第24卷第12期
V ol. 24No. 12
DOI ：10.13195/j.cd.2009.12.29.liut.016
控 制 与 决 策
Contro l and D ecision
2009年12月
Dec. 2009
文章编号:1001-0920(2009) 12-1786-05
不确定离散时间系统积分滑模保性能控制
刘 涛, 刘贺平, 杨 旭
(北京科技大学信息工程学院, 北京100083)
摘 要:针对不确定离散时间系统, 研究其积分滑模(ISM ) 保性能控制的设计问题. 将最优保性能积分滑模面设计问题, 转化为一个具有线性矩阵不等式(LM I) 约束的目标函数凸优化问题, 给出了最优保性能积分滑模面存在的充分条件, 并结合干扰估计器设计相应的保性能控制器. 与传统滑模控制相比较, 积分滑模保性能控制系统具有全阶滑动模态, 系统的鲁棒性得到加强, 消除了控制抖振和稳态抖振. 仿真结果验证了该方法的有效性. 关键词:离散时间系统; 积分滑模; 线性矩阵不等式; 保性能控制中图分类号:T P273 文献标识码:A
Integral-sliding -mode guaranteed cost control for discrete -time system with uncertainty
L IU Tao , L IU H e-p ing , Y AN G X u
(School of Info rmatio n Engineering,
U niver sity o f Science and T echno lo gy Beijing,
Beijing 100083, China.
Co rrespondent:LI U T ao, E -mail:liutao19832001@163. com)
Abstract :T he integ ral -sliding-mode (ISM ) g uaranteed co st co ntrol is studied fo r a class of uncer tain discrete-time linear sy stems. T he o ptimal g uaranteed cost integ ral -sliding-mo de surface can be for mulated a s a co nve x o ptimization pro blem w ith linear matrix inequalitis(LM I) . A sufficient conditio n fo r a existe nce o f o ptimal guaranteed cost integ ra l -sliding-mode is de rived. F urthermo re, gur anteed cost co ntro lle rs ar e pro vided with disturbance estima tor. Com pared w ith tr aditional sliding-mode co ntrol, integ ral-sliding-mode g ua ranteed cost contro l systems have full -o rder sliding-mo de, which can im pr ove the ro bustne ss, and chattering is eliminated. Finally, a simulatio n example sho ws effectiv eness of the proposed me tho d.
Key wo rds :Discr ete -time systems; Integ ral -sliding-mo de; Linear ma trix inequalities; G ua ranteed cost contro l
1 引 言
滑模控制是一种鲁棒控制方法, 其滑动模态对满足匹配条件的参数摄动以及外部干扰具有不变性, 因而受到控制界众多学者的关注. 以趋近率为基础的滑模控制, 由于惯性或有限采样频率的存在, 使得系统产生控制抖振和稳态抖振, 系统仅在滑动模态阶段才具有鲁棒性[1-4].
传统滑模控制在跟踪任意轨迹时, 若存在一定的外部扰动, 则可能会带来稳态误差, 不能达到要求的性能指标[5]. 为此, Chern 等[6,7]提出了一种积分滑模控制(ISM C) 方案, 但要求系统模型是可控标准型, 不包括任何零点. 文献[8]提出一种在满足匹配条件下, 对于最小相位系统及非最小相位系统均适用的积分滑模控制方法. [9]针对带有时变时滞不确
收稿日期:2009-01-20; 修回日期:2009-03-30. 基金项目:国家自然科学基金项目(60374032) .
定随机系统, 利用线性矩阵不等式(LM I) 方法设计积分滑模面和滑模控制器. [10]在未知不确定界的情况下, 对非匹配时变线性系统采用模糊积分滑模
控制策略, 保证了滑动模态的可达性和闭环系统的稳定性. [11]提出一种基于输出反馈的积分滑模控制器设计方法. [12]基于奇异扰动技术, 设计了一种针对不确定状态时滞系统的积分滑模次优控制器. [13]利用LM I 方法对非匹配不确定系统进行积分滑模面和控制器设计, 得到了满足全阶滑动模态渐近稳定和A -稳定约束的积分滑模面存在条件. 然而, 上述方法均是关于连续时间积分滑模控制进行研究的.
随着计算机技术的发展和广泛应用, 控制算法越来越多地利用数字计算机来实现, 因而对离散系
() ) , , , , 应控制等研; (1951) ) ,
男, 沈阳人, 教授, 博士生导师, 、.
