粘弹［)G］塑性本构关系。除了后面三种方法以外的其它方法
现后带内土体和带外土体的平均力学性质。原来的理论是建立在局部坐标体系而不是整体坐标体系上的，而这种基于局部坐标体系上的本构理论在推广到三维问题时会带来一些困难。本文将原有的表达形式作一些修正，所有的应力、应变和位移分量均直接采用总体坐标来描述，使得模型的数值实现更为有效。
国家自然科学基金资助项目（+
回国人员科研启动基金资助项目；上海市科学技术发展基金资助项目（
（!
收稿日期：!
基本上只是停留在理论探讨上，其中的附加参数并没有
((岩土工程学报(,,(年
积的比值。
!应变局部化的产生条件
对于弹塑性固体介质，应变局部化可通过所谓分
由于相对于土样的总体几何尺寸来说，剪切带的宽度往往是很小的，因此可以认为剪切带内的位移梯度是均匀的。假设剪切带上下面的位移差值（改变量）
2
（对于局部坐标/
［!
叉理论得到。考虑弹塑性固体处于均匀应力状
!，态!，承受均匀的应变率
匀的。但在某些情况下，分叉现象可能会出现，从而产生不均匀的变形。固体内产生局部变形一般仅局限于一个很窄的区域，称之为剪切带。弱非连续形式是假定穿过剪切带的应变场不连续，出现跳跃，而位移场仍言），其中.:为剪切带法线方向的位移差值，.;为平行于剪切带方向的位移差值，那么对于局部坐标/
来说，剪切带内部的三个应变率分量可以表示为
(）&（&’).!;;
然是保持连续的，实际上位移梯度在平行剪切带平面还是保持连续的。剪切带内的应变场可以表示为带外均匀应变场加上一个能描述应变场跳跃的附加应变场，这种附加位移梯度〈!
〈!
（!）
式中
那么对应的应变矢量为
〈!
’(（(）对于一种弹塑性材料，其速率本构方程可写为
&()（+）根据剪切带内外的应力平衡方程条件，可以得到
〈&*#〉%%〈
（%)*
$(%,（.）为了保证$(有一个非零解，下列条件必须得到满足：
/)0（+（)*
#(
（1）
现在我们考虑饱和多孔介质的不排水力学性状。根据2)345678有效应力原理，
可以得到
不难看出对于不排水条件下的饱和多孔介质，应变局
部化产生的条件简化为
/)0（+（#(
%)（
饱和土体应变局部化的复合体理论
排水条件
在分析变形局部化问题时，可以着重于土体的宏
观变形特性，用一种描述含剪切带土体平均力学特性的均匀化方法来进行分析。若土体已经产生了剪切带，则土样可以看成有带内土体介质和带外土体介质构成的复合体，这两种土体介质在微观力学性质上是不同的。设带外土体为介质（!），带内土体为介质（(），则土
样复合体的平均应力率!
!和平均应变率
(!!（(）（!,）式中$（
(）表示介质
(）::}%{;.
&:’0（!!）
!&（(）:;
.
’0}
式中
0和)分别为剪切带的宽度和长度。这种基于
局部坐标的应变定义，虽然比较容易理解，但当推广到三维情况时实际上根本无法定义平行于剪切带平面的两个局部坐标轴的方向。基于上述原因，有必要将剪切带内的应变直接用整体坐标来定义，由于平行于剪切带
方向的位移梯度（或应变）是连续的，即!（!）（(）
;;%!;;，那么不考虑!（(）
;;分量贡献的剪切带内部的应变率可表示为
［!
&（(）］%（
为整体坐标体系下的剪切带上下面的速度差值（改变量）矢量。
由于剪切带的厚度比试样的总体尺寸要小得多，那么复合体的平均应变率为
［!&］%［!&（!）］&
胀变形，因此!$和
!%!
!（!）（!-）此外，在带内外接触面上的应力还应满足以下连续条件：
［
&（!）］
!!（!）%［’（
上式中的塑性应变可利用屈服函数和非相关流动法则
给出：
-（!
（!）!，
)!
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!（!）（!
第%期黄茂松，等A饱和土体应变局部化的复合体理论
(-
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#%!$%&%!［!!］（%’）［!!
式（%’）中，$%&!$%!#%!#%（）!［!!
给出的一般性弹塑性应力应变关系在实际上，式（()）形式上作一些修改，同样也可描述剪切带材料的本构
!和作用在剪切关系。将剪切带上下面的速度差值
()
切带土体的宏观应力应变关系，其表达式如下：
!#［!!
&&$%!（-%）［,］［［,］）［,］［!!
