一元二次方程根与系数的关系--韦达定理

一元二次方程根与系数的关系——韦达定理

一、观察与猜想 1、解方程：

（1） 2y-y-1=0 （2）3x-4x=2 解：y=

（1）

22

解：

y1= ,y2=

则y1+y2= ，y1y2= 则x1+x2= ，x1x2= （3）3x+7x+2=0

解：x= = ,则x1+x2= ，x1x2= （4）5x+2=3x 解：

x= = ,则x1+x2= ，x1x2= 想一想：方程的两根之和，两根之积与方程的系数之间存在什么关系？

二、一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知

bb24acb24acx1=,x2=

2a2a

能得出以下结果：

x1＋x2= 即：两根之和等于

x1•x2= 即：两根之积等于bb24acbb24ac

x1x2=+

2a2abb24acbb24ac

bb24acbb24acx1.x2=×

2a2a(bb24ac)(bb24ac)

4a2

(

)2(4a2

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为

x1+x2=

3. 韦达定理

已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有x1x2

bc， x1x2=

x1x2 aa

4.如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为

x2＋ x＋

＝0(a≠0)， a

则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：

x2-（）x＋x1x2＝0(a≠0)

练习：

1、如果x1，x2是方程axbxc0(a0)的两个实数根，求x1+x2和x1x2的值。

2、设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-（2）•求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值

，x1·x2=；aa

例题分析：

例1：已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；解：设方程的另一个根是x1，那么2x1 ∴ x1

又x1+2=

（为什么？） 5

∴ k= 想一想，还有没有别的做法？

例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的

（1）平方和（2）倒数和

解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2 x1x2（1）∵ （x1+x2）2= x1222

∴ x12+x22=（x1+x2）2（2）

11x1x2

x1x2



例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是32 解：所求的方程是x-（32

312

1311

）x＋（）2＝0 (为什么？) 22

即 x+ x- ＝0 或 6x+ x- ＝0 例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。

解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x-8x＋9＝0的两个根

解这个方程，得x1 x2因此，这两个数是，

作业

1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？

（1）y2-3y+1=0 （2） 3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0

（4）3x2+5x-2=0 （5）2y2-5=6y （6）4p(p-1)-3=0

2、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值

3、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1）（x1+1）（x2+1）（2）

4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-7

x2x1

 x1x2

5、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数。

7.如果方程2x2＋kx-5＝0 的实数根互为相反数，那么k=

8.已知，是方程x2＋２x-5＝0 的实数根，求2的值

9. 已知一元二次方程x2xm10

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x1,x2是方程的两个实数根，且满足x1x1x21，求m的值

10. 关于x的一元二次方程mx(3m1)xm0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。