第12期刘涛等:不确定离散时间系统积分滑模保性能控制 1787
统滑模控制的研究也越来越深入. 其中, 离散时间积分滑模控制也取得一些研究成果, 如文献[14]和[15]分别提出了离散积分滑模控制器和输出跟踪滑模控制器的设计方法, 但均没有考虑系统的过程控制性能指标.
本文针对一类不确定性离散时间系统, 结合保性能指标, 提出一种基于LM I 方法的最优保性能积分滑模面和保性能滑模控制器的设计方法. 将最优保性能积分滑模面的存在问题等价成一个具有LM I 约束的目标函数凸优化问题, 得出了最优保性能积分滑模面的充分条件, 并利用干扰估计器设计相应的保性能控制器. 系统状态一开始就位于滑模面上, 消除了系统的趋近运动; 系统具有全程鲁棒性, 消除了控制抖振和系统稳态抖振.
环系统的保性能, R (k) =0为保性能积分滑模面, u (k) 为保性能积分滑模控制律.
本文的目的是针对不确定离散时间系统(3) 和性能指标函数(4) , 给出使保性能J *最小化的最优保性能积分滑模面的存在条件和设计方法, 并进一步探讨在不确定界未知的情况下, 如何设计相应的保性能控制器.
*
3 主要结论
3. 1 积分滑模面的设计
定义如下积分滑模面:
R (k) =Gx (k) -G x (0) +E (k) =0, E (k) =E (k -1) +H x (k -1) ,
E (0) =0. (5)
其中:R (k) I R r , E (k) I R r , G 和H 为待设计的具有适当维数的常数矩阵, 选取增益矩阵G 保证G #是非奇异矩阵.
注2 由积分滑模函数(5) 可以看出, 系统从初
[14]
2 问题描述
考虑不确定连续时间系统¤x (t) =(A +$A(t) ) x (t) +
(B +$B(t) ) u(t) +Bd (t) .
其中:x(t) I R , u(t) I R , A I R d(t) I R
r @1
n
r
n @n
(1)
n @r
, B I R ,
始状态开始就位于滑模面上, 即R (0) =0, 说明积分
滑模面消除了系统的到达过程.
引理1[17](Schur 补引理) 对于给定的对称矩阵
S =
S 11S 21
S 12S 22
,
.
假设1 系统(1) 具有完全能控性, d(t) 为有界光滑外部扰动.
假设2 $A 和$B 满足匹配条件, 即$A(t) =B $D(t) , $B =B $E(t) ,
其中$D(t) 和$E(t) 是具有适当维数的时变矩阵.
系统(1) 可写成如下形式:
¤x (t) =Ax (t) +Bu(t) +B f (t) , (2)
其中f (t) =$D(t) x(t) +$E(t) u(t) +d(t) 称为等效干扰.
对系统(2) 加入保持过程与采样过程, 对应的采样周期为T 的离散时间系统表达式为
x(k +1) =5x (k) +#u (k) +#f (k ). 其中5=e , #=
AT
其中S 11是m @m 维的矩阵. 以下3个条件是等价的:
1) S
2) S 11
1T
3) S 22
定理1 对于不确定离散时间系统(3) , 性能指标(4) 和积分滑模面(5) , 若存在一个n @n 对称正定矩阵P >0, 使得下列不等式成立:
5c T P 5c -P +Q
(6)
其中5c =5-#(G #) -1(G 5-G+H ). 则系统(3) 的理想准滑动模态是渐近稳定的, 并且性能指标函数满足
J
其中J *=x T (0) Px (0).
方程(3) 和积分滑模函数(5) , 可得
R (k +1) =
Gx (k +1) -Gx (0) +E (k +1) =(G 5-G +H ) x(k) +G #u(k ) +
G #f (k) =0.
由式(8) 可得到系统(3) 的等效控制
(8) (7)
T
-1
(3)
Q e
T
A S
d S B.
2
注1 确定离散时间模型(3) 并不是系统(2) 离散化后的准确模型, 而是一个具有O(T ) 阶次的估计模型
[16]
.
对系统(3) 定义一个性能指标函数
J =
k=0
证明 设R (k +1) =R (k) =0, 结合系统动态
(4)
E
]
x (k) Qx (k) ,
T
其中Q 为一个给定的加权矩阵.