{
()
()
&
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&
上式中，对二维问题，［,］#
[)
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)-(
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对三维问]，
--
))-带上的应力率!#沿法向和切向分解，
即!
（(%）
这里!
*和
（((）其中［%］为单位矩阵。!
!
运用塑性力学一般原理，可以建立下列关系式!#*#&*!
!
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,）#)式中
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服函数，#（(#*，#,，
$(#
（
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（(2）
式中
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假设’$
’#’)+（’4$’)（）
%$!$*
式中
’4和*是材料常数；’)由局部化变形开始产
生时的应力状态确定；’4可以表示剪切带材料的残余应力状态。仿照标准的塑性力学推导方法，剪切带材料的本构方程可表示为
!##［&!
（(6）
这里，弹塑性刚度矩阵［&!
’&,&*$$&&&+’/&,&*$&
(,*）（$$）+&（*$$）(
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(
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#)
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)-
。同时，
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带上下面的速度差值!
和带外材料的应变率
!
［,］!
上面介绍的排水条件下的变形局部化复合体理论可以比较方便地推广到不排水情况。为简便起见，假设剪切带内外两种介质均处于不排水条件，也就是孔
隙水不能在两种介质之间自由流动。根据&!49:;
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｛%，%，%，)，)，)｝。/（%）为带外土体的孔隙水压力，-（%）
?是带外土体的孔隙率。联合上述方程式得到
!!#［$!!
!（%）［$!!
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式中［$!!
为不排水的弹塑性刚度矩阵。对于剪切带内土体介质，由&!49:;
解可以导出
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（-5）
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$&!
式中#和#>分别表示作用于剪切带的总应力和有效
应力；-（(）和0分别表示剪切带内土体的孔隙率和剪
切带的厚度。将上述各式联合可得!##［%&!
-(0$$&）（-6）仿照-@%节的推导过程，即联合式（-2），（-6），（%-）和（%2），可以得到下列的宏观本构关系：!#｛［$!!
!（-7）#
［（!
/7岩土工程学报/00/年
当(G?（$GA（!））此时形成两40时将出现应变局部化，,-
!计算实例与试验验证
为了说明本文提出的理论表达式的合理性，这里
条与水平轴成H’角的剪切带。从分叉理论分析结果来看，排水条件下土样在$4
果并不令人满意，因此寻找一个更合理的判别准则将是十分必要的，但这并不是本文所要深入探讨的。本文的数值模拟将直接根据实际试验结果假设剪切带出现在$465KI（。’480J）
采用了与文献［!
［/0］
所做的饱和密砂双轴压缩平面应#$%和&$’()*+$,-.
变试验，试样123!!的孔隙率!405
为简化起见，这里采用了与文献［!
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（:!!;!://）!（）::+%;4>)%.?（70）!!>!!//
A
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!）/!B/%（（］。其中$，我$!/）
择是通过试验曲线拟合得到的。
对于剪切带内土体介质的力学特性由式（/D）和（/8）来描述，可惜没有具体的试验结果来确定这些参数。因此这里对剪切带出现后宏观力学特性的数值模拟可以说主要是定性的，而不是定量的。为了能够描述剪切带出现以后的不稳定反应，我们选择以下一组参数：’%4!D0CE
中的参数&可以根据试样的几何尺寸由下而式（!
3!式确定：（*>).其中*405!
析得到的归一化特征值(G?（$（!））的最小值随变形发展的变化曲线，其中比率+的定义为
［(G?（$GA（!））］F-%,-+4
［(G?（$（）］F-%,-!）
（7!）
第;期黄茂松，等D饱和土体应变局部化的复合体理论
!@
有较大的影响，从图（可以看到剪切带出现以后带!
来不排水的体变限制使得变形局部化的影响大为降低。
第!&卷!
岩土工程学报
B?;6C5C:3
L3MA!&/3A):26A，!
饱和土体应变局部化的复合体理论
!
黄茂松，钱建固，吴世明
（同济大学地下建筑与工程系，上海
!
摘要：有限元法求解应变局部化问题时经常受到单元尺寸敏感性问题的困扰。为克服这一难题，给出一种基于整体坐标的应变
局部化的复合体理论，通过对剪切带内外土体力学特性进行均一化处理来描述含剪切带土体的宏观力学特性。首先从理论上分析了饱和土体应变局部化的产生条件，随后通过复合体理论给出了描述在排水条件和不排水条件下饱和土体应变局部化的本构方程，最后对平面应变条件下的饱和密砂试样进行了分析，通过与室内平面应变试验结果的对比，验证了本文理论的合理性。关键词：饱和土体；应变局部化；剪切带；平面应变试验；复合体理论中图分类号：$%&’
文献标识码：(
文章编号：（!