定义1 对于不确定离散系统(3) 和给定的性能指标函数(4) , 若存在控制律u (k) 和正实数J , 使得在控制律u (k) 的作用下系统(3) 保持在积分, 统渐近稳定且性能指标J 满足J [J , 则称J 为闭
*
*
*
eq ((-1+) (9)
1788
控 制 与 决 策
将式(17) 左右同乘以补引理得
-P -1+P -1QP -1
*
-P -1*-P
(12)
**
-1-1
第24卷
P -10
将等效控制(9) 代入式(3) , 可得系统的理想准滑动模态动态方程
x(k +1) =5c x (k).
对闭环系统(10) 定义Lyapunov 函数
V(k) =x T (k) Px (k) ,
方程(10) 的Lyapunov 差分方程为
$V (k) =V(k +1) -V (k) =
x T (k ) (5T c P 5c -P) x(k).
T
c
(10) (11)
P -15T c -P
-1
其中P 为对称正定矩阵. 则沿理想准滑动模态动态
P -15c T -P P
-1
-1T
+P
P -10
-1
Q [P-1 0]
5c
-P -1*
T
0-Q -1
-1
(18) G(5-I) ,
如果式(6) 成立, 即5P 5c -P
x T (k) Qx (k)
-x T (k) (5T c P 5c -P ) x(k ) =-$V (k) . (13) 对不等式(13) 两侧取无穷项连加和的形式, 有
i=0
设W =P , X =W H , $=5-#(G #)
则式(18) 等价于
-W **
W $-X(G #)
-W
*
T
-T
#
T
W 0-Q
-1
E x(i) Qx (i)
i=0
]]
(19)
结合定理1知, 性能指标函数J 的上界值J *优
(14) (15)
化问题变成了一个具有线性矩阵不等式(19) 约束的目标函数x T (0) Px (0) 最小化问题. 由此, 可以得到最优保性能积分滑模面增益矩阵H =X P. t
注4 由定理2可知, 最优保性能积分滑模面的设计问题可以转化为一个具有LMI 约束的目标函数凸优化问题, 最优保性能积分滑模面可以利用M atlab LM I 工具箱求解得到.
3. 2 保性能控制器的设计
在设计完最优保性能积分滑模面之后, 下一步要设计相应的保性能控制器.
由3. 1节可知, 要使系统在滑模面上做理想准滑模运动, 需要知道当前时刻扰动信息f (k) , 而f(k) 是不确定未知的, 故最优保性能控制器无法实现. 因此取实际保性能控制律
u(k) =-(G #)
(G #)
其中
-1
-1
T
-V(]) +V (0) =x T (0) Px (0) ,
即其中J
*
J
T
=x (0) Px (0). t
*
注3 由定理1可知, 只要找到满足式(6) 的正定对称矩阵P, 则不确定系统(3) 的理想准滑动模态就是渐近稳定的, 并且性能指标函数J 的上界值与系统初始状态和P 的选取有关.
如何选择适当的矩阵P 和积分滑模面增益矩阵H, 使得性能指标J 的上界值J 在式(6) 的约束下取得最优值, 是下面定理2所要阐述的问题.
定理2 对于不确定离散时间系统(3) , 性能指标(4) 和积分滑模面(5) , 最优保性能积分滑模面增益矩阵H =X P, 其中矩阵X 和P 通过下面一个带有LM I 约束的目标函数凸优化问题求解得到:
T
min x (0) Px (0) , W , X
T
*
(G 5-G +H) x(k) -(20)
G^f (k ) ,
-W s. t .
**
W $-X (G #)
-W *
T -T
#
T
W 0-Q
-
1
^f (k ) =x(k) -5x (k -1) -#u(k -1) (21)
称为一步时延扰动估计[16].
由系统(3) 和式(20) 得控制律的动态方程
u(k +1) =
-(G #) -1(G 5-G +H ) 5x (k ) -(G #) -1(G 5-G +H) #u(k) -(G #) -1(G 5+H ) #f (k) .
(22)
系统(3) 和控制律动态方程(22) 组成增广系统
x(k +1) x(=5+ #f (k) , (23)
u(k +1) u(k)
)
-(16)
其中:n @n 矩阵W (>0) 和n @r 矩阵X 均为待定矩阵, P =W -1, $=5-#(G #) -1(G 5-G) , 保性能J 最优值J 价于
**
=min x (0) P x (0). W, X
T
证明 根据Schur 补引理, 定理1中的式(6) 等
)
(G 5-G H ) 5
第12期
z #=
刘涛等:不确定离散时间系统积分滑模保性能控制 #
-(G #) -1(G 5-G +H) #
-1
1789
,
.
-(G #) (G 5+H )
引理2 增广系统(23) 的系统矩阵 5的特征值由5c 的特征值和r 个零特征值组成.
限于篇幅证明略.
引理2表明, 系统(3) 在保性能控制律(20) 的作用下, 闭环系统稳定.
由系统(3) , 式(8) 和(20) 可得
$R(k) =R (k +1) -R (k) =
G #(f (k) -f (k -1) ).
(24)
图1 本文方法状态的动态轨迹
注5 由文献[14]可知, 当等效扰动f (t) 是有界光滑时, f (k) -f (k -1) 是O(T) 阶次的, G #是O (T) 阶的. 因此, $R(k) 是O(T ) 阶次的. 通过式(24) 可以推断, 闭环系统在最优保性能积分滑模面的某一个领域内做准滑动模态运动.
图2 本文方法控制输入的动态轨迹
2
4 仿真算例
考虑以下一个多变量离散时间系统:
x(k +1) =5x (k) +#u(k) +#f (k) , (25)
1-1-235=
-47
5-8
]
-6, #=9
k=0
-35
46
.
保性能指标函数J =
E x
T
(k) Qx (k ) , Q =I, 系统
图3 本文方法积分滑模函数的动态轨迹
初始状态x T (0) =[3 2 -2],未知有界干扰
f (k) =
选取G =
10
00
0. 02sin (0. 02k) 0
. 01sin (0. 01k) +, 使得G #是非奇异矩阵. .
E (k) =E (k -1) +H x (k -1) , E (0) =0,
K =[0. 6 0 0. 5].
相应的积分滑模面增益矩阵和积分滑模控制律为
G ^=H =
10
0, 00. 684370. 23361
-1
根据定理2, 利用Matlab 中的LM I 工具箱解得
1. 33230. 33220. 003H =,
0. 06350. 06340. 8091. 1324
P =
0. 0008-0. 2962
**
T
1. 54310. 34477
-1
-0. 0. 051455
-1
0. 00081. 2846-0. 2107
-0. -0. 2107. 1. 8358
,
u(k) =(D #) D x (0) -(D #) ((D 5+
保性能指标函数上界值的最优解为
J =x (0) Px (0) =27. 93.
取采样周期T =1ms , 按式(20) 取系统(25) 的保性能控制律
u(k) =-(G #) -1(G #-G +H ) x(k) -(G #) -1G^f (k) .
(26)
仿真结果如图1~图3所示.
利用文献[14]
设计的离散积分滑模控制方法,
R (=G ^(E (0,
E) x(k) +D(G #) G^f (k) +E (k) ).
得到如图4, 图5所示的系统状态运动和控制输入变
4 [
1790
控 制 与 决 策第24
卷
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图5
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通过对图1~图5的比较可以看出, 本文设计的基于最优保性能积分滑模面的滑模控制系统, 其状态x(k) 较文献[14]具有更快的收敛速度, 控制输入能量总体消耗较小; 同时, 该方法与传统基于高氏离散指数趋近律的滑模控制方法[1]相比较, 系统没出现控制抖振和稳态抖振, 动态性能良好.
5 结 论
本文针对不确定离散时间系统, 提出了一种最优保性能积分滑模面和保性能积分滑模控制器的设计方法. 给出了最优保性能积分滑模面存在的充分条件, 既保证了系统状态的渐近稳定, 控制过程保性能指标函数具有最优上界值, 又使得系统从初始状态就位于积分滑模面上, 具有全阶滑动模态, 增强了系统的鲁棒性, 并且无控制抖振和稳态抖振产生. 仿真结果表明, 所设计的离散积分滑模控制系统得到了满意的控制效果. 参考文献(References)
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收稿日期:2009-01-20; 修回日期:2009-03-30. 基金项目:国家自然科学基金项目(60374032) .
定随机系统, 利用线性矩阵不等式(LM I) 方法设计积分滑模面和滑模控制器. [10]在未知不确定界的情况下, 对非匹配时变线性系统采用模糊积分滑模
控制策略, 保证了滑动模态的可达性和闭环系统的稳定性. [11]提出一种基于输出反馈的积分滑模控制器设计方法. [12]基于奇异扰动技术, 设计了一种针对不确定状态时滞系统的积分滑模次优控制器. [13]利用LM I 方法对非匹配不确定系统进行积分滑模面和控制器设计, 得到了满足全阶滑动模态渐近稳定和A -稳定约束的积分滑模面存在条件. 然而, 上述方法均是关于连续时间积分滑模控制进行研究的.