作者简介：黄茂松（)#-+*），男，浙江玉环人，研究员，博导，获英国威尔士大学博士学位，现从事计算土力学与土动力学的研究工作。
.%(/012345367，89(/:;2647?;4@;67
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!42+-*.+：2-.6#$#
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5&67#-02：6$&
明确的物理意义，故很难通过试验来确定的。粘弹塑性
!前言!
本构关系的引入也取决于所分析的材料是否具有粘性效应。笔者认为一个合理的应变局部化理论框架，应该具有以下两方面的能力：其一，它能描述含剪切带土体的宏观力学性质，模型参数可以通过室内试验来确定；其二，它能消除应变局部化有限元分析时的单元尺寸敏感性。而本文将采用的复合体理论正是这一类模型的代表。应变局部化的复合体理论首先是由加拿大1H4
［］
之后又进一步推125ECD大学I;CED
［)’］
广到不排水饱和土体中，此理论可用于描述剪切带出
岩土体、混凝土和砌体等常用的土木工程材料，在其渐进破坏的过程中往往伴随着应变局部化现象的发岩土体的应变局部化问题一直是生。自,
岩土工程界研究的焦点问题之一。应该说应变局部化分析涉及到的问题很多，其中一个最主要也是国内外学者研究得最多的问题是所谓的单元尺寸敏感性问题。从边值问题的应变局部化数值模拟来看，大量研究工作已表明基于经典连续介质力学理论的应变局部化数值分析结果是不能令人满意的，原因是当应变局部化产生时拟静力荷载下的控制方程将失去其椭圆性，这种椭圆性的丧失将直接导致数值分析结果病态地依赖于有限元单元尺寸。为克服这一难题，目前国内外学者主要采用以下几条途径：!采用引入了高阶连续结构的B355CD4
［］
2E连续体理论)F!；
［’］［&F+］量；；#采用非局部应变理论$采用梯度塑性理［-F))］论；%采用描述含剪切带土体平均力学特性的复合［)!F)+］［)-］体理论；&采用广义孔隙压力理论；’采用粘弹［)G］塑性本构关系。除了后面三种方法以外的其它方法
现后带内土体和带外土体的平均力学性质。原来的理论是建立在局部坐标体系而不是整体坐标体系上的，而这种基于局部坐标体系上的本构理论在推广到三维问题时会带来一些困难。本文将原有的表达形式作一些修正，所有的应力、应变和位移分量均直接采用总体坐标来描述，使得模型的数值实现更为有效。
国家自然科学基金资助项目（+
回国人员科研启动基金资助项目；上海市科学技术发展基金资助项目（
（!
收稿日期：!
基本上只是停留在理论探讨上，其中的附加参数并没有
((岩土工程学报(,,(年
积的比值。
!应变局部化的产生条件
对于弹塑性固体介质，应变局部化可通过所谓分
由于相对于土样的总体几何尺寸来说，剪切带的宽度往往是很小的，因此可以认为剪切带内的位移梯度是均匀的。假设剪切带上下面的位移差值（改变量）
2
（对于局部坐标/
［!
叉理论得到。考虑弹塑性固体处于均匀应力状
!，态!，承受均匀的应变率
匀的。但在某些情况下，分叉现象可能会出现，从而产生不均匀的变形。固体内产生局部变形一般仅局限于一个很窄的区域，称之为剪切带。弱非连续形式是假定穿过剪切带的应变场不连续，出现跳跃，而位移场仍言），其中.:为剪切带法线方向的位移差值，.;为平行于剪切带方向的位移差值，那么对于局部坐标/
来说，剪切带内部的三个应变率分量可以表示为
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然是保持连续的，实际上位移梯度在平行剪切带平面还是保持连续的。剪切带内的应变场可以表示为带外均匀应变场加上一个能描述应变场跳跃的附加应变场，这种附加位移梯度〈!
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（1）
现在我们考虑饱和多孔介质的不排水力学性状。根据2)345678有效应力原理，
可以得到
不难看出对于不排水条件下的饱和多孔介质，应变局
部化产生的条件简化为
/)0（+（#(
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饱和土体应变局部化的复合体理论
排水条件
在分析变形局部化问题时，可以着重于土体的宏
观变形特性，用一种描述含剪切带土体平均力学特性的均匀化方法来进行分析。若土体已经产生了剪切带，则土样可以看成有带内土体介质和带外土体介质构成的复合体，这两种土体介质在微观力学性质上是不同的。设带外土体为介质（!），带内土体为介质（(），则土
样复合体的平均应力率!