随着计算机技术的发展和广泛应用, 控制算法越来越多地利用数字计算机来实现, 因而对离散系
() ) , , , , 应控制等研; (1951) ) ,
男, 沈阳人, 教授, 博士生导师, 、.
第12期刘涛等:不确定离散时间系统积分滑模保性能控制 1787
统滑模控制的研究也越来越深入. 其中, 离散时间积分滑模控制也取得一些研究成果, 如文献[14]和[15]分别提出了离散积分滑模控制器和输出跟踪滑模控制器的设计方法, 但均没有考虑系统的过程控制性能指标.
本文针对一类不确定性离散时间系统, 结合保性能指标, 提出一种基于LM I 方法的最优保性能积分滑模面和保性能滑模控制器的设计方法. 将最优保性能积分滑模面的存在问题等价成一个具有LM I 约束的目标函数凸优化问题, 得出了最优保性能积分滑模面的充分条件, 并利用干扰估计器设计相应的保性能控制器. 系统状态一开始就位于滑模面上, 消除了系统的趋近运动; 系统具有全程鲁棒性, 消除了控制抖振和系统稳态抖振.
环系统的保性能, R (k) =0为保性能积分滑模面, u (k) 为保性能积分滑模控制律.
本文的目的是针对不确定离散时间系统(3) 和性能指标函数(4) , 给出使保性能J *最小化的最优保性能积分滑模面的存在条件和设计方法, 并进一步探讨在不确定界未知的情况下, 如何设计相应的保性能控制器.
*
3 主要结论
3. 1 积分滑模面的设计
定义如下积分滑模面:
R (k) =Gx (k) -G x (0) +E (k) =0, E (k) =E (k -1) +H x (k -1) ,
E (0) =0. (5)
其中:R (k) I R r , E (k) I R r , G 和H 为待设计的具有适当维数的常数矩阵, 选取增益矩阵G 保证G #是非奇异矩阵.
注2 由积分滑模函数(5) 可以看出, 系统从初
[14]
2 问题描述
考虑不确定连续时间系统¤x (t) =(A +$A(t) ) x (t) +
(B +$B(t) ) u(t) +Bd (t) .
其中:x(t) I R , u(t) I R , A I R d(t) I R
r @1
n
r
n @n
(1)
n @r
, B I R ,
始状态开始就位于滑模面上, 即R (0) =0, 说明积分
滑模面消除了系统的到达过程.
引理1[17](Schur 补引理) 对于给定的对称矩阵
S =
S 11S 21
S 12S 22
,
.
假设1 系统(1) 具有完全能控性, d(t) 为有界光滑外部扰动.
假设2 $A 和$B 满足匹配条件, 即$A(t) =B $D(t) , $B =B $E(t) ,
其中$D(t) 和$E(t) 是具有适当维数的时变矩阵.
系统(1) 可写成如下形式:
¤x (t) =Ax (t) +Bu(t) +B f (t) , (2)
其中f (t) =$D(t) x(t) +$E(t) u(t) +d(t) 称为等效干扰.
对系统(2) 加入保持过程与采样过程, 对应的采样周期为T 的离散时间系统表达式为
x(k +1) =5x (k) +#u (k) +#f (k ). 其中5=e , #=
AT
其中S 11是m @m 维的矩阵. 以下3个条件是等价的:
1) S
2) S 11
1T
3) S 22
定理1 对于不确定离散时间系统(3) , 性能指标(4) 和积分滑模面(5) , 若存在一个n @n 对称正定矩阵P >0, 使得下列不等式成立:
5c T P 5c -P +Q
(6)
其中5c =5-#(G #) -1(G 5-G+H ). 则系统(3) 的理想准滑动模态是渐近稳定的, 并且性能指标函数满足
J
其中J *=x T (0) Px (0).
方程(3) 和积分滑模函数(5) , 可得
R (k +1) =
Gx (k +1) -Gx (0) +E (k +1) =(G 5-G +H ) x(k) +G #u(k ) +
G #f (k) =0.
由式(8) 可得到系统(3) 的等效控制
(8) (7)
T
-1
(3)
Q e
T
A S
d S B.
2
注1 确定离散时间模型(3) 并不是系统(2) 离散化后的准确模型, 而是一个具有O(T ) 阶次的估计模型
[16]
.
对系统(3) 定义一个性能指标函数
J =
k=0
证明 设R (k +1) =R (k) =0, 结合系统动态
(4)
E
]
x (k) Qx (k) ,
T
其中Q 为一个给定的加权矩阵.
定义1 对于不确定离散系统(3) 和给定的性能指标函数(4) , 若存在控制律u (k) 和正实数J , 使得在控制律u (k) 的作用下系统(3) 保持在积分, 统渐近稳定且性能指标J 满足J [J , 则称J 为闭
*
*
*
eq ((-1+) (9)
1788
控 制 与 决 策
将式(17) 左右同乘以补引理得
-P -1+P -1QP -1
*
-P -1*-P
(12)
**
-1-1
第24卷
P -10
将等效控制(9) 代入式(3) , 可得系统的理想准滑动模态动态方程
x(k +1) =5c x (k).
对闭环系统(10) 定义Lyapunov 函数
V(k) =x T (k) Px (k) ,
方程(10) 的Lyapunov 差分方程为
$V (k) =V(k +1) -V (k) =
x T (k ) (5T c P 5c -P) x(k).
T
c
(10) (11)
P -15T c -P
-1
其中P 为对称正定矩阵. 则沿理想准滑动模态动态
P -15c T -P P
-1
-1T
+P
P -10
-1
Q [P-1 0]
5c
-P -1*
T
0-Q -1
-1
(18) G(5-I) ,
如果式(6) 成立, 即5P 5c -P
x T (k) Qx (k)
-x T (k) (5T c P 5c -P ) x(k ) =-$V (k) . (13) 对不等式(13) 两侧取无穷项连加和的形式, 有
i=0
设W =P , X =W H , $=5-#(G #)
则式(18) 等价于
-W **
W $-X(G #)
-W
*
T
-T
#
T
W 0-Q
-1
E x(i) Qx (i)
i=0
]]
(19)
结合定理1知, 性能指标函数J 的上界值J *优
(14) (15)
化问题变成了一个具有线性矩阵不等式(19) 约束的目标函数x T (0) Px (0) 最小化问题. 由此, 可以得到最优保性能积分滑模面增益矩阵H =X P. t
注4 由定理2可知, 最优保性能积分滑模面的设计问题可以转化为一个具有LMI 约束的目标函数凸优化问题, 最优保性能积分滑模面可以利用M atlab LM I 工具箱求解得到.
3. 2 保性能控制器的设计
在设计完最优保性能积分滑模面之后, 下一步要设计相应的保性能控制器.
由3. 1节可知, 要使系统在滑模面上做理想准滑模运动, 需要知道当前时刻扰动信息f (k) , 而f(k) 是不确定未知的, 故最优保性能控制器无法实现. 因此取实际保性能控制律
u(k) =-(G #)
(G #)
其中
-1
-1
T
-V(]) +V (0) =x T (0) Px (0) ,
即其中J
*
J
T
=x (0) Px (0). t
*
注3 由定理1可知, 只要找到满足式(6) 的正定对称矩阵P, 则不确定系统(3) 的理想准滑动模态就是渐近稳定的, 并且性能指标函数J 的上界值与系统初始状态和P 的选取有关.
如何选择适当的矩阵P 和积分滑模面增益矩阵H, 使得性能指标J 的上界值J 在式(6) 的约束下取得最优值, 是下面定理2所要阐述的问题.
定理2 对于不确定离散时间系统(3) , 性能指标(4) 和积分滑模面(5) , 最优保性能积分滑模面增益矩阵H =X P, 其中矩阵X 和P 通过下面一个带有LM I 约束的目标函数凸优化问题求解得到:
T
min x (0) Px (0) , W , X
T
*
(G 5-G +H) x(k) -(20)
G^f (k ) ,
-W s. t .
**
W $-X (G #)
-W *
T -T
#
T
W 0-Q
-
1
^f (k ) =x(k) -5x (k -1) -#u(k -1) (21)
称为一步时延扰动估计[16].
由系统(3) 和式(20) 得控制律的动态方程
u(k +1) =
-(G #) -1(G 5-G +H ) 5x (k ) -(G #) -1(G 5-G +H) #u(k) -(G #) -1(G 5+H ) #f (k) .