!和平均应变率
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式中
0和)分别为剪切带的宽度和长度。这种基于
局部坐标的应变定义，虽然比较容易理解，但当推广到三维情况时实际上根本无法定义平行于剪切带平面的两个局部坐标轴的方向。基于上述原因，有必要将剪切带内的应变直接用整体坐标来定义，由于平行于剪切带
方向的位移梯度（或应变）是连续的，即!（!）（(）
;;%!;;，那么不考虑!（(）
;;分量贡献的剪切带内部的应变率可表示为
［!
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为整体坐标体系下的剪切带上下面的速度差值（改变量）矢量。
由于剪切带的厚度比试样的总体尺寸要小得多，那么复合体的平均应变率为
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胀变形，因此!$和
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!（!）（!-）此外，在带内外接触面上的应力还应满足以下连续条件：
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上式中的塑性应变可利用屈服函数和非相关流动法则
给出：
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给出的一般性弹塑性应力应变关系在实际上，式（()）形式上作一些修改，同样也可描述剪切带材料的本构
!和作用在剪切关系。将剪切带上下面的速度差值
()
切带土体的宏观应力应变关系，其表达式如下：
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上式中，对二维问题，［,］#
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运用塑性力学一般原理，可以建立下列关系式!#*#&*!
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服函数，#（(#*，#,，
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（(2）
式中
’(和()为材料常数；’#’（
假设’$
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式中
’4和*是材料常数；’)由局部化变形开始产
生时的应力状态确定；’4可以表示剪切带材料的残余应力状态。仿照标准的塑性力学推导方法，剪切带材料的本构方程可表示为
!##［&!
（(6）
这里，弹塑性刚度矩阵［&!
’&,&*$$&&&+’/&,&*$&
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式（(7）中，$*##*8
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。同时，
剪切-)-(-%
带上下面的速度差值!
和带外材料的应变率
!
［,］!
上面介绍的排水条件下的变形局部化复合体理论可以比较方便地推广到不排水情况。为简便起见，假设剪切带内外两种介质均处于不排水条件，也就是孔
隙水不能在两种介质之间自由流动。根据&!49:;
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上式中，就二维问题，&&#｛%，%，)｝，三维问题，&&#
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?是带外土体的孔隙率。联合上述方程式得到
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为不排水的弹塑性刚度矩阵。对于剪切带内土体介质，由&!49:;
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!##!#>+$/（(
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（-5）
/（(）&??#-0
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式中#和#>分别表示作用于剪切带的总应力和有效
应力；-（(）和0分别表示剪切带内土体的孔隙率和剪
切带的厚度。将上述各式联合可得!##［%&!
-(0$$&）（-6）仿照-@%节的推导过程，即联合式（-2），（-6），（%-）和（%2），可以得到下列的宏观本构关系：!#｛［$!!
!（-7）#
［（!
/7岩土工程学报/00/年
当(G?（$GA（!））此时形成两40时将出现应变局部化，,-
!计算实例与试验验证
为了说明本文提出的理论表达式的合理性，这里
条与水平轴成H’角的剪切带。从分叉理论分析结果来看，排水条件下土样在$4
果并不令人满意，因此寻找一个更合理的判别准则将是十分必要的，但这并不是本文所要深入探讨的。本文的数值模拟将直接根据实际试验结果假设剪切带出现在$465KI（。’480J）
采用了与文献［!
［/0］
所做的饱和密砂双轴压缩平面应#$%和&$’()*+$,-.
变试验，试样123!!的孔隙率!405
为简化起见，这里采用了与文献［!
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（］3
（
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（:!!;!://）!（）::+%;4>)%.?（70）!!>!!//
A
!）!）/%4!%（%（（#式中
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择是通过试验曲线拟合得到的。
对于剪切带内土体介质的力学特性由式（/D）和（/8）来描述，可惜没有具体的试验结果来确定这些参数。因此这里对剪切带出现后宏观力学特性的数值模拟可以说主要是定性的，而不是定量的。为了能够描述剪切带出现以后的不稳定反应，我们选择以下一组参数：’%4!D0CE
中的参数&可以根据试样的几何尺寸由下而式（!
3!式确定：（*>).其中*405!
析得到的归一化特征值(G?（$（!））的最小值随变形发展的变化曲线，其中比率+的定义为
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（7!）
第;期黄茂松，等D饱和土体应变局部化的复合体理论
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有较大的影响，从图（可以看到剪切带出现以后带!
来不排水的体变限制使得变形局部化的影响大为降低。