(22)
系统(3) 和控制律动态方程(22) 组成增广系统
x(k +1) x(=5+ #f (k) , (23)
u(k +1) u(k)
)
-(16)
其中:n @n 矩阵W (>0) 和n @r 矩阵X 均为待定矩阵, P =W -1, $=5-#(G #) -1(G 5-G) , 保性能J 最优值J 价于
**
=min x (0) P x (0). W, X
T
证明 根据Schur 补引理, 定理1中的式(6) 等
)
(G 5-G H ) 5
第12期
z #=
刘涛等:不确定离散时间系统积分滑模保性能控制 #
-(G #) -1(G 5-G +H) #
-1
1789
,
.
-(G #) (G 5+H )
引理2 增广系统(23) 的系统矩阵 5的特征值由5c 的特征值和r 个零特征值组成.
限于篇幅证明略.
引理2表明, 系统(3) 在保性能控制律(20) 的作用下, 闭环系统稳定.
由系统(3) , 式(8) 和(20) 可得
$R(k) =R (k +1) -R (k) =
G #(f (k) -f (k -1) ).
(24)
图1 本文方法状态的动态轨迹
注5 由文献[14]可知, 当等效扰动f (t) 是有界光滑时, f (k) -f (k -1) 是O(T) 阶次的, G #是O (T) 阶的. 因此, $R(k) 是O(T ) 阶次的. 通过式(24) 可以推断, 闭环系统在最优保性能积分滑模面的某一个领域内做准滑动模态运动.
图2 本文方法控制输入的动态轨迹
2
4 仿真算例
考虑以下一个多变量离散时间系统:
x(k +1) =5x (k) +#u(k) +#f (k) , (25)
1-1-235=
-47
5-8
]
-6, #=9
k=0
-35
46
.
保性能指标函数J =
E x
T
(k) Qx (k ) , Q =I, 系统
图3 本文方法积分滑模函数的动态轨迹
初始状态x T (0) =[3 2 -2],未知有界干扰
f (k) =
选取G =
10
00
0. 02sin (0. 02k) 0
. 01sin (0. 01k) +, 使得G #是非奇异矩阵. .
E (k) =E (k -1) +H x (k -1) , E (0) =0,
K =[0. 6 0 0. 5].
相应的积分滑模面增益矩阵和积分滑模控制律为
G ^=H =
10
0, 00. 684370. 23361
-1
根据定理2, 利用Matlab 中的LM I 工具箱解得
1. 33230. 33220. 003H =,
0. 06350. 06340. 8091. 1324
P =
0. 0008-0. 2962
**
T
1. 54310. 34477
-1
-0. 0. 051455
-1
0. 00081. 2846-0. 2107
-0. -0. 2107. 1. 8358
,
u(k) =(D #) D x (0) -(D #) ((D 5+
保性能指标函数上界值的最优解为
J =x (0) Px (0) =27. 93.
取采样周期T =1ms , 按式(20) 取系统(25) 的保性能控制律
u(k) =-(G #) -1(G #-G +H ) x(k) -(G #) -1G^f (k) .
(26)
仿真结果如图1~图3所示.
利用文献[14]
设计的离散积分滑模控制方法,
R (=G ^(E (0,
E) x(k) +D(G #) G^f (k) +E (k) ).
得到如图4, 图5所示的系统状态运动和控制输入变
4 [
1790
控 制 与 决 策第24
卷
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图5
文献[14]方法控制输入的动态轨迹
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Intelligent
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通过对图1~图5的比较可以看出, 本文设计的基于最优保性能积分滑模面的滑模控制系统, 其状态x(k) 较文献[14]具有更快的收敛速度, 控制输入能量总体消耗较小; 同时, 该方法与传统基于高氏离散指数趋近律的滑模控制方法[1]相比较, 系统没出现控制抖振和稳态抖振, 动态性能良好.
5 结 论
本文针对不确定离散时间系统, 提出了一种最优保性能积分滑模面和保性能积分滑模控制器的设计方法. 给出了最优保性能积分滑模面存在的充分条件, 既保证了系统状态的渐近稳定, 控制过程保性能指标函数具有最优上界值, 又使得系统从初始状态就位于积分滑模面上, 具有全阶滑动模态, 增强了系统的鲁棒性, 并且无控制抖振和稳态抖振产生. 仿真结果表明, 所设计的离散积分滑模控制系统得到了满意的控制效果. 参考文献(References)
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